스킴
차원
Scheme의 dimension 정의와 local ring의 Krull dimension과의 관계
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스킴의 차원
이제 우리는 scheme의 차원을 정의한다.
정의 1 Scheme \(X\)의 dimension차원은 위상공간 \(X\)의 Krull dimension으로 정의한다. ([위상수학] §차원, ⁋정의 10)
그럼 §스펙트럼, ⁋명제 16의 Galois correspondence로부터 우리는 \(\Spec A\)의 scheme으로서의 차원과 \(A\)의 ring으로서의 차원이 같다는 것을 안다. ([가환대수학] §차원, ⁋정의 1) 뿐만 아니라, 정의에 의하여 \(\Spec A\)와 \(\Spec A/\mathfrak{N}(A)\)가 homeomorphic하다는 것을 보일 수 있으므로 \(\dim A=\dim A/\mathfrak{N}(A)\)가 성립한다. 즉 reducedness는 차원에 영향을 주지 않는다.
한편 [위상수학] §차원, ⁋명제 15와 마찬가지 이유로 다음이 성립한다.
명제 2 임의의 scheme \(X\)와 정수 \(n\geq 0\)에 대하여, \(\dim X=n\)인 것은 \(X\)의 affine open covering \((U_i)\)가 존재하여, 모든 \(U_i\)에 대하여 \(\dim U_i\leq n\)이고, 적어도 하나의 \(i\)에 대해서는 등호가 성립하는 것과 동치이다.
증명
\(X\)의 임의의 irreducible closed subset들의 chain
\[Y_0\subsetneq Y_1\subsetneq\cdots\subsetneq Y_r\]에서 가장 작은 항 \(Y_0\)의 generic point \(\eta_0\)는 \(X\)의 점이므로 covering \((U_i)\)에 의해 어떤 \(U_i\)에 속한다. 그러면 chain의 모든 항이 \(U_i\)와 만나므로, [위상수학] §차원, ⁋명제 15의 inclusion-preserving bijection을 생각하면 \(U_i\) 안의 같은 길이의 chain으로 대응된다. 거꾸로 \(U_i\)의 임의의 chain은 \(X\) 안에서 closure를 취해 올려지므로 \(\dim X\geq\dim U_i\)이고, 따라서 \(\dim X=\sup_i\dim U_i\)이며 이는 명제의 조건과 동치이다.
증명이 실제로 준 것은 \(\dim X=\sup_i\dim U_i\)이며, \(\dim X\)가 유한하다는 가정이 없으면 등호가 성립하는 \(i\)가 존재하지 않을 수도 있다. 가령 \(X=\coprod_{d\geq 0}\mathbb{A}^d_\mathbb{K}\)는 무한차원이지만 각각의 affine open subset은 유한히 많은 성분만 만나므로 모두 유한차원이다.
한편 우리는 §스킴 사상의 성질들, ⁋명제 15에서 finite morphism은 integral morphism of finite type인 것을 살펴보았으며, §올곱, ⁋명제 15에서 임의의 finite morphism은 quasi-finite인 것을 살펴보았다. 일반적으로 integral morphism이지만 finite type은 아닌 morphism이 존재하며, 따라서 아직까지는 integral morphism의 fiber에 대한 이야기를 할 수가 없다.
예시 3 예를 들어 \(\mathbb{Q}\)의 algebraic closure \(\overline{\mathbb{Q}}\)를 생각하자. \(\overline{\mathbb{Q}}\)의 임의의 원소는 \(\mathbb{Q}\) 위에서 algebraic하므로 integral이고, 따라서 \(\mathbb{Q} \rightarrow \overline{\mathbb{Q}}\)는 integral extension이며 이로부터 scheme morphism \(\varphi:\Spec \overline{\mathbb{Q}} \rightarrow \Spec \mathbb{Q}\)도 integral morphism이다.
이제 \(\varphi\)를 \(\Spec\overline{\mathbb{Q}}\rightarrow\Spec\mathbb{Q}\)로 base change하면, 다음의 pullback diagram
을 얻으며, 이 때 좌측 수직방향의 map
\[\Spec(\overline{\mathbb{Q}}\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}})\rightarrow \Spec \overline{\mathbb{Q}}\]또한 §올곱, ⁋명제 16에 의하여 integral이다.
이 map을 살펴보기 위해, 구체적으로 ring homomorphism \(\overline{\mathbb{Q}}\rightarrow \overline{\mathbb{Q}}\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}}\)를 살펴보자. 위의 scheme 사이의 map의 section을 보는 것은 이 함수의 retraction을 보는 것과 같으며 이는 임의의 \(\sigma\in\Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\)에 대하여 다음의 surjective ring homomorphism
\[\overline{\mathbb{Q}}\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}}\rightarrow\overline{\mathbb{Q}},\qquad a\otimes b\mapsto a\sigma(b)\]으로부터 온다. 구체적으로, 이 ring homomorphism의 kernel \(\mathfrak{p}_\sigma\)는 maximal ideal이므로 \(\Spec(\overline{\mathbb{Q}}\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}})\)의 한 점을 정의하며, \(\sigma\neq\tau\)이면 \(\sigma(b)\neq\tau(b)\)인 \(b\in\overline{\mathbb{Q}}\)를 택할 때 \(1\otimes b-\sigma(b)\otimes 1\in\mathfrak{p}_\sigma\)이지만 \(\mathfrak{p}_\tau\)에는 속하지 않으므로 \(\mathfrak{p}_\sigma\neq\mathfrak{p}_\tau\)이다. 따라서 \(\Spec(\overline{\mathbb{Q}}\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}})\)은 적어도 \(\Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\)만큼의, 곧 무한히 많은 점을 가지며, \(\Spec(\overline{\mathbb{Q}}\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}})\rightarrow\Spec\overline{\mathbb{Q}}\)는 quasi-finite morphism이 아니므로 finite morphism도 아니다.
혹은 더 간단한 예로 \(\Spec \mathbb{C}\rightarrow \Spec \mathbb{R}\)을 보자. 여기서 \(\mathbb{R}\)와 \(\mathbb{C}\)가 모두 field이므로 \(\Spec\mathbb{C}\)와 \(\Spec\mathbb{R}\)는 각각 한 점이며, 따라서 이 map 자체는 한 점에서 한 점으로 가는 trivial한 map이다. 그러나 이를 \(\Spec \mathbb{C}\rightarrow \Spec \mathbb{R}\)로 pullback하여 위의 예시와 비슷한 함수
\[\Spec(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}) \rightarrow \Spec \mathbb{C}\]를 만들면 \(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}\)는 더 이상 field가 아니다. 실제로 \(\Spec\mathbb{C}=\Spec\mathbb{R}[\x]/(\x^2+1)\)이므로,
\[\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}\cong \mathbb{C}\otimes_\mathbb{R} \frac{\mathbb{R}[\x]}{(\x^2+1)}\cong \frac{\mathbb{C}[\x]}{(\x^2+1)}\]이며, \(\x^2+1\)은 \(\mathbb{C}\)에서는 두 일차식의 곱 \(\x^2+1=(\x-i)(\x+i)\)로 인수분해되며, \((\x-i)\)와 \((\x+i)\)는 comaximal이므로 [환론] §중국인의 나머지정리, ⁋명제 6에 의하여
\[\frac{\mathbb{C}[\x]}{((\x-i)(\x+i))}\cong\frac{\mathbb{C}[\x]}{(\x-i)}\times\frac{\mathbb{C}[\x]}{(\x+i)}\cong\mathbb{C}\times\mathbb{C}\]가 된다. 위의 예시에서 살펴본 Galois group의 언어로 생각하면 이는 위 분해의 두 factor \(\mathbb{C}[\x]/(\x-i)\)와 \(\mathbb{C}[\x]/(\x+i)\)가 곧 \(\mathbb{R}\)을 고정하는 \(\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}\)의 automorphism, 즉 \(\Gal(\mathbb{C}/\mathbb{R})\)의 두 원소에 해당하기 때문에 나타나는 것이며 같은 일이 예시 3의 \(\mathbb{Q}\rightarrow \overline{\mathbb{Q}}\)에서도 나타난다. 유일한 차이는 \(\Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\)는 무한하므로 fiber가 두 개가 아닌 무한개가 된다는 것이다.
그럼에도 이 예시는 integral morphism의 fiber에 대한 어떠한 종류의 finiteness를 암시하는데, 가령 \(\Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\)는 profinite group이므로 ([체론] §갈루아 군의 성질들, ⁋명제 5) \(0\)차원이 된다. 이는 임의의 integral morphism에 대해서도 성립하는 사실이다.
명제 4 Integral morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)의 공집합이 아닌 임의의 fiber는 항상 \(0\)차원이다.
증명
정의에 의해 \(Y\)의 한 점 \(y\)에서의 fiber는 §스킴, ⁋정의 5의 residue field \(\kappa(y)\)에 대한 inclusion map \(\Spec \kappa(y) \rightarrow Y\)에 의한 \(\varphi\)의 base change
\[\varphi^{-1}(y)=X\times_Y\Spec \kappa(y)\]으로 주어지며, integral morphism은 base change에 의해 보존되므로 (§올곱, ⁋명제 16)
\[\varphi^{-1}(y)=X\times_Y\Spec \kappa(y) \rightarrow \Spec \kappa(y)\]는 integral morphism이며, integral morphism은 그 정의에 의해 affine morphism이므로 integral morphism \(\Spec B \rightarrow \Spec \kappa(y)\)에 대하여 \(\dim \Spec B=\dim B=0\)임을 보이면 충분하다. 즉, 임의의 integral extension \(\kappa(y) \rightarrow B\)에 대하여, \(B\)의 prime ideal들의 chain
\[\mathfrak{q}_1\subsetneq \mathfrak{q}_2\]이 존재할 수 없음을 보여야 한다. 이는 [가환대수학] §정수적 확장과 아이디얼, ⁋따름정리 4의 결과이다.
기하적으로, 이 명제는 integral morphism의 각 fiber가 양의 차원을 갖지 않는다는 것을 보여준다.
위의 명제의 증명에서 사용한 [가환대수학] §정수적 확장과 아이디얼, ⁋따름정리 4는 임의의 integral extension \(A\hookrightarrow B\)에 대해서도 성립한다. 이에 의해 \(B\)의 prime ideal chain을 \(A\)로 contraction하면 여전히 strict하므로 \(\dim B\leq\dim A\)이고, 거꾸로 [가환대수학] §정수적 확장과 아이디얼, ⁋명제 1의 lying over와 going up에 의해 \(A\)의 prime ideal chain은 \(B\)로 올려지므로 \(\dim A\leq\dim B\)이다. 따라서 더 일반적으로 다음이 성립한다.
명제 5 임의의 integral extension \(\phi:A \hookrightarrow B\)에 대하여
\[\dim\Spec A=\dim\Spec B\]가 항상 성립한다.
특히 임의의 integral domain \(A\)와 그 normalization \(\tilde{A}\)에 대하여, extension \(A\hookrightarrow\tilde{A}\)가 integral이므로 명제 5에 의하여 \(\dim\Spec\tilde{A}=\dim\Spec A\)이다. 여기서 normalization \(\tilde{A}\)는 \(A\)를 그 field of fractions \(\Frac(A)\) 안에서 integrally closed가 되도록 확장한 것, 곧 \(\Frac(A)\)의 원소 가운데 \(A\) 위에서 integral인 것들을 모두 \(A\)에 붙여 얻는 확장이다. ([가환대수학] §정수적 확장, ⁋정의 3) 정의에 의해 \(A\subseteq\tilde{A}\subseteq\Frac(A)\)이므로 \(\Frac(\tilde{A})=\Frac(A)\), 즉 normalization은 \(A\)의 function field를 보존한다.
예시 6 위의 논의에서 우리는 normalization이 function field를 보존한다는 것을 살펴보았다. 기하적으로, \(A\)가 \(\mathbb{K}\) 위의 affine variety의 coordinate ring인 경우 이는 normalization으로 얻어지는 두 공간이 birational하다는 것이다. ([대수다양체] §유리사상, ⁋명제 10) 즉, normalization은 무시할만큼 작은 특정한 loci 바깥에서는 원래의 공간과 같다.
Normalization이 실제로 달라지는 곳은 \(A\)가 integrally closed가 아닌 locus, 곧 non-normal locus이다. 이는 singular locus에 포함되지만 일반적으로 그와 같지는 않다. 가령 quadric cone \(\mathbb{K}[\x,\y,\z]/(\x\y-\z^2)\)는 원점에서 singular인 \(2\)차원 domain이지만 normal이므로 normalization이 항등사상이 되어 singular point가 그대로 남는다. 그러나 곡선의 경우, 곧 \(1\)차원에서는 normal인 local ring이 정확히 regular local ring이므로 non-normal locus가 singular locus와 일치한다. 대표적인 예로 [대수다양체] §접공간과 매끄러움, ⁋예시 7 (Singular points)의 cusp
\[A=\mathbb{K}[\x,\y]/(\y^2-\x^3)\cong\mathbb{K}[t^2,t^3]\]를 보자. \(A\)의 field of fractions를 보기 위해 \(t=\y/\x\)임을 사용하면 \(\Frac(A)=\mathbb{K}(t)\)임을 확인할 수 있고, 이 때 원소 \(t\in\Frac(A)\)는 \(t^2=\x\in A\)를 만족하므로 \(A\) 위에서 integral이다. 따라서 \(t\)를 붙여 얻은 extension
\[A[t]=\mathbb{K}[t^2,t^3,t]=\mathbb{K}[t]\]가 \(A\)의 integral extension이고, \(A[t]\)는 UFD이므로 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 9에 의하여 integrally closed이므로 이것이 곧 normalization \(\tilde{A}\)이다.
이제 기하적으로 이것이 무슨 의미인지 살펴보자. 우리는 우선 위의 integral extension \(A\rightarrow A[t]\)가 주는 공간들 사이의 map
\[\Spec A[t]\rightarrow \Spec A\]을 살펴보아야 한다. 우선 곡선 \(\Spec A\)의 singular point인 원점 \(\mathfrak{m}=(t^2,t^3)\in\Spec A\)을 보면, 이 점에서의 위의 map의 fiber는 다음의 pullback diagram
즉 다음의 scheme
\[\Spec(A[t]\otimes_A A/\mathfrak{m})=\Spec(A[t]/(t^2,t^3))=\Spec(A[t]/(t^2))\]로 주어진다. 즉, fiber 자체는 한 점이 되지만 그 위에 주어진 scheme 구조는 non-reduced이며, 반면 \(\Spec A\)의 원점 \(\Spec A/\mathfrak{m}\)은 field의 spectrum으로서 reduced인 한 점이므로 위의 fiber는 이 점과 같아질 수 없다. 반면 원점을 뺀 열린집합 \(D(\x)\)에서는 \(\x=t^2\)가 invertible해지므로, \(t=t^3\cdot(t^2)^{-1}\)가 들어와
\[A[\x^{-1}]=\tilde{A}[\x^{-1}]\]이 되어 두 scheme은 원점을 뺀 부분에서 완전히 같다.
원점에서 일어나는 일을 조금 더 대수적으로 살펴보기 위해 local ring을 보자. 우선 \(\Spec A\)의 원점 \(\mathfrak{m}\)의 preimage는 그 정의에 의해 \(\mathfrak{m}\)을 포함하는 \(A[t]\)의 prime ideal이며, \(\mathfrak{m}A[t]=(t^2)\)을 포함하는 prime ideal은 이 ideal의 radical \((t)\)이다. 그럼 \(A[t]\)의 원점 \((t)\)에서의 local ring은
\[A[t]_{(t)}=\mathbb{K}[t]_{(t)}\]인 반면, 원래의 curve \(\Spec A\)의 원점에서의 local ring은
\[A_{\mathfrak{m}}=\mathbb{K}[t^2,t^3]_{(t^2, t^3)}\]임을 확인할 수 있다. 이들을 비교하면 normalization이 원점에서 무엇을 하는지가 대수적으로 드러난다. \(A_{\mathfrak{m}}\)은 \(1\)차원 local ring임에도 maximal ideal을 하나의 원소로 생성할 수 없고 \(t^2\)과 \(t^3\) 두 원소를 필요로 하므로 regular local ring이 아니다. ([가환대수학] §차원, ⁋정의 12) 실제로 \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\)은 \(t^2\)과 \(t^3\)의 image로 생성되는 \(2\)차원 벡터공간이며, 이는 [대수다양체] §접공간과 매끄러움, ⁋예시 7 (Singular points)에서 cusp의 원점에서의 tangent space가 curve의 차원보다 큰 \(2\)차원으로 계산되었던 것과 같은 현상이다. 반면 normalization의 local ring \(A[t]_{(t)}=\mathbb{K}[t]_{(t)}\)는 maximal ideal이 단 하나의 원소 \(t\)로 생성되는 regular local ring이다. 즉 normalization은 singular한 local ring \(A_{\mathfrak{m}}\)을 regular local ring \(A[t]_{(t)}\)로 바꾸어 cusp를 펴는 것이다.
임의의 integral scheme \(X\)에 대해서도 normalization을 같은 방식으로 정의할 수 있다. \(X\)를 affine open \(\Spec A_i\)들로 덮자. \(X\)가 integral이므로 유일한 generic point \(\xi\)를 가지며, 이 점은 각 \(\Spec A_i\)에서 domain \(A_i\)의 minimal prime \((0)\)에 대응하여 그 stalk이 \(\Frac(A_i)\)가 된다. Stalk \(\mathcal{O}_{X,\xi}\)는 어느 affine open에서 계산하든 같으므로 모든 \(\Frac(A_i)\)가 하나의 공통 function field \(K(X)\)로 일치하며 (§스킴 사상의 성질들, §§유리사상), 우리는 각 조각에서 \(A_i\)의 \(K(X)\) 안에서의 normalization \(\tilde{A}_i\)를 취할 수 있다. 이 때 normalization은 localization과 commute하므로 ([가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 12) 각 \(\Spec\tilde{A}_i\)의 겹침 \(\Spec A_i\cap\Spec A_j\)로의 restriction들이 서로 일치하고, 따라서 이들은 하나의 scheme \(\tilde{X}\)로 붙어 normalization morphism \(\tilde{X}\rightarrow X\)를 정의한다. 이 morphism은 affine-locally \(A_i\hookrightarrow\tilde{A}_i\)가 integral extension이므로 integral morphism이며, 명제 5에 의하여 각 조각에서 \(\dim\Spec\tilde{A}_i=\dim\Spec A_i\)이므로 명제 2의 증명으로부터 \(\dim\tilde{X}=\dim X\)를 얻는다.
이제 우리는 codimension을 정의한다.
정의 7 위상공간 \(X\)의 irreducible subset \(Y\)에 대하여, \(Y\)의 \(X\)에서의 codimension여차원 \(\codim_XY\)를 \(X\)의 irreducible closed subset들의 strictly descending chain
\[Z_n\supsetneq Z_{n-1}\supsetneq\cdots\supsetneq Z_0=\cl_X(Y)\]의 length의 supremum으로 정의한다.
그럼 ring \(A\)의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)의 codimension은 \(\Spec A\)에서 점 \(\mathfrak{p}\)의 codimension과 같은 것을 확인할 수 있다. ([가환대수학] §차원, ⁋정의 2)
명제 8 \(X\)의 irreducible closed subset \(Y\)와 \(Y\)의 generic point \(\eta\)에 대하여, \(\codim_X Y=\dim \mathcal{O}_{X,\eta}\)이 성립한다.
증명
\(Y\)가 generic point \(\eta\)를 가지므로, 정의에 의해 \(\codim_XY\)와 \(\codim_X\{\eta\}\)가 같다. 이제 \(\eta\)를 포함하는 임의의 affine open subset \(U\cong\Spec A\)를 택하고, 이 isomorphism에 의해 \(\eta\in U\)가 \(\mathfrak{p}_\eta\in \Spec A\)에 대응된다 하자. 그럼 [위상수학] §차원, ⁋명제 15로부터 우리는 \(U\)와 만나는 \(X\)의 irreducible closed subset들과 \(U\)의 irreducible closed subset들 사이의 일대일 대응이 존재한다는 것을 안다. 즉, \(\codim_X\{\eta\}=\codim_U \mathfrak{p}_\eta\)이다. 이제 §스펙트럼, ⁋명제 16으로부터 원하는 결과를 얻는다.
더 일반적으로 우리는 [가환대수학] §차원, ⁋정의 2에서 codimension을 정의한 후 다음의 부등식
\[\dim \mathfrak{a}+\codim \mathfrak{a}\leq \dim A\]를 증명하였는데, 여기에서 사용한 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 8 대신 [위상수학] §차원, ⁋명제 15를 사용하면 scheme \(X\)와 \(X\)의 irreducible closed subset \(Y\)에 대하여 다음의 부등식
\[\dim Y+\codim_XY\leq \dim X\]이 성립하는 것을 확인할 수 있다. 그러나 마찬가지로 일반적인 경우에는 등호가 성립하지 않는다.
뇌터 정규화
이제 우리는 중요한 다음 결과를 보인다.
정리 9 (Noether normalization lemma) 임의의 field \(\mathbb{K}\)와, finitely generated \(\mathbb{K}\)-algebra \(A\)가 주어졌다 하자. 만일 \(A\)가 integral domain이고
\[\trdeg_\mathbb{K}\Frac(A)=n\]이라면 \(A\)의 적당한 원소들 \(x_1,\ldots, x_n\)이 존재하여 이들이 algebraically independent이고 \(A\)가 finite \(\mathbb{K}[x_1,\ldots, x_n]\)-module이도록 할 수 있다.
증명
\(A\)가 finitely generated \(\mathbb{K}\)-algebra라는 가정으로부터
\[A=\mathbb{K}[y_1,\ldots, y_m]/\mathfrak{p}\]로 적을 수 있다. 그럼 이들 \(y_1,\ldots, y_m\)의 \(\Frac(A)\)에서의 image가 \(\mathbb{K}\)의 field extension으로서 \(\Frac(A)\)를 생성하므로 반드시 \(m\geq n\)이어야 한다.
이제 만일 \(m=n\)이라면, \(y_i\)들의 image가 \(\Frac(A)\)의 transcendence basis를 이루므로 특히 algebraically independent이고, 따라서 \(\mathfrak{p}=0\), 곧 \(A=\mathbb{K}[y_1,\ldots, y_n]\)이다. 실제로 \(\mathfrak{p}\)의 nonzero element는 \(y_i\)들 사이의 nontrivial algebraic relation을 주므로 transcendence degree가 \(n\)보다 작아지게 된다. 즉 이 경우 \(y_i\)들이 정확히 원하는 원소가 되므로 더 이상 증명할 것이 없다. 이제 주어진 주장을 보이기 위해 \(m>n\)이라 하고, \(n\leq k< m\)을 만족하는 임의의 \(k\)에 대하여 정리가 성립한다 하자. 그럼 \(m>n\)이라는 가정으로부터 \(y_1,\ldots, y_m\)들은 algebraically dependent이다. 즉, 다음의 식
\[f(y_1,\ldots, y_m)=0\]을 만족하는 \(\mathbb{K}\)-계수 \(m\)변수 다항식
\[f(\x_1,\ldots, \x_m)=\sum \alpha_{d_1d_2\cdots d_m}\x_1^{d_1}\cdots\x_m^{d_m}\in \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_m]\tag{$\ast$}\]이 존재한다. 이제 정수 \(r_1,\ldots, r_{m-1}\)에 대하여 다음의 식
\[z_1=y_1-y_m^{r_1},\quad z_2=y_2-y_m^{r_2},\quad\ldots\quad,\quad z_{m-1}=y_{m-1}-y_m^{r_{m-1}}\]으로 원소들 \(z_1,\ldots, z_{m-1}\)을 정의하자. 그럼 정의에 의해
\[f(z_1+y_m^{r_1},\ldots, z_{m-1}+y_m^{r_{m-1}}, y_m)=0\tag{$\ast\ast$}\]이 성립한다. 이제 식 (\(\ast\))에서 \(f\)를 이루는 각각의 monomial \(\alpha_{d_1d_2\cdots d_m}\x_1^{d_1}\cdots\x_m^{d_m}\)에
\[\x_1=z_1+y_m^{r_1},\quad \ldots\quad,\quad \x_{m-1}=z_{m-1}+y_m^{r_{m-1}},\quad \x_m=y_m\]을 대입하여 전개하면, 그 결과는 계수가 상수항인 \(y_m\)의 거듭제곱
\[\alpha_{d_1d_2\cdots d_m}y_m^{r_1d_1+\cdots+r_{m-1}d_{m-1}+d_m}\]과 \(z_k\)를 포함하는 그 외의 항들이 될 것이다. 이제 \(f\)에 실제로 나타나는 지수 \(d_j\)들의 최댓값보다 큰 정수 \(r\)을 택하여 \(r_i=r^i\)로 두면, \(f\)의 서로 다른 monomial마다 지수
\[r_1d_1+\cdots+r_{m-1}d_{m-1}+d_m=d_m+d_1r+\cdots+d_{m-1}r^{m-1}\]이 \(r\)진법 전개의 유일성에 의해 서로 다른 값을 가지므로, 이러한 형태의 항 가운데 정확히 하나가 최고차항으로 남는다. 그 계수는 \(\mathbb{K}\)의 \(0\)이 아닌 원소이므로 양변을 그것으로 나눌 수 있고, 따라서 위의 등식 (\(\ast\ast\))은 \(y_m\)이 \(z_1,\ldots, z_{m-1}\)에 대해 integrally dependent임을 보여준다.
한편 \(z_1,\ldots, z_{m-1}\)로 생성되는 \(A\)의 \(\mathbb{K}\)-subalgebra \(A'\), 즉 (\(\ast\ast\))를 \(y_m\)의 일변수 다항식으로 보았을 때 그 계수들이 존재하는 \(A\)의 \(\mathbb{K}\)-subalgebra \(A'\)를 생각하자. 위의 논증에 의해 \(A\)는 finite \(A'\)-module이고, 따라서 \(\Frac(A)\)는 \(\Frac(A')\)의 algebraic extension이므로 \(\trdeg_\mathbb{K}\Frac(A')=n\)이다. 그럼 \(A'\)는 \(m-1\)개의 원소로 생성되는 integral domain이므로 귀납적 가정에 의해 원하는 조건을 만족하는 \(x_1,\ldots, x_n\in A'\)들이 존재하며, \(A'\)가 finite \(\mathbb{K}[x_1,\ldots, x_n]\)-module이므로 \(A\) 또한 finite \(\mathbb{K}[x_1,\ldots, x_n]\)-module이다.
기하적으로 \(A=\mathbb{K}[y_1,\ldots, y_m]/\mathfrak{p}\)라 두는 것은 \(\Spec A\)가 affine space \(\mathbb{A}^m_\mathbb{K}\)의 integral closed subscheme이라는 것과 같으므로, 위의 정리의 결과로 얻어지는 finite ring homomorphism \(\mathbb{K}[x_1,\ldots, x_n] \rightarrow \mathbb{K}[y_1,\ldots, y_m]/\mathfrak{p}\)는 기하적으로는 finite scheme morphism \(\Spec A \rightarrow \Spec \mathbb{K}[x_1,\ldots, x_n]\)을 찾는 것과 같다. 이제 finite extension \(\mathbb{K}[x_1,\ldots, x_n] \rightarrow A\)은 integral extension이므로 명제 5에 의하여 \(\dim A=\dim \mathbb{K}[x_1,\ldots, x_n]\)이므로, [가환대수학] §매개계, ⁋따름정리 11에 의하여 다음 결과를 얻는다.
명제 10 임의의 field \(\mathbb{K}\)와, finitely generated \(\mathbb{K}\)-algebra \(A\)가 주어졌다 하자. 만일 \(A\)가 integral domain이라면, \(\dim\Spec A=\trdeg_\mathbb{K} \Frac(A)\)이 성립한다.
위의 주장들에서 가장 중요하게 쓰인 결과는 당연히 [가환대수학] §정수적 확장과 아이디얼의 결과들이다. 한편 차원 공식 [가환대수학] §뇌터 정규화, ⁋정리 4를 사용하면 다음을 얻는다.
명제 11 임의의 field \(\mathbb{K}\)와, finitely generated \(\mathbb{K}\)-algebra \(A\)가 주어졌다 하자. 만일 \(A\)가 integral domain이고, \(f\in A\)가 nonzero non-unit이라면 \(\dim A/(f)=\dim A-1\)이 성립한다.
증명
\((f)\)를 포함하는 \(A\)의 minimal prime \(\mathfrak{p}\)를 택하자. [가환대수학] §차원, ⁋정리 6 (Codimension one Principal Ideal Theorem)에 의하여 \(\operatorname{ht}\mathfrak{p}\leq 1\)이고, \(A\)가 domain이고 \(f\neq 0\)이므로 \((0)\subsetneq\mathfrak{p}\)에서 \(\operatorname{ht}\mathfrak{p}\geq 1\)이다. 따라서 \(\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1\)이며, 차원 공식 [가환대수학] §뇌터 정규화, ⁋정리 4에 의하여 \(\dim A/\mathfrak{p}=\dim A-1\)이다. 이제 \(\dim A/(f)\)는 \((f)\)의 minimal prime \(\mathfrak{p}\)들에 대한 \(\dim A/\mathfrak{p}\)의 최댓값으로 주어지는데, 위에서 모든 minimal prime이 height \(1\)이므로 이 값들은 모두 \(\dim A-1\)이고, 따라서 \(\dim A/(f)=\dim A-1\)이다.
Principal ideal theorem
앞서 우리는 finite type인 affine integral \(\mathbb{K}\)-scheme \(X=\Spec A\)에 대하여, \(A\)의 nonzero non-unit \(f\)를 통해 정의된 closed subscheme \(Z(f)\)는 \(X\)보다 하나 적은 차원을 갖는다는 것을 살펴보았다. 이는 분명 유용한 결과이지만, 다음과 같이 더 일반적인 경우에도 그 결과를 살펴볼 수 있다.
명제 12 Locally Noetherian scheme \(X\)와 \(X\) 위의 함수 \(f\)에 대하여, \(Z(f)\)의 irreducible component는 codimension \(0\)이거나 codimension \(1\)이다.
증명
\(W\)를 \(Z(f)\)의 irreducible component라 하고 \(w\)를 \(W\)의 generic point라 하자. 이제 \(w\)를 포함하는 affine open subset \(U\cong\Spec A\)를 택하면, \(X\)가 locally Noetherian이므로 \(A\)를 Noetherian ring으로 잡을 수 있으며, 이 isomorphism에 의해 \(w\)가 \(\mathfrak{p}\in\Spec A\)에 대응된다 하자. [위상수학] §차원, ⁋명제 15의 대응에 의하여 \(W\cap U\)는 \(Z(f\vert_U)\)의 irreducible component이므로, \(\mathfrak{p}\)는 \(f\vert_U\in A\)가 생성하는 principal ideal을 포함하는 minimal prime ideal이다. 따라서 [가환대수학] §차원, ⁋정리 6 (Codimension one Principal Ideal Theorem)에 의하여 \(\codim\mathfrak{p}\leq 1\)이다.
한편 stalk은 \(w\)의 열린근방에만 의존하므로 \(\mathcal{O}_{U,w}=\mathcal{O}_{X,w}\)이고, \(W\)와 \(W\cap U\)는 각각 \(X\)와 \(U\)의 irreducible closed subset으로서 모두 \(w\)를 generic point로 가지므로 명제 8을 두 번 적용하면
\[\codim_XW=\dim\mathcal{O}_{X,w}=\dim\mathcal{O}_{U,w}=\codim_U(W\cap U)\]를 얻는다. 이제 \(\Spec A\)에서 점 \(\mathfrak{p}\)의 codimension이 ring \(A\)에서의 \(\codim\mathfrak{p}\)와 같으므로 ([가환대수학] §차원, ⁋정의 2) 결국 \(\codim_XW=\codim\mathfrak{p}\leq 1\)이다.
\(\codim_XW=0\)인 것은 \(W\)가 \(X\) 자신의 irreducible component라는 것, 곧 \(f\)가 그 component 위에서 항등적으로 소멸한다는 것과 같다. 따라서 \(f\)가 \(X\)의 어떤 irreducible component 위에서도 항등적으로 소멸하지 않는다면 \(Z(f)\)의 모든 component는 codimension이 정확히 \(1\)이 되며, 이것이 명제 11에서 \(A\)가 integral domain이고 \(f\)가 nonzero라는 가정이 하던 역할이다.
참고문헌
[AM] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.
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