그로모프-위튼 불변량

앞선 글에서는 stable map들의 moduli를 구성하였다. 이제 이 공간 위에서 곡선이 주어진 점이나 subvariety를 지나야 한다는 조건을 표현하고, 그 조건들을 동시에 만족하는 곡선을 세어 보자. 이 조건은 evaluation map으로 당겨온 cohomology class로 표현되며, 이들의 곱을 moduli 위에서 적분한 값이 Gromov-Witten invariant이다.

이 글에서는 convex target에 대한 genus \(0\) Gromov-Witten invariant를 정의하고, 그 기본 성질들이 moduli의 기하로부터 어떻게 나오는지 살펴본다. Marked point를 잊는 morphism은 string axiom과 divisor axiom을 주며, domain이 두 조각으로 갈라지는 boundary는 splitting axiom과 WDVV equation를 준다. 이 성질들은 서로 다른 조건과 degree에 대한 불변량들을 연결하므로, 정의에서 주어진 moduli 위의 적분을 실제로 계산하는 데 쓰인다.

우리는 이전 글에서 시작한 [FP]를 따라 이 성질들을 전개하고, 그 응용으로서 \(\mathbb{P}^2\) 안의 general point \(3d-1\)개를 지나는 degree \(d\) rational curve의 개수 \(N_d\)를 계산하는 Kontsevish formula를 유도하며 이 흐름을 마친다. 이 수는 Gromov-Witten invariant로 표현되며, 위에서 예고한 성질들을 이용하면 낮은 degree의 값으로부터 재귀적으로 계산할 수 있다.

그로모프-위튼 불변량

우리는 stable curve의 \(i\)번째 marked point가 subvariety \(\Gamma_i\subseteq X\)를 지난다는 incidence condition을 evaluation map \(\ev_i:\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)\rightarrow X\)를 통해 moduli stack \(\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)\) 위의 cohomology class \(\ev_i^\ast[\Gamma_i]\)로 옮겨서 계산한다. 직관적으로 이들의 곱은 이러한 condition들을 모두 만족하는 class에 해당하므로, 이들의 곱을 moduli 전체에서 적분하면 모든 조건을 동시에 만족하는 stable map의 개수에 해당하는 수를 얻는다.

우리는 이미 §안정사상들의 모듈라이 공간, ⁋명제 5에서 \(\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)\)는 smooth proper Deligne–Mumford stack인 것을 살펴보았다. 따라서 특히 [스택] §Deligne–Mumford 스택 위의 적분, ⁋정의 4이 잘 적용된다.

정의 1 주어진 cohomology class \(\gamma_1,\ldots,\gamma_n\in H^\ast(X,\mathbb{Q})\)에 대하여, Gromov-Witten invariant_{그로모프-위튼 불변량}을

\[\langle\gamma_1,\ldots,\gamma_n\rangle_{0,n,\beta}=\int_{\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)}\ev_1^\ast\gamma_1\smile\cdots\smile\ev_n^\ast\gamma_n\]

으로 정의한다.

예를 들어, [스택] §Deligne–Mumford 스택 위의 적분, ⁋보조정리 3에서 살펴본 것과 같이, 일반적으로 위 식의 값은 유리수가 나온다.

뿐만 아니라, 정의로부터 바로 나오는 사실이 몇 가지 있다. 우선 일반적으로 두 insertion \(\gamma_i,\gamma_j\)를 교환할 때는

\[(-1)^{\deg\gamma_i\deg\gamma_j}\]

의 Koszul sign이 생긴다. 하지만 우리 경우에는 cycle class map을 통해

\[A^k(X)_\mathbb{Q}\rightarrow H^{2k}(X, \mathbb{Q})\]

을 통해 얻어지는 class들에만 관심있으므로, 이하의 공리들은 모든 \(\gamma_i\)가 even degree인 경우에 서술한다. 특히 불변량은 insertion의 순서에 의존하지 않는다.

한편, 각 \(\gamma_i\)가 homogeneous일 때 피적분식의 degree가 moduli stack의 (virtual) dimension과 맞지 않으면 불변량은 \(0\)이다. 따라서 genus \(0\)의 primary Gromov-Witten invariant가 \(0\)이 아닐 수 있으려면 반드시

\[\vdim_\mathbb{C}\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)=\sum_{i=1}^n\codim\gamma_i=\int_\beta c_1(T_X)+\dim X+n-3\]

이어야 한다.

이제 \(N_d\)를 Gromov-Witten invariant로 나타내자. \(X=\mathbb{P}^2\)이라 하고 line의 class를 \(h\in H^2(\mathbb{P}^2)\)로 적으면 \(h^2\)은 점의 class이다. Degree \(d\)인 curve class를 간단히 \(d\)로 적으면, \(c_1(T_{\mathbb{P}^2})=3h\)이므로

\[\vdim\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(\mathbb{P}^2,d)=3d-1+n\]

이 성립한다. 이 때, 한 점을 지난다는 조건은 codimension \(2\)이므로, 위에서 살펴본 것과 같이 \(n\)개의 점 조건과 virtual dimension이 맞으려면 \(2n=3d-1+n\), 즉 \(n=3d-1\)이어야 한다. 따라서 자연스럽게

\[N_d=\langle h^2,\ldots,h^2\rangle_{0,3d-1,d}\]

를 얻는다.

실제로 \(3d-1\)개의 점 \(q_1,\ldots,q_{3d-1}\in\mathbb{P}^2\)를 general하게 잡으면, 이 점 조건을 만족하는 stable map은 boundary나 multiple cover에 놓이지 않는다. 따라서 evaluation map의 한 점 위 fiber의 각 점은 \((\mathbb{P}^1,p_1,\ldots,p_{3d-1},\mu)\)의 꼴로, \(\mu:\mathbb{P}^1\rightarrow\mathbb{P}^2\)는 그 image와 birational하다. 또, general point condition 아래에서는 각 \(q_i\)가 image curve의 smooth point에 놓이므로 \(\mu(p_i)=q_i\)를 만족하는 marked point \(p_i\)도 유일하게 결정된다. 특히 이러한 stable map은 nontrivial automorphism을 갖지 않으며, 각 general evaluation fiber는 reduced이므로 이 stable map은 stack-theoretic weight나 intersection multiplicity 없이 정확히 multiplicity \(1\)로 세어진다.

이제 stable map에 그 image curve \(\mu(\mathbb{P}^1)\)를 대응시키면, 이는 \(q_1,\ldots,q_{3d-1}\)을 지나는 degree \(d\) rational plane curve가 되며 반대로 이러한 curve \(C\subset\mathbb{P}^2\)가 주어지면, 그 normalization

\[\mathbb{P}^1\rightarrow C\hookrightarrow\mathbb{P}^2\]

과 각 \(q_i\)의 unique preimage를 marked point로 잡아 stable map을 복원할 수 있다. 따라서 general point condition 아래에서 evaluation fiber의 점들과 \(q_1,\ldots,q_{3d-1}\)을 지나는 degree \(d\) rational plane curve들은 일대일 대응하고, 각 점이 multiplicity \(1\)로 세어지므로 \(N_d=\langle h^2,\ldots,h^2\rangle_{0,3d-1,d}\)가 성립한다.

우선 우리는 가장 간단한 예시로 다음을 계산한다.

명제 2 \(n\geq3\)에 대하여, \(\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,0)\cong\overline{\mathcal{M}}_{0,n}\times X\)이고,

\[\langle\gamma_1,\ldots,\gamma_n\rangle_{0,n,0}=\begin{cases}\displaystyle\int_X\gamma_1\smile\gamma_2\smile\gamma_3&(n=3)\\0&(n\geq4)\end{cases}\]

이다.

증명

\(\beta=0\)인 stable map은 domain을 한 점 \(x\in X\)로 보내는 constant map이므로, 남는 자료는 \(n\)-pointed stable curve \((C,p_1,\ldots,p_n)\)와 점 \(x\)뿐이다. 따라서 \(\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,0)\cong\overline{\mathcal{M}}_{0,n}\times X\)이며, 이 isomorphism 아래 모든 \(\ev_i\)는 둘째 성분으로의 projection \(\mathrm{pr}_X\)가 된다. 그럼

\[\ev_1^\ast\gamma_1\smile\cdots\smile\ev_n^\ast\gamma_n=\mathrm{pr}_X^\ast(\gamma_1\smile\cdots\smile\gamma_n)\]

이고, [스택] §Deligne–Mumford 스택 위의 적분, §§곱공간과 대각선 교차의 곱의 적분 공식에 의하여 이를 \(\overline{\mathcal{M}}_{0,n}\times X\) 위에서 적분하면

\[\left(\int_{\overline{\mathcal{M}}_{0,n}}1\right)\left(\int_X\gamma_1\smile\cdots\smile\gamma_n\right)\]

이다. 이제 첫째 인자는 \(\dim\overline{\mathcal{M}}_{0,n}=n-3>0\)인 \(n\geq4\)에서 \(0\)이고, \(n=3\)에서는 \(\overline{\mathcal{M}}_{0,3}\)이 한 점이므로 \(1\)이다.

그로모프-위튼 불변량의 공리들

이제 우리는 위에서 정의한 Gromov-Witten invariant가 만족해야 할 공리들을 하나씩 살펴본다. 먼저 stable map의 moduli 사이에는 마지막 marked point를 잊고 필요한 경우 domain을 다시 stabilize하는 forgetful morphism

\[\pi:\overline{\mathcal{M}}_{0,n+1}(X,\beta)\rightarrow\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)\]

이 존재한다.

앞선 글에서 보았듯 이 morphism은 universal curve의 역할을 한다. 실제로 stable map \((C,p_1,\ldots,p_n,\mu)\)을 하나 고정하면, 그 위의 fiber는 마지막 marked point \(p_{n+1}\)이 움직이는 domain \(C\)로 생각할 수 있다. 다른 말로 하면, \((n+1)\)번째 evaluation map을 이 fiber에 제한하면 원래의 map

\[\ev_{n+1}\vert_C=\mu:C\rightarrow X\]

를 얻는다.

한편 \(i\leq n\)인 기존 marked point들의 evaluation 값은 마지막 marked point를 잊어도 변하지 않는다. 실제로 stabilization 과정에서 점으로 갈 수 있는 component는 \(\mu\)가 constant인 component뿐이므로, 그러한 component가 수축되더라도 기존 marked point의 image는 그대로 유지된다. 따라서

\[\ev_i^{(n+1)}=\ev_i^{(n)}\circ\pi,\qquad i=1,\ldots,n\]

가 성립한다. 이하에서는 혼동의 여지가 없을 때 위첨자를 생략하여 간단히 \(\ev_i=\ev_i\circ\pi\)로 적는다.

이제 마지막 marked point에 class \(1\in H^0(X)\)을 얹는 것은 그 점에 아무 조건도 걸지 않는다는 뜻이므로, 나머지 조건을 만족하는 stable map이 있다면 새 marked point를 domain 위에서 자유롭게 움직여 \(1\)차원 family의 해를 얻게 되며, 이러한 이유로 Gromov-Witten invariant를 계산할 때 차원이 맞지 않아 그 값이 \(0\)이 된다. 이것이 문제가 될 수 있는 경우는 moduli space가 stability로 인해 불연속적으로 행동할 수 있는 \(\beta=0\)이고 \(n\leq 2\)인 경우들 뿐이며, 이를 형식적으로 적으면 다음과 같다.

명제 3 (String axiom) \(\beta\neq0\)이거나 \(n\geq3\)이면

\[\langle\gamma_1,\ldots,\gamma_n,1\rangle_{0,n+1,\beta}=0\]

이다.

증명

가정에 의하여 \(\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)\)이 정의되므로 \(\pi\)를 쓸 수 있다. \(\ev_i=\ev_i\circ\pi\)와 [스택] §Deligne–Mumford 스택 위의 적분, ⁋명제 7 (Projection formula)에 의하여

\[\langle\gamma_1,\ldots,\gamma_n,1\rangle_{0,n+1,\beta}=\int_{\overline{\mathcal{M}}_{0,n+1}(X,\beta)}\pi^\ast\Bigl(\prod_{i=1}^n\ev_i^\ast\gamma_i\Bigr)=\int_{\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)}\pi_\ast(1)\smile\prod_{i=1}^n\ev_i^\ast\gamma_i\]

이다. 그런데 \(\pi\)는 relative dimension \(1\)의 morphism이므로 fundamental class의 pushforward \(\pi_\ast(1)\)은 degree \(-2\)의 class가 되어 \(0\)이다.

한편, 위의 증명을 살펴보면 결국 적분을 \(0\)으로 만드는 것은 \(\pi_\ast (1)\)이므로, 이번에는 \(1\) 대신 마지막 marked point에 divisor \(D\)의 class를 얹으면 \(\pi_\ast(\ev_{n+1}^\ast D)\)가 degree \(0\)의 class가 되어 적분이 올바른 차원에서 행해지게 된다. 즉 다음을 얻는다.

명제 4 (Divisor axiom) \(D\in H^2(X,\mathbb{Q})\)이고 \(\beta\neq0\)이면

\[\langle\gamma_1,\ldots,\gamma_n,D\rangle_{0,n+1,\beta}=\left(\int_\beta D\right)\langle\gamma_1,\ldots,\gamma_n\rangle_{0,n,\beta}\]

이다.

증명

\(\pi\)는 proper flat representable family of nodal curves이므로 [스택] §Deligne–Mumford 스택 위의 적분, ⁋명제 8 (Fiber integration)에 의하여 \(\pi_\ast(\ev_{n+1}^\ast D)\)의 값은 scheme fiber 위의 적분으로 계산되고, stable map \((C,p_\bullet,\mu)\) 위의 fiber에서 \(\ev_{n+1}\)은 \(\mu\)이므로 그 값은

\[\int_C\mu^\ast D=\int_{\mu_\ast[C]}D=\int_\beta D\]

이다. 따라서 \(\pi_\ast(\ev_{n+1}^\ast D)\)는 fiber에 무관한 상수 \(\int_\beta D\)이고, 이를 명제 3 (String axiom)의 증명과 같은 projection formula 계산에 대입하면 남는 적분이 \(\langle\gamma_1,\ldots,\gamma_n\rangle_{0,n,\beta}\)이다.

위의 결과들은 모두 forgetful morphism으로부터 나오는 것이었으나, moduli space에 풍부한 조합론적 데이터를 주는 것은 boundary 구조였다. Marked point 집합의 분할 \(\{1,\ldots,n\}=A\sqcup B\)와 effective class의 분해 \(\beta=\beta_1+\beta_2\)에 대하여, domain이 node 하나에서 갈라지고 \(A\)와 \(\beta_1\)과 \(B\)와 \(\beta_2\)가 각각의 조각에 놓이는 stable map들의 locus를 \(D(A,B;\beta_1,\beta_2)\)로 적는다.

그럼 이렇게 얻어진 \(D(A, B; \beta_1, \beta_2)\)가 전체 moduli space의 codimension \(1\) locus, 즉 divisor가 된다. 두 조각에는 이름이 없으므로 \(D(A,B;\beta_1,\beta_2)\)와 \(D(B,A;\beta_2,\beta_1)\)은 같은 divisor이며, 전체 moduli space의 boundary는 이러한 divisor들의 합집합이고 이들이 stack 위에서 étale-local하게 normal crossing을 이룬다는 것이 알려져 있다.

이제 \(A\)와 \(B\)가 모두 공집합이 아닐 때 각 성분은 §안정사상들의 모듈라이 공간, §§안정사상들의 모듈라이 공간의 gluing morphism

\[\overline{\mathcal{M}}_{0,A\cup\{\bullet\}}(X,\beta_1)\times_X\overline{\mathcal{M}}_{0,B\cup\{\bullet\}}(X,\beta_2)\rightarrow\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)\]

의 image이고, 두 조각을 구별할 수 있으므로 이 morphism은 image로의 isomorphism이다. 즉 두 조각이 node에서 붙어 있다는 조건은 위 fiber product에 따르면 \((\ev_\bullet,\ev_\bullet)\)이 diagonal \(\Delta_X\subseteq X\times X\)로 간다는 조건으로 해석할 수 있다.

한편 우리는 이미 [스택] §Deligne–Mumford 스택 위의 적분, ⁋명제 9 (대각선 교차 공식)에서, 이러한 상황에서의 refined class를 계산하는 방법을 살펴보았다. 두 조각의 moduli를 \(M_A=\overline{\mathcal{M}}_{0,A\cup\{\bullet\}}(X,\beta_1)\), \(M_B=\overline{\mathcal{M}}_{0,B\cup\{\bullet\}}(X,\beta_2)\)로 적으면, convex target에서는 이 교차에 여분의 성분이 생기지 않으므로 \(D(A,B;\beta_1,\beta_2)\) 위에서 \(\prod_i\ev_i^\ast\gamma_i\)를 적분하는 것은 refined fundamental class에 대한 적분

\[\int_{M_A\times M_B}\Bigl(\prod_{a\in A}\ev_a^\ast\gamma_a\otimes\prod_{b\in B}\ev_b^\ast\gamma_b\Bigr)\smile(\ev_\bullet,\ev_\bullet)^\ast[\Delta_X]\]

를 계산하는 것과 같다.

이를 계산하기 위해 \(H^\ast(X,\mathbb{Q})\)의 homogeneous basis \(T_0,\ldots,T_m\)과, Poincaré dual basis \(T^0,\ldots,T^m\)을 고정하자. 이하 \(H^{\mathrm{odd}}(X)=0\)인 경우만 생각한다. 그럼 diagonal의 class는

\[[\Delta_X]=\sum_kT_k\otimes T^k\]

로 분해할 수 있으며, 이를 사용해서 위의 적분을 \(M_A\) 위의 적분과 \(M_B\) 위의 적분으로 갈라놓을 수 있다. 물론 이 때 \(M_A\)와 \(M_B\)는 stability condition을 만족한다고 가정한다.

명제 5 (Splitting axiom) Stability condition을 만족하는 데이터 \((A,B;\beta_1,\beta_2)\)에 대하여 \(A,B\)가 공집합이 아니면

\[\int_{D(A,B;\beta_1,\beta_2)}\prod_{i=1}^n\ev_i^\ast\gamma_i=\sum_k\langle\gamma_A,T_k\rangle_{0,\lvert A\rvert+1,\beta_1}\langle T^k,\gamma_B\rangle_{0,\lvert B\rvert+1,\beta_2}\]

이 성립한다.

물론 우변의 합 내부에서 있는 각 성분은 올바른 차원에서만 \(0\)이 아니므로 이 조건까지 포함하에 식을 쓸 수는 있겠지만, 그것이 필수는 아니므로 이 형태를 유지하기로 한다.

위의 계산은 smooth domain을 갖는 stable map이 이미 한 번 부러진 상태, 즉 domain이 nodal curve로 한 번 퇴화한 상태에서 적분값을 계산하는 방법을 보여준다. 그런데 smooth domain을 갖는 stable map을 이러한 식으로 퇴화시키는 방법은 하나가 아니다. 가장 작은 경우로 marked point 네 개, \(\{1,2,3,4\}\)가 주어졌다 했을 때, 이를 두 조각으로 나누는 방법은

\[\{1,2\}\sqcup\{3,4\},\qquad \{1,3\}\sqcup\{2,4\},\qquad \{1,4\}\sqcup\{2,3\}\]

의 셋이 있으며 이렇게 도달한 boundary들은 성분의 구성이 서로 전혀 다르다는 것을 이미 설명하였다. 그럼에도 불구하고 이들이 up to linear equivalence에 대해서는 차이나지 않는다는 것이 우리의 다음 결과이다.

주장은 네 개의 marked point를 갖는 stable map의 domain에 대한 것이므로 moduli \(\overline{\mathcal{M}}_{0,4}\)에서만 확인해도 된다. Smooth curve \(\mathbb{P}^1\) 위의 네 점의 위치를 택하는 방법은, automorphism \(\PGL_2\)을 고려한 후에는, 세 점 \(p_1,p_2,p_3\)을 \(0,1,\infty\)로 고정한 후 \(p_4\)의 위치를 자유롭게 결정하는 것과 정확히 같다. 그럼 이제 위에서 살펴본 세 가지 분할 방법은 이 네 번째 점이 \(p_1,p_2,p_3\) 중 하나와 충돌하는 극한이 되며, \(p_4\)의 위치는 \(\overline{\mathcal{M}}_{0,4}\cong\mathbb{P}^1\)의 좌표이므로 이렇게 \(p_4\)를 움직이는 것이 정확히 이 서로 다른 configuration을 이어주는 linear equivalence가 된다.

이제 이 논증은 임의의 \(n\geq 4\)짜리 moduli space \(\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)\)에서, 관심있는 네 개의 점을 택하여 해당 점들에서 적용할 수 있다. 서술의 편의상 처음 네 점을 우리의 관심대상이라 하고 위의 논의의 결과를 적으면 다음과 같다.

명제 6 (WDVV equation) \(n\geq4\)와 \(\gamma_1,\ldots,\gamma_n\in H^{\mathrm{even}}(X,\mathbb{Q})\)에 대하여

\[\sum_{\substack{A\ni1,2\\ B\ni3,4\\ \beta_1+\beta_2=\beta}}\sum_k\langle\gamma_A,T_k\rangle_{0,\lvert A\rvert+1,\beta_1}\langle T^k,\gamma_B\rangle_{0,\lvert B\rvert+1,\beta_2}=\sum_{\substack{A\ni1,3\\ B\ni2,4\\ \beta_1+\beta_2=\beta}}\sum_k\langle\gamma_A,T_k\rangle_{0,\lvert A\rvert+1,\beta_1}\langle T^k,\gamma_B\rangle_{0,\lvert B\rvert+1,\beta_2}=\sum_{\substack{A\ni1,4\\ B\ni2,3\\ \beta_1+\beta_2=\beta}}\ldots\]

이 성립한다.

증명

\(X\)로 가는 map을 잊고, domain curve를 stabilize한 뒤 처음 네 marked point만 남기면 morphism

\[\phi:\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)\rightarrow\overline{\mathcal{M}}_{0,4}\]

를 얻는다. Boundary point \(\{1,2\}\sqcup\{3,4\}\)의 preimage는 \(A\ni1,2\), \(B\ni3,4\)인 \(D(A,B;\beta_1,\beta_2)\)들의 합집합이고, 각 성분의 일반적인 점 근처에서 그 node의 smoothing parameter가 양쪽에서 같은 국소좌표를 주므로 이 preimage는 multiplicity \(1\)로 나타난다. 따라서 위에서 설명한 linear equivalence를 \(\phi^\ast\)로 당겨오면

\[\sum_{\substack{A\ni1,2, B\ni3,4\\ \beta_1+\beta_2=\beta}}D(A,B;\beta_1,\beta_2)\sim\sum_{\substack{A\ni1,3, B\ni2,4\\ \beta_1+\beta_2=\beta}}D(A,B;\beta_1,\beta_2)\]

이다. 이제 양변에 \(\prod_i\ev_i^\ast\gamma_i\)를 곱해 적분하면 두 값이 같고, 각 항에서 \(A,B\)는 모두 marked point를 둘 이상 포함하므로 명제 5 (Splitting axiom)를 적용하면 주장의 양변을 얻는다.

Kontsevich 공식

이 글의 도입부에서 설명했듯 우리의 목표는 \(N_d\)를 구하는 것이다. 이를 위해 우리는 genus \(0\) Gromov-Witten invariant가 실제로 이 값을 담아내는 것을 보았고, 이 Gromov-Witten invariant가 갖는 성질 또한 확인하였으므로 남은 것은 식을 유도하는 것 뿐이다.

우리 상황에서 \(X=\mathbb{P}^2\)이고, \(T_0=1\), \(T_1=h\), \(T_2=h^2\)로 두면 \(T^k=T_{2-k}\)이다. 핵심적인 아이디어는 명제 6 (WDVV equation)을 사용하여 이 값을 recursive하게 식으로 써 주는 것이다. 이를 위해서는 incidence condition이 부여하는 \(3d-1\)개 중 하나를 덜 사용해야 하고, 이렇게 하나의 점을 뺐을 때 적분의 degree가 맞아서 \(0\) 아닌 값이 나오기 위해서는 직선 두 개를 넣어주어야 한다. 즉 우리는 점 \(3d-2\)개와 직선 \(2\)개에 대한 incidence condition이 주어진, \(n=3d\)개의 marked point를 갖는 moduli 위의 class를 생각한다. 명제 6 (WDVV equation)을 사용하기 위해, 이 직선 두 개를 앞쪽에 넣어 insertion class들을

\[\gamma_1=\gamma_2=h^2,\qquad\gamma_3=\gamma_4=h,\qquad\gamma_5=\cdots=\gamma_n=h^2\]

으로 두자. 그럼 실제로 codimension의 합은 \(2(3d-2)+2=6d-2\)이고 이것이 \(\vdim\overline{\mathcal{M}}_{0,3d}(\mathbb{P}^2,d)-1=6d-2\)와 같다는 것을 확인할 수 있다.

정리 7 (Kontsevich) \(d\geq2\)에 대하여

\[N_d=\sum_{\substack{d_1+d_2=d\\ d_1,d_2\geq1}}N_{d_1}N_{d_2}\left[d_1^2d_2^2\binom{3d-4}{3d_1-2}-d_1^3d_2\binom{3d-4}{3d_1-1}\right]\]

이 성립한다.

증명

위에서 말한 것과 같이 이 세팅에 명제 6 (WDVV equation)을 적용한다. 나머지 marked point의 집합 \(S=\{5,\ldots,n\}\)은 \(3d-4\)개의 원소를 가지며, 분할 \(A\sqcup B\)는 처음의 네 점짜리 집합의 분할에 나머지 점들의 집합 \(S\)의 분할 \(S_1\sqcup S_2\)를 얹는 것으로 정해진다.

우선 식의 좌변을 \(A=\{1,2\}\sqcup S_1\), \(B=\{3,4\}\sqcup S_2\), degree를 \(d_1+d_2=d\)로 나눈 것으로 두면, 각 summand는

\[\langle h^2,h^2,(h^2)_{S_1},T_k\rangle_{0,\lvert A\rvert+1,d_1}\langle T_{2-k},h,h,(h^2)_{S_2}\rangle_{0,\lvert B\rvert+1,d_2}\]

의 꼴이다.

만일 \(d_1=0\)이라면, 명제 2에 의해 첫째 인자가 \(0\)이 아니기 위해서는 반드시 \(S_1=\emptyset\)이어야 한다. 그런데 이 경우에도 첫째 인자가 차원 문제로

\[\int h^2\smile h^2\smile T_k=0\]

이 되므로 \(d_1=0\)인 경우는 이 합에서 기여하는 바가 없다. 만일 \(d_2=0\)이라면, 마찬가지 이유로 \(S_2=\emptyset\)이어야 한다. 차이는 이 경우엔 \(0\) 아닌 항이 나온다는 것으로, 우선 둘째 인자가 \(0\)이 아니기 위해서는 적분

\[\int T_{2-k}\smile h\smile h\]

이 \(0\)이 아니어야 하므로 반드시 \(k=2\)여야 한다. 뿐만 아니라, \(k=2\)인 경우의 첫째 인자를 계산하면, \(T_2\)가 point class이므로 이 값은 정확히 우리가 구하고자 하는 \(N_d\)이다. 즉 \(d_2=0\)인 경우는 명제 6 (WDVV equation)의 좌변에서 정확히 \(N_d\)로 기여하고, \(d_1=0\)인 경우는 이 좌변에서 어떠한 기여도 없다.

이제 나머지 경우, 즉 \(d_1,d_2\)가 모두 \(0\)이 아닌 경우를 보자. 그럼 명제 3 (String axiom)에 의하여 \(k=0\)이 기여하는 부분과 \(k=2\)가 기여하는 부분이 사라지므로 남는 것은 \(k=1\)에 대한 항 뿐이다. 역시 이 경우의 차원 조건을 맞춰주면, 첫째 인자의 차원 조건으로부터

\[4+2\lvert S_1\rvert+1=3d_1+2+\lvert S_1\rvert\]

이므로 \(\lvert S_1\rvert=3d_1-3\)여야 하고, 이 때의 값은 명제 4 (Divisor axiom)에 의하여 \(d_1N_{d_1}\)이다. 이 때, \(\lvert S_1\rvert=3d_1-3\)인 것은 \(\lvert S_2\rvert=3d_2-1\)일 것을 강제하며, 이 상황에서 둘째 인자는 명제 4 (Divisor axiom)를 세 번 적용하여 \(d_2^3N_{d_2}\)이 된다. 이제 집합 \(S_1\)을 고르는 방법은 \(\binom{3d-4}{3d_1-3}\)가지이므로 좌변은

\[N_d+\sum_{\substack{d_1+d_2=d\\ d_1,d_2\geq1}}d_1d_2^3\binom{3d-4}{3d_1-3}N_{d_1}N_{d_2}\]

가 된다.

남은 것은 우변으로, \(A=\{1,3\}\sqcup S_1\), \(B=\{2,4\}\sqcup S_2\)인 경우를 보자. 이 경우, 위에서 살펴본 것과 비슷하게 각 summand는

\[\langle h^2,h,(h^2)_{S_1},T_k\rangle_{0,\lvert A\rvert+1,d_1}\langle T_{2-k},h^2,h,(h^2)_{S_2}\rangle_{0,\lvert B\rvert+1,d_2}\]

으로 나온다. 만일 \(d_1=0\)이면 첫째 인자가

\[\int h^2\smile h\smile T_k=0\]

이고, \(d_2=0\)일 때도 같은 계산으로 둘째 인자가 \(0\)이 되므로 합에 기여하는 것은 \(d_1,d_2\neq 0\)인 경우 뿐이다. 이 경우, 좌변에서의 계산과 마찬가지로 \(k=1\)에 대한 부분만 남으며, 차원 조건이 \(\lvert S_1\rvert=3d_1-2\)와 \(\lvert S_2\rvert=3d_2-2\)를 강제한다. 이제 각각의 인자에 명제 4 (Divisor axiom)를 두 번씩 적용하면 첫째 인자는 \(d_1^2N_{d_1}\), 둘째 인자는 \(d_2^2N_{d_2}\)가 나오고, 따라서 \(S_1\)을 택하는 경우의 수까지 포함하면 우변은

\[\sum_{\substack{d_1+d_2=d\\ d_1,d_2\geq1}}d_1^2d_2^2\binom{3d-4}{3d_1-2}N_{d_1}N_{d_2}\]

이다. 이제 양변을 비교하면 주장한 식을 얻는다.

이 글 전체는 \(X\)가 convex여서 \(\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)\)이 기대 차원을 갖는 smooth stack이고 따라서 virtual fundamental class가 통상적인 fundamental class와 일치한다는 사실에 전적으로 의존하였다. 반면 일반적인 target이나 positive genus에서는 moduli가 기대 차원보다 큰 성분을 가질 수 있으므로, 정의 1의 fundamental class를 virtual fundamental class로 대체해야 한다.

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참고문헌

[FP] W. Fulton, R. Pandharipande, Notes on stable maps and quantum cohomology, in Algebraic Geometry — Santa Cruz 1995, Proc. Sympos. Pure Math. 62, Part 2, AMS, 1997, pp. 45–96.
[CK] D. A. Cox, S. Katz, Mirror Symmetry and Algebraic Geometry, Mathematical Surveys and Monographs 68, AMS, 1999.