스킴
아핀스킴
Ring의 spectrum 위 structure sheaf로 정의되는 affine scheme
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위상공간 위에 정의된 sheaf의 예시 중 가장 기본적인 것은 위상공간 위에 정의된 연속함수들의 모임이며, 우리가 정의할 \(\mathcal{O}_{\Spec A}\) 또한 비슷하며, 그 차이는 연속함수들 대신 regular function들을 생각한다는 것이다.
Locally ringed space
기본적으로 위상공간 위에 정의된 sheaf에 대해서는 [위상수학] §층에서 이미 다루었지만, \(\Spec A\)에 정의할 structure sheaf를 서술하기에는 해당 글의 정의는 다소 불충분하다.
정의 1 위상공간 \(X\)와, 그 위에 정의된 \(\cRing\)-valued sheaf \(\mathcal{O}_X\)의 pair \((X,\mathcal{O}_X)\)를 ringed space환 달린 공간라 부른다. 만일 \(X\)의 임의의 점 \(x\)에 대하여, \(x\)에서의 stalk \(\mathcal{O}_{X,x}\)가 항상 local ring이라면 이 pair \((X, \mathcal{O}_X)\)를 locally ringed space국소적 환 달린 공간라 부른다.
우리의 주장은 \(\Spec A\)에 적당한 structure sheaf \(\mathcal{O}_{\Spec A}\)를 정의하여 \((\Spec A, \mathcal{O}_{\Spec A})\)를 locally ringed space로 만들 수 있고, 이렇게 정의된 \(\Spec\)은 §스펙트럼, ⁋명제 2 혹은 §스펙트럼, ⁋명제 8과 같은 functoriality를 갖는다는 것이다. 이를 수학적으로 적기 위해서는 우선 locally ringed space들 사이의 morphism을 정의해야 한다.
정의 2 두 ringed space \((X, \mathcal{O}_X)\), \((Y, \mathcal{O}_Y)\)에 대하여, 이들 사이의 morphism은 연속함수 \(\varphi:X \rightarrow Y\)와 \(\Sh(Y;\cRing)\)에서의 morphism \(\varphi^\sharp:\mathcal{O}_Y \rightarrow \varphi_\ast \mathcal{O}_X\)의 pair를 의미한다.
두 locally ringed space \((X, \mathcal{O}_X)\), \((Y, \mathcal{O}_Y)\) 사이의 morphism은 ringed space로서의 morphism \((\varphi,\varphi^\sharp)\)이, 추가적으로 각각의 \(x\in X\)에 대하여 local homomorphism \(\varphi_x^\sharp:\mathcal{O}_{Y,\varphi(x)} \rightarrow \mathcal{O}_{X,x}\)를 유도하는 것이다.
\(\Spec A\) 위에 정의된 대수적인 함수들
이제 \(\mathcal{O}_{\Spec A}\)를 정의해야 한다. 이는 이 글의 서두에서 언급한 것과 같이, \(\Spec A\) 위에 정의된 대수적인 함수들의 sheaf이며, 이는 정확히 [대수다양체] §아핀다양체, ⁋정의 14의 일반화이다.
이 논의를 scheme으로 일반화하자. 우선 \(A\)의 원소는 algebraic variety에서와 마찬가지로 함수 \(f\)로 생각한다. 그럼 이 때 \(f\)의 점 \(\mathfrak{p}\in\Spec A\)에서의
이다. 즉 \(Z(f)\)는 \(f=0\)인 점들의 모임으로 이해할 수 있으며, 그 여집합인 principal open set \(D(f)\)는 \(f\neq 0\)인 점들의 모임으로 이해할 수 있다.
이러한 관점에서 우리는 \(\Spec A\)의
이제 principal open set \(D(f)\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(D(f)\) 전체에서 하나의 유리함수 \(g/h\)의 꼴로 나타나는 함수들만 생각하면, 그 분모에 들어갈 수 있는 함수 \(h\)들은 \(D(f)\subseteq D(h)\)를 만족해야 한다.
보조정리 3 고정된 원소 \(f\in A\)에 대하여,
\[S(f)=\{h\in A\mid D(f)\subseteq D(h)\}\]으로 정의하자. 그럼 \(S(f)\)는 \(A\)의 multiplicative subset이다.
증명
우선 \(D(1)=\Spec A\)이므로 \(S(f)\)가 empty product \(1\)을 포함하는 것은 자명하다. 이제 만일 \(h_1,h_2\in S(f)\)라면, 다음의 식
\[D(h_1h_2)=\Spec A\setminus Z(h_1h_2)=\Spec A\setminus (Z(h_1)\cup Z(h_2))=(\Spec A\setminus Z(h_1))\cap (\Spec A\setminus Z(h_2))=D(h_1)\cap D(h_2)\]으로부터 \(D(f)\subseteq D(h_1)\cap D(h_2)=D(h_1h_2)\)임을 안다. 이 식은 단지 [대수적 구조] §분수체, ⁋명제 8을 기하학적으로 설명한 것에 불과하다.
이제 \(\Spec A\)의 부분집합 \(D(f)\) 위에 정의된 대수적인 함수들의 모임을 \(S(f)^{-1}A\)로 정의해야 함이 직관적이며, 실제로 그렇게 정의할 것이다. 그 전에 우리는 다음 보조정리를 보인다.
보조정리 4 \(D(f)\subseteq D(h)\)가 성립하는 것은 적당한 \(n\geq 1\)이 존재하여 \(f^n\in (h)\)인 것과 동치이다.
증명
\(D(f)\subseteq D(h)\)인 것은 \(Z(h)\subseteq Z(f)\)인 것과 동치이고, 이는 §스펙트럼, ⁋보조정리 6의 셋째 결과에 의하여 \(\sqrt{(f)}\subseteq \sqrt{(h)}\)인 것과 동치이다.
만일 \(\sqrt{(f)}\subseteq \sqrt{(h)}\)라면, \((f)\subseteq \sqrt{(f)}\subseteq \sqrt{(h)}\)로부터 \(f\in \sqrt{(h)}\)이고, 따라서 적당한 \(n\geq 1\)이 존재하여 \(f^n\in (h)\)여야 함을 안다. 거꾸로 적당한 \(n\geq 1\)이 존재하여 \(f^n\in (h)\)라면 \(f\in \sqrt{(h)}\)로부터 \((f)\subseteq \sqrt{(h)}\)이고, 따라서
\[\sqrt{(f)}\subseteq\sqrt{\sqrt{(h)}}=\sqrt{(h)}\]이다.
이 보조정리를 활용하면 \(S(f)^{-1}A\)를 더 깔끔한 방식으로 표현할 수 있다.
보조정리 5 임의의 \(f\in A\)에 대하여, 다음의 isomorphism
\[S(f)^{-1}A\cong S_f^{-1}A\]이 존재한다. 뿐만 아니라, 만일 \(S(g)\subseteq S(f)\)라면 다음의 diagram
이 commute한다.
증명
우선 canonical morphism들을 \(\epsilon(f): A \rightarrow S(f)^{-1}A\), \(\epsilon_f:A \rightarrow S_f^{-1}A\)으로 표기하기로 하자. 그럼 임의의 \(n\geq 1\)에 대하여 \(D(f)=D(f^n)\)이므로 \(S_f\subseteq S(f)\)이고, 따라서 \(S_f\)의 \(\epsilon(f)\)에 의한 image는 모두 \(S(f)^{-1}A\)의 unit이다. 거꾸로 임의의 \(h\in S(f)\)에 대하여, 보조정리 4에 의하여 \(f^n=ah\)를 만족하는 \(n\geq 1\)과 \(a\in A\)가 존재하므로
\[\frac{h}{1}\frac{a}{f^n}=1\qquad\text{in $S_f^{-1}A$}\]이고, 즉 \(S(f)\)의 \(\epsilon_f\)에 의한 image 또한 모두 \(S_f^{-1}A\)의 unit이다. 따라서 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6에 의하여 두 사상
\[\overline{\epsilon_f}: S(f)^{-1}A \rightarrow S_f^{-1}A,\qquad \overline{\epsilon(f)}: S_f^{-1}A \rightarrow S(f)^{-1}A\]이 각각 \(\overline{\epsilon_f}\circ\epsilon(f)=\epsilon_f\)와 \(\overline{\epsilon(f)}\circ\epsilon_f=\epsilon(f)\)를 만족하도록 유일하게 존재한다. 그럼 두 합성 \(\overline{\epsilon(f)}\circ\overline{\epsilon_f}\)와 \(\overline{\epsilon_f}\circ\overline{\epsilon(f)}\)는 각각 \(\epsilon(f)\)와 \(\epsilon_f\)를 extend하므로, 같은 유일성에 의하여 항등사상이다. 즉 이 둘은 서로의 역함수이며, 이로부터 주장의 isomorphism을 얻는다.
이제 \(S(g)\subseteq S(f)\)라 하자. 그럼 \(S(g)\)의 원소들은 \(\epsilon(f)\)와 \(\epsilon_f\) 모두에 의하여 unit으로 옮겨지고, \(S_g\subseteq S(g)\)이므로 다시 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6에 의하여 \(\epsilon(f)\)와 \(\epsilon_f\)를 각각 extend하는 두 사상
\[\widehat{\epsilon(f)}:S(g)^{-1}A \rightarrow S(f)^{-1}A,\qquad \widecheck{\epsilon_f}: S_g^{-1}A \rightarrow S_f^{-1}A\]이 유일하게 존재하며, 이들이 주장의 diagram의 나머지 두 변이다. 이제 두 합성 \(\widecheck{\epsilon_f}\circ\overline{\epsilon_g}\)와 \(\overline{\epsilon_f}\circ\widehat{\epsilon(f)}\)는 모두 \(\epsilon(g)\)와 합성하면 \(\epsilon_f\)가 되므로, 같은 유일성에 의하여 서로 같다.
따라서, \(D(f)\) 위에 정의된 대수적인 함수들은 \(S_f^{-1}A\)의 원소인 것으로 생각하여도 충분하다. 앞선 글에서 우리는 편의상 \(S_f^{-1}A\)를 \(A_f\)로 표기하기로 하였다.
보조정리 6 \(\Spec A\)의 base \(\{D(f)\}_{f\in A}\)들에 대하여, 각각의 \(f_i\in A\)마다
\[\mathcal{F}(D(f_i))=S(f_i)^{-1}A\cong A_{f_i}\]으로 정의하자. 또, \(D(f_i)\subseteq D(f_j)\)를 만족하는 \(f_i,f_j\in A\)마다 restriction map
\[\rho_{ji}: S(f_j)^{-1}(A) \rightarrow S(f_i)^{-1}(A)\]을 canonical morphism \(A\rightarrow S(f_i)^{-1}(A)\)에 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6을 적용하여 얻어지는 함수로 정의하자. 그럼 이들 데이터는 [위상수학] §층, ⁋명제 8의 두 조건을 만족하고, 따라서 \(\mathcal{F}\)를 확장하는 \(\Spec A\)의 (\(\cRing\)-valued) sheaf가 유일하게 결정된다.
증명
\(\rho_{ji}\)들이 [위상수학] §준층, ⁋정의 2의 restriction map의 조건을 만족하는 것은 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6의 universal property로부터 자명하다. 여기에서 \(\rho_{ji}: S(f_j)^{-1}(A) \rightarrow S(f_i)^{-1}(A)\)는, 보조정리 5에 의하여, 단순히 \(S(f_j)^{-1}(A)\)의 원소를 다음의 꼴
\[g/h,\qquad\text{where $h\in S(f_j)$}\tag{$\ast$}\]로 나타냈을 때, 다음 식
\[h\in S(f_j)\iff D(f_j)\subseteq D(h)\implies D(f_i)\subseteq D(h)\iff h\in S(f_i)\]로부터 (\(\ast\))를 \(S(f_i)^{-1}(A)\)의 원소로도 볼 수 있으므로 이 과정을 통해 \(g/h\in S(f_j)^{-1}(A)\)를 \(g/h\in S(f_i)^{-1}(A)\)로 이해하는 함수이다.
이제 [위상수학] §층, ⁋명제 8의 두 조건을 증명한다. 표기의 편의를 위해 \(D(f)=\Spec A_f\)이므로, \(A\)를 \(A_f\)로 바꾸고 나면 \(f=1\)인 경우만 생각하면 충분하다. \(\Spec A=\bigcup_{i\in I}D(f_i)\)를 만족하는 \(f_i\in A\)들을 고정하자.
우선 첫째 조건을 보이기 위해, 원소 \(s\in A\)가 모든 \(i\in I\)에 대해 \(S(f_i)^{-1}A\)에서 \(s=0\)를 만족한다 하고, \(s\)가 \(A\)의 원소로서도 \(0\)이 됨을 보이자. 그럼 §스펙트럼, ⁋보조정리 12에 의해 \((f_i)\)의 원소들 중 \(\Spec A=\bigcup_{i=1}^n D(f_i)\)이도록 하는 \(f_1,\ldots, f_n\)을 택할 수 있고, 가정에 의해 모든 \(i=1,\ldots, n\)에 대해 다음의 식
\[f_i^{m_i}s=0\]을 만족하는 \(m_i\geq 1\)들이 존재한다. 한편 §스펙트럼, ⁋보조정리 11 이후의 계산으로부터 \(D(f_i^{m_i})=D(f_i)\)가 모든 \(i\)에 대해 성립하므로,
\[\Spec A=\bigcup_{i=1}^n D(f_i^{m_i})\]이고, 이로부터 \(1=\sum_{i=1}^n a_i f_i^{m_i}\)이도록 하는 \(a_i\in A\)들이 존재한다. (참고: §스펙트럼, ⁋보조정리 12의 증명, 혹은 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 15의 증명)
따라서
\[s=1s=\left(\sum_{i=1}^n a_i f_i^{m_i}\right)s=\sum_{i=1}^n a_i (f_i^{m_i}s)=0\]이다.
이제 둘째 조건을 보이기 위해, 각각의 \(i\)마다 \(S(f_i)^{-1}A\)의 원소 \(s_i=a_i/f_i^{m_i}\)가 존재하여, 각각의 \(i,j\)마다
\[\frac{a_i}{f_i^{m_i}}=\frac{a_j}{f_j^{m_j}}\quad\text{ in $D(f_i)\cap D(f_j)=D(f_if_j)$}\]이도록 할 수 있다. 여기에서 \(a/1=af_i/f_i\)이므로 모든 \(i\)에 대하여 \(m_i\geq 1\)이도록 택할 수 있다. 그런데 \(D(f_i)=D(f_i^{m_i})\)이고 \(D(f_j)=D(f_j^{m_j})\)이므로
\[D(f_if_j)=D(f_i)\cap D(f_j)=D(f_i^{m_i})\cap D(f_j^{m_j})=D(f_i^{m_i}f_j^{m_j})\]이고, 따라서 적당한 \(N_{ij}\)가 존재하여
\[(f_i^{m_i}f_j^{m_j})^{N_{ij}}(a_if_j^{m_j}-a_jf_i^{m_i})=0\]이도록 할 수 있다. \(N=\max_{i,j}\{N_{ij}\}\)라 하여
\[(f_i^{m_i}f_j^{m_j})^N(a_if_j^{m_j}-a_jf_i^{m_i})=0\]즉,
\[a_if_i^{Nm_i}f_j^{Nm_j+m_j}=a_jf_j^{Nm_j}f_i^{Nm_i+m_i}\]를 얻자. 그럼 주어진 가정
\[\Spec A=\bigcup_{i=1}^n D(f_i)=\bigcup_{i=1}^n D(f_i^{Nm_i+m_i})\]로부터 우리는 적당한 \(b_i\in A\)들이 존재하여
\[1=\sum_{i=1}^n b_if_i^{Nm_i+m_i}\]이도록 할 수 있다. 이제 \(s=\sum_{i=1}^n b_ia_i f_i^{Nm_i}\)라 하면,
\[sf_j^{Nm_j+m_j}=\sum_{i=1}^n b_ia_i f_i^{Nm_i} f_j^{Nm_j+m_j}=\sum_{i=1}^nb_ia_jf_j^{Nm_j}f_i^{Nm_i+m_i}=a_jf_j^{Nm_j}\]이므로 \(f_j^{Nm_j}(sf_j^{m_j}-a_j)=0\)이 모든 \(j\)에 대해 성립하고, 따라서 \(D(f_j)\)에서
\[\frac{s}{1}=\frac{a_j}{f_j^{m_j}}\]이다. 이로부터 원하는 \(s\)를 얻는다.
만일 \(I\)가 무한집합일 경우, \(\Spec A=\bigcup_{j\in J} D(f_j)\)를 만족하는 \(I\)의 유한한 부분집합 \(J=\{1,\ldots, n\}\)을 택하여 위와 같이 반복하여 \(s\in \mathcal{F}(\Spec A)\)를 얻은 후 이것이 \(\alpha\in I\setminus J\)인 \(D(f_\alpha)\)에서도 \(s_\alpha=s\vert_{D(f_\alpha)}\)를 만족함을 보이면 된다. 이를 보이기 위해 유한집합
\[J\cup\{\alpha\}=\{1,2,\ldots, n,\alpha\}\subseteq I\]에 대해서도 위와 같은 과정을 반복하여 \(s'\in \mathcal{F}(\Spec A)\)를 얻자. 그럼 \(s\)와 \(s'\)는 정의에 의해 \(i=1,\ldots, n\)마다 \(s\vert_{D(f_i)}=s'\vert_{D(f_i)}\)를 만족하고 \(\Spec A=\bigcup D(f_i)\)이므로, 위에서 보인 [위상수학] §층, ⁋명제 8의 첫째 조건에 의해 \(s=s'\)임을 알고 이로부터
\[s\vert_{D(f_\alpha)}=s'\vert_{D(f_\alpha)}=s_\alpha\]임을 안다. 이것이 모든 \(\alpha\)에 대해 성립하므로 \(s\)는 임의의 \(D(f_\alpha)\)로 제한했을 때도 \(s_\alpha\)가 된다.
정의 7 보조정리 6에 의해 정의되는 \(\Spec A\) 위의 sheaf를 \(\mathcal{O}_{\Spec A}\)로 쓰고, 이를 structure sheaf구조층라 부른다.
이 정의는 principal open set에서만 이루어졌지만, \(D(f)\)들이 \(\Spec A\)의 base이므로 임의의 열린집합 \(U\)에서의 section들은 [위상수학] §층, ⁋명제 8의 확장을 통해 결정된다. 즉 \(\mathcal{O}_{\Spec A}(U)\)의 원소는 \(U\)를 덮는 \(D(f)\)들 위에서 \(g/h\)의 꼴로 주어지고 교집합에서 서로 일치하는 데이터들이며, 이것이 앞서 말한 국소적인 정의에 해당한다.
그럼 \((\Spec A,\mathcal{O}_{\Spec A})\)는 locally ringed space 이다.
보조정리 8 \((\Spec A,\mathcal{O}_{\Spec A})\)와 임의의 점 \(\mathfrak{p}\in \Spec A\)에 대하여, isomorphism
\[A_\mathfrak{p}\cong \mathcal{O}_{\Spec A, \mathfrak{p}}=\varinjlim_\text{\scriptsize $U\ni\mathfrak{p}$ open} \mathcal{O}_{\Spec A}(U)\]이 존재한다. 뿐만 아니라, \(\mathfrak{p}\in D(f)\)를 만족하는 임의의 \(f\in A\)에 대하여, 다음의 diagram
이 commute한다.
증명
§스펙트럼, ⁋보조정리 11에 의하여 \(D(f)\)들이 \(\Spec A\)의 base이므로, [위상수학] §위상공간의 기저, ⁋명제 5에 의하여
\[\mathcal{O}_{\Spec A, \mathfrak{p}}=\varinjlim_{D(f)\ni\mathfrak{p}} \mathcal{O}_{\Spec A}(D(f))\]이 성립한다. 한편 \(\mathfrak{p}\in D(f)\iff f\not\in \mathfrak{p}\)이므로, 우리는 다음의 diagram
을 얻고, 따라서 주어진 isomorphism을 보이는 것은 단순히 다음의 대수적인 isomorphism
\[A_\mathfrak{p}\cong \varinjlim_{\mathfrak{p}\not\ni f} A_f\tag{$\ast\ast$}\]을 보이는 것과 같고, 이는 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6의 universal property와 direct limit의 universal property를 각각 사용하면 된다. 주장의 diagram은 isomorphism (\(\ast\ast\))을 통해 위의 diagram에서 \(\varinjlim A_f\)를 \(A_\mathfrak{p}\)로 바꾸어주면 된다.
이제 드디어 \(\Spec\)의 functoriality를 우리가 원하는 형태로 적을 준비가 되었다.
명제 9 대응 \(A\mapsto (\Spec A, \mathcal{O}_{\Spec A})\)는 functor \(\Spec: \cRing^\op \rightarrow \LRS\)를 정의한다.
증명
우리는 이미 ring homomorphism \(\phi: A \rightarrow B\)가 연속함수 \(\Spec\phi: \Spec B \rightarrow \Spec A\)를 유도하는 것을 안다. (§스펙트럼, ⁋명제 8) 따라서
\[(\Spec\phi)^\sharp: \mathcal{O}_{\Spec A} \rightarrow (\Spec\phi)_\ast \mathcal{O}_{\Spec B}\]를 묘사하면 충분하다. 이를 위해서는 principal open set에서의 함수
\[(\Spec\phi)^\sharp(D(f)): \mathcal{O}_{\Spec A}(D(f)) \rightarrow \mathcal{O}_{\Spec B}((\Spec \phi)^{-1}(D(f)))\]를 보면 된다. 한편 §스펙트럼, ⁋명제 8의 증명에서
\[(\Spec\phi)^{-1}(Z(f))=Z(\phi(f))\]이므로
\[(\Spec\phi)^{-1}(D(f))=D(\phi(f))\]임을 안다. 따라서, structure sheaf의 정의에 의하여 \((\Spec\phi)^\sharp(D(f))\)를 정의하는 것은
\[A_f \rightarrow B_{\phi(f)}\]를 정의하는 것과 같고, 이는 합성
\[A \overset{\phi}{\longrightarrow}B \overset{\epsilon}{\longrightarrow} B_{\phi(f)}\]에 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6을 적용하여 얻어진다. 물론 이렇게 정의된 사상들이 restriction map과 가환함을 보여야 한다. \(D(g)\subseteq D(f)\)라 하면 \(D(\phi(g))\subseteq D(\phi(f))\)이고, 두 합성
\[A_f \longrightarrow B_{\phi(f)} \longrightarrow B_{\phi(g)},\qquad A_f \longrightarrow A_g \longrightarrow B_{\phi(g)}\]은 모두 \(\epsilon_f\)와 합성하면 \(A \rightarrow B \rightarrow B_{\phi(g)}\)가 되므로, 위의 유일성에 의하여 서로 같다.
이제 임의의 열린집합 \(U\subseteq \Spec A\)와 \(s\in \mathcal{O}_{\Spec A}(U)\)에 대하여, \(U\)에 포함되는 principal open set \(D(f)\)들마다 section \((\Spec\phi)^\sharp(D(f))(s\vert_{D(f)})\)을 생각하자. 두 principal open set의 교집합 \(D(f)\cap D(g)=D(fg)\) 또한 principal open set이므로, 위의 가환성으로부터 이 section들은 교집합 위에서 서로 일치하고, 따라서 sheaf \((\Spec\phi)_\ast\mathcal{O}_{\Spec B}\)의 gluability axiom과 identity axiom에 의하여 이들은 유일한 \((\Spec\phi)^\sharp(U)(s)\)로 붙는다. 이렇게 정의된 \((\Spec\phi)^\sharp(U)\)가 ring homomorphism이며 restriction map과 가환하는 것 또한 identity axiom으로부터 얻어지고, 따라서 우리는 sheaf morphism \((\Spec\phi)^\sharp\)을 얻는다.
이상에서 \((\Spec\phi, (\Spec\phi)^\sharp): (\Spec B, \mathcal{O}_{\Spec B}) \rightarrow (\Spec A, \mathcal{O}_{\Spec A})\)가 ringed space들 사이의 morphism인 것을 안다. 이제 이것이 locally ringed space들 사이의 morphism임을 보이기 위해서는 임의의 \(\mathfrak{q}\in \Spec B\)에 대하여
\[(\Spec\phi)^\sharp_\mathfrak{q}:\mathcal{O}_{\Spec A, (\Spec \phi)(\mathfrak{q})} \rightarrow\mathcal{O}_{\Spec B, \mathfrak{q}}\]이 local homomorphism이면 된다. 그런데 \((\Spec \phi)(\mathfrak{q})=\phi^{-1}(\mathfrak{q})\)이고, 따라서 보조정리 8에 의하여 \((\Spec\phi)^\sharp_\mathfrak{q}\)는 \(A_{\phi^{-1}(\mathfrak{q})}\)에서 \(B_{\mathfrak{q}}\)로의 ring homomorphism이며 이는 \(A_{\phi^{-1}(\mathfrak{q})}\)의 유일한 maximal ideal \(\phi^{-1}(\mathfrak{q})A_{\phi^{-1}(\mathfrak{q})}\)를 \(B_\mathfrak{q}\)의 유일한 maximal ideal \(\mathfrak{q}B_\mathfrak{q}\)로 보낸다.
마지막으로 functoriality를 확인하자. 점 사이의 사상에 대해서는 이미 §스펙트럼, ⁋명제 2에서 확인하였으므로 structure sheaf 쪽만 보면 된다. \(\phi=\id_A\)인 경우 위의 구성은 각각의 \(D(f)\)마다 \(\epsilon_f\)를 extend하는 유일한 사상 \(A_f \rightarrow A_f\)를 주고 이는 항등사상이므로, \(\Spec(\id_A)=\id\)이다. 또 두 ring homomorphism \(\phi: A \rightarrow B\)와 \(\psi: B \rightarrow C\)에 대하여, \(\Spec(\psi\circ\phi)^\sharp(D(f))\)는 합성 \(A \rightarrow C \rightarrow C_{\psi(\phi(f))}\)를 확장하는 유일한 사상이고 합성 \(A_f \rightarrow B_{\phi(f)} \rightarrow C_{\psi(\phi(f))}\) 또한 같은 사상을 확장하므로, 유일성에 의하여 이 둘은 같다. 두 sheaf morphism이 base 위에서 일치하므로 \(\Spec(\psi\circ\phi)=(\Spec\phi)\circ(\Spec\psi)\)이다.
아핀스킴
정의 10 명제 9의 functor \(\Spec:\cRing^\op \rightarrow \LRS\)의 essential image를 affine scheme아핀스킴으로 정의한다.
Affine scheme들의 category를 \(\AffSch\)로 적는다. 그럼 functor \(\Spec:\cRing^\op \rightarrow \AffSch\)는 그 정의에 의해 essentially surjective이다. ([범주론] §자연변환, ⁋정리 5) 또, 만일 \((\varphi, \varphi^\sharp): (\Spec B, \mathcal{O}_{\Spec B}) \rightarrow (\Spec A, \mathcal{O}_{\Spec A})\)이 어떠한 ring homomorphism \(\phi\)로부터 유도된 것이라면, 명제 9의 증명에서 \(1=f\in A\)로 잡으면
\[\varphi^\sharp(D(1))= \bigl(A \overset{\phi}{\longrightarrow} B \overset{\id_B}{\longrightarrow} B_{\phi(1)}=B\bigr)=\phi\]이므로, 이 functor는 반드시 faithful이다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.
명제 11 Functor \(\Spec: \cRing^\op \rightarrow \LRS\)는 fully faithful이다.
증명
임의의 두 affine scheme \((X, \mathcal{O}_{X})\), \((Y, \mathcal{O}_{Y})\)와 이들 사이의 morphism
\[(X, \mathcal{O}_{X}) \rightarrow (Y, \mathcal{O}_{Y})\]이 주어졌다 하면, isomorphism \((\Spec B, \mathcal{O}_{\Spec B})\cong (X, \mathcal{O}_X)\), \((\Spec A, \mathcal{O}_{\Spec A})\cong (Y, \mathcal{O}_Y)\)을 통해 이를 두 spectrum들 사이의 (locally ringed space로서의) morphism
\[(\varphi, \varphi^\sharp): (\Spec B, \mathcal{O}_{\Spec B}) \rightarrow (\Spec A, \mathcal{O}_{\Spec A})\]으로 볼 수 있다. 따라서 이 locally ringed space들 사이의 morphism이 적당한 ring homomorphism \(\phi\)로부터 나오는 것을 증명하면 충분하다. \(\Spec\)이 faithful이라는 위의 증명에서 힌트를 얻어,
\[\phi=\varphi^\sharp(D(1)):A \rightarrow B\]를 통해 ring homomorphism \(\phi:A \rightarrow B\)를 정의하면 이제 주장을 완성하기 위해서는 \(\Spec\phi=(\varphi,\varphi^\sharp)\)임을 보여야 한다. 우선 임의의 \(\mathfrak{q}\in \Spec B\)에 대하여
\[(\Spec \phi)(\mathfrak{q})=\phi^{-1}(\mathfrak{q})=\varphi(\mathfrak{q})\]임을 보이자. 우선 보조정리 8에서 \(f=1\)로 두면 우리는 다음의 diagram
을 얻는다. 이 diagram에서 수직방향 함수들은 모두 isomorphism들이고, 다음의 면
을 제외한 모든 면들은 commuting square임을 알고 있다. 따라서 위의 diagram에서 \(A \rightarrow \mathcal{O}_{\Spec B, \mathfrak{q}}\)는 어떤 함수를 타고 가도 동일하게 결정되며, 이 함수에 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6를 적용하면 \(A_{\varphi(\mathfrak{q})} \rightarrow \mathcal{O}_{\Spec B, \mathfrak{q}}\)가 유일하게 결정된다. 이로부터 위의 diagram의
이제 두 sheaf morphism이 같다는 것을 보이자. \(\varphi^\sharp\)이 restriction map과 commute하므로 임의의 \(f\in A\)에 대하여
\[\varphi^\sharp(D(f))\circ\epsilon_f=\epsilon_{\phi(f)}\circ\phi\]가 성립한다. 그런데 명제 9의 구성에서 \((\Spec\phi)^\sharp(D(f))\)는 정확히 이 식을 만족하는 유일한 사상이었으므로, [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6의 유일성에 의하여 \(\varphi^\sharp(D(f))=(\Spec\phi)^\sharp(D(f))\)이다. 두 sheaf morphism이 base \(\{D(f)\}_{f\in A}\) 위에서 일치하므로, \(\varphi_\ast\mathcal{O}_{\Spec B}\)의 identity axiom에 의하여 \(\varphi^\sharp=(\Spec\phi)^\sharp\)이다.
따라서 \(\Spec\)을 \(\cRing\)에서 \(\AffSch\)로의 contravariant functor로 보면 \(\Spec\)은 두 category \(\cRing^\op\)와 \(\AffSch\) 사이의 categorical equivalence이다. 뿐만 아니라, 명제 11에 의해 \(\AffSch\)는 \(\LRS\)의 full subcategory이다.
한편 임의의 spectrum \((\Spec A, \mathcal{O}_{\Spec A})\)에 대하여, 우리는 정의에 의해
\[\mathcal{O}_{\Spec A}(\Spec A)=\mathcal{O}_{\Spec A}(D(1))\cong A\]임을 안다. 만일 locally ringed space \((X, \mathcal{O}_X)\)가 affine scheme이었다면, 마찬가지 방식으로 \(\mathcal{O}_X(X)\)를 살펴보아 \((X, \mathcal{O}_X)\)가 어떠한 ring의 spectrum과 isomorphic한지 알 수 있다. 즉, affine scheme \((X, \mathcal{O}_X)\)에 대하여 \(A=\mathcal{O}_X(X)\)라 하면 \((X, \mathcal{O}_X)\cong (\Spec A, \mathcal{O}_{\Spec A})\)가 성립한다. 더 일반적으로 다음을 정의한다.
정의 12 Global section functor전역 단면 함자 \(\Gamma:\LRS \rightarrow \cRing^\op\)를, 임의의 locally ringed space \((X, \mathcal{O}_X)\)에 대하여 대응
\[X\mapsto \Gamma(X, \mathcal{O}_X)=\mathcal{O}_X(X)\]로, 그리고 임의의 morphism \((\varphi,\varphi^\sharp):(X,\mathcal{O}_X) \rightarrow (Y, \mathcal{O}_Y)\)에 대하여
\[\Gamma(\varphi,\varphi^\sharp)=\varphi^\sharp(Y):\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \rightarrow (\varphi_\ast\mathcal{O}_X)(Y)=\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\]로 정의한다.1
여기에서 \(\varphi^\sharp(Y)\)는 \(\cRing\)에서 \(\Gamma(Y)\)로부터 \(\Gamma(X)\)로 가는 사상이므로, 우리는 이를 \(\cRing^\op\)에서의 사상 \(\Gamma(X) \rightarrow \Gamma(Y)\)로 읽을 수 있다. 이 대응이 항등사상과 합성을 보존하는 것은 ringed space들 사이의 morphism의 합성이 \(\varphi^\sharp\)들의 합성으로 주어지는 것에서 따라오므로, 이는 실제로 functor가 된다.
한편 명제 11의 증명에서 주목할 만한 사실은 \((X, \mathcal{O}_X)\)가 affine scheme이라는 가정은 필요가 없다는 사실이다. 즉, \((X, \mathcal{O}_X)\cong(\Spec B, \mathcal{O}_{\Spec B})\)라는 가정을 버리고 명제 11의 diagram 대신 다음의 diagram
을 사용하여도 비슷한 논증을 해 나갈 수 있으며, 이 때 결론의 \(B\)는 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)로 바뀌게 된다. 어차피 \(\mathcal{O}_X\)는 \(X\)에 의해 결정되는 데이터이므로, 이를 간략히 \(\Gamma(X)\)로만 표기하면 이로부터 다음의 정리를 얻는다.
정리 13 임의의 locally ringed space \((X, \mathcal{O}_X)\)와 ring \(A\)에 대하여, 다음의 natural isomorphism
\[\Hom_\LRS(X, \Spec A)\cong \Hom_{\cRing^\op}(\Gamma(X), A)=\Hom_{\cRing}(A, \Gamma(X))\]이 존재한다. 즉, global section functor \(\Gamma: \LRS \rightarrow \cRing^\op\)는 \(\Spec\) functor \(\Spec:\cRing^\op \rightarrow \LRS\)의 left adjoint이다.
증명
보조정리 6의 isomorphism \(\mathcal{O}_{\Spec A}(D(f))\cong A_f\)를 통해 \(\mathcal{O}_{\Spec A}(\Spec A)=\mathcal{O}_{\Spec A}(D(1))\)을 \(A\)와 동일시하기로 하자. 그럼 이 동일시 하에서 \(\mathcal{O}_{\Spec A}\)의 restriction map \(\mathcal{O}_{\Spec A}(\Spec A) \rightarrow \mathcal{O}_{\Spec A}(D(f))\)은 canonical morphism \(\epsilon_f: A \rightarrow A_f\)이다.
우선 두 대응 \(\Phi\)와 \(\Psi\)를 정의한 후, 이들이 서로의 역임을 보인다. Locally ringed space들 사이의 morphism \((\varphi,\varphi^\sharp): X \rightarrow \Spec A\)가 주어졌다 하면, \(\varphi^\sharp\)를 열린집합 \(\Spec A\)에서 계산하여 ring homomorphism
\[\Phi(\varphi,\varphi^\sharp)=\varphi^\sharp(\Spec A): A=\mathcal{O}_{\Spec A}(\Spec A) \rightarrow (\varphi_\ast\mathcal{O}_X)(\Spec A)=\mathcal{O}_X(X)=\Gamma(X)\]를 얻는다.
거꾸로 ring homomorphism \(\phi:A \rightarrow \Gamma(X)\)가 주어졌다 하자. 각각의 \(x\in X\)마다 \(\phi\)와 germ을 취하는 함수 \(\Gamma(X) \rightarrow \mathcal{O}_{X,x}\)를 합성하여 얻어지는 ring homomorphism을 \(\phi_x:A \rightarrow \mathcal{O}_{X,x}\)라 적자. 즉 \(\phi_x(a)=\phi(a)_x\)이다. 이제 \((X,\mathcal{O}_X)\)가 locally ringed space이므로 \(\mathcal{O}_{X,x}\)는 유일한 maximal ideal \(\mathfrak{m}_x\)를 갖는 local ring이고, 따라서 [대수적 구조] §분수체, ⁋명제 9에 의하여
\[\varphi(x)=\phi_x^{-1}(\mathfrak{m}_x)\]는 \(A\)의 prime ideal, 즉 \(\Spec A\)의 점이다.
이렇게 정의된 함수 \(\varphi: X \rightarrow \Spec A\)가 연속임을 보이자. 이를 위해 임의의 \(s\in \Gamma(X)\)에 대하여
\[X_s=\{x\in X\mid \text{$s_x\not\in \mathfrak{m}_x$}\}\]이 \(X\)의 열린집합임을 보인다. [가환대수학] §국소화, ⁋명제 2에 의하여 local ring \(\mathcal{O}_{X,x}\)의 non-unit들을 모두 모아둔 것이 \(\mathfrak{m}_x\)이므로, \(x\in X_s\)인 것은 \(s_x\)가 \(\mathcal{O}_{X,x}\)의 unit인 것과 동치이다. 이제 \(x\in X_s\)라 하면 \(s_xt=1\)을 만족하는 \(t\in \mathcal{O}_{X,x}\)가 존재하고, \(x\)의 적당한 열린근방 \(W\)와 \(t\)를 대표하는 section \(u\in \mathcal{O}_X(W)\)를 택하면 \((s\vert_Wu)_x=1_x\)이므로, 필요하다면 \(W\)를 더 작게 잡아 \(\mathcal{O}_X(W)\)에서 \(s\vert_Wu=1\)이도록 할 수 있다. 그럼 임의의 \(y\in W\)에 대하여 \(s_yu_y=1\)이므로 \(s_y\)는 \(\mathcal{O}_{X,y}\)의 unit이고, 따라서 \(W\subseteq X_s\)이다. 즉 \(X_s\)는 열린집합이다.
한편 임의의 \(f\in A\)에 대하여
\[\varphi^{-1}(D(f))=\{x\in X\mid f\not\in \varphi(x)\}=\{x\in X\mid \phi(f)_x\not\in \mathfrak{m}_x\}=X_{\phi(f)}\]이고, principal open set들이 \(\Spec A\)의 base를 이루므로 (§스펙트럼, ⁋보조정리 11) \(\varphi\)는 연속함수이다.
이제 sheaf morphism \(\varphi^\sharp: \mathcal{O}_{\Spec A} \rightarrow \varphi_\ast \mathcal{O}_X\)를 정의한다. 각각의 \(f\in A\)마다 \(V_f=\varphi^{-1}(D(f))=X_{\phi(f)}\)라 하고, \(\phi\)와 restriction map을 합성하여 얻어지는 ring homomorphism을
\[\theta_f: A\overset{\phi}{\longrightarrow} \Gamma(X) \longrightarrow \mathcal{O}_X(V_f)\]라 적자. 우리의 주장은 \(\theta_f(f)=\phi(f)\vert_{V_f}\)가 \(\mathcal{O}_X(V_f)\)의 unit이라는 것이다. 실제로 \(V_f\)의 정의에 의하여 임의의 \(y\in V_f\)마다 \(\phi(f)_y\)는 \(\mathcal{O}_{X,y}\)의 unit이므로, 위의 논증을 반복하면 \(y\)의 열린근방 \(W_y\subseteq V_f\)와 \(u_y\in \mathcal{O}_X(W_y)\)가 존재하여 \(\phi(f)\vert_{W_y}u_y=1\)이도록 할 수 있다. 그럼 교집합 \(W_y\cap W_{y'}\) 위에서 \(u_y\)와 \(u_{y'}\)의 restriction은 모두 \(\phi(f)\vert_{W_y\cap W_{y'}}\)의 곱셈에 대한 역원이므로 서로 같고, 따라서 [위상수학] §층, ⁋정의 1의 gluability axiom에 의하여 이들은 하나의 \(u\in \mathcal{O}_X(V_f)\)로 붙는다. 이제 \(\phi(f)\vert_{V_f}u\)와 \(1\)은 각각의 \(W_y\)로 제한하면 서로 같으므로, identity axiom에 의하여 \(\phi(f)\vert_{V_f}u=1\)이다.
특히 \(\theta_f\)는 multiplicative subset \(S_f=\{1,f,f^2,\ldots\}\)의 원소들을 모두 \(\mathcal{O}_X(V_f)\)의 unit으로 보내므로, [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6에 의하여
\[\varphi^\sharp(D(f))\circ \epsilon_f=\theta_f\]를 만족하는 ring homomorphism
\[\varphi^\sharp(D(f)): A_f=\mathcal{O}_{\Spec A}(D(f)) \rightarrow \mathcal{O}_X(V_f)=(\varphi_\ast\mathcal{O}_X)(D(f))\]가 유일하게 존재한다. 만일 \(D(g)\subseteq D(f)\)라면 \(V_g\subseteq V_f\)이고, 두 합성
\[A_f \overset{\varphi^\sharp(D(f))}{\longrightarrow} \mathcal{O}_X(V_f) \longrightarrow \mathcal{O}_X(V_g),\qquad A_f \longrightarrow A_g \overset{\varphi^\sharp(D(g))}{\longrightarrow} \mathcal{O}_X(V_g)\]은 모두 \(\epsilon_f\)와 합성하면 \(\theta_g\)가 되므로, 다시 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6의 유일성에 의하여 서로 같다. 즉 \(\varphi^\sharp(D(f))\)들은 restriction map과 가환한다.
그럼 명제 9의 증명에서와 같이, base 위에서 이렇게 주어진 사상들은 \(\varphi_\ast\mathcal{O}_X\)의 gluability axiom과 identity axiom에 의하여 sheaf morphism \(\varphi^\sharp\)으로 유일하게 확장된다.
마지막으로 \((\varphi,\varphi^\sharp)\)가 locally ringed space들 사이의 morphism임을 보이자. 임의의 \(x\in X\)와 \(\mathfrak{p}=\varphi(x)\)에 대하여, 보조정리 8에 의하여 \(\mathcal{O}_{\Spec A,\mathfrak{p}}\cong A_\mathfrak{p}\)이며 이 동일시 하에서 \(\varphi^\sharp\)이 유도하는 stalk 사이의 morphism \(\varphi_x^\sharp: A_\mathfrak{p} \rightarrow \mathcal{O}_{X,x}\)는, 식 \(\varphi^\sharp(D(f))\circ\epsilon_f=\theta_f\)의 양변에 \(x\)에서의 germ을 취하면
\[\varphi^\sharp_x\circ\epsilon=\phi_x\]를 만족함을 알 수 있다. 여기에서 \(\epsilon: A \rightarrow A_\mathfrak{p}\)는 canonical morphism이다. 이제 임의의 \(a/s\in A_\mathfrak{p}\)에 대하여 \(s\not\in \mathfrak{p}=\phi_x^{-1}(\mathfrak{m}_x)\)이므로 \(\phi_x(s)\)는 unit이고, 따라서
\[\varphi_x^\sharp(a/s)=\phi_x(a)\phi_x(s)^{-1}\]이 성립한다. 특히 \(a\in \mathfrak{p}\)라면 \(\phi_x(a)\in \mathfrak{m}_x\)이므로 \(\varphi_x^\sharp(a/s)\in \mathfrak{m}_x\)이고, 즉 ideal \((\varphi_x^\sharp)^{-1}(\mathfrak{m}_x)\)는 \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)를 포함한다. 한편 \(\varphi_x^\sharp(1)=1\not\in \mathfrak{m}_x\)이므로 이 ideal은 \(A_\mathfrak{p}\) 전체가 아니며, \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)가 \(A_\mathfrak{p}\)의 유일한 maximal ideal이므로 ([가환대수학] §국소화, ⁋명제 8)
\[(\varphi_x^\sharp)^{-1}(\mathfrak{m}_x)=\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\]이다. 즉 \(\varphi_x^\sharp\)는 local homomorphism이고, 정의 2에 의하여 \(\Psi(\phi)=(\varphi,\varphi^\sharp)\)는 locally ringed space들 사이의 morphism이다.
이제 \(\Phi\)와 \(\Psi\)가 서로의 역임을 보이자. 우선 \(\Psi(\phi)=(\varphi,\varphi^\sharp)\)에 대하여, \(f=1\)로 두면 \(D(1)=\Spec A\), \(V_1=X\)이고 \(\epsilon_1=\id_A\)이므로 위의 construction은
\[\Phi(\Psi(\phi))=\varphi^\sharp(\Spec A)=\theta_1=\phi\]를 준다.
거꾸로 locally ringed space들 사이의 morphism \((\varphi,\varphi^\sharp): X \rightarrow \Spec A\)가 주어졌다 하고, \(\phi=\Phi(\varphi,\varphi^\sharp)=\varphi^\sharp(\Spec A)\), 그리고 \(\Psi(\phi)=(\varphi',(\varphi')^\sharp)\)라 하자. 임의의 \(x\in X\)에 대하여, \(\varphi^\sharp\)이 restriction map과 가환하므로 \(\varphi^\sharp\)이 유도하는 stalk 사이의 morphism \(\varphi_x^\sharp: \mathcal{O}_{\Spec A, \varphi(x)}\cong A_{\varphi(x)} \rightarrow \mathcal{O}_{X,x}\)는 \(\varphi_x^\sharp\circ\epsilon=\phi_x\)를 만족하며, 여기에서 \(\epsilon: A \rightarrow A_{\varphi(x)}\)가 canonical morphism인 것은 보조정리 8로부터 얻어진다. 한편 \((\varphi,\varphi^\sharp)\)가 locally ringed space들 사이의 morphism이므로 \(\varphi_x^\sharp\)는 local homomorphism이고, 즉 ideal \((\varphi_x^\sharp)^{-1}(\mathfrak{m}_x)\)는 \(\varphi(x)A_{\varphi(x)}\)를 포함하는 proper ideal, 즉 \(\varphi(x)A_{\varphi(x)}\) 자기 자신이다. 따라서 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 8에 의하여
\[\varphi'(x)=\phi_x^{-1}(\mathfrak{m}_x)=\epsilon^{-1}\left((\varphi_x^\sharp)^{-1}(\mathfrak{m}_x)\right)=\epsilon^{-1}\left(\varphi(x)A_{\varphi(x)}\right)=\varphi(x)\]를 얻고, 두 연속함수 \(\varphi\)와 \(\varphi'\)은 같다. 이제 \(\varphi^\sharp\)이 restriction map과 가환하는 것으로부터 임의의 \(f\in A\)에 대하여
\[\varphi^\sharp(D(f))\circ\epsilon_f=\theta_f\]가 성립하고, 이는 정확히 \((\varphi')^\sharp(D(f))\)를 정의한 식이므로 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6의 유일성에 의하여 \(\varphi^\sharp(D(f))=(\varphi')^\sharp(D(f))\)이다. 두 sheaf morphism이 base \(\{D(f)\}_{f\in A}\) 위에서 일치하므로, \(\varphi_\ast\mathcal{O}_X\)의 identity axiom에 의하여 \(\varphi^\sharp=(\varphi')^\sharp\)이고 따라서 \(\Psi(\Phi(\varphi,\varphi^\sharp))=(\varphi,\varphi^\sharp)\)이다.
마지막으로 이 전단사가 natural임을 확인하자. Locally ringed space들 사이의 morphism \(\psi: X' \rightarrow X\)가 주어지면, 합성 \((\varphi\circ\psi)^\sharp\)을 \(\Spec A\)에서 계산한 것은 \(\psi^\sharp(X)\circ\varphi^\sharp(\Spec A)\)이므로
\[\Phi(\varphi\circ\psi)=\Gamma(\psi)\circ\Phi(\varphi)\]이다. 또 ring homomorphism \(\theta: A \rightarrow A'\)가 주어지면, 명제 9의 construction에서 \(f=1\)로 두었을 때 \((\Spec\theta)^\sharp(\Spec A)=\theta\)이므로 임의의 \(\varphi: X \rightarrow \Spec A'\)에 대하여
\[\Phi((\Spec\theta)\circ\varphi)=\Phi(\varphi)\circ\theta\]이다. 즉 주어진 전단사는 \(X\)와 \(A\) 모두에 대해 natural하며, 이로부터 주장의 natural isomorphism을 얻는다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.
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일반적으로 우리는 임의의 \(X\) 위의 sheaf \(\mathcal{F}\)에 대해 \(\mathcal{F}(X)\)를 \(\Gamma(X, \mathcal{F})\)로 표기한다. ↩
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