변형이론과 여접 복합체

소박한 여접 복합체

§매끄러운 사상과 에탈 사상, ⁋정리 15 (Infinitesimal lifting criterion)에 따르면, locally of finite presentation인 morphism of schemes \(\varphi:X\rightarrow S\)가 smooth한 것은 임의의 affine \(S\)-scheme \(T=\Spec R\)와, square-zero subscheme \(T_0=\Spec R_0\)마다, 임의의 \(S\)-morphism \(\varrho_0:T_0\rightarrow X\)를 \(T\)로 연장하는 lifting \(\varrho:T\rightarrow X\)가 항상 존재하는 것과 동치이다. 여기서 \(T_0\)이 \(T\)의 square-zero subscheme이라는 것은, \(T_0\hookrightarrow T\)가 square-zero ideal sheaf \(\mathcal{I}\subseteq\mathcal{O}_T\)로 정의된다는 의미이며, 이를 affine space에서의 세팅

\[S=\Spec A,\qquad X=\Spec C,\qquad\text{$C$ an $A$-algebra locally of finite presentation}\]

에서 보면, closed embedding \(T_0\hookrightarrow T\)는 square-zero ideal \(\mathfrak{b}\subseteq R\)에 의한 square-zero extension

\[0\longrightarrow\mathfrak{b}\longrightarrow R\overset{q}{\longrightarrow} R_0\longrightarrow0\tag{$\ast$}\]

에 대응하며, \(S\)-morphism \(\varrho_0\)는 \(A\)-algebra homomorphism \(\rho_0:C\rightarrow R_0\)에 대응한다. 즉, 이와 같은 상황에서 \(\phi: A\rightarrow C\)의 smoothness는 임의의 square-zero extension (\(\ast\))와, 임의의 \(\rho_0: C\rightarrow R_0\)가 주어질 때마다, 그 lifting \(\rho: C\rightarrow R\)이 항상 존재하는 것과 동치였다.

이제 \(C\)가 locally of finite presentation인 \(A\)-algebra이므로, 적당한 polynomial algebra \(B=A[\x_1,\ldots,\x_n]\)와 \(B\)의 finitely generated ideal \(\mathfrak{a}\)가 존재하여 \(C=B/\mathfrak{a}\)라 할 수 있다. 자연스러운 projection \(\pi:B\twoheadrightarrow C\)와 \(\rho_0\)의 합성

\[\overline{\rho}_0:B\longrightarrow C\overset{\rho_0}{\longrightarrow}R_0\]

을 생각하자. 그럼 \(q\)가 surjective이므로 각각의 변수 \(\x_i\)마다 \(q(r_i)=\overline{\rho}_0(\x_i)\)을 만족하는 \(r_i\in R\)들을 택할 수 있으며, [대수적 구조] §대수, ⁋명제 8에 의하여 대응 \(\x_i\mapsto r_i\)는 \(A\)-algebra homomorphism \(\widetilde{\rho}: B\rightarrow R\)을 유일하게 정의한다. 이는 \(q\circ \widetilde{\rho}=\overline{\rho}_0\)을 만족하며, 이 때 각 \(r_i\)의 선택에는 \(\ker q=\mathfrak{b}\)만큼의 자유도가 존재한다.

우리가 본래 찾고자 하는 것은 \(C\)로부터의 lifting \(\rho:C\rightarrow R\)이다. 만약 택한 \(\widetilde{\rho}\)가 \(\widetilde{\rho}(\mathfrak{a})=0\)을 만족한다면, \(\widetilde{\rho}\)는 곧바로 \(C=B/\mathfrak{a}\)를 거쳐 원하는 lifting \(\rho\)를 유도할 것이지만, 그것만이 전부는 아니다. 위에서 살펴본 것과 같이 \(\widetilde{\rho}\)의 정의는 각 변수의 lift만큼의 차이가 있으므로, 다른 \(\widetilde{\rho}\)의 선택이 \(\widetilde{\rho}(\mathfrak{a})=0\)을 줄 수도 있기 때문이다. 따라서 이 lifting의 실패를 확인하기 위해서는 \(\widetilde{\rho}\)의 선택에 의존하지 않는 양을 계산해야 한다.

이를 위해 우선 고정된 \(\widetilde{\rho}\)에 대하여 \(\widetilde{\rho}(\mathfrak{a})=0\)이라는 것이 무엇을 의미하는지를 다시 써 보자. 우선 임의의 \(f\in \mathfrak{a}\)에 대하여

\[q(\widetilde{\rho}(f))=\overline{\rho}_0(f)=\rho_0(\pi(f))=\rho_0(0)=0\]

이므로, 포함관계 \(\widetilde{\rho}(\mathfrak{a})\subseteq \ker q=\mathfrak{b}\)는 자명하다. 뿐만 아니라, 임의의 \(f,g\in \mathfrak{a}\)에 대하여

\[\widetilde{\rho}(fg)=\widetilde{\rho}(f)\widetilde{\rho}(g)\in\mathfrak{b}^2=0\]

이므로 다음의 식

\[\delta: \mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\rightarrow \mathfrak{b};\qquad \bar{f}\mapsto \widetilde{\rho}(f)\]

이 잘 정의된다. 뿐만 아니라, 이렇게 얻어진 \(\delta\)는 \(C\)-linear map이 된다. 여기서 \(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\)는 \(\mathfrak{a}\)를 \(B\)-module로 봤을 때, \(B\)의 ideal \(\mathfrak{a}\)가 이 위에 \(0\)으로 작용하므로 \(C=B/\mathfrak{a}\)-module structure가 주어진 것이고, \(\mathfrak{b}\)의 경우 \(\mathfrak{b}^2=0\)인 것으로부터 \(\mathfrak{b}\)의 \(R\)-module structure가 \(R_0=R/\mathfrak{b}\)-module structure를 주고, 이를 \(\rho_0\)를 따라 \(C\)-module로 본 것이다. 즉, 고정된 \(\widetilde{\rho}\)에 대하여 \(\widetilde{\rho}(\mathfrak{a})=0\)인 것은 정확히 이런 방식으로 정의한 \(C\)-linear map \(\delta\in\Hom_C(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2, \mathfrak{b})\)가 \(0\)이 되는 것과 같다.

이를 바탕으로 우리는 \(\widetilde{\rho}\)의 선택을 바꿀 때의 변화량을 정량화할 수 있다. \(\widetilde{\rho}\)와 \(\widetilde{\rho}'\)이 \(\overline{\rho}_0\)의 두 lift라 하자. 그럼 등식 \(q\circ\widetilde{\rho}=q\circ\widetilde{\rho}'\)으로부터 그 차 \(D=\widetilde{\rho}'-\widetilde{\rho}\)는 \(B\)에서 \(\ker q=\mathfrak{b}\)로의 \(A\)-linear map이다. 그런데

\[D(fg)=\widetilde{\rho}'(f)\widetilde{\rho}'(g)-\widetilde{\rho}(f)\widetilde{\rho}(g)=\left(\widetilde{\rho}(f)+D(f)\right)\left(\widetilde{\rho}(g)+D(g)\right)-\widetilde{\rho}(f)\widetilde{\rho}(g)=\widetilde{\rho}(f)D(g)+D(f)\widetilde{\rho}(g)+D(f)D(g)\]

이고, \(D(f),D(g)\in\mathfrak{b}\)이며 \(\mathfrak{b}^2=0\)이므로 마지막 항 \(D(f)D(g)\)은 사라진다. 한편, \(\mathfrak{b}\) 위의 \(R\)-module 구조는 \(q: R\rightarrow R_0\)을 통해 이루어진 것으로

\[\widetilde{\rho}(f)D(g)=q(\widetilde{\rho}(f))\cdot D(g)=\overline{\rho}_0(f)\cdot D(g)\]

이 성립하고, 따라서 위의 식에서 남은 두 항은 \(\mathfrak{b}\)를 \(\overline{\rho}_0\)를 따라 \(B\)-module로 볼 때의 action \(f\cdot D(g)\)와 \(D(f)\cdot g\)로 쓸 수 있다. 즉, \(D\)는 Leibniz rule

\[D(fg)=f\cdot D(g)+g\cdot D(f)\]

을 만족하고 따라서 \(A\)-derivation이다. 거꾸로 임의의 \(D\in \Der_A(B, \mathfrak{b})\)에 대하여, \(\widetilde{\rho}+D\) 역시 \(A\)-algebra homomorphism이고 \(q\circ(\widetilde{\rho}+D)=\overline{\rho}_0\)을 만족하므로, \(\overline{\rho}_0\)의 lift를 고르는 자유도가 정확히 \(\Der_A(B,\mathfrak{b})=\Hom_C(\Omega_{B/A}\otimes_BC,\mathfrak{b})\)에 담기게 된다.

위의 \(D=\widetilde{\rho}'-\widetilde{\rho}\in\Der_A(B,\mathfrak{b})\)에 대응되는 \(C\)-linear map을 \(h:\Omega_{B/A}\otimes_BC\rightarrow\mathfrak{b}\)라 하면, 임의의 \(f\in\mathfrak{a}\)에 대하여

\[\delta'(\bar{f})-\delta(\bar{f})=D(f)=h(\dd{f}\otimes1)=h(\bar{d}(\bar{f}))\]

로 주어진다. 여기서 \(\bar{d}: \mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\rightarrow\Omega_{B/A}\otimes_BC\)는 §미분과 여접층, ⁋명제 2 (Conormal exact sequence)의 conormal morphism이고 \(\delta'-\delta\)는 \(\bar{d}^\ast\)의 image에 속한다는 것을 알 수 있다. 더 중요하게, 어떤 선택이 존재하여 \(\mathfrak{a}\)를 죽일 수 있는 것은 이제 적당한 \(h:\Omega_{B/A}\otimes_BC\rightarrow \mathfrak{b}\)가 존재하여 \(\delta+\bar{d}^\ast(h)=0\)인 것, 즉 \(\delta\)가 \(\bar{d}^\ast\)의 image에 속한다는 것과 동일하다. 즉, 이를 확인하기 위해서는 \(\delta\)를 다음의 class

\[[\delta]\in\coker\left(\Hom_C(\Omega_{B/A}\otimes_BC,\mathfrak{b})\overset{\bar{d}^{\ast}}{\longrightarrow}\Hom_C(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2,\mathfrak{b})\right)\]

에서 살펴보면 되고, 이는 서로 다른 lift의 차이 \(\delta'-\delta=\bar{d}^\ast(h)\)가 \(\im\bar{d}^\ast\)에 속하므로 \(\widetilde{\rho}\)의 선택에 의존하지 않는다.

더 일반적으로, 이는 다음의 complex

\[\NL_{C/A}=\left[\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\overset{\bar{d}}{\longrightarrow}\Omega_{B/A}\otimes_BC\right]\]

를 \(\mathfrak{b}\)로 dualize하여 얻는 complex \(\Hom_C(\NL_{C/A}, \mathfrak{b})\)의 첫째 cohomology이며, 따라서 이 \(\mathfrak{b}\)를 kernel로 가지는 square-zero extension (\(\ast\))에 대한 lifting problem을 재는 obstruction space가 \(H^1(\Hom_C(\NL_{C/A}, \mathfrak{b}))\)이고, 만일 이것이 임의의 \(\mathfrak{b}\)에 대해 \(0\)이 된다면 \(A\rightarrow C\)가 smooth이게 된다. 이 형식화를 바탕으로 §매끄러운 사상과 에탈 사상, ⁋정리 15 (Infinitesimal lifting criterion)의 증명을 다시 보면, 해당 증명에서 한 것은 conormal sequence가 split exact임을 보여 naive cotangent complex 단계에서 이를 해결해버린 것이다.

지금까지 등장한 대상들에 이름을 붙이면 다음과 같다.

정의 1 \(A\)-algebra \(C\)와, \(A\) 위의 polynomial algebra \(B\)에 의한 presentation \(C=B/\mathfrak{a}\)에 대하여, 위의 complex

\[\NL_{C/A}=\Bigl[\at{1}{\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2}\overset{\bar{d}}{\longrightarrow}\at{0}{\Omega_{B/A}\otimes_BC}\Bigr]\]

를 \(C\)의 naive cotangent complex_{소박한 여접 복합체}라 부르고, 그 homology를 각각

\[H_1(\NL_{C/A})=\ker\bar{d},\qquad H_0(\NL_{C/A})=\coker\bar{d}\]

라 적는다. 또 \(C\)-module \(M\)에 대하여, 이를 \(M\)으로 dualize한 cochain complex

\[\Hom_C(\NL_{C/A},M):\quad \at{0}{\Hom_C(\Omega_{B/A}\otimes_BC,M)}\overset{\bar{d}^\ast}{\rightarrow}\at{1}{\Hom_C(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2,M)}\]

의 cohomology를

\[T^0(C/A,M)=\ker\bar{d}^\ast,\qquad T^1(C/A,M)=\coker\bar{d}^\ast\]

라 적는다.

이 대상들은 우리가 이미 알고 있는 것들이다. 우선 §미분과 여접층, ⁋명제 2 (Conormal exact sequence)의 conormal exact sequence를 degree \(0\)에서 읽으면

\[H_0(\NL_{C/A})\cong\Omega_{C/A}\]

를 얻는다. 또, 이 때 \(H_0\)과 \(H_1\)은 presentation \(C=B/\mathfrak{a}\)의 선택에 의존하지 않는다. \(T^0\)의 경우, degree \(0\) cocycle은 \(\mathfrak{a}\)를 소멸시켜 \(C=B/\mathfrak{a}\) 위로 내려오는 derivation \(B\rightarrow M\)이므로 곧바로 \(T^0(C/A,M)\cong\Der_A(C,M)\cong\Hom_C(\Omega_{C/A},M)\)이다. 마지막으로 \(T^1\)은 정의에 의하여 \([\delta]\)가 놓인 cokernel이므로, 앞에서 얻은 obstruction space에서 \(\mathfrak{b}\)만 \(M\)으로 바꾼 것이다.

소박한 여접 복합체와 매끄러움

§매끄러운 사상과 에탈 사상, ⁋명제 8에서 smoothness는 conormal sequence의 splitting으로 나타났고, 이 글의 도입부에서는 lifting의 obstruction이 \(T^1\)에 놓인다는 것을 보았다. 이 두 설명은 다음과 같이 연결된다.

명제 2 Finitely presented \(A\)-algebra \(C\)가 \(A\) 위에서 smooth한 것은

\[H_1(\NL_{C/A})=0,\qquad \Omega_{C/A}\text{ is a finitely generated projective }C\text{-module}\]

인 것과 동치이다. 또한 이는 모든 \(C\)-module \(M\)에 대하여 \(T^1(C/A,M)=0\)인 것과 동치이다.

증명

\(C\)가 smooth하면 §매끄러운 사상과 에탈 사상, ⁋명제 8에 의하여 conormal sequence

\[0\longrightarrow\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\overset{\bar{d}}{\longrightarrow}\Omega_{B/A}\otimes_BC\longrightarrow\Omega_{C/A}\longrightarrow0\]

는 split short exact sequence이다. 따라서 \(H_1(\NL_{C/A})=\ker\bar{d}=0\)이고, \(\Omega_{C/A}\)는 finitely generated free module \(\Omega_{B/A}\otimes_BC\)의 direct summand이므로 finitely generated projective이다.

이제 \(H_1(\NL_{C/A})=0\)이고 \(\Omega_{C/A}\)가 projective라 하자. Presentation \(C=B/\mathfrak{a}\)에 대한 conormal sequence

\[\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\overset{\bar{d}}{\longrightarrow}\Omega_{B/A}\otimes_BC\longrightarrow\Omega_{C/A}\longrightarrow0\]

는 항상 right exact이며 (§미분과 여접층, ⁋명제 2 (Conormal exact sequence)) 여기에 조건 \(H_1(\NL_{C/A})=\ker\bar{d}=0\)이 주어졌으므로 왼쪽에 \(0\)을 붙여 short exact sequence를 얻을 수 있다. 또, \(\Omega_{C/A}\)가 projective이므로 surjection \(\Omega_{B/A}\otimes_BC\rightarrow\Omega_{C/A}\)가 split한다. ([다중선형대수학] §사영가군, 단사가군, 평탄가군, ⁋명제 4) 따라서 §매끄러운 사상과 에탈 사상, ⁋명제 8에 의하여 \(C\)는 \(A\) 위에서 smooth하다.

마지막으로 smoothness와 모든 \(C\)-module \(M\)에 대한 \(T^1(C/A,M)=0\)인 것이 동치임을 보인다. 우선 \(C\)가 smooth라면 위에서 얻은 splitting에 의하여 \(r\circ\bar{d}=\id\)인 retraction \(r:\Omega_{B/A}\otimes_BC\rightarrow\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\)가 존재한다. 이제 임의의 \(C\)-module \(M\)과 \(\delta:\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\rightarrow M\)에 대하여 \(h=\delta\circ r\)로 두면 \(h\circ\bar{d}=\delta\)이므로 \(\bar{d}^\ast\)가 surjective이고 \(T^1(C/A,M)=0\)이다. 거꾸로 모든 \(M\)에 대하여 \(T^1(C/A,M)=0\)이라 하자. 그럼 도입부의 임의의 lifting problem에서 \([\delta]\in T^1(C/A,\mathfrak{b})\)가 \(0\)이므로 lifting이 존재한다. \(C\)가 finitely presented이므로 §매끄러운 사상과 에탈 사상, ⁋정리 15 (Infinitesimal lifting criterion)에 의하여 \(C\)는 \(A\) 위에서 smooth하다.

특히 \(C\)가 smooth라면, 위의 증명에서 얻은 splitting에 의하여 naive cotangent complex의 splitting

\[\NL_{C/A}\cong \Bigl[\at{1}{\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2}\overset{\id}{\longrightarrow}\at{0}{\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2}\Bigr]\oplus\Bigl[\at{1}{0}\longrightarrow\at{0}{\Omega_{C/A}}\Bigr]\]

이 존재한다. 즉, 둘째 summand로의 projection을 \(p\)라 하면 short exact sequence

\[0\longrightarrow\ker p\longrightarrow\NL_{C/A}\overset{p}{\longrightarrow}[0\longrightarrow\Omega_{C/A}]\longrightarrow0\]

가 존재하며, 이 때

\[\ker p\cong\Bigl[\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\overset{\id}{\longrightarrow}\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\Bigr]\]

이므로 모든 \(n\)에 대하여 \(H_n(\ker p)=0\)이다. 위의 short exact sequence에 [호몰로지 대수학] §긴 완전열, ⁋정리 1 (The long exact sequence)을 적용하면 모든 degree에서 \(H_n(p)\)가 isomorphism이 되어, \(p\)는 \(\NL_{C/A}\)에서 degree \(0\)의 projective module \(\Omega_{C/A}\)로의 quasi-isomorphism이 된다. 즉, 이 경우에는 \(\Omega_{C/A}\)만 보아도 lifting들의 차이 \(T^0(C/A,M)=\Hom_C(\Omega_{C/A},M)\)를 계산할 수 있고, lifting의 존재를 가로막는 obstruction space \(T^1\)은 항상 사라진다.

그러나 일반적인 \(C\)에 대해서는 conormal morphism의 kernel과 그 image가 direct summand인지 여부부터 살펴보아야 한다. \(\Omega_{C/A}\)는 이 morphism의 cokernel이므로, 이 두 조건을 직접 다루려면 그 앞의 항과 morphism까지 남긴 \(\NL_{C/A}\)가 본격적으로 필요하게 된다. 이 상황을 대표하는 것이 lci의 경우이다. (§완전교차, ⁋정의 1) 일반적인 non-lci 상황에서는 비슷한 계산을 수행하기 위해 cotangent complex 전체를 살펴보아야 할 수 있지만, lci에서는 naive cotangent complex가 cotangent complex 전체와 quasi-isomorphic하다. 이러한 관점에서 lci는 필요한 cotangent data를 naive cotangent complex에서 직접 읽을 수 있는 대표적인 경우로 생각할 수 있다.

구체적인 상황을 보기 위하여 \(B=A[\x_1,\ldots,\x_n]\), \(C=B/\mathfrak{a}\)로 놓고, \(\mathfrak{a}=(f_1,\ldots,f_r)\)가 \(B\)-regular sequence로 생성된다고 하자. 각 \(f_j\)의 class를 보내는 \(C\)-linear morphism

\[C^r\longrightarrow\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2,\qquad e_j\longmapsto\bar{f}_j\]

은 §완전교차, ⁋명제 5와 그 증명에 의하여 isomorphism이므로, 이 경우 naive cotangent complex는 Jacobian에 의해

\[\NL_{C/A}\cong\left[C^r\overset{\bar{d}}{\longrightarrow}C^n\right],\qquad\bar{d}(e_j)=\sum_i\overline{\frac{\partial f_j}{\partial\x_i}}\dd{\x_i}\]

로 주어지며 두 항은 모두 finitely generated free (따라서 finitely generated projective) \(C\)-module이다. 일반적인 lci 상황에서는 이들 두 free module 사이의 morphism이 남지만, 위에서 살펴본 smooth 상황에서는 여기에 \(\bar{d}\)가 split injection이라는 조건이 더해져 complex가 degree \(0\)의 projective module 하나로 줄어드는 것이다.

일차 변형이론

앞에서 우리는 naive cotangent complex가 smoothness의 infinitesimal lifting property를 어떻게 기록하는지 살펴보았다. 이 complex는 deformation theory에서도 중심적인 역할을 한다.

Deformation theory의 기하학적 출발점은 \(A\)-scheme \(X_0\)를 고정하고, section \(\t_0:\Spec A\rightarrow T\)을 갖춘 pointed \(A\)-scheme \((T,\t_0)\) 위의 family \(\pi:X\rightarrow T\)와 central fiber의 identification \(X\times_T\Spec A\cong X_0\)를 찾는 것이다. §스킴 사이의 사상, ⁋예시 10에서와 같이 scheme morphism \(\pi:X\rightarrow T\)를 \(T\)로 매개화된 family로 보면, 이는 \(T\) 위에서 변하는 scheme들 가운데 section \(\t_0\)을 따라 얻는 fiber가 \(X_0\)으로 주어지는 family를 보는 것이다. 이러한 관점을 위해 \(\pi\)가 flat일 것을 요구하는 것이 합리적이며 (§평탄사상) 이러한 가정 아래 이는 fiber들을 하나의 대상 \(X_0\)가 변해 가는 모습으로 보고 비교하는 것이다.

가장 단순한 예시로 두 직선이 원점에서 만나는 node \(X_0=\Spec\bigl(A[\x,\y]/(\x\y)\bigr)\)를 생각하자. 이를 deform하는 가장 간단한 방법은 방정식 \(\x\y=0\)을 \(\x\y=\t\)로 바꾸어 다음의 family

\[\pi:X=\Spec\bigl(A[\t,\x,\y]/(\x\y-\t)\bigr)\longrightarrow\Spec A[\t]\]

를 생각하는 것이다. 이는 \(\t=0\)에서 \(X_0\)를 fiber로 갖고, \(\t\)를 invert한 open set 위에서는 \(\x\)와 \(\y\)가 모두 invertible이 되어 smooth한 family를 이룬다. 또한 relation \(\x\y=\t\)에 의하여 모든 monomial은 \(\t^n\), \(\t^n\x^i\), \(\t^n\y^j\) 가운데 하나로 유일하게 정리되므로, 이 coordinate ring은 \(\{1\}\cup\{\x^i\mid i\geq1\}\cup\{\y^j\mid j\geq1\}\)을 basis로 갖는 free \(A[\t]\)-module이다. 따라서 \(\pi\)는 flat하다. 즉 이 family를 보면 \(X_0\)의 원점에 있던 singularity가 parameter \(\t\)를 따라 어떻게 사라지는지를 살펴볼 수 있다.

일반적인 scheme \(X_0\)의 deformation을 찾는 첫 단계는 base의 central section \(\t_0\)에서 infinitesimal direction들을 하나씩 살펴보는 것이다. \(A[\epsilon]=A[\t]/(\t^2)\)로 놓으면, \((T,\t_0)\)의 \(A\)-상대 tangent direction은 \(\t=0\)에서 \(\t_0\)로 제한되는 \(A\)-morphism \(\Spec A[\epsilon]\rightarrow T\)으로 표현된다 (§매끄러운 사상과 에탈 사상, §§Infinitesimal lifting criterion). 이를 따라 \(\pi:X\rightarrow T\)를 pullback하면 \(\Spec A[\epsilon]\) 위의 family를 얻으며, 직관적으로 이는 그 tangent direction을 따라 \(X_0\)이 일차까지 변하는 모습을 기록한다.

그러나 실제로는 이 parameter scheme \(T\)와 그 위의 family \(\pi:X\rightarrow T\) 자체가 미리 주어져 있지 않으며, 이를 찾아내는 것부터가 문제의 시작이다. 우리에게 처음 주어진 것은 \(X_0\)가 \(S\)-scheme인 것으로부터 주어지는 structure morphism \(X_0\rightarrow S\) 뿐이며, 이를 위해 우리가 택하는 전략은 base \(S\)를 가능한 모든 방향으로 넓혀서 parameter scheme을 정의하는 것이다. 이때 base를 infinitesimal thickening해 나가는 과정이 바로 square-zero extension들이며, 우리는 parameter space와 동시에, 이 과정으로 두꺼워진 base \(S\) 위에 놓인 fiber까지 함께 정의한다.

정의 3 Flat \(A\)-algebra \(C\)와, \(A\)의 임의의 square-zero extension

\[0\longrightarrow \mathfrak{b}\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow0\]

에 대하여, 다음을 정의한다.

1. \(C\)의 \(A'\) 위로의 deformation_변형이란, 다음 두 조건을 만족하는 pair \((C',\iota)\)를 뜻한다.
   • \(C'\)은 \(A'\) 위에서 flat한 \(A'\)-algebra이다.
   • \(\iota:C'\otimes_{A'}A\xrightarrow{\sim} C\)는 \(A\)-algebra isomorphism이다.

2. 두 deformation \((C',\iota)\)와 \((C'',\iota')\)이 isomorphic이라는 것은, 등식 \(\iota'\circ(\psi\otimes\id_A)=\iota\)를 만족하는 \(A'\)-algebra isomorphism \(\psi:C'\rightarrow C''\)이 존재하는 것이다.

특히 \(A'=A[\epsilon]=A[\t]/(\t^2)\)인 경우의 deformation을 \(C\)의 \(A\) 위 first-order deformation_{일차 변형}이라 부른다.

일반적으로, 임의의 square-zero extension

\[0\rightarrow \mathfrak{b}\rightarrow A'\rightarrow A\rightarrow0\]

과 \(A\)-algebra \(C\)의 deformation \((C',\iota)\)가 주어졌다면, 여기에 \(-\otimes_{A'}C'\)를 취한 것이 exact sequence

\[0\longrightarrow \mathfrak{b}\otimes_A C\longrightarrow C'\overset{\bar{\iota}}{\longrightarrow} C\longrightarrow0\]

을 준다. 여기서 \(\bar{\iota}\)는 quotient \(C'\rightarrow C'\otimes_{A'}A\)와 \(\iota\)의 합성이고, \(\mathfrak{b}\otimes_{A'} C'\cong \mathfrak{b}\otimes_A(A\otimes_{A'} C')\cong \mathfrak{b}\otimes_A C\)이고, \(\mathfrak{b}^2=0\)이므로 \(\mathfrak{b}\otimes_A C\)는 \(C'\)의 square-zero ideal이고, 따라서 이 exact sequence는 \(C\)의 square-zero extension이다.

더 일반적으로, 우리는 이 분류 문제를 임의의 \(A\)-algebra \(C\)와 \(C\)-module \(M\)에 대하여 다룰 수 있다. 다음 (square-zero) extension들

\[0\longrightarrow M\longrightarrow E\overset{p}{\longrightarrow} C\longrightarrow0\]

을 생각하면, 이들은 다음 commutative diagram

을 morphism으로 갖는 category \(\Ext_{\Alg{A}}(C,M)=\operatorname{Exal}_A(C,M)\)을 이루며, 이때 이들 morphism들은 [호몰로지 대수학] §Diagram chasing, ⁋따름정리 3 (The short five lemma)에 의해 모두 isomorphism이다. 즉 이 category는 groupoid이고, 그 대상들 사이에 morphism이 존재하는지에 따라 square-zero extension의 isomorphism class들이 나뉜다. 실제로, 위의 category의 임의의 데이터

\[0\longrightarrow M\longrightarrow E\overset{p}{\longrightarrow} C\longrightarrow0\]

가 주어졌다 하고 \(C\)를 polynomial ring \(B\)에 의한 presentation \(B/\mathfrak{a}\)로 나타내어 lift \(B\rightarrow E\)를 택한다면 정의 1 직전의 lifting 계산과 정확히 같은 원리로 class \([\delta_E]\in T^1(C/A,M)\)이 대응되며, 이는 우리가 택한 lift \(B\rightarrow E\)에 의존하지 않으므로 잘 정의된다.

뿐만 아니라 이 대응은 반대방향으로도 작동한다. 구체적으로, class \([\delta]\in T^1(C/A,M)\)의 representative인 \(C\)-linear map \(\delta:\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\rightarrow M\)이 주어졌을 때, trivial extension \(B\oplus M\) 안에 ideal

\[\mathfrak{a}_\delta=\{(f,-\delta(\bar{f}))\in B\oplus M\mid f\in\mathfrak{a}\}\]

를 정의하면, quotient algebra \(E_\delta=(B\oplus M)/\mathfrak{a}_\delta\)는 자연스러운 morphism \(m\mapsto\overline{(0,m)}\)과 \(\overline{(b,m)}\mapsto b+\mathfrak{a}\)를 통해 \(C\)의 \(M\)에 의한 square-zero extension을 정의한다. 이 구성은 representative \(\delta\)의 선택에 무관하게 isomorphism class를 결정하며, 앞선 대응의 역을 준다는 것을 확인할 수 있다. 즉, 위의 대응은 \(C\)의 \(M\)에 의한 square-zero extension들의 isomorphism class들의 모임 \(\pi_0(\operatorname{Exal}_A(C,M))\)과 \(T^1(C/A,M)\) 사이의 일대일 대응이며, 이 대응 하에서 split extension은 \(0\)에 대응한다. 즉, \(T^1(C/A,M)\)은 \(C\)의 \(M\)에 의한 square-zero extension들을 분류하는 공간이다.

이 관점에서 도입부의 lifting problem을 다시 바라보면, 우리는 우선 주어진 자료 \(q:R\rightarrow R_0\)와 \(\rho_0:C\rightarrow R_0\)의 pullback을 통해 다음의 extension

\[E=R\times_{R_0}C=\{(r,c)\in R\times C\mid q(r)=\rho_0(c)\}\]

을 정의할 수 있고, 이는 projection \(p:E\rightarrow C\)를 통해 \(C\)의 \(\mathfrak{b}\)에 의한 square-zero extension

\[0\longrightarrow\mathfrak{b}\longrightarrow E\overset{p}{\longrightarrow}C\longrightarrow0\]

을 정의한다. 이때 \(\rho_0\)의 lifting \(\rho:C\rightarrow R\)가 존재하는 것은 \(s(c)=(\rho(c),c)\)가 \(p\)의 \(A\)-algebra section을 주는 것, 곧 이 extension이 split되는 것과 동치이며, 이 때문에 \([\delta]\)가 \(0\)으로 가는 것이 \(\rho_0\)의 lifting의 존재와 동치임을 안다.

앞서 보았듯 scheme \(X_0\)의 deformation을 찾는 과정은 base \(S=\Spec A\)를 square-zero extension을 통해 infinitesimal thickening해 나가며 그 위의 fiber를 함께 정의하는 작업이며, 방금 살펴본 first-order deformation은 이 base의 extension이 가장 단순한 dual numbers \(A[\epsilon]\)으로 주어진 경우에 해당한다. 우리는 이제 그 위에 놓인 fiber \(X_0=\Spec C\)가 어떤 방향으로 두꺼워져 flat family \(X=\Spec C'\)을 이루는지를 보아야 한다.

이를 구체적인 방정식의 언어로 살펴보자. 우리 상황에서 \(X\)는 locally of finite presentation \(S\)-scheme이므로, 이 affine case에서 \(C\)는 finite polynomial ring \(B=A[\x_1,\ldots,\x_n]\)과 finitely generated ideal \(\mathfrak{a}=(f_1,\ldots,f_m)\)에 의한 quotient \(C=B/\mathfrak{a}\)로 나타낼 수 있다. 그럼 \(B[\epsilon]=A[\epsilon][\x_1,\ldots,\x_n]\)에서는 fiber 방향의 coordinate \(\x_i\)와 \(\epsilon\) 방향이 자연스레 분리되며, 이 때 fiber를 정의하던 각 방정식 \(f_j\in B\)을 central fiber 주변에서 확장할 수 있는 후보들은 \(F_j=f_j+\epsilon g_j\)의 꼴이고, 이들 후보에 의해 deform된 family는 \(C'=B[\epsilon]/(F_1,\ldots,F_m)\)으로 나타나게 될 것이다. 이 때, 유일한 조건은 이렇게 얻어지는 family가 실제로 flat family가 되어야 한다는 것이다.

명제 4 위와 같은 상황에서 \(C\)가 \(A\) 위에서 flat하다 하자. 그럼 \(C'\)이 \(A[\epsilon]\) 위에서 flat한 것은 \((f_1,\ldots,f_m)\)의 임의의 관계식 \((a_1,\ldots,a_m)\), 곧 \(\sum_ja_jf_j=0\)인 \((a_j)\in B^m\)에 대하여

\[\sum_{j}a_jg_j\in \mathfrak{a}\]

이 성립하는 것과 동치이다. 이 조건이 성립할 때, 원래의 관계식 \((a_j)\)는 \((F_1,\ldots,F_m)\)의 관계식으로 들어올려진다.

증명

\(C\)가 \(A\) 위에서 flat하므로, \(C'\)이 \(A[\epsilon]\) 위에서 flat한 것은 \(\epsilon\)의 곱셈과 reduction이 주는 sequence

\[0\longrightarrow C\overset{\epsilon}{\longrightarrow}C'\longrightarrow C\longrightarrow0\]

이 exact인 것, 곧 \(C'\)이 \(C\)의 \(C\)에 의한 square-zero extension인 것과 동치이다. 여기서 \(\ker(C'\rightarrow C)\)는 \(\bigl(\epsilon B[\epsilon]+(F_1,\ldots,F_m)\bigr)/(F_1,\ldots,F_m)\)이므로, \(\epsilon B[\epsilon]\cong B\) 아래에서 이 kernel은

\[\ker(C'\rightarrow C)\cong\epsilon B[\epsilon]\big/\bigl(\epsilon B[\epsilon]\cap(F_1,\ldots,F_m)\bigr)\]

이 되어, 위의 sequence가 exact인 것은 \(\epsilon B[\epsilon]\cap(F_1,\ldots,F_m)=\epsilon\mathfrak{a}\)인 것과 동치이다. 이제 이 교집합을 계산하기 위해 \((F_1,\ldots,F_m)\)의 원소를 \(a_j,b_j\in B\)에 대하여

\[\sum_j(a_j+\epsilon b_j)F_j=\sum_ja_jf_j+\epsilon\Bigl(\sum_ja_jg_j+\sum_jb_jf_j\Bigr)\]

로 적으면, 이것이 \(\epsilon B[\epsilon]\)에 속하는 것은 \(\sum_ja_jf_j=0\), 곧 \((a_j)\)가 \((f_1,\ldots,f_m)\)의 관계식인 것과 같다. 이때 \(\sum_jb_jf_j\)는 \(\mathfrak{a}\) 전체를 훑으므로 \(\epsilon B[\epsilon]\cap(F_1,\ldots,F_m)\)은 \(\mathfrak{a}\)와 관계식들의 값 \(\sum_ja_jg_j\)들이 함께 생성하는 ideal에 \(\epsilon\)을 곱한 것이고, 따라서 이것이 \(\epsilon\mathfrak{a}\)와 같은 것은 임의의 관계식 \((a_j)\)에 대하여 \(\sum_ja_jg_j\in\mathfrak{a}\)인 것과 동치이다. 마지막으로 이 조건 아래에서 \(\sum_ja_jg_j=\sum_jc_jf_j\) (\(c_j\in B\))라 하면 \(A_j=a_j-\epsilon c_j\)에 대하여

\[\sum_jA_jF_j=\sum_ja_jf_j+\epsilon\Bigl(\sum_ja_jg_j-\sum_jc_jf_j\Bigr)=0\]

이므로 원래의 관계식 \((a_j)\)가 들어올려진다.

이 명제의 증명은 first-order deformation 상황에서 flat family가 얻어지는 과정을 보여주는데, 이는 즉 central fiber를 정의하던 관계식들, 즉

\[\sum a_jf_j=0\]

이 주어졌다면, \(F_j=f_j+\epsilon g_j\)를 통해 이를 흔들어 주었을 때, 그 결과

\[\sum a_j(f_j+\epsilon g_j)=\epsilon\sum a_j g_j\]

에서 \(\sum a_jg_j\)가 \(\mathfrak{a}\)로 흡수되어, 이를 다시 \(f_j\)들에 대한 식 \(\sum a_jg_j=\sum c_jf_j\)로 바꾸어줄 수 있고, 이를 다시 원래의 식에 대입해주면, \(A_j=a_j-\epsilon c_j\)에 대하여 다음 식

\[\sum_j A_j F_j=0\]

이 성립하므로, 이것이 바로 thickening에서의 방정식이 되는 것이다.

만일 이 조건이 성립한다면 다음의 대응 \(\bar{f}_j\mapsto\bar{g}_j\)가 \(C\)-module homomorphism

\[\varphi:\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\rightarrow C\]

를 잘 정의하고, 거꾸로 임의의 \(\varphi\in\Hom_C(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2,C)\)은 \(g_j\in B\)를 \(\varphi(\bar{f}_j)=\bar{g}_j\)이도록 택하여 first-order deformation을 준다. 즉 first-order deformation과 presentation \(B\twoheadrightarrow C\)의 lift \(B\rightarrow C'\)를 함께 택한 자료들의 집합은 \(\Hom_C(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2,C)\)와 자연스럽게 대응하며, 이는 도입부에서 확대의 자료로부터 얻었던 \(\delta\in\Hom_C(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2,\mathfrak{b})\)를 \(\mathfrak{b}=C\)인 경우에 방정식의 언어로 다시 본 것이다.

이제 남은 일은 이 중 어떤 것들이 trivial deformation을 주는지 걸러내는 것이다. First-order deformation의 경우, \(C'=C[\epsilon]\)와 isomorphic한 deformation을 trivial하다 부른다. 이러한 것들 중 가장 단순한 형태는 모든 \(g_j=0\)이어서 \(F_j=f_j\)인 경우로, 이는 central fiber를 정의하던 방정식을 아무런 변형 없이 \(\epsilon\) 방향으로 그대로 복사하여 늘려놓은 것에 불과하다.

그러나 \(g_j\neq0\)이어서 방정식이 변형된 것처럼 보이더라도, 실제로는 trivial deformation인 경우가 있다. Derivation \(\theta\in\Der_A(B,C)\)를 택하고, 각 \(\theta(\x_i)\in C\)의 representative \(\widetilde{\theta}(\x_i)\in B\)를 고르자. 이 선택은 \(A\)-derivation \(\widetilde{\theta}:B\rightarrow B\)를 유일하게 결정하며, \(\pi\circ\widetilde{\theta}=\theta\)를 만족한다. 이제 \(B[\epsilon]\)의 좌표변환 \(\x_i\mapsto\x_i+\epsilon\widetilde{\theta}(\x_i)\)를 원래의 식 \(f_j\)에 적용하면

\[f_j+\epsilon\sum_i\widetilde{\theta}(\x_i)\frac{\partial f_j}{\partial\x_i}=f_j+\epsilon\widetilde{\theta}(f_j)\]

로 옮겨진다. 따라서 \(g_j=\widetilde{\theta}(f_j)\in B\)로 택한 방정식 \(F_j=f_j+\epsilon g_j\)들은 ambient space의 좌표변환으로 얻어지며, 이들이 정의하는 family는 원래의 trivial family \(C'=C[\epsilon]\)과 isomorphic하다. 이때 \(\bar{g}_j=\theta(f_j)\in C\)이므로, 대응하는 \(\varphi\)는 \(\bar{f}_j\mapsto\theta(f_j)\)로 주어진다. 이를 일반화하면, trivial deformation들은 정확히 \(\varphi\)가 derivation에서 오는 경우, 곧 합성

\[\Der_A(B,C)=\Hom_C(\Omega_{B/A}\otimes_BC,C)\overset{\bar{d}^\ast}{\rightarrow}\Hom_C(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2,C)\]

의 image에 속하는 경우 얻어지며, 이는 정의 1 직전의 계산에서 lift \(\widetilde{\rho}\)를 고르는 자유도가 \(\Der_A(B,\mathfrak{b})\)에 담겼던 것과 같은 현상이다.

이제 이 절에서 얻은 것을 하나의 분류 정리로 묶는다.

정리 5 Finitely presented \(A\)-algebra \(C=B/\mathfrak{a}\)에 대하여 다음의 exact sequence

\[0\longrightarrow T^0(C/A,C)\longrightarrow\Der_A(B,C)\overset{\bar{d}^\ast}{\longrightarrow}\Hom_C(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2,C)\longrightarrow T^1(C/A,C)\longrightarrow0\]

가 성립하며, 각 항은 deformation theory에서 다음과 같은 의미를 가진다.

1. \(\Hom_C(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2,C)\)는 \(C\)의 first-order deformation과 presentation \(B\twoheadrightarrow C\)의 lift \(B\rightarrow C'\)를 함께 택한 자료를 분류한다.
2. 두 deformation이 isomorphic인 것은 그 차이가 trivial deformation들의 공간 \(\im\bar{d}^\ast\)에 속하는 것과 동치이므로, isomorphism class로 본 first-order deformation들의 집합은 quotient \(\Hom_C(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2,C)\big/\im\bar{d}^\ast=T^1(C/A,C)\) 과 자연스럽게 일대일 대응한다. 이 대응 아래에서 trivial deformation은 \(0\in T^1\)에 대응한다.
3. 임의의 deformation \(C'\)의 infinitesimal automorphism group은 좌표변환의 stabilizer인 \(\ker\bar{d}^\ast\), 곧 \(T^0(C/A,C)=\Der_A(C,C)\)과 isomorphic하다.

예시 6 (Nodal curve) 앞에서 살펴본 node \(\x\y=0\)을 엄밀하게 계산해보자. \(B=A[\x,\y]\), \(f(\x,\y)=\x\y\), \(\mathfrak{a}=(f)\)라 하고, \(C=B/\mathfrak{a}\), \(X_0=\Spec C\)라 하자. 이 경우 first-order deformation은 적당한 \(g\in B\)에 대하여

\[F=f+\epsilon g\in B[\epsilon],\qquad C'=B[\epsilon]/(F)\]

로 주어진다. 직관적으로 \(\Spec C'\)는 \(\Spec A\)를 무한소방향으로 늘리고, 이 방향을 따라 정의된 fat point \(\Spec A'=\Spec A[\epsilon]\)를 따라 \(X_0\)를 늘려둔 것이며 이를 어떻게 늘렸는지에 대한 정보가 \(g\)의 선택에 들어있으며, 더 구체적으로 우리는 정리 5에서 이 선택이 주는 다음의 \(C\)-linear map

\[\varphi:\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\longrightarrow C,\qquad \bar{f}\longmapsto\bar{g}\]

이 정확히 first-order deformation에 대한 정보를 모두 담고 있음을 보았다. 즉, \(g\)의 선택이 deformation을 결정한다.

예를 들어 \(g=\x\)를 택하면

\[F=\x\y+\epsilon\x=\x(\y+\epsilon)\]

이므로, 이는 좌표변환 \(\y\mapsto\y+\epsilon\)으로 원래의 방정식 \(f=\x\y\)를 옮긴 것이다. 이 좌표변환은 \(\epsilon=0\)에서 identity로 제한되며 \(C[\epsilon]\cong C'\)을 유도하므로, \(g=\x\)는 trivial deformation을 정의한다.

더 일반적으로, 정리 5에 따르면 trivial deformation은 ambient space \(B[\epsilon]\)의 무한소 좌표변환에서 오는 경우, 곧 \(\varphi\in\im\bar{d}^\ast\)인 경우이다. 정리 5 직전에 살펴보았듯, 이러한 좌표변환은 derivation \(\theta\in\Der_A(B,C)\)이 결정하며, 구체적으로 각 방정식에 그 값 \(\theta(f_j)\)를 통해 deformation을 정의했다. 우리 예시에서 \(B=A[\x,\y]\)는 polynomial ring이므로, 임의의 derivation \(\theta\in\Der_A(B,C)\)는 두 변수의 값

\[\theta(\x)=a,\qquad \theta(\y)=b\qquad(a,b\in C)\]

에 의하여 유일하게 결정되며, 이것이 방정식 \(f=\x\y\)에 주는 변화량은

\[\theta(f)=\theta(\x\y)=\theta(\x)\y+\x\theta(\y)=a\y+b\x\tag{$\ast\ast$}\]

으로 주어진다. 그럼 \(\bar{d}^\ast(\theta)\)는 \(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\)의 (유일한) basis \(\bar{f}\)를 이 값 \(\theta(f)\in C\)로 보내는 것으로 정의되며, 따라서 \(\varphi\)가 \(\im \bar{d}^\ast\)에 속하는 것과, \(\bar{g}\)가 (\(\ast\ast\))의 꼴로 나타나는 것이 동치임을 안다. 특히 앞에서 살펴본 \(g=\x\)의 경우는 \(a=0\)이고 \(b=1\)인 경우이다.

거꾸로 이 image에 속하지 않는 \(\bar{g}\)를 택하면 nontrivial deformation을 얻으며, 위의 계산으로부터 우리는 nonzero constant term을 갖는 \(g\)가 이러한 것임을 안다. 예를 들어 \(g=-1\)로 택하면

\[F=\x\y-\epsilon,\qquad C'=A[\epsilon][\x,\y]/(\x\y-\epsilon),\qquad X'=\Spec C'\]

을 얻는다. 이는 \(-1\in T^1(C/A,C)\cong A\)에 대응하므로 \(A\neq0\)일 때 nontrivial하다.

후자의 경우가 nontrivial deformation이 되는 이유는 다음과 같이 직관적인 계산으로도 얻어질 수 있다. Nodal curve \(X_0=\Spec C\)의 원점은 \(\x,\y\)를 모두 \(0\)으로 보내는 ring homomorphism으로 주어진다. Trivial deformation에서는 이 ring homomorphism이 \(C[\epsilon]\rightarrow A[\epsilon]\)으로 확장되지만, 위의

\[C'=A[\epsilon][\x,\y]/(\x\y-\epsilon)\]

의 경우, \(\x,\y\mapsto 0\)을 확장하는 \(A[\epsilon]\)-algebra homomorphism \(C'\rightarrow A[\epsilon]\)이 존재한다면 반드시 \(\x\mapsto \epsilon u\), \(\y\mapsto \epsilon v\)의 꼴이어야 하지만, 이러한 map의 경우

\[\x\y\mapsto (\epsilon u)(\epsilon v)=0\]

으로 주어지므로 \(A[\epsilon,\x,\y]\)의 ideal \(\x\y-\epsilon\)으로 factor through하지 않는다. 즉 \(C'\)에서 \(A'=A[\epsilon]\)으로의 \(A[\epsilon]\)-algebra homomorphism 가운데는 원점에 해당하는 homomorphism을 확장하는 것이 존재하지 않으며, 이는 위에서 살펴보았듯 쌍곡선들이 원점을 놓치는 현상의 대수적 설명이다.

변형의 장애와 고차 변형이론

지금까지 우리는 \(A\)-algebra \(C\)의 first-order deformation을 구성하고, 그 isomorphism class를 \(T^1(C/A,C)\)으로 분류하였다. 이제 우리의 관심사는 주어진 first-order deformation을 더 높은 차수의 deformation으로 높이는 것이다. 만일 one-parameter flat family가 이미 주어졌다면, 이는 단순히 \(\t^2, \t^3, \ldots\) 항으로 잘라주어 각 차수를 차례로 보지만, 앞선 절의 도입부에서 살펴봤듯 우리는 이러한 family를 만들어내는 것이 목적이므로 상황이 단순하지 않다.

이를 직관적으로 살펴보기 위해 앞에서 고정한 presentation

\[C=B/\mathfrak{a},\qquad B=A[\x_1,\ldots,\x_n],\qquad \mathfrak{a}=(f_1,\ldots,f_m)\]

으로 돌아가자. 그럼 first-order deformation의 방정식은, flatness 조건을 만족하는 \(g_j\)들에 대하여 다음의 꼴

\[F_j=f_j+\t g_j\in B[\t]/(\t^2)\]

로 나타나는 것들이었으며, 이를 한 차수 올려주기 위해서는 \(h_j\in B\)를 택하여

\[F_j^{(2)}=f_j+\t g_j+\t^2h_j\in B[\t]/(\t^3)\]

을 구성해야 한다. 여기서 필수적인 것은 이렇게 정의한 algebra

\[C^{(2)}=\bigl(B[\t]/(\t^3)\bigr)/(F_1^{(2)},\ldots,F_m^{(2)})\]

가 \(A[\t]/(\t^3)\) 위에서 flat하도록 \(h_j\)들을 골라야 한다는 것으로, 이 조건은 다음과 같이 계산할 수 있다.

명제 4에서 flatness는 원래 방정식들 사이의 relation들을 함께 들어올리는 조건으로 나타났던 것을 기억하자. 구체적으로, \(C\)를 정의하던 방정식들 사이의 relation \(\sum_j a_jf_j=0\)이 주어졌다 하면, 이를

\[F_j=f_j+\epsilon g_j\]

로 올렸을 때의 방정식

\[\sum_j a_j(f_j+\epsilon g_j)=\epsilon\sum_j a_j g_j\]

에서, \(\sum_j a_jg_j\)를 \(f_j\)들에 대한 식 \(\sum_j a_jg_j=\sum_j c_jf_j\)로 바꾸어줄 수 있으면 이 오차를 \(a_j\)들로 옮겨 \(A_j=a_j-\epsilon c_j\)로 정의하면 \(\sum_j A_j F_j=0\)이 성립하도록 할 수 있었다.

명제 4의 증명에서 \(\epsilon\)을 \(\t\)로 바꾸어 \(B[\t]/(\t^{n+1})\)에서 같은 ideal 계산을 반복하면, 각 단계의 flatness도 마찬가지로 relation들이 함께 들어올려지는 조건으로 나타난다. 따라서 이를 이차까지 연장하려면 적당한 \(d_j\in B\)를 택하여 relation의 계수들

\[A_j^{(2)}=a_j-\t c_j+\t^2d_j\in B[\t]/(\t^3)\]

을 구성해야 하며, 이것이 만족할 조건을 구하려면 실제로 두 식의 곱을 \(B[\t]/(\t^3)\)에서 전개하여

\[\begin{aligned}\sum_j A_j^{(2)}F_j^{(2)}&=\sum_j(a_j-\t c_j+\t^2d_j)(f_j+\t g_j+\t^2h_j)\\ &=\sum_j a_jf_j+\t\Bigl(\sum_j a_jg_j-\sum_j c_jf_j\Bigr)+\t^2\Bigl(\sum_j a_jh_j-\sum_j c_jg_j+\sum_j d_jf_j\Bigr)\end{aligned}\]

을 보면 된다. 이 식에서, 우변의 \(\t^0\) 항은 원래의 relation이므로 \(0\)이고, \(\t^1\) 항은 일차에서 이미 flatness를 만족하도록 택했으므로 \(0\)이다. 이제 이것이 \(B[\t]/(\t^3)\)에서 \(0\)이 되도록 하려면 남은 것은 \(\t^2\) 항으로, 여기서 \(\sum_j d_jf_j\in\mathfrak{a}\)이므로 이 조건은 다음의 식

\[\sum_j a_jh_j\equiv\sum_j c_jg_j\pmod{\mathfrak{a}}\]

으로 나타난다. 문제는 이 식의 우변이 이미 first-order deformation을 만족하기 위해 결정된, 일반적으로는 \(0\)이 아닐 수도 있는 값이라는 것으로, 이 때문에 \(h_j\)들을 잘 택하여 relation \((a_1, \ldots, a_m)\)들이 주어질 때마다 위의 식이 만족되도록 하는 것이 일반적으로 불가능하다. 이것이 first-order deformation과는 다른 점으로, first-order deformation에서는 식

\[\sum_j a_j g_j\equiv 0\pmod{\mathfrak{a}}\]

의 우변이 \(0\)이었으므로, 하다못해 모든 \(g_j\)들을 \(0\)으로 두어 trivial deformation을 택하면 이 식을 만족하는 것 자체는 항상 가능했다. 그러나 이미 어떤 nontrivial한 1차 변형이 주어진 상황에서는 우변이 \(0\)이 아닌 고정된 잔여항을 이루므로 더 이상 \(h_j=0\) 같은 선택으로 만족될 수 없으며, 이렇게 가능한 모든 보정 \(h_j\)를 허용해도 소거되지 않고 남는 이 실패를 대수적으로 기록한 것이 바로 obstruction class_장애류이다.

앞서 우리는 first-order deformation에 대한 정보가 naive cotangent complex의 cohomology들인 \(T^0\)과 \(T^1\)에 담겨있다는 것을 살펴보았다. 그럼 자연스러운 의문은 이 obstruction class가 사는 공간이 무엇인지에 대한 것이다. 그러나 naive cotangent complex에서 얻어낼 수 있는 정보는 본질적으로 \(T^0\)과 \(T^1\) 뿐이므로, \(2\)차항의 정보를 얻기 위해서는 naive cotangent complex보다 더 많은 항을 가진 대상이 필요하다.

이를 위해 앞선 계산에 나타난 relation들의 역할을 구체적으로 살펴보자. 우선 이미 여러 차례 사용한 \(C\)를 정의하는 방정식 \(f_1, \ldots, f_m\) 사이의 relation이란, \(\sum_j a_jf_j=0\)을 만족하는 계수들의 \(m\)-tuple \((a_1, \ldots, a_m)\in B^m\)이며, 이는 형식적으로 다음의 surjection

\[B^m\rightarrow\mathfrak{a};\qquad e_j\mapsto f_j\]

의 kernel \(\Rel\)의 원소들이다. 이들 방정식들 사이의 trivial relation이란 이들 방정식이 \(B\)의 commutativity에 의해 만족해야 하는 trivial relation들로, 가령 \(f_if_j-f_jf_i=0\)와 같은 식을 의미한다. 이는 \(B^m\)의 원소로서는 \(j\)번째 성분이 \(f_i\)이고 \(i\)번째 성분이 \(-f_j\)이며 나머지 성분이 \(0\)인 원소 \(f_ie_j-f_je_i\in\Rel\)에 대응하며, 이러한 원소들이 생성하는 submodule을 \(\TrivRel\subseteq\Rel\)이라 하자. 이러한 trivial relation들은 \(B\)의 commutativity에 의해 언제나 성립하므로 obstruction을 만드는 데 아무런 역할을 하지 않는다. 따라서 이들을 \(\Rel\)에서 지워낸 quotient module \(\Rel/\TrivRel\)을 생각하면 된다.

정의 7 Finitely presented \(A\)-algebra \(C=B/\mathfrak{a}\)에 대하여, Lichtenbaum–Schlessinger complex_{리히텐바움-슐레진저 복합체} \(\operatorname{LS}_{C/A}\)는

\[\operatorname{LS}_{C/A}=\Bigl[\at{2}{\Rel/\TrivRel}\overset{d_2}{\longrightarrow}\at{1}{B^m\otimes_BC}\overset{d_1}{\longrightarrow}\at{0}{\Omega_{B/A}\otimes_BC}\Bigr]\]

로 정의되며, 미분은

\[d_2\bigl(\overline{(a_1,\ldots,a_m)}\bigr)=\sum_j\overline{a_j}e_j,\qquad d_1(e_j)=\dd{f_j}\otimes1\]

이다. 각 \(i=0,1,2\)에 대하여 functor

\[T^i(C/A,M)=H^i\bigl(\Hom_C(\operatorname{LS}_{C/A},M)\bigr)\]

를 \(C\)의 Lichtenbaum–Schlessinger functor_{리히텐바움-슐레진저 함자}라 부른다.

어렵지 않게 이 정의의 \(T^0\)과 \(T^1\)이 정의 1에서 정의한 것과 정확히 같은 것을 알 수 있으며, 우리 주장은 obstruction class가 \(T^2\)에 사는 class라는 것이다. First-order deformation \(\xi\)에 대하여, 앞선 계산에서와 같이 relation \((a_1,\ldots,a_m)\in\Rel\)마다 \(\sum_ja_jg_j=\sum_jc_jf_j\)를 만족하는 \(c_j\in B\)를 택하면

\[\eta(a_1,\ldots, a_m)=\overline{\sum_jc_jg_j}\in C\]

를 얻는다. 여기서 \(c_j\)의 다른 선택과의 차이는 다시 \(\Rel\)의 원소가 되고, \(g_j\)의 flatness 조건에 의해 그 차이는 \(C\)에서 \(0\)이 되며 \(\TrivRel\) 위에서는 소멸하므로 이는 잘 정의된 \(C\)-linear map \(\eta: \Rel/\TrivRel\rightarrow C\)을 주며 따라서 그 class를 \(\ob(\xi)=[\eta]\in T^2(C/A,C)\)라 정의할 수 있다. 또 \(\ob(\xi)\)는 \(g_j\)의 선택과 presentation \(C=B/\mathfrak{a}\)의 선택에도 의존하지 않으며, 따라서 \(\xi\)만의 불변량이다.

앞선 계산에서 살펴보았듯, \(A[\t]/(\t^3)\) 위로의 second-order deformation이 존재할 조건은 모든 relation \(a\)에 대하여 합동식

\[\sum_jc_jg_j\equiv\sum_ja_jh_j\pmod{\mathfrak{a}}\]

를 만족시키는 \(h_j\in B\)가 존재하는 것이었다. 그런데 우변은 \(h=(\bar{h}_1,\ldots,\bar{h}_m)\in\Hom_C(B^m\otimes_BC,C)\)가 미분 \(d_2\)를 따라 만드는 coboundary의 \(a\)에서의 값이다. 따라서 이러한 \(h_j\)가 존재하는 것은 \(\eta\)가 coboundary인 것, 곧 \([\eta]=0\in T^2(C/A,C)\)인 것과 정확히 동치이며 바로 이때 second-order deformation이 존재한다. 즉 다음이 성립한다.

정리 8 First-order deformation \(\xi\in T^1(C/A,C)\)가 \(A[\t]/(\t^3)\) 위의 flat deformation으로의 extension이 존재하는 것은 \(\ob(\xi)=0\)인 것과 동치이다.

일반적인 square-zero extension \(0\rightarrow \mathfrak{b}\rightarrow R'\rightarrow R\rightarrow0\)에 대해서도 \(\t\)의 거듭제곱 대신 \(\mathfrak{b}\)를 흔드는 방향으로 같은 계산을 반복하여 obstruction class를 얻으며, extension이 존재할 때 두 extension의 차이에 정리 5의 논증을 적용하면 그 isomorphism class들이 \(T^1\) 위의 torsor를 이룬다.

지금까지의 계산은 더 일반적인 full cotangent complex로 일반화된다. 이를 위해 우리는 \(A\)-algebra \(C\)를 한 번 polynomial algebra의 quotient로 나타내는 대신, 각 항이 polynomial \(A\)-algebra인 free simplicial resolution

\[P_\bullet\overset{\sim}{\rightarrow}C\]

를 택하고 각 degree에서 Kähler differential을 취한다. 그 결과인 simplicial \(C\)-module

\[\LL_{C/A}=\Omega_{P_\bullet/A}\otimes_{P_\bullet}C\]

을 chain complex로 본 것이 \(C\)의 \(A\) 위 cotangent complex_{여접 복합체}이다. 여기서는 앞의 두 complex와 마찬가지로 \(\LL_{C/A}\)를 homological degree로 적으며, 이를 cohomological convention의 derived category에서 볼 때에는 \((\LL_{C/A})^{-i}=(\LL_{C/A})_i\)로 읽는다. 따라서 아래의 homological truncation \(\tau_{\leq r}\)는 cohomological notation의 \(\tau_{\geq-r}\)에 해당한다. 이 글에서는 free simplicial resolution의 구체적인 construction을 사용하지 않고, 이 정의에서 따라오는 truncation과 deformation에 관한 성질만을 사용한다. 이렇게 정의한 \(\LL_{C/A}\)의 핵심적인 성질은 이것이 앞서 정의한 두 complex들을 일반화한다는 것으로, 이들은 \(\LL_{C/A}\)의 truncation

\[\tau_{\leq1}\LL_{C/A}\simeq\NL_{C/A},\qquad \tau_{\leq2}\LL_{C/A}\simeq\operatorname{LS}_{C/A}\]

으로 나타난다. 따라서 임의의 \(C\)-module \(M\)에 대하여

\[T^i(C/A,M)=\Ext^i_C(\LL_{C/A},M)\]

로 놓으면, \(T^0\)는 infinitesimal automorphism을, \(T^1\)은 first-order deformation과 extension이 존재할 때 그 선택들의 차이를 나타내며 (정리 5), \(T^2\)는 extension의 obstruction을 통제한다. (정리 8). 이제 명제 2의 smoothness 판정을 full cotangent complex에 적용하면 deformation의 모든 degree에 대한 다음 결론을 얻는다.

명제 9 \(C\)가 \(A\) 위에서 smooth하면 모든 \(C\)-module \(M\)에 대하여

\[T^i(C/A,M)=0\qquad(i>0)\]

이다. 특히 square-zero extension을 따라 \(C\)를 deformation하는 문제는 obstruction 없이 해를 가지며 그 isomorphism class는 유일하다. First-order deformation인 경우 이 class는 trivial deformation의 class이고, 각 deformation의 infinitesimal automorphism은 \(T^0(C/A,C)=\Der_A(C,C)\)가 분류한다.

증명

Smooth한 \(C\)의 cotangent complex \(\LL_{C/A}\)는 degree \(0\)의 \(\Omega_{C/A}\)에 quasi-isomorphic하고, 이 module이 projective이므로 모든 \(i>0\)에 대하여

\[T^i(C/A,M)=\Ext^i_C(\LL_{C/A},M)=\Ext^i_C(\Omega_{C/A},M)=0\]

이다.

앞서 살펴보았듯, \(A\) 위의 affine lci algebra \(C\)에 대해서는 \(\LL_{C/A}\)가 두 projective module로 이루어진 naive cotangent complex와 quasi-isomorphic하므로 \(T^i(C/A,M)=0\)이 모든 \(i\geq2\)에서 성립한다. 따라서 각 단계의 obstruction은 사라지고 first-order deformation을 formal deformation으로 계속 연장할 수 있으며, 이러한 경우 obstruction class가 없다는 의미에서 unobstructed라 말한다. 일반적인 non-lci algebra에서는 \(\LL_{C/A}\)의 higher homology가 남을 수 있고, Lichtenbaum–Schlessinger complex는 그 가운데 고전적 deformation과 obstruction에 필요한 degree \(2\)까지를 보여 주며 full cotangent complex는 그 뒤의 higher relation까지 보존한다.

일반적인 변형이론

지금까지 우리는 affine scheme의 deformation을 다뤘다. 정의 3 직후의 계산에서 우리는 임의의 square-zero extension

\[0\rightarrow M\rightarrow A'\rightarrow A\rightarrow0\]

을 따라 \(C\)를 deformation하면, deformation \(C'\)의 central fiber로의 reduction이 square-zero extension

\[0\rightarrow M_C\rightarrow C'\rightarrow C\rightarrow0\]

을 주며 그 kernel은 \(C\)-module \(M_C=M\otimes_AC\)로 identify된다는 것을 보았다. 따라서 \(C\)의 \(A'\) 위 deformation을 찾는 문제는 base의 extension과 compatible한, \(M_C\)에 의한 \(C\)의 square-zero extension \(C'\)을 찾는 문제로 바뀌었다.

이러한 extension의 존재성은 obstruction class로 나타난다는 것이 이전 섹션의 내용이었다. 구체적으로 presentation \(C=B/(f_1,\ldots,f_m)\)과 방정식들의 \(A'\) 위 lift 후보 \(F_j\)들을 택하면, 각 relation \(\sum_ja_jf_j=0\)의 lift가 남기는 kernel 방향의 오차들을 모아 \(C\)-linear map

\[\eta:\Rel/\TrivRel\rightarrow M_C\]

를 얻을 수 있으며, 이 때 presentation과 lift의 선택을 바꾸면 \(\eta\)는 coboundary만큼 변하므로 그 class \([\eta]\in T^2(C/A,M_C)\)가 잘 정의되었다. 이 class가 바로 obstruction class로, 우리는 \([\eta]=0\)인 것이 이러한 square-zero extension \(C'\)의 존재성과 동치임을 안다. 이 관점에서 앞선 정리 8은 first-order deformation \(\xi\)를 second order로 lifting하는 특수한 경우의 결과였다. 그럼 obstruction이 사라졌을 때 deformation들의 isomorphism class는 \(T^1(C/A,M_C)\) 위의 torsor를 이루고, 각 deformation의 infinitesimal automorphism은 \(T^0(C/A,M_C)\)이 분류한다.

이제 남은 일은 이 계산을 일반적인 scheme으로 올리는 것이다. 이를 위해서는 먼저 base의 square-zero thickening을 정하고, 각 affine 조각 위에서 flat family를 만든 다음, 두 조각의 overlap에서 이 family들을 식별하는 isomorphism을 골라야 한다. 마지막으로 이 isomorphism들이 triple overlap에서 cocycle 조건을 만족해야 비로소 하나의 scheme deformation이 된다. 뿐만 아니라, cotangent complex도 affine 조각마다 계산한 뒤 restriction과 compatible하도록 붙여야 한다. 이 절에서는 이 과정을 모두 다시 수행하는 대신, 어느 층위에서 어떤 data와 obstruction이 나타나는지 밝히고 이들이 하나의 global \(\Ext\)로 조립되는 과정을 정리한다.

우선 처음에 주어지는 base space \(S\)를 affine scheme이 아닌 일반적인 scheme으로 확장하는 방향이 가장 단순하다. \(S\) 위의 quasi-coherent module \(\mathcal{I}\)에 대하여 \(\mathcal{O}_S\oplus\mathcal{I}\)에 곱셈

\[(a,u)(b,v)=(ab,av+bu)\]

을 주면, 이는 \(\mathcal{I}^2=0\)인 \(\mathcal{O}_S\)-algebra가 된다. 그럼 이에 대한 relative spectrum \(S[\mathcal{I}]=\rSpec_S(\mathcal{O}_S\oplus\mathcal{I})\)은 \(S\)의 split square-zero thickening이고, 특히 \(\mathcal{I}=\mathcal{O}_S\)인 경우 우리는 이를 \(S[\epsilon]\)이라 적는다. \(S=\Spec A\)이면 이는 앞에서 사용한 \(\Spec(A[\epsilon])\)과 같으며, 더 일반적으로는 square-zero ideal sheaf \(\mathcal{I}=\ker(\mathcal{O}_{S'}\rightarrow\mathcal{O}_S)\)로 정의된 closed embedding \(S\hookrightarrow S'\)을 base의 thickening으로 사용할 수 있다.

정의 10 Flat morphism \(f:X_0\rightarrow S\), square-zero ideal sheaf \(\mathcal{I}\)가 정의하는 closed embedding \(i:S\hookrightarrow S'\)에 대하여, \(X_0\)의 \(S'\) 위로의 deformation_변형이란 flat \(S'\)-scheme \(X\)와 \(S\)-isomorphism

\[\iota:X\times_{S'}S\xrightarrow{\sim}X_0\]

의 쌍 \((X,\iota)\)이다. 두 deformation \((X,\iota)\)와 \((X',\iota')\)이 isomorphic이라는 것은 \(\iota'\circ(\psi\times_{S'}S)=\iota\)를 만족하는 \(S'\)-isomorphism \(\psi:X\rightarrow X'\)이 존재하는 것이다. 특히 \(S'=S[\epsilon]\)인 경우의 deformation을 \(X_0\)의 \(S\) 위 first-order deformation_{일차 변형}이라 부른다.

이는 위에서 설명한 일반적인 scheme에 대한 infinitesimal thickening을 사용하여 정의 3을 다시 쓴 것에 불과하다. 실제로 square-zero thickening은 underlying topological space를 바꾸지 않으므로 \(S\)와 \(S'\)은 같은 열린집합을 가지며, 특히 affine open \(V=\Spec A\subseteq S\)에 대응하는 \(V'\subseteq S'\) 역시 affine이며 이를 \(V'=\Spec A'\)이라 쓰면 \(A'\twoheadrightarrow A\)는 square-zero extension이 된다. 즉, 직관적으로 \(S\)의 infinitesimal thickening은 affine 조각들마다, compatible한 infinitesimal thickening을 한 후 붙여주는 것이라 생각할 수 있다. 마찬가지로 deformation \(X\)의 underlying space는 central fiber \(X_0\)와 같아서 \(U\subseteq X_0\)는 그대로 \(X\)의 열린집합을 정하며, 덕분에 deformation의 flatness와 central fiber 조건은 affine open들 위에서 확인할 수 있으며, 각 affine 조각에서는 정의 3의 경우로 환원된다. 특히 \(V'=\Spec A'\) 위의 affine open을 \(U'=\Spec C'\subseteq X\)라 하고 \(I=\ker(A'\rightarrow A)\)라 하면, \(C'\)은 \(A'\) 위에서 flat하므로 \(0\rightarrow I\rightarrow A'\rightarrow A\rightarrow0\)을 \(C'\)과 tensor하여 얻는 sequence

\[0\longrightarrow I\otimes_{A'}C'\longrightarrow C'\longrightarrow C'/IC'\longrightarrow0\]

는 exact이고, 또한 \(I^2=0\)이므로 \(I\otimes_{A'}C'\cong I\otimes_A(C'/IC')\)가 되어 \(X_0\hookrightarrow X\)의 ideal sheaf가 \(\mathcal{G}=f^\ast\mathcal{I}\)로 identify된다. 전체가 affine인 경우 \(S=\Spec A\), \(X_0=\Spec C\), \(\mathcal{I}=\widetilde{M}\)이라 하면

\[\mathcal{G}=f^\ast\mathcal{I}\cong\widetilde{M\otimes_A C}=\widetilde{M_C}\]

이므로, \(\mathcal{G}\)는 앞선 affine case의 coefficient module \(M_C\)를 sheafify한 것이다. 특히 first-order deformation에서는 \(M=A\)이므로 \(\mathcal{G}=\mathcal{O}_{X_0}\)가 된다.

이제 \(X_0\)의 affine open cover \(X_0=\bigcup_iU_i\)를 택하자. 위의 논의에 의해 우리는 각 \(U_i\) 위에서 deformation \(U_i'\)을 만들 수 있지만, 이들을 붙이는 문제가 여전히 남아있다. 우선 overlap \(U_{ij}=U_i\cap U_j\) 위에서 central fiber의 항등사상으로 제한되는 isomorphism

\[\varphi_{ij}:U_i'\vert_{U_{ij}}\xrightarrow{\sim}U_j'\vert_{U_{ij}}\]

인 \(S'\)-isomorphism을 골라야 하고, triple overlap \(U_{ijk}\)에서 \(\varphi_{jk}\circ\varphi_{ij}=\varphi_{ik}\)가 성립해야 한다. 그럼 이 조건 하에서 \(U_i'\)들은 하나의 scheme \(X\)로 붙고, 각 structure morphism도 \(X\rightarrow S'\)으로 붙으며, flatness는 source와 base에 대하여 local한 조건이므로 이렇게 얻은 morphism은 flat하다. 즉 이 과정을 통해 deformation을 얻을 수 있다. 반대로 모든 deformation은 이와 같은 데이터를 주는 것이 자명하다.

이 세 가지 자료, 즉 affine 조각 위의 local deformation, 두 조각의 overlap 위의 isomorphism, triple overlap 위의 cocycle 조건을 한꺼번에 통제하는 것이 cotangent complex이다. 이를 위해 먼저 affine에서 정의한 complex를 scheme 위로 옮겨야 한다. 우선 affine case에서, \(U=\Spec C\subseteq X_0\)와 \(V=\Spec A\subseteq S\)가 \(f(U)\subseteq V\)을 만족한다면, \(\LL_{C/A}\)의 각 항과 differential을 sheafify하여 quasi-coherent \(\mathcal{O}_U\)-module들과 그 사이의 morphism으로 이루어진 complex를 얻을 수 있다는 것을 안다.

문제는 이들 각각의 affine 조각마다 정의되는 naive cotangent complex의 모델은 \(C\)의 presentation에 의존하며, 이를 일반적인 cotangent complex로 확장하는 과정에서는 resolution의 선택까지 끼어든다는 데에 있다. 이러한 이유로 이들 complex는 각 overlap 위에서 항별로 같지는 않으며, 오직 canonical quasi-isomorphism

\[\widetilde{\LL_{C/A}}\xrightarrow{\sim}\LL_{X_0/S}\vert_U\]

을 통해서만 identify된다. 즉 엄밀한 gluing은 derived category \(D(\mathcal{O}_{X_0})\) 위에서 이루어지게 되며 ([호몰로지 대수학] §유도카테고리, ⁋정의 2), 우리는 그 결과를 \(\LL_{X_0/S}\)로 적게 된다.

그럼 이제 \(\LL_{X_0/S}\)는 derived category의 object이므로, \(X_0\) 위의 quasi-coherent module \(\mathcal{G}\)를 계수로 하는 degree \(i\) data는 다음의 식

\[\Hom_{D(\mathcal{O}_{X_0})}(\LL_{X_0/S},\mathcal{G}[i])\cong H^i\bigl(R\Hom_{\mathcal{O}_{X_0}}(\LL_{X_0/S},\mathcal{G})\bigr)=\Ext^i_{\mathcal{O}_{X_0}}(\LL_{X_0/S},\mathcal{G})\]

으로 계산된다. 여기서 \(R\Hom_{\mathcal{O}_{X_0}}(\LL_{X_0/S},\mathcal{G})\)라는 하나의 complex가 모든 degree의 coefficient data를 함께 담고 있고, shift \(\mathcal{G}[i]\)는 그중 \(i\)째 cohomology를 derived category의 morphism set로 읽는 표기이다. ([호몰로지 대수학] §유도카테고리, ⁋명제 10) 우리는 이를

\[T^i(X_0/S,\mathcal{G})=\Ext^i_{\mathcal{O}_{X_0}}(\LL_{X_0/S},\mathcal{G}),\qquad T^i(X_0/S)=T^i(X_0/S,\mathcal{O}_{X_0})\]

로 적는다. 그럼 다음 정리는 affine scheme에서 살펴보았던 것들을 하나로 정리한 것이다.

정리 11 (Deformation theorem) Flat하고 separated이며 locally of finite presentation인 morphism \(f:X_0\rightarrow S\)와, \(S\)의 square-zero ideal sheaf \(\mathcal{I}\)가 정의하는 extension \(S\hookrightarrow S'\)이 주어졌다 하고, \(\mathcal{G}=f^\ast\mathcal{I}\)라 하자. 그럼 canonical obstruction class

\[\ob(X_0/S')\in T^2(X_0/S,\mathcal{G})\]

가 존재하여, \(S'\) 위의 deformation이 존재하는 것은 \(\ob(X_0/S')=0\)인 것과 동치이다. 이 때, deformation의 isomorphism class들은 \(T^1(X_0/S,\mathcal{G})\) 위의 torsor를 이루며, 각 deformation의 infinitesimal automorphism은 \(T^0(X_0/S,\mathcal{G})\)가 분류한다.

특히 \(S'=S[\epsilon]\)인 경우, first-order deformation들의 isomorphism class는 \(T^1(X_0/S)\)와 자연스럽게 일대일 대응하며 trivial deformation은 \(0\)에 대응한다.

위의 정리 11 (Deformation theorem)에서 얻은 불변량 \(T^i(X_0/S)\)는 cotangent complex의 global \(\Ext\)로 정의되므로, 각 affine 조각 위에서의 정보를 직접 읽어내기 위해서는 sheaf Ext

\[\sExt^q_{\mathcal{O}_{X_0}}(\mathcal{F},\mathcal{G})=R^q\sHom_{\mathcal{O}_{X_0}}(\mathcal{F},\mathcal{G})\]

를 보아야 한다. 이는 각 열린집합 \(U\)에 \(\Ext^q_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}\vert_U,\mathcal{G}\vert_U)\)를 대응시키는 presheaf의 sheafification으로, 특히 \(\mathcal{K}=\LL_{X_0/S}\)에 대하여 정의되는 sheaf

\[\mathcal{T}_{X_0/S}^q=\sExt^q_{\mathcal{O}_{X_0}}(\LL_{X_0/S},\mathcal{O}_{X_0})\]

는 affine open \(U=\Spec C\) 위에서 \(\mathcal{T}_{X_0/S}^q(U)\cong T^q(C/A,C)\)가 되어, 앞선 절들에서 다루었던 \(T^i\)들을 그대로 복원한다.

이제 이 둘을 연관짓기 위해, [층론] §층의 유도 범주와 유도 functor, ⁋따름정리 11을 \(\mathcal{G}=\mathcal{O}_{X_0}\)와 cotangent complex의 truncation \(\mathcal{K}=\tau_{\leq2}\LL_{X_0/S}\)에 적용하자. \(\mathcal{K}\)는 homological degree \(0,1,2\), 즉 cohomological degree \(-2,-1,0\)에만 항을 갖는 bounded complex이므로 \(D^+(\mathcal{O}_{X_0})\)의 대상이고, triangle \(\tau_{\geq3}\LL_{X_0/S}\rightarrow\LL_{X_0/S}\rightarrow\mathcal{K}\)의 첫 항은 degree \(3\) 이상에서만 \(\Ext\)에 기여하므로, \(i\leq2\)에서는 \(\mathcal{K}\)가 \(T^i(X_0/S)\)와 \(\mathcal{T}^i_{X_0/S}\)를 그대로 계산한다. 또 \(\LL_{X_0/S}\)는 non-negative homological degree에 집중되어 있으므로 \(q<0\)에서 \(\mathcal{T}_{X_0/S}^q=0\)이고, 따라서 이는 first quadrant spectral sequence

\[E_2^{p,q}=H^p(X_0,\mathcal{T}_{X_0/S}^q)\Longrightarrow T^{p+q}(X_0/S)\]

가 된다. 이 spectral sequence의 낮은 차수 항들을 읽으면 다음을 얻는다.

정리 12 (Local-to-global exact sequence) \(X_0\)가 \(S\) 위에서 flat하고 separated이며 locally of finite presentation인 scheme이라 하자. 이때 exact sequence

\[0\longrightarrow H^1(X_0,\mathcal{T}_{X_0/S}^0)\longrightarrow T^1(X_0/S)\longrightarrow H^0(X_0,\mathcal{T}_{X_0/S}^1)\overset{d_2}{\longrightarrow}H^2(X_0,\mathcal{T}_{X_0/S}^0)\longrightarrow T^2(X_0/S)\]

가 성립한다.

증명

[호몰로지 대수학] §스펙트럼 열, ⁋명제 10에 의하여 수렴이 주는 \(T^1(X_0/S)\)의 filtration은 short exact sequence \(0\rightarrow E_\infty^{1,0}\rightarrow T^1(X_0/S)\rightarrow E_\infty^{0,1}\rightarrow0\)을 준다. First quadrant 조건에 의하여 \(E_\infty^{1,0}=E_2^{1,0}\)이고 \(E_\infty^{0,1}=\ker(d_2:E_2^{0,1}\rightarrow E_2^{2,0})\)이다. 한편 total degree \(2\)에서는 \(E_\infty^{2,0}=E_2^{2,0}/\im d_2\)이고, 이는 수렴 filtration의 첫 항 \(F^2T^2(X_0/S)\subseteq T^2(X_0/S)\)와 isomorphic하다. 이들을 이어 붙이고 \(E_2^{p,q}=H^p(X_0,\mathcal{T}_{X_0/S}^q)\)를 대입하면 주어진 exact sequence를 얻는다.

위의 five-term exact sequence의 각 항은 앞서 살펴본 세 가지 data와 정확하게 일대일 대응한다. 우선 가운데의 canonical morphism \(T^1(X_0/S)\rightarrow H^0(X_0,\mathcal{T}_{X_0/S}^1)\)은 global deformation에서 gluing data를 잊고 각 affine 조각 위의 local deformation class들만 남기는 것이다. 따라서 그 codomain인 \(H^0(X_0,\mathcal{T}_{X_0/S}^1)\)은 각 조각 위의 local deformation class들 가운데 overlap 위에서 restriction이 서로 compatible한 모임이 된다.

이 morphism의 kernel인 왼쪽의 \(H^1(X_0,\mathcal{T}_{X_0/S}^0)\)은 각 affine 조각 위에서는 자명하지만, overlap 위에서 gluing isomorphism을 infinitesimal automorphism \(\mathcal{T}_{X_0/S}^0\)만큼 비틀어 얻는 locally trivial deformation을 분류한다. 반대로 differential \(d_2:H^0(X_0,\mathcal{T}_{X_0/S}^1)\rightarrow H^2(X_0,\mathcal{T}_{X_0/S}^0)\)는 compatible한 local deformation들의 representative와 overlap isomorphism을 골랐을 때, triple overlap에서 cocycle 조건이 만족되는지 판정하는 obstruction이다. 즉 \(d_2=0\)인 local class들만이 비로소 하나의 온전한 scheme deformation \(T^1(X_0/S)\)으로 붙을 수 있다.

또한 degree \(0\)에서는 \(E_2^{0,0}=E_\infty^{0,0}\)이므로 자연스러운 isomorphism \(T^0(X_0/S)\cong H^0(X_0,\mathcal{T}_{X_0/S}^0)\)이 성립하며, 이는 global infinitesimal automorphism이 곧 각 조각의 local automorphism들의 global section으로 이루어짐을 보여준다.

따름정리 13 \(X_0\)가 \(S\) 위에서 smooth하면 모든 \(i\)에 대하여

\[T^i(X_0/S)\cong H^i(X_0,\mathcal{T}_{X_0/S})\]

이다. 특히 first-order deformation들의 isomorphism class는 \(H^1(X_0,\mathcal{T}_{X_0/S})\)가 분류한다.

증명

Smooth한 경우 \(\LL_{X_0/S}\simeq\Omega_{X_0/S}\)이고 \(\Omega_{X_0/S}\)가 locally free이므로 \(q>0\)에서 \(\mathcal{T}_{X_0/S}^q=0\)이며 \(\mathcal{T}_{X_0/S}^0=\sHom_{\mathcal{O}_{X_0}}(\Omega_{X_0/S},\mathcal{O}_{X_0})=\mathcal{T}_{X_0/S}\)이다. 따라서 정리 12 (Local-to-global exact sequence)의 spectral sequence가 \(q=0\)인 한 행으로 퇴화한다.

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참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Deformation theory, Graduate Texts in Mathematics 257, Springer, 2010.
[Ill] L. Illusie, Complexe cotangent et déformations I, II, Lecture Notes in Mathematics 239, 283, Springer, 1971–1972.
[Stacks] The Stacks project authors, The Stacks project, stacks.math.columbia.edu.