스킴 사상의 성질들

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이 글은 현재 수정 중입니다. 아래 본문은 2026-08-13 시점의 판본이라 틀린 서술이 남아 있을 수 있고, 이 글을 가리키는 다른 글의 참조가 어긋나 있을 수 있습니다.

앞선 글에서 우리는 scheme morphism을 이해하는 몇 가지 관점을 살펴보았다. 이번 글에서 우리는 본격적으로 scheme morphism이 갖는 성질들을 정의한다. 우선 이들이 공유하는 다음 성질을 정의한다.

정의 1 Scheme morphism의 성질 \(P\)가 local on target이라는 것은 다음 두 조건이 성립하는 것이다.

1. 만일 scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)가 \(P\)를 만족할 경우, \(Y\)의 임의의 open subscheme \(V\)에 대하여 scheme morphism \(\varphi\vert_{\varphi^{-1}(V)}: \varphi^{-1}(V) \rightarrow V\) 또한 \(P\)를 만족한다.
2. 만일 scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)에 대하여, \(Y\)의 open covering \(\{V_j\}\)가 존재하여 \(\varphi\vert_{\varphi^{-1}(V_j)}: \varphi^{-1}(V_j) \rightarrow V_j\)가 모두 \(P\)를 만족한다면 \(\varphi\) 또한 그러하다.

Scheme은 affine scheme으로부터 만들어진다. Scheme morphism의 성질 \(P\)가 local on target이라면, scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)의 target \(Y\)를 \(\Spec B\)로 가정하여도 되고, 그럼 adjoint

\[\Hom_\Sch(X, \Spec B)\cong \Hom_\cRing(B, \Gamma(X, \mathcal{O}_X))\]

를 통해 우리는 언제나 target이 affine인 경우로 환원할 수 있다.

준옹골사상과 준분리사상

정의 2 Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 quasi-compact_준옹골이라는 것은 임의의 affine open subset \(V\subseteq Y\)가 주어질 때마다 \(\varphi^{-1}(V)\)가 quasi-compact인 것이다.

명제 3 Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 quasi-compact인 것은 \(Y\)의 임의의 quasi-compact open subset의 preimage가 quasi-compact인 것과 동치이다.

증명

임의의 affine scheme은 quasi-compact이므로 (§스펙트럼, ⁋보조정리 12) 주어진 조건이 정의 2의 조건을 함의하는 것은 당연하다.

거꾸로 quasi-compact morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 주어졌다 하자. 이제 \(Y\)의 임의의 quasi-compact open subset \(V\)가 주어졌다 하면, \(V\)를 덮는 유한히 많은 affine open subset들의 covering \(\{V_j\}\)가 존재하며 이들의 preimage \(\varphi^{-1}(V_j)\)는 모두 quasi-compact이다. 이제

\[\varphi^{-1}(V)=\varphi^{-1}\left(\bigcup_{j\in J} V_j\right)=\bigcup_{j\in J}\varphi^{-1}(V_j)\]

이고 quasi-compact set의 유한한 합집합은 다시 quasi-compact이므로 원하는 결과를 얻는다.

그럼 명제 3의 동치로부터, 임의의 quasi-compact morphism의 합성은 다시 quasi-compact임을 안다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.

명제 4 Noetherian scheme \(X\)에 대하여, scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)는 항상 quasi-compact이다.

증명

임의의 affine open subset \(V\subseteq Y\)가 주어졌다 하고, \(\varphi^{-1}(V)\)가 quasi-compact임을 보여야 한다. 그런데 [위상수학] §차원, ⁋명제 12와 [위상수학] §차원, ⁋명제 13의 첫째 결과로부터 Noetherian인 위상공간의 임의의 부분공간은 quasi-compact이다.

비슷하게 우리는 quasi-separated morphism을 정의한다. 이를 위해서는 quasi-separated scheme을 먼저 정의해야 한다.

정의 5 Scheme \(X\)가 quasi-separated_준분리인 것은 \(X\)의 임의의 두 quasi-compact open subset의 교집합이 다시 quasi-compact인 것이다. Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 quasi-separated인 것은 임의의 affine open set \(V\subseteq Y\)에 대하여, \(\varphi^{-1}(V)\)가 quasi-separated인 것이다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 6 Locally Noetherian scheme은 항상 quasi-separated이다.

증명

Locally Noetherian scheme \(X\)의 임의의 두 affine open subset \(V_1=\Spec B_1, V_2=\Spec B_2\)가 주어졌다 하고 \(V_1\cap V_2\)가 quasi-compact임을 보여야 한다.

우선 \(X\)가 locally Noetherian이므로, \(X\)를 Noetherian ring들의 spectrum \(U_i=\Spec A_i\)들로 덮을 수 있다. 이제 각각의 \(i\)에 대하여, §스킴의 위상구조, ⁋보조정리 11 (Nike)에 의하여 \(U_i\cap V_1\)을 Noetherian ring들의 spectrum \(\Spec (A_i)_g\)들로 덮을 수 있다. 이들을 모두 모으면 \(V_1\)을 Noetherian ring들의 spectrum들로 덮을 수 있으며, §스펙트럼, ⁋보조정리 12에 의해 \(V_1=\Spec B_1\)은 유한히 많은 Noetherian ring들의 spectrum으로 덮인다. 따라서 §스킴의 위상구조, ⁋보조정리 13에 의해 \(B_1\)은 Noetherian ring이고 따라서 \(V_1=\Spec B_1\)은 Noetherian이다. 다시 [위상수학] §차원, ⁋명제 12와 [위상수학] §차원, ⁋명제 13의 첫째 결과로부터 Noetherian인 위상공간의 임의의 부분공간은 quasi-compact이므로, 특히 \(V_1\cap V_2\) 또한 quasi-compact이다. 같은 논리로 \(X\)의 임의의 affine open은 Noetherian이며, quasi-compact open은 유한 개의 affine open의 합집합이므로 역시 Noetherian이다. Noetherian 위상공간의 부분공간은 quasi-compact이므로 임의의 두 quasi-compact open의 교집합 또한 quasi-compact이고, 따라서 정의 5에 의하여 \(X\)는 quasi-separated이다.

그럼 quasi-compactness와 quasi-separatedness는 정의 1의 성질을 만족할 뿐만 아니라, 다음 명제에서 확인할 수 있듯이 affine-local on target이다. (§스킴의 위상구조, ⁋정의 9)

명제 7 Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)에 대하여 다음이 성립한다.

1. 만일 \(Y\)의 affine open covering \(\{V_j\}\)가 존재하여 각각의 \(\varphi^{-1}(V_j)\)가 quasi-compact라면, \(\varphi\)는 quasi-compact이다.
2. 만일 \(Y\)의 affine open covering \(\{V_j\}\)가 존재하여 각각의 \(\varphi^{-1}(V_j)\)가 quasi-separated라면, \(\varphi\)는 quasi-separated이다.

증명

1. \(Y\)의 임의의 affine open subset \(V\)가 주어졌다 하자. 그럼 §스킴의 위상구조, ⁋보조정리 11 (Nike)에 의하여 \(V\)와 \(V_j\) 각각에서 principal open set이 되는 열린집합들로 \(V\cap V_j\)를 덮을 수 있고, 이를 모든 \(j\)에 대해 고려한 후 \(V\)의 quasi-compactness를 사용하면 이러한 것들 중 유한히 많은 것만 택할 수 있다. 이를 \(V=\bigcup W_l\)이라 하자.
   한편 각각의 \(l\)에 대하여 \(W_l\)을 principal open subset으로 갖는 \(V_{j(l)}\)을 택하면, \(\varphi^{-1}(V_{j(l)})\)는 quasi-compact이므로, 이를 유한히 많은 affine open subset들 \(U_{j(l)k}\)들로 덮을 수 있고, 이제 \(\varphi^{-1}(W_l)\cap U_{j(l)k}\)는 §스펙트럼, ⁋명제 8에 의해 \(U_{j(l)k}\)의 principal open set이므로 \(\varphi^{-1}(W_l)\) 각각을 affine open set들의 유한한 합집합으로 표현할 수 있고, 따라서 \(\varphi^{-1}(V)\)도 affine open set들의 유한한 합집합으로 표현할 수 있다. 이제 quasi-compact space의 유한한 합집합은 quasi-compact이므로 원하는 결과를 얻는다.

2. 우선 scheme \(Z\)가 quasi-separated인 것은 \(Z\)의 임의의 두 affine open subset의 교집합이 quasi-compact인 것과 동치이다. Affine scheme은 quasi-compact이므로 한쪽 방향은 자명하고, 거꾸로 \(Z\)의 임의의 quasi-compact open subset은 유한히 많은 affine open subset의 합집합이므로 두 quasi-compact open subset의 교집합은 유한히 많은 affine끼리의 교집합의 합집합이 되어 quasi-compact이기 때문이다.
   이제 첫째 결과의 증명에서와 같이 \(V\)의 유한한 covering \(V=\bigcup_{l=1}^n W_l\)을 택하여 각각의 \(W_l\)이 \(V\)에서도, 적당한 \(V_{j(l)}\)에서도 principal open subset이 되도록 하자. \(\varphi^{-1}(V)\)의 두 affine open subset \(U_1,U_2\)가 주어졌다 하면

   \[U_1\cap U_2=\bigcup_{l=1}^n\left(U_1\cap \varphi^{-1}(W_l)\right)\cap\left(U_2\cap \varphi^{-1}(W_l)\right)\]

   이다. 여기에서 \(W_l\)이 \(V\)의 principal open subset이므로 \(U_1\cap \varphi^{-1}(W_l)\)은 affine scheme \(U_1\) 위에서 \(W_l\)을 정의하는 함수의 pullback이 정의하는 principal open set이고 (§스펙트럼, ⁋명제 8) 따라서 affine이며, \(U_2\)에 대해서도 마찬가지이다. 그런데 이들은 모두 \(\varphi^{-1}(W_l)\subseteq \varphi^{-1}(V_{j(l)})\)의 affine open subset이고 \(\varphi^{-1}(V_{j(l)})\)이 quasi-separated이므로, 위의 판정법에 의하여 각각의 교집합은 quasi-compact이다. 이상에서 \(U_1\cap U_2\)는 유한히 많은 quasi-compact set의 합집합이므로 quasi-compact이고, 다시 위의 판정법에 의하여 \(\varphi^{-1}(V)\)는 quasi-separated이다.

아핀사상

우리는 adjoint

\[\Hom_\Sch(X, \Spec B)\cong\Hom_\cRing (B, \Gamma(X, \mathcal{O}_X))\]

에서, 특별히 \(X=\Spec A\)인 경우

\[\Hom_\Sch(\Spec A,\Spec B)\cong\Hom_\cRing (B, A)\]

가 성립하는 것을 안다. (§아핀스킴, ⁋명제 11) 따라서, 위와 같이 affine-local on target인 scheme morphism의 성질을 살펴볼 때에는, \(Y\)의 임의의 affine open subset \(V\cong\Spec B\)에 대하여 \(U=\varphi^{-1}(V)\)도 \(X\)의 open subscheme \(U\cong \Spec A\)이고, 따라서 \(\varphi\vert_U: U \rightarrow V\)가 affine scheme들 사이의 morphism이 되어 이 성질을 ring homomorphism

\[(\varphi\vert_U)^\sharp(V): \mathcal{O}_V(V) \rightarrow \mathcal{O}_U(U)\]

으로부터 얻어낼 수 있으면 좋을 것이다. 그러나 물론 임의의 scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)에 대하여, \(Y\)의 affine open subset의 preimage가 affine이 되지는 않는다. (§스킴, ⁋예시 8)

정의 8 Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 affine_아핀이라는 것은 \(Y\)의 임의의 affine open subset \(V\)에 대하여 \(\varphi^{-1}(V)\)가 \(X\)의 affine open subset인 것이다.

그럼 affine morphism의 합성이 affine인 것은 자명하다. 뿐만 아니라 이 성질은 정의 1의 성질 또한 만족하며, 그 증명은 다음 명제에서 한다.

명제 9 Scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)에 대하여, 만일 \(Y\)의 affine open covering \(\{V_j\}\)가 존재하여 각각의 \(\varphi^{-1}(V_j)\)가 affine라면, \(\varphi\)는 affine이다.

증명

\(Y\)의 affine open subset \(\Spec B\)에 대한 성질 \(P\)를 “\(\varphi^{-1}(\Spec B)\)가 \(X\)의 affine open subset이다”로 정의하자. 그럼 \(\varphi\)가 affine이라는 것은 \(Y\)의 임의의 affine open subset이 \(P\)를 만족하는 것이고 주어진 가정은 \(Y\)의 어떤 affine open covering이 \(P\)를 만족한다는 것이므로, §스킴의 위상구조, ⁋보조정리 12의 둘째 조건과 셋째 조건 사이의 동치에 의하여 \(P\)가 §스킴의 위상구조, ⁋정의 9의 의미에서 affine-local property임을 보이면 충분하다. 이하에서 sheaf morphism \(\varphi^\sharp: \mathcal{O}_Y \rightarrow \varphi_\ast \mathcal{O}_X\)의 열린집합 \(V\)에서의 성분을 \(\varphi^\sharp(V): \mathcal{O}_Y(V) \rightarrow \mathcal{O}_X(\varphi^{-1}(V))\)로 적는다.

우선 §스킴의 위상구조, ⁋정의 9의 첫째 조건을 확인하자. \(\varphi^{-1}(\Spec B)\)가 affine open subset \(\Spec A\)라 하면 §아핀스킴, ⁋명제 11에 의하여 \(\Spec A \rightarrow \Spec B\)는 적당한 ring homomorphism \(\phi: B \rightarrow A\)에 대해 \(\Spec\phi\)의 꼴이고, §스펙트럼, ⁋명제 8의 증명에서 얻어진 식

\[(\Spec\phi)^{-1}(D(f))=D(\phi(f))\]

으로부터 임의의 \(f\in B\)에 대하여 \(\varphi^{-1}(\Spec B_f)=D(\phi(f))\cong\Spec A_{\phi(f)}\)이므로 \(\Spec B_f\) 또한 \(P\)를 만족한다.

이제 둘째 조건을 확인해야 한다. 즉 \(B=(f_1,\ldots, f_r)\)이고 각각의 \(U_i=\varphi^{-1}(D(f_i))\)가 affine이라 가정한 후, \(U=\varphi^{-1}(\Spec B)\)가 affine임을 보여야 한다. 편의상 \(R=\Gamma(U, \mathcal{O}_X)\)라 하고 \(f_i\)의 \(\varphi^\sharp(\Spec B): B \rightarrow R\)에 의한 image를 \(g_i\in R\)이라 하자. 또, \(g\in \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\)에 대하여 \(g\)의 stalk이 \(\mathcal{O}_{X,x}\)의 maximal ideal에 속하지 않는 점 \(x\)들의 집합을 \(U_g\)로 적자. 그럼 \(U\)의 임의의 affine open subset \(\Spec A\)에 대하여 \(U_g\cap \Spec A=D(g\vert_{\Spec A})\)인 것이 정의에 의해 자명하고, 특히 \(U_g\)는 열린집합이다.

다음의 세 가지를 관찰한다. 첫째로, \(B=(f_1,\ldots, f_r)\)이므로 \(\Spec B=\bigcup_{i=1}^rD(f_i)\)이고 따라서 \(\{U_i\}_{i=1}^r\)은 \(U\)의 유한한 affine open covering이다. 뿐만 아니라 \(1=\sum_{i=1}^rb_if_i\)인 \(b_i\in B\)를 택하여 \(\varphi^\sharp(\Spec B)\)를 취하면 \(g_1,\ldots, g_r\)이 \(R\)의 unit ideal을 생성함을 안다. 둘째로, \(\varphi\)가 locally ringed space들 사이의 morphism이므로 각각의 \(x\in U\)에서 \(\varphi^\sharp_x:\mathcal{O}_{Y,\varphi(x)} \rightarrow \mathcal{O}_{X,x}\)는 local homomorphism이고, 따라서 \(\varphi(x)\in D(f_i)\)인 것과 \(x\in U_{g_i}\)인 것이 동치이므로 \(U_i=U_{g_i}\)이다. 셋째로, \(U_i\cong \Spec A_i\)라 하고 \(\Spec A_i \rightarrow \Spec B_{f_i}\)에 대응되는 ring homomorphism을 \(\phi_i\)라 하면 \(D(f_j)\cap D(f_i)\)는 \(\Spec B_{f_i}\)의 principal open set이므로 위와 같이 §스펙트럼, ⁋명제 8을 적용하여 \(U_i\cap U_j\)가 \(\Spec A_i\)의 principal open set, 특히 affine임을 안다.

이제 각각의 \(i\)에 대하여 canonical map \(R_{g_i} \rightarrow \Gamma(U_{g_i}, \mathcal{O}_X)\)이 isomorphism임을 보인다. \(U\)의 open covering \(\{U_j\}_{j=1}^r\)에 대한 [위상수학] §층, ⁋정의 1의 두 조건은 다음의 exact sequence

\[0 \rightarrow R \rightarrow \bigoplus_{j=1}^r \mathcal{O}_X(U_j) \rightarrow \bigoplus_{j,k=1}^r \mathcal{O}_X(U_j\cap U_k)\]

가 존재한다는 것과 같다. 여기에서 둘째 함수는 \((s_j)_j\mapsto (s_j\vert_{U_j\cap U_k}-s_k\vert_{U_j\cap U_k})_{j,k}\)이다. 이는 \(R\)-module들의 exact sequence이고 direct sum이 유한하므로, [가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋명제 2에 의하여 \(g_i\)에서 localize하여도 exactness가 보존되어 다음의 exact sequence

\[0 \rightarrow R_{g_i} \rightarrow \bigoplus_{j=1}^r \mathcal{O}_X(U_j)_{g_i} \rightarrow \bigoplus_{j,k=1}^r \mathcal{O}_X(U_j\cap U_k)_{g_i}\]

를 얻는다. (여기에서 \(\mathcal{O}_X(U_j)\)의 localization은 \(g_i\)의 \(U_j\)로의 restriction에서의 localization을 뜻한다.) 한편 \(U_j\)와 \(U_j\cap U_k\)는 모두 affine이고 affine scheme \(\Spec A\)와 \(a\in A\)에 대하여 \(\mathcal{O}_{\Spec A}(D(a))=A_a\)이므로 (§스킴, ⁋보조정리 2) 위에서 관찰한 \(U_g\cap \Spec A=D(g\vert_{\Spec A})\)로부터

\[\mathcal{O}_X(U_j)_{g_i}=\mathcal{O}_X(U_j\cap U_{g_i}),\qquad \mathcal{O}_X(U_j\cap U_k)_{g_i}=\mathcal{O}_X(U_j\cap U_k\cap U_{g_i})\]

를 얻는다. 그런데 이렇게 얻어진 exact sequence는 정확히 \(U_{g_i}\)의 open covering \(\{U_j\cap U_{g_i}\}_{j=1}^r\)에 대한 sheaf 조건이 주는 exact sequence이므로, \(R_{g_i}\)와 \(\Gamma(U_{g_i}, \mathcal{O}_X)\)는 모두 같은 함수의 kernel이 되어 canonical map \(R_{g_i} \rightarrow \Gamma(U_{g_i}, \mathcal{O}_X)\)은 isomorphism이다.

마지막으로 §아핀스킴, ⁋정리 13의 adjunction

\[\Hom_\Sch(U, \Spec R)\cong \Hom_\cRing(R, \Gamma(U, \mathcal{O}_X))\]

에서 \(\id_R\)에 대응되는 scheme morphism \(\psi: U \rightarrow \Spec R\)을 생각하자. \(\psi\) 또한 locally ringed space들 사이의 morphism이므로 각각의 \(x\in U\)에서 \(\psi^\sharp_x\)는 local homomorphism이고, 합성 \(R \rightarrow \mathcal{O}_{\Spec R, \psi(x)} \rightarrow \mathcal{O}_{X,x}\)가 canonical map \(R=\Gamma(U, \mathcal{O}_X) \rightarrow \mathcal{O}_{X,x}\)이므로 \(\psi(x)\)는 이 canonical map에 의한 \(\mathcal{O}_{X,x}\)의 maximal ideal의 preimage이다. 따라서

\[\psi^{-1}(D(g_i))=U_{g_i}=U_i\]

이고, \(\psi\vert_{U_i}: U_i \rightarrow D(g_i)\cong \Spec R_{g_i}\)는 affine scheme들 사이의 morphism으로서 방금 얻은 isomorphism \(R_{g_i}\cong \Gamma(U_i, \mathcal{O}_X)\)에 대응되므로 §아핀스킴, ⁋명제 11에 의하여 isomorphism이다. 이제 \(g_i\)들이 \(R\)의 unit ideal을 생성하므로 \(\{D(g_i)\}\)는 \(\Spec R\)을 덮고 \(\{U_i\}\)는 \(U\)를 덮으므로, \(\psi\)는 isomorphism이다. 즉 \(U\cong\Spec R\)은 affine이다.

유한사상, 정수형사상과 유한형사상

정의 10 Scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)가 finite_유한인 것은 \(\varphi\)가 affine이고, \(Y\)의 임의의 affine open subset \(V\)에 대하여, ring homomorphism

\[(\varphi\vert_{\varphi^{-1}(V)})^\sharp(V): \mathcal{O}_V(V) \rightarrow \mathcal{O}_{\varphi^{-1}(V)}(\varphi^{-1}(V))\]

이 finite ring homomorphism인 것이다. ([가환대수학] §정수적 확장, ⁋정의 3)

이해를 돕기 위해 affine open subset \(V\subseteq Y\)를 \(\Spec B\)라 쓰자. 그럼 \(\varphi\)가 affine이라는 가정으로부터 \(U=\varphi^{-1}(V)\)는 \(X\)의 affine open subset이고 따라서 \(U\cong\Spec A\)이도록 하는 \(A\)가 존재한다. 이러한 identification을 통해, scheme morphism \(\varphi\vert_U: U \rightarrow V\)는 spectrum 사이의 morphism \(\Spec A \rightarrow \Spec B\)와 같은 것이고, 이제 \(\varphi\)가 finite이라는 것은 이 morphism에 해당하는 ring homomorphism \(B \rightarrow A\)가 finite인 것이다. 비슷하게 다음을 정의한다.

정의 11 Scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)가 integral_정수형인 것은 \(\varphi\)가 affine이고, \(Y\)의 임의의 affine open subset \(V\)에 대하여, ring homomorphism

\[(\varphi\vert_{\varphi^{-1}(V)})^\sharp(V): \mathcal{O}_V(V) \rightarrow \mathcal{O}_{\varphi^{-1}(V)}(\varphi^{-1}(V))\]

이 integral ring homomorphism인 것이다. ([가환대수학] §정수적 확장, ⁋정의 3)

이제 그 정의로부터 finite morphism과 integral morphism이 합성에 대해 닫혀있다는 것을 안다. 또, 이들이 §스킴의 위상구조, ⁋정의 9의 affine-local property 조건을 만족하는 것은 명제 9와 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 14, [가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 15로부터 알 수 있으므로 이들은 모두 affine-local on target이다.

우리는 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋보조정리 4에 의해 임의의 finite morphism은 integral인 것을 안다. 이제 이 보조정리를 완전하게 대수기하의 언어로 서술하기 위해서는 finite type morphism을 정의해야 한다.

정의 12 Scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)가 locally of finite type_{국소적으로 유한형}인 것은 \(Y\)의 임의의 affine open subset \(V\)와 \(\varphi^{-1}(V)\)의 임의의 affine open subset \(U\)에 대하여,

\[(\varphi\vert_{U})^\sharp(V): \mathcal{O}_V(V) \rightarrow \mathcal{O}_U(U)\]

이 finite type인 것이다. ([가환대수학] §정수적 확장, ⁋정의 3)

역시 위와 마찬가지로, \(V\cong \Spec B\)라 하고 \(U\cong\Spec A\subseteq \varphi^{-1}(V)\)라 하자. 그럼 scheme morphism \(\varphi\vert_U: U \rightarrow V\)를 \(\Spec A \rightarrow \Spec B\)로 볼 수 있고, 이에 대응하는 ring homomorphism \(B \rightarrow A\)가 finite type일 것을 요구하는 것이다.

정의 12는 \(\varphi^{-1}(V)\)의 모든 affine open subset을 양화하므로, 이를 확인하기 위해서는 하나의 affine open covering만으로 충분해야 한다는 것을 따로 보여야 한다. 이는 다음 보조정리의 내용이다.

보조정리 13 Scheme morphism \(\varphi: W \rightarrow \Spec B\)가 주어졌다 하고, \(W\)의 affine open covering \(\{\Spec A_i\}\)가 존재하여 각각의 \(B \rightarrow A_i\)가 finite type이라 하자. 그럼 \(W\)의 임의의 affine open subset \(U\)에 대하여 \(B \rightarrow \mathcal{O}_W(U)\) 또한 finite type이다.

증명

\(W\)의 affine open subset \(\Spec R\)에 대한 성질 \(Q\)를

\(B \rightarrow R\)이 finite type이다.

로 정의하고, \(Q\)가 §스킴의 위상구조, ⁋정의 9의 affine-local property임을 보이자. 그럼 주어진 covering \(\{\Spec A_i\}\)가 \(Q\)를 만족하므로 §스킴의 위상구조, ⁋보조정리 12의 둘째 조건으로부터 원하는 결과를 얻는다.

첫째 조건은 \(B \rightarrow R\)이 finite type일 때 \(R\)의 generator들에 \(1/h\)를 추가하면 \(R_h\)가 \(B\)-algebra로서 finitely generated가 되므로 자명하다. 둘째 조건을 위해 \(R=(h_1,\ldots, h_m)\)이고 각각의 \(B \rightarrow R_{h_t}\)가 finite type이라 하자. 각각의 \(t\)에 대하여 \(R_{h_t}\)를 \(B\)-algebra로서 생성하는 유한집합을 택한 후 분모를 없애면, \(R\)의 원소들 \(x_{t1},\ldots, x_{tn_t}\)가 존재하여 \(R_{h_t}\)가 \(x_{tk}/1\)들과 \(1/h_t\)에 의해 \(B\)-algebra로서 생성되도록 할 수 있다. 또 \(1=\sum_{t=1}^ma_th_t\)인 \(a_t\in R\)을 택하자. 이제 유한집합 \(\{h_t\}\cup\{a_t\}\cup\{x_{tk}\}\)가 생성하는 \(R\)의 \(B\)-subalgebra를 \(R'\)이라 하면 \(R'\)은 finite type \(B\)-algebra이므로 \(R'=R\)임을 보이면 충분하다. 임의의 \(x\in R\)에 대하여, \(R_{h_t}\)에서 \(x/1\)은 \(x_{tk}/1\)들과 \(1/h_t\)의 \(B\)-계수 다항식이므로 적당한 \(r_t\in R'\)과 \(n_t\geq 0\)에 대하여 \(x/1=r_t/h_t^{n_t}\)이고, 따라서 적당한 \(N_t\)에 대하여 \(R\)에서 \(h_t^{N_t}(h_t^{n_t}x-r_t)=0\), 곧 \(h_t^{N_t+n_t}x=h_t^{N_t}r_t\in R'\)이다. \(t\)가 유한개이므로 공통의 \(M\)을 택하여 모든 \(t\)에 대해 \(h_t^Mx\in R'\)이도록 할 수 있다. 한편 \(1=\sum_ta_th_t\)에서 \(a_t,h_t\in R'\)이므로 \(h_1,\ldots, h_m\)은 \(R'\)의 unit ideal을 생성하고, 이 식의 양변을 충분히 큰 거듭제곱하면 \(h_1^M,\ldots, h_m^M\) 또한 \(R'\)의 unit ideal을 생성함을 안다. 즉 \(1=\sum_tc_th_t^M\)인 \(c_t\in R'\)이 존재하고 따라서

\[x=\sum_{t=1}^mc_t(h_t^Mx)\in R'\]

이다.

그럼 finite type morphism은 다음과 같이 정의된다.

정의 14 Scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)가 morphism of finite type_{유한형사상}이라는 것은 \(\varphi\)가 quasi-compact morphism locally of finite type인 것이다.

정의로부터 morphism locally of finite type은 affine-local on target임이 명확하다. 또, quasi-compact morphism은 명제 7로부터 affine-local on target이므로 finite type morphism 또한 affine-local on target이다.

그럼 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋보조정리 4에 의해 다음이 성립한다.

명제 15 Scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)가 finite인 것은 \(\varphi\)가 integral morphism (locally) of finite type인 것과 동치이다.

증명

우선 \(\varphi\)가 finite이라 하자. 임의의 affine open subset \(V=\Spec B\subseteq Y\)에 대하여 \(\varphi^{-1}(V)=\Spec A\)이고 \(B \rightarrow A\)가 finite이므로, [가환대수학] §정수적 확장, ⁋보조정리 4에 의하여 이는 integral이고 특히 finite type이다. 즉 \(\varphi\)는 integral이며, \(\{\varphi^{-1}(V)\}\) 자신을 affine open covering으로 삼아 보조정리 13을 적용하면 \(\varphi^{-1}(V)\)의 모든 affine open subset \(U\)에 대해서도 \(B \rightarrow \mathcal{O}_X(U)\)가 finite type이므로 \(\varphi\)는 locally of finite type이다. 반대쪽 방향은 우선 \(\varphi\)가 integral이라는 가정으로부터 임의의 affine open subset \(V\subseteq Y\)에 대하여 \(\varphi^{-1}(V)\)가 \(X\)의 affine open subset임을 알고, 이렇게 얻어진 ring map에 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋보조정리 4를 적용하면 된다.

위의 명제에서 \(\varphi\)는 integral morphism이므로 affine morphism이고, 따라서 quasi-compact morphism이므로 (§스펙트럼, ⁋보조정리 12) \(\varphi\)가 finite type이든, locally finite type이든 똑같은 가정이 된다.

예시 16 이번 절에서 살펴본 morphism들의 예시를 살펴보자. Affine scheme들의 세상에서 이는 그저 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋정의 3의 예시들을 보는 것에 지나지 않는다. 이번 예시의 목적은 이들에 기하학적인 직관을 부여하는 것이다.

우선 algebraically closed field \(\mathbb{K}\)에 대하여, ring map \(\iota:\mathbb{K}[\x] \rightarrow \mathbb{K}[\x,\y]\)를 생각하면 \(\mathbb{K}[\x,\y]\)는 \(\mathbb{K}[\x]\)-algebra로서 하나의 원소 \(\y\)에 의해 생성되므로 finite type ring homomorphism이지만, \(\mathbb{K}[\x]\)-module로서는 유한하게 생성되지 않으므로 finite ring homomorphism은 아니다.

이제 이에 대응되는 scheme morphism \(\Spec\iota: \Spec \mathbb{K}[\x,\y] \rightarrow\Spec \mathbb{K}[\x]\)를 생각하자. 이는 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\subseteq \mathbb{K}[\x,\y]\)를 받아 \(\mathbb{K}[\x]\)의 prime ideal \(\mathfrak{p}\cap \mathbb{K}[\x]\)를 내놓는 함수이다. 이는 기하적으로는 affine plane \(\mathbb{A}^2_\mathbb{K}\)의 점 \((x,y)\)를 affine line \(\mathbb{A}^1_\mathbb{K}\)의 점 \(x\)에 대응시키는 함수이다.

이와 관련된 finite morphism의 예시로는 위의 ring homomorphism \(\iota:\mathbb{K}[\x]\rightarrow \mathbb{K}[\x,\y]\)에 projection map \(\pi:\mathbb{K}[\x,\y] \rightarrow \mathbb{K}[\x,\y]/(\x-\y^2)\)을 합성한 것이 있다. 그럼 \(\mathbb{K}[\x,\y]/(\x-\y^2)\)은 \(\mathbb{K}[\x]\)-module로서 \(1\)과 \(\y\)에 의해 생성되므로 \(\phi:\mathbb{K}[\x] \rightarrow \mathbb{K}[\x,\y]/(\x-\y^2)\)은 finite ring homomorphism이다.

한편 우리는 ring homomorphism \(\pi:A \rightarrow A/\mathfrak{a}\)는 기하적으로 \(\mathfrak{a}\)가 정의하는 닫힌집합의 inclusion에 해당하는 것을 안다. 따라서 합성

\[\phi: \mathbb{K}[\x] \rightarrow \mathbb{K}[\x,\y] \rightarrow \mathbb{K}[\x,\y]/(\x-\y^2)\]

이 정의하는 scheme morphism

\[\Spec\phi: \Spec \frac{\mathbb{K}[\x,\y]}{(\x-\y^2)}\rightarrow \Spec \mathbb{K}[\x,\y] \rightarrow \Spec\mathbb{K}[\x]\]

은 기하적으로 \(\x=\y^2\)의 zero set \(Z(\x-\y^2)\)에서 \(x\)축으로의 projection으로 볼 수 있다.

이 두 예시의 기하학적인 차이는 꽤나 명확하다. 첫 번째 예시의 경우, target의 한 점에서의 fiber가 무한집합인 반면 두 번째 예시의 경우 한 점에서의 fiber가 유한집합이다. 대수적으로 이는 target \(\mathbb{A}_\mathbb{K}^1\)의 임의의 점 \(\mathfrak{p}=(\x-a)\)를 가져왔을 때, 임의의 \(\mathfrak{q}_b=(\x-a, \y-b)\in \mathbb{A}_\mathbb{K}^2\)는 \((\Spec\iota)(\mathfrak{q}_b)=\mathfrak{p}\)를 만족하는 반면, 두 번째 예시에서는 \(\y^2=\x\)가 성립해야 하므로 \(b^2=a\)인 \(b\)만이 가능하고, 따라서 \((\Spec\phi)(\mathfrak{q})=\mathfrak{p}\)를 만족하는 점은 많아야 두 개, 즉 \(\mathfrak{q}_+=(\x-a, \y-\sqrt{a})\)와 \(\mathfrak{q}_-=(\x-a, \y+\sqrt{a})\)뿐이다. 이들이 서로 다른 두 점이 되는 것은 \(\operatorname{char}\mathbb{K}\neq 2\)이고 \(a\neq 0\)일 때인데, \(a=0\)이면 두 점이 하나로 겹치고, \(\operatorname{char}\mathbb{K}=2\)일 때는 \(\y^2-a=(\y-\sqrt{a})^2\)이므로 모든 \(a\)에 대하여 fiber가 한 점이기 때문이다.

이와 같이, finite type morphism은 기하적으로는 fiber가 유한차원인 것과 관련이 있고, finite morphism은 fiber가 유한집합인 것과 관련이 있다.

아직은 위의 예시 16과 같은 상황에서 scheme morphism의 fiber를 계산하기 위해서는 그때그때 상황에 맞추어 우직하게 계산을 해 나가는 수밖에 없지만, 나중에 fiber product를 계산하고 나면 조금 더 정형화된 방식을 사용할 수 있게 된다. 그 때를 위해 다음을 정의한다.

정의 17 Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 quasi-finite_준유한인 것은 \(\varphi\)가 morphism of finite type이고 임의의 \(y\in Y\)에 대하여 집합 \(\varphi^{-1}(y)\)가 항상 유한집합인 것이다.

그럼 예시 16에서의 finite morphism에 대한 기하학적 직관은 항상 참이다. 즉, 임의의 finite morphism은 항상 quasi-finite이다. 이는 지금 당장 증명하는 것도 가능하지만, fiber product를 정의하고 난 후로 미룬다.

마지막으로 다음을 정의한다.

정의 18 Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 locally of finite presentation_{국소유한표시사상}이라는 것은 \(Y\)의 임의의 affine open subset \(V\cong \Spec B\)가 주어질 때마다, \(\varphi^{-1}(V)\)의 covering \(\varphi^{-1}(V)=\bigcup \Spec A_i\)가 존재하여 \(B \rightarrow A_i\)가 모두 finitely presented인 것이다. 만일 scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)가 quasi-compact, quasi-separated, locally of finite presentation이라면 \(\varphi\)가 morphism of finite presentation_{유한표시사상}이라 부른다.

대부분의 경우 우리는 모든 scheme들이 locally Noetherian인 경우를 생각하고, 이 경우 이 개념은 새로운 것이 아니다. 실제로 \(B\)가 Noetherian ring이고 \(B \rightarrow A\)가 finite type이면 \(A\cong B[\x_1,\ldots, \x_n]/\mathfrak{a}\)로 쓸 수 있는데, [가환대수학] §기본 개념들, ⁋정리 12 (Hilbert basis theorem)에 의하여 \(B[\x_1,\ldots, \x_n]\)이 Noetherian이므로 \(\mathfrak{a}\)가 finitely generated이고 따라서 \(B \rightarrow A\)는 finitely presented이다. 또 locally Noetherian scheme은 quasi-separated이므로 (명제 6), morphism of finite presentation을 요구하는 것과 morphism of finite type을 요구하는 것 사이의 차이 또한 사라진다.

유리사상

§스킴의 대수구조, ⁋정의 12에서 우리는 scheme \(X\) 위의 유리함수를 정의역 \(U\)와 그 위의 함수 \(f\in \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\)가 이루는 pair의 equivalence class로 정의하였다. 한편, \(U\)를 그 자체로 locally ringed space로 보면 §아핀스킴, ⁋정리 13의 adjunction에 의해

\[\Hom_\LRS(U, \Spec \mathbb{Z}[\x])\cong \Hom_{\cRing}(\mathbb{Z}[\x], \Gamma(U,\mathcal{O}_X))\]

를 얻고, 여기에서 우변의 ring homomorphism \(\mathbb{Z}[\x]\rightarrow \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\)는 \(\x\)의 image에 의해 정확하게 결정되므로 우변은 추가적인 isomorphism

\[\Hom_{\cRing}(\mathbb{Z}[\x], \Gamma(U,\mathcal{O}_X))\cong \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\]

으로 연결해줄 수 있다. 즉, \(U\) 위의 함수 \(f\)를 주는 것은 scheme morphism \(U \rightarrow \Spec \mathbb{Z}[\x]=\mathbb{A}^1_\mathbb{Z}\)를 주는 것과 같은 데이터이다.

한편 우리는 scheme morphism을 정의함으로서 이제 base scheme을 \(\Spec \mathbb{Z}\) 대신 일반적인 \(\Spec A\)로 택할 수도 있으므로, 이 논증을 반복하면 유리함수는 \(U\) 위에서 정의된, target을 \(\Spec A[\x]\)로 갖는 morphism으로 생각할 수 있다. 이를 정확히 적기 위해서는 어떤 열린집합을 정의역으로 허용할 것인지와, 서로 다른 정의역 위의 두 morphism을 언제 같은 것으로 볼 것인지를 정해야 한다. 우선 image가 target 안의 작은 닫힌집합에 갇히지 않는 morphism에 이름을 붙인다.

정의 19 Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 dominant라는 것은 \(\varphi\)의 image가 \(Y\)에서 dense인 것, 곧 \(\cl(\varphi(X))=Y\)인 것이다.

Surjective morphism은 언제나 dominant이지만 그 역은 성립하지 않는다. 가령 field가 아닌 integral domain \(A\)에 대하여 \(\Spec \Frac A \rightarrow \Spec A\)의 image는 generic point \((0)\) 하나뿐이지만, §스펙트럼, ⁋정의 7 직후에 살펴본 대로 \((0)\)을 포함하는 \(\Spec A\)의 닫힌집합은 \(\Spec A\) 자신뿐이므로 이 morphism은 dominant이다. Affine scheme들 사이에서 dominance는 다음과 같이 순수하게 대수적으로 읽힌다.

명제 20 Ring homomorphism \(\phi: B \rightarrow A\)와 그에 해당하는 scheme morphism \(\varphi=\Spec \phi:\Spec A \rightarrow \Spec B\)에 대하여 다음의 식

\[\cl\left(\varphi(\Spec A)\right)=Z(\ker\phi)\]

이 성립한다. 따라서 \(\varphi\)가 dominant인 것은 \(\ker\phi\subseteq \mathfrak{N}(B)\)인 것과 동치이다.

증명

§스펙트럼, ⁋명제 14의 둘째 결과에 의하여 임의의 \(T\subseteq \Spec B\)에 대하여 \(\cl(T)=Z(I(T))\)이므로, \(T=\varphi(\Spec A)\)에 대하여 \(I(T)\)를 계산하면 충분하다. \(T\)의 원소는 정확히 \(\phi^{-1}(\mathfrak{q})\)의 꼴이므로 다음의 식

\[I(T)=\bigcap_{\mathfrak{q}\in \Spec A}\phi^{-1}(\mathfrak{q})=\phi^{-1}\left(\bigcap_{\mathfrak{q}\in \Spec A}\mathfrak{q}\right)\]

을 얻는다. 한편 §스펙트럼, ⁋명제 14의 첫째 결과를 \(S=\{0\}\)에 적용하면 \(A\)의 모든 prime ideal의 교집합이 \(\sqrt{(0)}=\mathfrak{N}(A)\)인 것을 알고, 임의의 \(b\in B\)에 대하여 \(\phi(b)\)가 nilpotent인 것과 \(b^n\in\ker\phi\)인 \(n\)이 존재하는 것이 동치이므로

\[I(T)=\phi^{-1}(\mathfrak{N}(A))=\sqrt{\ker\phi}\]

이다. 이제 항등식 \(Z(I(Z(S)))=Z(S)\)에 다시 §스펙트럼, ⁋명제 14의 첫째 결과를 적용하면 \(Z(\sqrt{\ker\phi})=Z(\ker\phi)\)이므로 원하는 식을 얻는다.

마지막 주장은, \(Z(\ker\phi)=\Spec B\)인 것이 \(\ker\phi\)가 \(B\)의 모든 prime ideal에 포함되는 것, 곧 위와 같은 이유로 \(\ker\phi\subseteq \mathfrak{N}(B)\)인 것과 동치이기 때문에 성립한다.

특히 \(B\)가 reduced ring이면 \(\Spec\phi\)가 dominant인 것은 \(\phi\)가 injective인 것과 같다. 가령 예시 16에서 본 \(\iota: \mathbb{K}[\x] \rightarrow \mathbb{K}[\x,\y]\)는 injective이므로 \(\Spec\iota\)는 dominant이며, ideal \(\mathfrak{a}\subseteq B\)에 대한 quotient map이 정의하는 morphism \(\Spec B/\mathfrak{a} \rightarrow \Spec B\)가 dominant인 것은 \(\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{N}(B)\)인 것, 곧 \(\mathfrak{a}\)가 정의하는 닫힌집합이 \(\Spec B\) 전체인 것이다.

이제 정의역으로 삼을 열린집합을 정한다. 유리함수의 경우와 마찬가지로 정의역은 \(X\) 안에서 충분히 커야 하며, 이를 위상적으로 적은 것이 dense 조건이다. 위의 논증에서 짐작할 수 있듯, reduced scheme에서는 이 조건만으로 함수의 정보가 보존된다.

보조정리 21 Reduced scheme \(X\)와 dense open subset \(U\)에 대하여, restriction map \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \rightarrow \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\)는 injective이다.

증명

\(s\in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)가 \(s\vert_U=0\)을 만족한다 하고, \(X\)의 임의의 affine open subset \(\Spec A\)를 택한 후 편의상 \(s\)의 \(\Spec A\)로의 restriction을 다시 \(s\in A\)로 적자. 그럼 \(X\)가 reduced이므로 \(A\)는 reduced ring이고 (§스킴의 대수구조, ⁋정의 1), \(\Spec A\)의 공집합이 아닌 임의의 열린집합은 \(X\)의 열린집합이기도 하여 \(U\)와 만나므로 \(U\cap \Spec A\)는 \(\Spec A\)에서 dense이다.

이제 임의의 \(\mathfrak{p}\in U\cap \Spec A\)에 대하여 \(s\)의 stalk \(\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}=A_\mathfrak{p}\)에서의 germ이 \(0\)이므로 \(ts=0\)인 \(t\in A\setminus \mathfrak{p}\)가 존재하고, \(\mathfrak{p}\)가 prime ideal이므로 이로부터 \(s\in \mathfrak{p}\)를 얻는다. 곧 \(U\cap \Spec A\subseteq Z(s)\)인데 \(Z(s)\)가 닫힌집합이고 \(U\cap \Spec A\)가 dense이므로 \(Z(s)=\Spec A\), 즉 \(s\)는 \(A\)의 모든 prime ideal에 속한다. 따라서 §스펙트럼, ⁋명제 14의 첫째 결과에 의하여 \(s\in \mathfrak{N}(A)=0\)이다. 이것이 \(X\)의 임의의 affine open subset에 대하여 성립하므로 \(s=0\)이다.

이 보조정리에서 reduced라는 가정은 뺄 수 없다. §스킴의 대수구조, ⁋예시 11의 \(X=\Spec \mathbb{K}[\x_1,\x_2]/(\x_2^2,\x_1\x_2)\)의 경우 nilradical이 prime ideal \((\x_2)\)이므로 \(X\)는 irreducible이고 (§스킴의 대수구조, ⁋보조정리 3), 따라서 공집합이 아닌 열린집합 \(D(\x_1)\)은 dense이다. 그러나 \(\x_1\x_2=0\)에서 \(\x_1\)을 가역으로 만들면 \(\x_2\vert_{D(\x_1)}=0\)이 되어, \(0\)이 아닌 함수가 dense open subset 위에서 사라진다. §스킴의 대수구조, ⁋정의 12가 유리함수의 정의역에 associated point를 모두 담을 것을 요구한 것이 정확히 이를 막기 위한 것이었다.

한편, rational map의 정의역 \(U\)가 가질 수 있는 조건은 크게 두 가지가 있다. 하나는 고전적인 algebraic geometry에서와 마찬가지로 \(U\)를 dense open subset으로 잡는 것이고 ([대수다양체] §유리사상, ⁋정의 5), 다른 하나는 rational map을 §스킴의 대수구조, ⁋정의 12의 일반화로 보아 associated point를 모두 포함한다는 조건을 걸어주는 것이다. 위에서 살펴보았듯, non-reduced scheme에 대해서는 일반적으로 dense open subset임을 요구하는 것이 associated point들을 모두 포함하는 것을 요구하는 것보다는 약한 조건이지만, locally Noetherian reduced scheme의 경우 이 두 조건은 일치한다. 이를 확인하기 위해서는 우선 \(X\)의 임의의 irreducible component \(C\)가 generic point를 갖는다는 것을 보인 후 (\(C\)와 만나는 affine open subset \(\Spec A\)에 §스펙트럼, ⁋명제 16을 적용하여 얻어진 점을 \(X\)에서 closure를 취해주면 된다) 이로부터 \(X\)의 열린집합이 dense인 것은 그것이 \(X\)의 모든 irreducible component의 generic point를 포함하는 것과 동치임을 이끌어내면 된다. 그럼 reduced ring \(A\)에 대해서는 \(\Spec A\)의 associated point가 언제나 minimal prime ideal, 즉 irreducible component의 generic point이고, 거꾸로 §스킴의 대수구조, §§동반소아이디얼에서 Noetherian ring의 minimal prime ideal이 언제나 associated prime ideal인 것은 이미 확인하였으므로 이 두 조건이 일치하게 된다.

정의 22 Scheme \(X\)에서 scheme \(Y\)로의 rational map_유리사상은 \(X\)에서 dense인 열린집합 \(U\)와 scheme morphism \(\alpha: U \rightarrow Y\)가 이루는 pair \((U,\alpha)\)들의 equivalence class이다. 여기에서 두 pair \((U,\alpha)\)와 \((V,\beta)\)가 동치라는 것은 \(U\cap V\)에 포함되면서 \(X\)에서 dense인 열린집합 \(W\)가 존재하여 \(\alpha\vert_W=\beta\vert_W\)인 것이다.

Rational map은 \(\varphi: X \dashrightarrow Y\)와 같이 점선 arrow로 적으며, 점선은 \(\varphi\)가 \(X\)의 모든 점에서 정의되지 않을 수 있음을 나타낸다. 위의 정의가 실제로 동치관계인 것은 두 dense open subset의 교집합이 다시 dense open subset이 되기 때문으로, 이는 고전적으로 두 representative의 \(U\cap V\) 전체에서의 일치를 요구했던 것에 비하면 약한 조건이지만 ([대수다양체] §유리사상, ⁋정의 5), \(X\)가 reduced이고 \(Y=\Spec B\)가 affine이면 둘은 같아진다. 두 morphism \(\alpha,\beta: U\cap V \rightarrow Y\)는 §아핀스킴, ⁋정리 13에 의하여 ring homomorphism \(B \rightarrow \Gamma(U\cap V, \mathcal{O}_X)\)에 대응되고, \(U\cap V\)가 reduced scheme이며 \(W\)가 그 안에서 dense이므로 보조정리 21에 의하여 \(\Gamma(U\cap V, \mathcal{O}_X) \rightarrow \Gamma(W, \mathcal{O}_X)\)가 injective이기 때문이다.

Rational map \(\varphi: X \dashrightarrow Y\)가 dominant라는 것은 그 representative \((U,\alpha)\)가 정의 19의 의미에서 dominant morphism인 것이다. 이는 representative의 선택에 의존하지 않는데, \(W\subseteq U\)가 \(X\)에서 dense인 열린집합이면 \(W\)는 \(U\)에서도 dense이고 \(\alpha\)가 연속함수이므로 \(\cl(\alpha(U))=\cl(\alpha(W))\)가 성립하기 때문이다. Dominant rational map이 중요한 이유는 두 rational map \(\varphi: X\dashrightarrow Y\)와 \(\psi: Y \dashrightarrow Z\)를 합성할 때 드러난다. 두 rational map의 representative \((U,\alpha)\)와 \((V,\beta)\)를 택하자. 그럼 이들의 합성 \(\beta\circ \alpha\)의 실제 정의역은 \(\alpha\)가 나중 함수의 정의역 안으로 들어가는 부분 \(\alpha^{-1}(V)\)이므로, 이 함수가 rational map을 정의하기 위해서는 \(\alpha^{-1}(V)\)가 \(X\)에서 dense여야 한다. 그럼 자연스럽게 요구할 수 있는 조건은 \(\alpha\)의 dominance로, 이를 요구하면 \(\alpha(U)\)가 \(V\)와 반드시 만나므로 \(\alpha^{-1}(V)\)가 공집합이 되지는 않는다. 그러나 scheme의 세상에서는 이 조건 역시 다소 불충분하다. 가령 \(X\)를 \(\mathbb{A}^1_\mathbb{K}\)와 \(\Spec\mathbb{K}\)의 disjoint union으로, \(Y=\mathbb{A}^1_\mathbb{K}\)로 두고 \(\alpha\)를 첫째 성분에서는 항등사상, 둘째 성분에서는 closed point \(p\)로 보내는 morphism으로 두면 \(\alpha\)는 dominant이지만, \(V=Y\setminus \{p\}\)에 대하여 \(\alpha^{-1}(V)\)는 첫째 성분의 \(\mathbb{A}^1_\mathbb{K}\setminus\{p\}\)뿐이어서 \(X\)의 공집합이 아닌 열린집합인 둘째 성분과 만나지 않는다. 이는 \(X\)가 여러 조각으로 갈라져 있어서 생기는 문제로, 만일 \(X\)가 irreducible이면 공집합이 아닌 열린집합이 모두 dense이므로 이런 문제가 사라진다. 또 보조정리 21 직후의 반례에서 \(X\)가 reduced인 것이 필요하다는 것을 이미 살펴보았으므로, 우리는 편의상 \(X,Y\)가 모두 integral scheme인 경우를 생각하기로 한다. (§스킴의 대수구조, ⁋명제 4) 그럼 이 경우 dominant rational map \(\varphi: X\dashrightarrow Y\)와 임의의 rational map \(\psi: Y \dashrightarrow Z\)의 합성 \(\psi\circ\varphi\)가 representative \((\alpha^{-1}(V), \beta\circ \alpha)\)로 잘 정의되며, 어렵지 않게 이것이 representative의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

정의 23 Integral scheme \(X, Y\) 사이의 dominant rational map \(\varphi: X \dashrightarrow Y\)가 birational map_{쌍유리 사상}이라는 것은 dominant rational map \(\psi: Y \dashrightarrow X\)가 존재하여 \(\psi\circ\varphi\)와 \(\varphi\circ\psi\)가 각각 \(\id_X\)와 \(\id_Y\)가 정의하는 rational map과 같은 것이다. 두 integral scheme \(X, Y\)가 birationally equivalent_{쌍유리 동치}라는 것은 이러한 birational map \(\varphi: X\dashrightarrow Y\)가 존재하는 것이다.

Isomorphism이 두 scheme이 완전히 같은 구조를 갖는다는 뜻이라면, birational equivalence는 두 scheme이 dense인 열린집합 위에서 같은 구조를 갖는다는 뜻이다. 이를 정확히 적은 것이 다음 명제이다.

명제 24 Integral scheme \(X, Y\) 사이의 dominant rational map \(\varphi: X \dashrightarrow Y\)에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.

1. \(\varphi\)는 birational map이다.
2. \(X\)의 공집합이 아닌 열린집합 \(\widetilde U\)와 \(Y\)의 공집합이 아닌 열린집합 \(\widetilde V\)가 존재하여, isomorphism \(\widetilde U \rightarrow \widetilde V\)가 \(\varphi\)의 representative가 된다.

증명

우선 \(\varphi\)가 birational map이라 하고, \(\varphi\)의 representative \((U,\alpha)\)와 그 역할을 하는 \(\psi\)의 representative \((V,\beta)\)를 택하자. 그럼 \(\psi\circ\varphi=\id_X\)로부터 \(X\)의 공집합이 아닌 열린집합 \(W_1\subseteq \alpha^{-1}(V)\)가 존재하여 \((\beta\circ \alpha)\vert_{W_1}=\id_{W_1}\)이고, \(\varphi\circ\psi=\id_Y\)로부터 \(Y\)의 공집합이 아닌 열린집합 \(W_2\subseteq \beta^{-1}(U)\)가 존재하여 \((\alpha\circ \beta)\vert_{W_2}=\id_{W_2}\)이다. 이제

\[\widetilde U=W_1\cap \alpha^{-1}(W_2),\qquad \widetilde V=W_2\cap \beta^{-1}(W_1)\]

으로 두자. \(W_1\)이 \(U\)에서 dense이고 \(\varphi\)가 dominant이므로 \(\cl(\alpha(W_1))=\cl(\alpha(U))=Y\)이고, 따라서 공집합이 아닌 열린집합 \(W_2\)는 \(\alpha(W_1)\)과 만나 \(\widetilde U\neq\emptyset\)이다.

\(\widetilde U\)의 점 \(x\)에 대하여 \(\alpha(x)\in W_2\)이고, \(x\in W_1\)이므로 \(\beta(\alpha(x))=x\in W_1\), 곧 \(\alpha(x)\in \beta^{-1}(W_1)\)이다. 따라서 \(\alpha(\widetilde U)\subseteq \widetilde V\)이며, 같은 방식으로 \(\widetilde V\)의 점 \(y\)에 대하여 \(\beta(y)\in W_1\)이고 \(\alpha(\beta(y))=y\in W_2\)이므로 \(\beta(\widetilde V)\subseteq \widetilde U\)이다. 이렇게 얻어진 두 morphism \(\alpha\vert_{\widetilde U}: \widetilde U \rightarrow \widetilde V\)와 \(\beta\vert_{\widetilde V}: \widetilde V \rightarrow \widetilde U\)는 \(\widetilde U\subseteq W_1\)과 \(\widetilde V\subseteq W_2\)에 의하여 그 합성이 각각 항등사상이 되므로 \(\alpha\vert_{\widetilde U}\)는 isomorphism이고, \(\widetilde U\)가 \(X\)에서 dense이므로 \((\widetilde U, \alpha\vert_{\widetilde U})\)는 \(\varphi\)의 representative이다.

거꾸로 isomorphism \(\alpha: \widetilde U \rightarrow \widetilde V\)가 \(\varphi\)의 representative라 하고 그 역사상을 \(\beta: \widetilde V \rightarrow \widetilde U\)라 하자. 그럼 \(\widetilde V\)가 \(Y\)에서 dense이므로 \(\beta\)와 open subset의 포함사상 \(\widetilde U \hookrightarrow X\)의 합성은 rational map \(\psi: Y \dashrightarrow X\)를 정의하며, \(\beta\)가 surjective이므로 \(\psi\)는 dominant이다. 또 \(\psi\circ\varphi\)는 \(\widetilde U\) 위에서 \(\beta\circ \alpha=\id_{\widetilde U}\)이고 \(\varphi\circ\psi\)는 \(\widetilde V\) 위에서 \(\alpha\circ \beta=\id_{\widetilde V}\)이므로, 이 둘은 각각 \(\id_X\)와 \(\id_Y\)가 정의하는 rational map과 같다.

Integral scheme \(X\)가 locally Noetherian이면 §스킴의 대수구조, ⁋정의 12의 유리함수의 정의역은 정확히 \(X\)의 공집합이 아닌 열린집합이 된다. 실제로 \(X\)의 공집합이 아닌 affine open subset \(\Spec A\)에 대하여 \(A\)는 integral domain이므로 (§스킴의 대수구조, ⁋정의 1) \(0\)이 아닌 원소의 annihilator는 언제나 \((0)\)이고, 따라서 \(\Spec A\)의 associated point는 \((0)\) 하나뿐이다. 곧 \(X\)의 associated point는 generic point \(\eta\) 하나뿐이므로, 정의역이 모든 associated point를 담아야 한다는 조건은 정의역이 공집합이 아니라는 조건과 같아진다. 이렇게 얻어진 유리함수들의 모임 \(K(X)\)가 \(\mathcal{O}_{X,\eta}\cong\Frac A\)와 일치하여 field가 되는 것은 이미 확인하였으며 (§스킴의 대수구조, §§유리함수), 이를 \(X\)의 function field라 부른다.

따름정리 25 Birationally equivalent한 두 integral locally Noetherian scheme \(X, Y\)에 대하여 \(K(X)\cong K(Y)\)가 성립한다.

증명

명제 24에 의하여 isomorphism \(\alpha: \widetilde U \rightarrow \widetilde V\)를 representative로 갖는 birational map이 존재한다. \(X\)의 generic point \(\eta_X\)는 공집합이 아닌 열린집합 \(\widetilde U\)에 속하고 stalk은 open subscheme으로 제한하여도 변하지 않으므로 \(K(X)=\mathcal{O}_{X,\eta_X}=\mathcal{O}_{\widetilde U, \eta_X}\)이고, 같은 이유로 \(K(Y)=\mathcal{O}_{\widetilde V, \eta_Y}\)이다. 한편 \(\widetilde V\)가 \(Y\)의 공집합이 아닌 열린집합이므로 그 generic point는 \(\eta_Y\)이고, \(\alpha\)가 isomorphism이므로 \(\alpha(\eta_X)=\eta_Y\)이다. 따라서 \(\alpha\)가 유도하는 stalk 사이의 isomorphism이 \(K(X)\cong K(Y)\)를 준다.

즉 birational equivalence는 function field를 보존한다. Variety의 경우에는 그 역 또한 성립하는 것을 [대수다양체] §유리사상, ⁋명제 10에서 확인하였다.

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참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.