마디 곡선의 변형

Gromov–Witten theory에서 우리는 target space \(X\)로 들어오는 stable map들 \(\mu: C\rightarrow X\)를 다룬다. 이 때 \(\mu\)의 정의역 \(C\)는 nodal curve에, 특별한 점들을 추가로 선택해준 것이다. 이 때문에 이 카테고리는 이들 nodal curve를 다루는 글로 시작한다. 더 구체적으로, 우리는 이 nodal curve가 어떻게 변형되고, 어떤 automorphism을 갖는지 계산하게 된다.

Nodal curve의 대표적인, 그리고 본질적으로 유일한 예시는 \(\x\y=0\)이다. 이는 두 좌표축 \(\{\x=0\}\)과 \(\{\y=0\}\)의 합집합이며, 이들이 만나는 점, 즉 원점을 우리는 node_마디 혹은 nodal point_마디점이라 부른다. 핵심적인 성질 중 하나는 이들 node가 singular point라는 것이다. ([대수다양체] §접공간과 매끄러움, ⁋예시 7 (Singular points)) 이렇게 singular point가 존재하는 공간을 다룰 때 유효한 전략은 이를 central fiber로 갖고, 그 주변의 fiber는 모두 smooth인 deformation을 생각하는 것이다. [스킴] §변형이론과 여접 복합체, ⁋예시 6 (Nodal curve)에서 살펴보았듯, \(\x\y=0\)에 매개변수 \(\t\)를 넣어 \(\x\y=\t\)로 바꾸면 이러한 deformation을 얻을 수 있었다.

더 일반적으로 우리는 curve \(C\)의 singular point가 오직 node 뿐일 경우, 즉 모든 singular point가 étale-local하게 \(\x\y=0\)의 꼴일 경우 이를 nodal curve_{마디 곡선}라 부른다. 이러한 nodal curve들을 포함하여 이 글에서 등장하는 모든 scheme은 algebraically closed field \(\mathbb{K}\) 위에서 separated이고 finite type인 것으로 생각한다. 직관적으로는 \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\)로 두고, 대부분의 scheme은 (fat point가 필요한 경우를 제외하면) 모두 variety인 것으로 생각해도 대체로 무해하다.

준안정 곡선과 정규화

우선 다음을 정의한다.

정의 1 Connected projective nodal curve \(C\)의 서로 다른 smooth point \(p_1,\ldots,p_n\) 각각을 \(C\)의 marked point_{표시된 점}라 한다. 이렇게 marked point를 갖춘 짝 \((C,p_1,\ldots,p_n)\)을 \(n\)개의 marked point를 갖는 genus \(g=h^1(C,\mathcal{O}_C)\)의 prestable curve_{준안정곡선}라 한다.

즉 prestable curve란 nodal curve 위에, node와 겹치지 않도록 몇 개의 점을 추가로 선택한 것에 불과하다.

Nodal curve가 주어지면 이 node에서 붙은 두 branch를 떼어내는 방법이 존재한다. 이는 [스킴] §차원, ⁋명제 5 직후의 논의에서 정의한 normalization을 nodal curve에 적용한 것으로, 이 구체적인 상황에서 \(C\)의 normalization_정규화란, smooth projective curve \(\widetilde{C}\)와 finite morphism \(\nu:\widetilde{C}\rightarrow C\)로서, node의 바깥에서 isomorphism이고 각 node 위에 정확히 두 점이 놓이는 것을 뜻한다.

위의 그림과 같이, node에서의 local model에서 이는 \(Z(\x\y)\)를 두 직선 \(\mathbb{A}^1_\x\)와 \(\mathbb{A}^1_\y\)의 disjoint union으로 바꾸는 것이고, ring 단계에서 이는 inclusion

\[A=\mathbb{K}[\x,\y]/(\x\y)\rightarrow \widetilde{A}=\mathbb{K}[\x]\times\mathbb{K}[\y];\qquad f(\x,\y)\mapsto (f(\x,0), f(0,\y))\]

으로 주어지는 것이다. 이 때, 두 식 \(f(\x,0)\)과 \(f(0,\y)\)를 보면 이 식들의 상수항 \(c\)가 반드시 같아야 하는 것을 알고, 거꾸로 그러한 쌍 \((f(\x),g(\y))\)가 주어졌다면 \(f+g-c\)를 \(\mathbb{K}[\x,\y]/(\x\y)\)로 본 것이 이 inclusion의 preimage인 것을 알 수 있다. 즉, 이 inclusion의 image는 정확히 두 성분의 상수항이 일치하는 짝들의 모임이다. 따라서 \(\widetilde{A}\rightarrow \mathbb{K}\)를 \((f,g)\mapsto f(0)-g(0)\)으로 정의하면, 다음의 short exact sequence

\[0 \rightarrow A \rightarrow \widetilde{A}\rightarrow \mathbb{K}\rightarrow 0\]

이 존재한다. 이를 sheafify하면, node 바깥에서 \(\nu\)는 isomorphism이고, \(p\)에서의 위 계산은 cokernel이 \(\kappa(p)=\mathbb{K}\)임을 보여주므로

\[0\rightarrow\mathcal{O}_C\rightarrow\nu_\ast\mathcal{O}_{\widetilde C}\rightarrow\kappa(p)\rightarrow0\]

를 얻는다. 일반적인 nodal curve에서, normalization은 이 과정을 모든 node에서 동시에 수행하는 것이며, 따라서 이 경우에는 다음의 short exact sequence

\[0\rightarrow\mathcal{O}_C\rightarrow\nu_\ast\mathcal{O}_{\widetilde C}\rightarrow\bigoplus_{p\in\Sing C}\kappa(p)\rightarrow0\]

를 얻는다.

이제 \(C\)가 node를 \(d\)개, irreducible component를 \(c\)개 갖고, \(\widetilde C\)의 각 성분의 genus가 \(g_1,\ldots,g_c\)라고 하자. \(\nu\)가 affine morphism이므로 [스킴] §스킴의 층 코호몰로지, ⁋따름정리 4에 의하여 \(H^i(C,\nu_\ast\mathcal{G})=H^i(\widetilde C,\mathcal{G})\)이다. 따라서 위 short exact sequence로부터, 다음의 식

\[\rchi(C,\nu_\ast\mathcal{O}_{\widetilde C})=\rchi(C,\mathcal{O}_C)+\sum_{p\in\Sing C}\rchi(C,\kappa(p))\]

을 얻으며, 이 때 각 \(\kappa(p)\)는 global section이 \(\mathbb{K}\)이고 higher cohomology가 소멸하는 skyscraper sheaf이므로 마지막 합은 \(d\)이다. 이를 정리하면 다음의 명제를 얻는다.

명제 2 Node를 \(d\)개, irreducible component를 \(c\)개 갖는 nodal curve \(C\)의 normalization이 genus \(g_1,\ldots, g_c\)의 성분들로 이루어졌다면

\[g=\sum_{j=1}^c g_j+d-c+1\]

이다.

준안정곡선의 변형

이제 nodal curve의 deformation theory를 살펴보자. Node \(p\)에서의 first-order local deformation space를 \(T_p^1\)로 적자. [스킴] §변형이론과 여접 복합체, ⁋예시 6 (Nodal curve)에서 affine node \(Z(\x\y)\)에 대하여 \(T_p^1\cong\mathbb{K}\)이고, 그 generator를 \(\x\y-\epsilon\)으로 나타낼 수 있음을 이미 계산하였다. 모든 node가 이 local model을 가지는 반면 smooth point의 local deformation은 trivial하므로 다음을 얻는다.

명제 3 Nodal curve \(C\)의 각 node \(p\)에서 first-order local deformation들의 공간 \(T_p^1\)은 \(1\)차원이다.

이 한 차원의 기하적인 의미는 family \(\x\y=\t\)로 나타낼 수 있다.

한편 prestable curve는 nodal curve \(C\)의 smooth locus에 marked point \(p_1,\ldots,p_n\)을 둔 것이다. 따라서 위 그림에 marked point들을 더해주면, 이들은 curve가 deform됨에 따라 함께 움직이면서 각 \(p_i\)를 지나는 section을 정의한다. 그럼 marked point들이 서로 같아질 수 없으므로 이 section들은 disjoint하게 되며, 따라서 prestable curve의 first-order deformation은 underlying curve의 deformation과 이 marked section들을 함께 택한 자료로 주어진다. 이 때 각 자료 사이의 isomorphism은 \(\Spec\mathbb{K}[\epsilon]\) 위의 family들의 isomorphism으로서, central fiber에서 identity이고, 각 marked section을 그에 대응하는 marked section으로 보내는 것이다. 이러한 isomorphism class들이 이루는 \(\mathbb{K}\)-vector space를 \(T^1(C,p_\bullet)\)로 적는다. 이는 [스킴] §변형이론과 여접 복합체, ⁋정리 11 (Deformation theorem)의 \(T^1\)을 marked curve에 적용한 것으로, 같은 방식으로 모든 marked section을 보존하는 infinitesimal automorphism들의 \(\mathbb{K}\)-vector space를 \(T^0(C,p_\bullet)\)로 적는다.

이들 \(T^0(C,p_\bullet)\)과 \(T^1(C,p_\bullet)\)은 underlying nodal curve에 새로 추가된 marked point들이 추가로 부과하는 조건으로 정해지므로, 이 두 조건을 별도로 나누어 보는 것이 합리적이다. 우선 \(T^1\)의 경우, 우리는 이미 위에서 \(T_p^1\)은 오직 node에서만 생기는 것을 살펴보았으며, 정의에 의해 marked point들은 smooth point에만 찍히므로 여기에 영향을 미치지 않는다. 즉 node에서 계산한 \(T_p^1\)은 prestable curve에 대해서도 동일하게 유지된다.

새로 추가한 marked point들이 영향을 미치는 것은 \(T^0\)으로, 여기서는 infinitesimal automorphism이 marked section을 보존해야 한다. 국소적으로, \(C\) 위의 함수 \(f\)에 automorphism \(\Phi\)는

\[\Phi(f)=f+\epsilon v(f)\]

의 꼴이어야 하며, 이것이 곱셈을 보존하기 위해서는 \(v(fg)=fv(g)+gv(f)\)이 성립해야 한다. 즉 \(v\)는 \(\mathcal{O}_C\) 위의 \(\mathbb{K}\)-derivation이며, 역으로 이러한 derivation은 항상 위와 같은 식으로 automorphism을 정의한다. 이제 prestable curve가 nodal curve와 다른 infinitesimal automorphism을 갖는 부분은 위에서 언급한 것과 같이 marked section 근방이므로 각 marked point \(p_i\) 근방에서 이를 살펴보자. \(p_i\)가 local하게 \(\z=0\)으로 쓰인다고 가정하자. [스킴] §매끄러운 사상과 에탈 사상, ⁋정리 7에 의하여 \(\Omega_{C/\mathbb K}\)는 이 근방에서 rank \(1\)의 locally free sheaf이고 \(\dd{\z}\)가 local basis가 되고, 따라서 differential의 universal property에 의하여 임의의 derivation은 \(\dd{\z}\)의 image \(v(\z)\)에 의해 결정된다. 이에 대응하는 automorphism은

\[\z\mapsto\z+\epsilon v(\z)\]

로 주어지며, 우리는 \(\z=0\)이 (국소적으로) marked section을 나타내도록 잡았으므로 이것이 보존되기 위해서는 \(v(\z)\)가 marked point에서 소멸해야 한다. 즉 \(v(\z)\in(\z)\)이어야 한다. 이제 \(\Sigma=p_1+\cdots+p_n\)이라 두면 그 ideal sheaf는 \(\mathcal{I}_\Sigma=\mathcal{O}_C(-\Sigma)\)이므로, 이 조건을 만족하는 derivation들의 sheaf는

\[\sHom(\Omega_{C/\mathbb{K}},\mathcal{I}_\Sigma)=\mathcal{T}_{C/\mathbb{K}}\otimes\mathcal{I}_\Sigma=\mathcal{T}_{C/\mathbb{K}}(-\Sigma)\]

이고, 이것이 marked curve의 infinitesimal automorphism을 계산한다.

이제 남은 것은 \(\mathcal{T}_{C/\mathbb{K}}=\sHom(\Omega_{C/\mathbb{K}}, \mathcal{O}_C)\)의 계산이다. 이를 위해 local model \(R=\mathbb K[\x,\y]/(\x\y)\)을 택하고 이 위의 derivation을 살펴보자. 임의의 derivation \(v\)는 generator에서의 값 \(a=v(\x)\)와 \(b=v(\y)\)로 결정되고, [스킴] §변형이론과 여접 복합체, ⁋예시 6 (Nodal curve)의 계산과 같이 관계식 \(\x\y=0\)을 보존하려면

\[0=v(\x\y)=\y a+\x b\]

이어야 한다. 여기서 \(\y a=-\x b\)는 \((\y)\)와 \((\x)\)에 동시에 속하고, \(R\)에서는 \((\x)\cap(\y)=0\)이므로 \(\y a=\x b=0\)이다. 또한 \(\ann(\y)=(\x)\)이고 \(\ann(\x)=(\y)\)이므로 \(a\in\x\mathbb K[\x]\)이고 \(b\in\y\mathbb K[\y]\)이다.

기하적으로 이는 \(R\)의 normalization에서 두 branch가 나누어진 상황을 반영한다. 즉 \(R\)의 normalization을 \(\widetilde R=\mathbb K[\x]\oplus\mathbb K[\y]\)이라 쓴다면, 위의 \(a\)와 \(b\)는 normalization의 각 branch 위의 derivation이 되며, 각각의 원점에서 소멸하는 함수들이다.

이제 이를 전체 nodal curve에서 보면, normalization \(\nu:\widetilde C\rightarrow C\)에서 node \(p\)의 두 preimage를 \(p',p''\)이라 하면, 이들은 각각 \(p'\)과 \(p''\)에서 소멸하는 derivation이며, node 바깥에서는 \(\nu\)가 isomorphism이므로 이 local identification들은 canonical하게 붙는다. 따라서 모든 node의 두 preimage를 모은 divisor를 \(D\)라 하면 이 계산은 다음과 같이 요약된다.

명제 4 Nodal curve \(C\)의 normalization \(\nu:\widetilde{C}\rightarrow C\)와 node들의 preimage로 이루어진 \(\widetilde{C}\)의 divisor \(D\)에 대하여

\[\mathcal{T}_{C/\mathbb{K}}\cong\nu_\ast\bigl(\mathcal{T}_{\widetilde{C}/\mathbb{K}}(-D)\bigr)\]

이 성립한다. Marked point의 preimage를 \(\widetilde{\Sigma}\)라 하면 마찬가지로 \(\mathcal{T}_{C/\mathbb{K}}(-\Sigma)\cong\nu_\ast(\mathcal{T}_{\widetilde{C}/\mathbb{K}}(-D-\widetilde{\Sigma}))\)이다.

실제로 두 번째 isomorphism은 marked point에서 얻은 소멸 조건을 첫 번째 isomorphism에 더한 것이다. 따라서 global section을 취하면

\[T^0(C,p_\bullet)\cong H^0\bigl(C,\nu_\ast\mathcal T_{\widetilde C/\mathbb K}(-D-\widetilde\Sigma)\bigr)=H^0\bigl(\widetilde C,\mathcal T_{\widetilde C/\mathbb K}(-D-\widetilde\Sigma)\bigr)\]

이다. 여기서 마지막 등식은 pushforward의 정의에 따라 \(H^0(C,\nu_\ast\mathcal F)=H^0(\widetilde C,\mathcal F)\)이기 때문이다. 곧 infinitesimal automorphism은 normalization 위에서 node의 모든 preimage와 marked point에서 소멸하는 derivation으로 계산된다.

표준적인 deformation theory 해석에 따라 이 계산은 nodal curve, 혹은 더 일반적으로 prestable curve의 automorphism group의 tangent space를 구한 것으로 해석할 수 있다. ([스킴] §변형이론과 여접 복합체, ⁋정리 5) 이 automorphism group을 \(G=\Aut(C,p_\bullet)\)라 하고 그 항등원을 \(e\)라 하면, 항등원에서의 tangent space \(T_eG\)의 원소는 \(\mathbb K[\epsilon]\)-valued point \(\Spec\mathbb K[\epsilon]\rightarrow G\) 중 closed point가 항등원으로 가는 것들의 모임이다. ([스킴] §다양체에서 스킴으로, ⁋예시 4) 즉 직관적으로 이는 central fiber로 제한했을 때 항등사상이 되는 automorphism들의 family로 생각할 수 있으며, 이로부터 다음의 identification

\[T_eG\cong T^0(C,p_\bullet)\cong H^0\bigl(\widetilde C,\mathcal T_{\widetilde C/\mathbb K}(-D-\widetilde\Sigma)\bigr)\]

을 얻는다. 위의 계산에서 우리는 임의의 automorphism은 국소적으로 \(f\mapsto f+\epsilon v(f)\)의 꼴로 쓰이는 것을 알고 있으며, 이때 derivation \(v\)는 smooth curve \(\widetilde C\) 위에서 vector field를 의미하므로 이 식은 automorphism을 항등원에서 infinitesimal하게 움직이는 방향이 normalization 위의 vector field로 나타난다는 것으로 해석할 수 있다.

차원 계산

Deformation space \(T^1(C,p_\bullet)\)은 marked prestable curve \((C,p_\bullet)\)라는 한 점에서 이웃한 점으로 움직이는 방향을 나타내므로, 이들 prestable curve들을 모아둔 공간에서 보면 tangent space 역할을 한다. 여기서 같은 점을 나타내는 infinitesimal automorphism의 자유도 \(T^0(C,p_\bullet)\)는 빼줘야 하며, 우리 목표는 이 차이를 계산하는 것이다.

이를 위해 prestable curve에 대한 cohomology vanishing이 필요한데, 이를 위해 projective embedding \(C\subseteq\mathbb P^N\)을 잡고 \(C\)와 만나지 않는 codimension \(2\)의 linear subspace \(\Lambda=H_1\cap H_2\)를 택하자. 그럼 \(U_i=C\setminus H_i\)는 affine이고 \(U_1\cup U_2=C\)이므로, \(C\) 위의 임의의 quasi-coherent sheaf \(\mathcal{F}\)의 sheaf cohomology를 Čech cohomology로 계산하면 degree \(2\) 이상에서는 \(H^i(C, \mathcal{F})=0\)이 성립하는 것을 안다. 이를 사용하면 다음을 보일 수 있다.

정리 5 \(n\)개의 marked point를 갖는 prestable curve \((C, p_\bullet)\)에 대하여, \(C\)의 node 집합을 \(\Sing C\)라 하면 exact sequence

\[0 \rightarrow H^1\bigl(C, \mathcal{T}_{C/\mathbb{K}}(-\Sigma)\bigr) \rightarrow T^1(C, p_\bullet) \rightarrow \bigoplus_{p\in\Sing C}\mathbb{K} \rightarrow 0\]

이 성립하며, 또 \(T^0(C, p_\bullet)=H^0(C, \mathcal{T}_{C/\mathbb{K}}(-\Sigma))\)이다.

증명

앞에서 계산한 대로 marked point들은 automorphism sheaf에 twist \((-\Sigma)\)를 더하지만, node의 local deformation space \(T_p^1\)은 바꾸지 않는다. 따라서 [스킴] §변형이론과 여접 복합체, ⁋정리 12 (Local-to-global exact sequence)로부터

\[0\rightarrow H^1\bigl(C,\mathcal{T}_{C/\mathbb{K}}(-\Sigma)\bigr)\rightarrow T^1(C,p_\bullet)\rightarrow\bigoplus_{p\in\Sing C}T_p^1\rightarrow H^2\bigl(C,\mathcal{T}_{C/\mathbb{K}}(-\Sigma)\bigr)\]

를 얻으며, 이 때 위의 vanishing에 의하여 마지막 항이 \(0\)이다. 또, 명제 3에 의하여 \(T_p^1\cong\mathbb K\)이므로 이로부터 원하는 short exact sequence를 얻는다. 마지막 주장의 경우 이 long exact sequence의 degree \(0\) 부분을 본 것이다.

직관적으로 이 exact sequence는 prestable curve의 deformation을 두 겹으로 갈라놓는다. 왼쪽 항은 모든 node의 local model을 유지하면서 normalization의 성분들과 그 위의 node preimage 및 marked point의 위치를 변형하는 자유도이고, 오른쪽 항은 어떤 node를 smoothing할지를 고르는 자유도이다. 그럼 우리의 핵심적인 주장은 다음과 같다.

따름정리 6 \(n\)개의 marked point를 갖는 genus \(g\)의 prestable curve \((C, p_\bullet)\)에 대하여

\[\dim T^1(C, p_\bullet)-\dim T^0(C, p_\bullet)=3g-3+n\]

이 성립한다.

증명

표기의 편의상 \(\mathcal{H}=\mathcal{T}_{C/\mathbb{K}}(-\Sigma)\)로 적고, \(C\)의 node의 갯수를 \(d\)라 하면 정리 5에 의하여

\[\dim T^1=h^1(\mathcal{H})+d,\qquad \dim T^0=h^0(\mathcal{H})\]

이므로 구하고자 하는 값은 \(d-\rchi(C, \mathcal{H})\)이다. 이제 명제 4와 [스킴] §스킴의 층 코호몰로지, ⁋따름정리 4에 의하여

\[\rchi(C, \mathcal{H})=\rchi\bigl(\widetilde{C}, \mathcal{T}_{\widetilde{C}/\mathbb{K}}(-D-\widetilde{\Sigma})\bigr)\]

이다.

위 등식의 우변을 각 성분마다 계산하자. [대수다양체] §곡선에서의 리만-로흐 정리, ⁋명제 3을 genus \(g_j\)의 성분 \(\widetilde C_j\)의 canonical divisor \(K_{\widetilde C_j}\)에 적용하면 \(\deg\omega_{\widetilde C_j}=2g_j-2\)를 얻는다. 따라서 \(\mathcal T_{\widetilde C_j/\mathbb K}\cong\omega_{\widetilde C_j}^\vee\)는 차수 \(2-2g_j\)의 line bundle이다. 그 위에 놓인 \(D+\widetilde\Sigma\)의 점 개수를 \(s_j\)라 하면 twisted line bundle의 차수는 \(2-2g_j-s_j\)이고, 같은 명제에 의하여

\[\rchi\bigl(\widetilde{C}_j, \mathcal{T}_{\widetilde{C}_j/\mathbb{K}}(-D-\widetilde{\Sigma})\bigr)=(2-2g_j-s_j)+1-g_j=3-3g_j-s_j\]

이다. 이제 node가 preimage를 두 개 주고 각 marked point가 하나를 주므로 \(\sum_js_j=2d+n\)이고, 따라서 \(c\)개의 성분에 대하여

\[\rchi(C, \mathcal{H})=\sum_{j=1}^c(3-3g_j-s_j)=3c-3\sum_jg_j-2d-n\]

이다. 여기에 명제 2가 주는 \(\sum_jg_j=g-d+c-1\)을 넣으면

\[\rchi(C, \mathcal{H})=3c-3(g-d+c-1)-2d-n=-3g+d+3-n\]

이 되어 원하는 결과를 얻는다.

우변이 \(d\)와 \(c\)에 의존하지 않는다는 것이 이 계산의 핵심이다. Node를 하나 더 만들면 국소 변형이 하나 늘지만 접합의 자유도가 그만큼 줄어, 두 차원의 차는 곡선의 위상 자료인 \(g\)와 \(n\)만으로 결정된다. 이 결과는 다음 글에서 stable map moduli의 차원을 계산할 때 중요한 역할을 한다.

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참고문헌

[HKK+] K. Hori, S. Katz, A. Klemm, R. Pandharipande, R. Thomas, C. Vafa, R. Vakil, E. Zaslow, Mirror Symmetry, Clay Mathematics Monographs 1, AMS, 2003.