대수

이제 우리는 \(A\)-algebra의 개념을 정의한다. 대수는 \(A\)-module \(M\) 위에 \(M\)의 덧셈구조 및 스칼라곱과 잘 호환되는 곱셈구조를 추가한 구조인데, 이는 abelian group \(G\) 위에 \(G\)의 덧셈과 호환되는 곱셈을 정의하는 것과 동일한 과정이다. 그러나 §환의 정의, ⁋정의 1을 그대로 사용하기에는 두 가지 문제가 있다.

우선 첫 번째 문제는 일반적인 ring \(A\)에 대하여 \(\lMod{A}\) 혹은 \(\rMod{A}\)는 monoidal category가 아니라는 것이다. 위의 정의에서 우리는 ring의 곱셈을 \(A\otimes A\rightarrow A\)으로 정의했는데, 마찬가지로 module 위의 곱셈을 정의하려 할 때 \(M\otimes_AM\)은 정의되지 않을 수 있으므로 이 방식을 사용할 수 없다. 이는 만일 \(A\)가 commutative ring이라면 \((\lMod{A},\otimes_A, A)\)가 symmetric monoidal category가 되므로, \(A\)가 commutative ring임을 가정하면 해결된다. (§가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, §§가환환 위에서 정의된 가군의 텐서곱)

두 번째 문제는 보다 현실적인 문제로, 이 구조가 많은 분야에서 널리 쓰이지만 각각의 경우에서 필요로 하는 성질들이 모두 다르다는 것이다. 즉 §환의 정의, ⁋정의 1를 그대로 반복하여, symmetric monoidal category \((\lMod{A},\otimes_A,A)\)의 monoid object \(E\)를 \(A\)-algebra라 부른다면 monoid object의 associativity axiom과 unit axiom 때문에 \(E\)의 곱셈은 항상 결합법칙을 만족하고 항등원을 가져야 한다. 반면 [리 이론] §리 군, ⁋정의 8과 같은 중요한 예시들은 이러한 조건을 만족하지 않을 수 있다.

이러한 이유들로 인하여, 앞으로 \(A\)는 항상 commutative ring인 것으로 생각하고, \(A\)-algebra는 가장 일반적인 형태로 두고 다음과 같이 정의한다.

정의 1 만일 \(A\)-module \(E\) 위에 \(A\)-bilinear map \(\mu:E\times E \rightarrow E\)가 주어져 있다면 \(E\)를 \(A\)-algebra_\(A\)-대수라 부른다. 또, \(E\)의 곱셈 \(\mu\)가 만족하는 성질에 따라 다음을 정의한다.

• 만일 \(E\)의 곱셈이 commutative라면 이를 commutative \(A\)-algebra_{가환 \(A\)-대수}라 부른다.
• 만일 \(E\)의 곱셈이 associative라면 이를 associative \(A\)-algebra_{결합 \(A\)-대수}라 부른다.
• 만일 \(E\)의 곱셈이 항등원을 가진다면 이를 unital \(A\)-algebra_{단위 \(A\)-대수}라 부른다.

그럼 \((\lMod{A},\otimes_A,A)\)의 monoid object는 정확히 associative unital \(A\)-algebra이다.

한편 associative unital \(A\)-algebra는 \(A\)-module \(E\) 위에 곱셈이 정의된 것으로 생각할 수도 있지만, ring \(E\) 위에 스칼라곱이 정의된 것으로 생각할 수도 있다. 임의의 ring homomorphism \(\rho:A \rightarrow E\)를 고정하고, \(\rho(A)\)가 \(E\)의 center \(Z(E)\)에 포함된다 가정하자. 그럼 \(E\)를 자기자신 위의 module로 보면, restriction of scalar

\[\rho^\ast:\lMod{E} \rightarrow \lMod{A}\]

을 통해 정의된 \(A\)-module \(\rho^\ast E\)를 생각할 수 있다. 그럼 \(\rho^\ast E\) 위에는 \(E\)의 곱셈을 통해 \(\mu:\rho^\ast E\times \rho^\ast E \rightarrow \rho^\ast E\)가 정의되어 있으며, 이 때

\[\mu(\alpha\cdot x, y)=(\rho(\alpha)x)y=\rho(\alpha)xy\]

이고 \(\rho(\alpha)\in Z(E)\)이므로 이를 통해 다음의 식

\[\alpha\cdot \mu(x,y)=\mu(\alpha\cdot x,y)=\mu(x,\alpha\cdot y)\]

을 확인할 수 있다. 거꾸로 임의의 associative unital \(A\)-algebra \(E\)가 주어지면

\[\rho_E:A\rightarrow E;\qquad \alpha\mapsto \alpha\cdot 1_E\]

는 ring homomorphism이 되며 이 구성은 서로의 역이 된다. 즉, 이들 데이터는 정확히 같은 것이며 이렇게 \(E\)에 \(A\)-algebra 구조를 주는 ring homomorphism \(\rho:A \rightarrow E\)를 structure morphism이라 부른다.

정의 2 두 \(A\)-algebra \(E,E'\)가 주어졌다 하자. \(A\)-module homomorphism \(u: E \rightarrow E'\)가 \(A\)-algebra homomorphism_{\(A\)-대수 준동형사상}이라는 것은 식

\[u(xy)=u(x)u(y)\]

가 모든 \(x,y\in E\)에 대해 성립하는 것이다. 만일 \(E\)와 \(E'\)가 unital이고 \(u(1)=1\)인 경우, 이를 unital \(A\)-algebra homomorphism이라 부른다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 3 \(A\)-algebra homomorphism의 합성은 \(A\)-algebra homomorphism이다. Bijective \(A\)-algebra homomorphism은 항상 isomorphism이다. 또, unital \(A\)-algebra homomorphism들의 합성은 unital이며, bijective unital \(A\)-algebra homomorphism의 역도 unital이다.

증명

합성이 \(A\)-algebra homomorphism인 것은 정의를 그대로 대입하면 얻어진다. 한편 bijective \(A\)-algebra homomorphism \(u:E\rightarrow E'\)에 대하여 \(u^{-1}\)이 \(A\)-linear라는 것은 §가군, ⁋명제 7의 결과이며, 임의의 \(x,y\in E'\)에 대하여 \(u(u^{-1}(x)u^{-1}(y))=xy\)이므로 \(u\)가 단사인 것으로부터 \(u^{-1}(xy)=u^{-1}(x)u^{-1}(y)\)를 얻는다. Unital \(A\)-algebra homomorphism의 경우, 이 계산에 더해 추가로 다음의 두 식

\[(u\circ v)(1)=u(1)=1,\qquad u(1)=1\implies 1=u^{-1}(1)\]

을 확인하면 된다.

따라서 \(A\)-algebra들의 category가 잘 정의되며, unital \(A\)-algebra들과 unital \(A\)-algebra homomorphism들의 category 또한 잘 정의된다. 우리는 associative unital \(A\)-algebra들과 unital \(A\)-algebra homomorphism들의 category를 \(\Alg{A}\)로 적고, 그 중 commutative한 것들로 이루어진 full subcategory를 \(\cAlg{A}\)라 적는다.

대수의 예시들

Abelian group 위에 free ring이 정의되듯이 임의의 \(A\)-module 위에는 free associative unital \(A\)-algebra가 정의된다. 이 과정은 §환의 정의, ⁋명제 4에서 만든 것과 완전히 동일한 것인데, 생각해보면 이는 당연한 것이, 우리가 추가로 보여야 할 것은 여기에서 정의한 곱셈이 \(A\)의 스칼라곱 구조와 호환된다는 것 뿐인데 이는 \(A\)가 commutative일 것을 요구함으로써 \(F(M)=\bigoplus_{n\geq 0}M^{\otimes n}\)에 스칼라곱 구조가 이미 정의되기 때문이다.

즉, 다음이 성립한다.

명제 4 임의의 \(A\)-module \(M\)에 대하여,

\[F(M)=\bigoplus_{n\geq 0} M^{\otimes n}\]

으로 정의하면 \(F\)는 forgetful functor \(\Alg{A} \rightarrow \lMod{A}\)의 left adjoint이다. ([범주론] §수반함자, ⁋정의 1)

위의 명제로부터 얻어지는 \(F(M)\)은 \(M\) 위에 정의되어 있는 데이터인 덧셈을 그대로 사용하고, 새로운 연산인 곱셈을 정의하여 얻어진다. 반면 적당한 group \(G\) 위에 정의된 곱셈을 이용하여 이를 \(A\)-algebra로 만드는 것도 가능하다.

정의 5 Commutative일 필요는 없는 ring \(A\)와 임의의 group \(G\)을 고정하자. 그럼 group ring_군환 \(AG\)는 우선, 집합으로서는 \(G\)에서 \(A\)로 가는 finitely supported인 함수들의 모임이며, 이 때 두 함수 \(\alpha:G \rightarrow A\), \(\beta: G \rightarrow A\)에 대하여 이들의 연산은

\[\alpha+\beta: x\mapsto \alpha(x)+\beta(x),\qquad \alpha\beta:x\mapsto \sum_{uv=x}\alpha(u)\beta(v)\]

으로 주어진다. 만일 \(A\)가 commutative ring이라면, \(AG\)는 자연스러운 \(A\)-module의 구조 또한 가지므로 associative unital \(A\)-algebra가 된다. 이 경우 \(AG\)는 group algebra_군대수라 부른다.

각각의 \(x\in G\)에 대하여, \(\delta_x: G \rightarrow A\)을 다음 식

\[\delta_x(y)=\begin{cases}1&\text{if $x=y$}\\0&\text{if $x\neq y$}\end{cases}\]

으로 정의하면, \(AG\)의 임의의 원소는 \(G\)의 원소로 index가 주어진 family \(\alpha_x\in A\)에 대하여

\[\sum_{x\in G} \alpha_x\delta_x,\qquad\text{$\alpha_x=0$ for all but finitely many $x$}\]

으로 적을 수 있다. 편의상 함수 \(\delta_x\)를 \(x\)로 쓰기로 하면, \(AG\)에서의 곱셈은 다음의 식

\[\left(\sum_{x\in G} \alpha_xx\right)\left(\sum_{y\in G} \beta_yy\right)=\sum_{x,y\in G}\alpha_x\beta_yxy=\sum_{z\in G}\left(\sum_{x\in G}\alpha_x\beta_{x^{-1}z}\right)z\]

으로 적을 수 있다. 그럼 다음이 성립한다.

명제 6 두 functor

\[A-: \Grp \rightarrow \Alg{A},\qquad (-)^\times:\Alg{A} \rightarrow \Grp\]

을 생각하자. 여기서 \((-)^\times\)는 임의의 \(A\)-algebra \(E\)가 주어졌을 때, unit들의 group \(E^\times\)를 주는 functor이다. 그럼 adjunction

\[A{-}\dashv (-)^\times\]

이 성립한다.

증명

즉, 임의의 group \(G\), \(A\)-algebra \(E\)에 대하여 다음의 isomorphism

\[\Hom_{\Alg{A}}(AG, E)\cong \Hom_\Grp(G, E^\times)\]

을 보여야 한다. 우선 group homomorphism \(f:G \rightarrow E^\times\)가 주어졌다 하자. 그럼 이로부터 다음의 식

\[\tilde{f}:AG \rightarrow E;\quad \sum_{x\in G} \alpha_x\delta_x\mapsto \sum_{x\in G} \alpha_xf(x)\]

으로 \(\tilde{f}:AG \rightarrow E\)를 정의할 수 있다. 그럼 \(\tilde{f}\)가 덧셈과 스칼라곱을 보존하는 것은 정의에서 곧바로 나오며, 곱셈의 경우에도

\[\begin{aligned}\tilde{f}\left(\left(\sum_{x\in G} a_xx\right)\left(\sum_{y\in G} b_yy\right)\right)&=\tilde{f}\left(\sum_{x,y\in G}a_xb_yxy\right)=\tilde{f}\left(\sum_{z\in G}\left(\sum_{x\in G}a_xb_{x^{-1}z}\right)z\right)\\&=\sum_{z\in G}\left(\sum_{x\in G}a_xb_{x^{-1}z}\right)f(z)=\sum_{x,y\in G} a_xb_yf(xy)\\&=\left(\left(\sum_{x\in G} a_xf(x)\right)\left(\sum_{y\in G} b_yf(y)\right)\right)=\tilde{f}\left(\sum_{x\in G} a_xx\right)\tilde{f}\left(\sum_{y\in G} b_yy\right)\end{aligned}\]

이므로 원하는 식이 성립한다. 또한

\[\tilde{f}(1_{AG})=\tilde{f}(\delta_e)=f(e)=1_E\]

이므로 \(\tilde{f}\)는 unital이다. 거꾸로 임의의 unital \(A\)-algebra homomorphism \(u: AG \rightarrow E\)가 주어졌다 하면, 다음의 식

\[\bar{u}: G \rightarrow E;\qquad x\mapsto u(\delta_x)\]

을 통해 정의된 함수는 곱셈을 보존한다. 이는 임의의 \(x,y\in G\)에 대하여,

\[\bar{u}(xy)=u(\delta_{xy})=u(\delta_x\delta_y)=u(\delta_x)u(\delta_y)=\bar{u}(x)\bar{u}(y)\]

이 성립하기 때문이다. 또 \(u\)가 \(1_{AG}=\delta_e\)를 \(1_E\)로 보내므로 임의의 \(x\in G\)에 대하여

\[\bar{u}(x)\bar{u}(x^{-1})=u(\delta_x\delta_{x^{-1}})=u(\delta_e)=1_E\]

이고, 따라서 \(\bar{u}\)의 image는 \(E^\times\)에 속한다. 이 두 과정이 서로의 역인 것은, \(\tilde{f}\)가 \(\delta_x\)를 \(f(x)\)로 보내므로 \(\bar{\tilde{f}}=f\)이고, 거꾸로 \(\delta_x\)들이 \(AG\)를 \(A\)-module로서 생성하므로 \(\delta_x\) 위에서 일치하는 두 \(A\)-algebra homomorphism \(\tilde{\bar{u}}\)와 \(u\)가 같기 때문이다.

마지막 예시는 이미 어느정도 친숙한 것으로, §등급환, ⁋예시 5에서 ring으로서 잠깐 살펴본 것을 \(A\)-algebra로 다시 보는 것이다. 앞서 정의 5에서 우리는 일반적인 group ring을 정의하기 위해 예외적으로 \(A\)가 commutative가 아닌 경우를 생각했지만, \(A\)-algebra를 다룰 때는 항상 \(A\)가 commutative ring이도록 가정했던 것은 여전히 유효하다.

정의 7 Commutative ring \(A\)에 대하여, polynomial algebra_{다항식 대수} \(A[\x]\)는 집합으로서는

\[A[\x]=\{p(\x)=a_n\x^n+\cdots+a_1\x+a_0\mid a_i\in A\}\]

이고, 이 때 덧셈과 곱셈은 다항식의 덧셈과 곱셈으로 주어지며 \(A\)의 스칼라곱도 마찬가지로 다항식의 상수배로 주어진다. 더 일반적으로 임의의 집합 \(S\)에 대하여 \(A[S]\) 또한 비슷한 방식으로 정의할 수 있다.

다변수 다항식 \(A[S]\)의 경우, 표기의 편의를 위하여 이를 \(\lvert S\rvert=\lvert I\rvert\)를 만족하는 index set \(I\)를 택한 후 \(S\)의 원소들을 \(\x_i\)들로 두는 것이 일반적이다. 그럼 임의의

\[\alpha=(\alpha_i)_{i\in I}\in \mathbb{N}_{\geq0}^I\qquad\text{finitely supported}\]

에 대하여

\[\x^\alpha=\prod_{i\in I}\x_i^{\alpha_i}\]

으로 적고, \(A[\x_i]_{i\in I}\)의 원소들은 다음 식

\[\sum_{d=0}^n \sum_{\lvert\alpha\rvert=d} a_\alpha\x^\alpha,\qquad\text{$a_\alpha=0$ for all but finitely many $\alpha$}\]

으로 적을 수 있다. 이 때 \(\lvert\alpha\rvert=\sum_{i\in I}\alpha_i\)이다.

마찬가지로 polynomial algebra 또한 다음의 universal property를 만족한다.

명제 8 집합 \(S\)를 받아서, \(S\)의 각 원소를 변수로 갖는 polynomial algebra \(A[\x_i]_{i\in I}\)를 대응시키는 functor \(A[-]:\Set \rightarrow \cAlg{A}\)는 forgetful functor \(U: \cAlg{A} \rightarrow \Set\)의 left adjoint이다.

증명

즉 다음의 isomorphism

\[\Hom_{\cAlg{A}}(A[\x_i]_{i\in I}, E)\cong\Hom_\Set(S, UE)\]

을 보여야 한다. 우선 임의의 함수 \(f:S \rightarrow U(E)\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\tilde{f}: A[\x_i]_{i\in I} \rightarrow E\)를 다음 식

\[\tilde{f}: \sum_{d=0}^n \sum_{\lvert\alpha\rvert=d} a_\alpha\x^\alpha\mapsto \sum_{d=0}^n\sum_{\lvert\alpha\rvert=d}a_\alpha\prod_{i\in I}f(\x_i)^{\alpha_i}\]

으로 보내는 함수는 \(A[\x_i]_{i\in I}\)에서 \(E\)로의 \(A\)-algebra homomorphism이 된다. 실제로 \(\tilde{f}\)는 정의에 의해 \(A\)-linear이고, monomial 위에서 \(\tilde{f}(\x^\alpha\x^\beta)=\tilde{f}(\x^{\alpha+\beta})=\tilde{f}(\x^\alpha)\tilde{f}(\x^\beta)\)가 성립하므로 분배법칙에 의해 곱셈을 보존하며, \(\alpha=0\)인 항으로부터 \(\tilde{f}(1)=1\)이다.

거꾸로 임의의 unital \(A\)-algebra homomorphism \(u:A[\x_i]_{i\in I} \rightarrow E\)가 주어졌을 때, \(\bar{u}:S \rightarrow UE\)는 \(\x_i\mapsto u(\x_i)\)으로 정의하면 된다. 이 두 대응이 서로의 역인 것은, \(\tilde{f}\)가 \(\x_i\)를 \(f(\x_i)\)로 보내므로 \(\bar{\tilde{f}}=f\)이고, 거꾸로 \(\x_i\)들이 \(A[\x_i]_{i\in I}\)를 \(A\)-algebra로서 생성하므로 \(\x_i\) 위에서 일치하는 두 \(A\)-algebra homomorphism \(\tilde{\bar{u}}\)와 \(u\)가 같기 때문이다.

즉 polynomial algebra는 일종의 free commutative associative unital \(A\)-algebra라고 생각할 수 있다. 정의 5와 정의 7을 비교하면 약간의 유사성이 있는데, 정의 5를 일반화하여 monoid ring을 생각하면, 정의 7의 polynomial ring은 \(\x^\alpha\) 꼴의 원소들을 모아둔 monoid로 만들어진 monoid ring이 된다.

부분대수, 아이디얼과 몫대수

정의 9 \(A\)-algebra \(E\)의 submodule \(F\)가 곱셈에 대해 닫혀있다면 \(F\)를 \(E\)의 subalgebra_부분대수라 부른다. 또한 \(E\)가 unital이고 \(1_E\in F\)라면 \(F\)를 unital subalgebra_{단위 부분대수}라 부른다.

한편, 우리는 앞서 §환의 정의, ⁋정의 7에서 정의한 것과 같이 \(A\)-algebra의 ideal 또한 정의한다.

정의 10 \(A\)-algebra \(E\)의 submodule \(\mathfrak{a}\)가 \(E\)의 left ideal_{왼쪽 아이디얼}이라는 것은 임의의 \(x\in \mathfrak{a}\)와 \(\alpha\in E\)에 대하여 \(\alpha x\in \mathfrak{a}\)가 성립하는 것이다. 비슷하게 right ideal_{오른쪽 아이디얼} 또한 정의한다. Left ideal이면서 right ideal인 것을 two-sided ideal_{양쪽 아이디얼}이라 부른다.

특히 \(E\)가 associative unital인 경우, \(A\)-algebra의 ideal은 \(E\) 위에 정의된 \(A\)-action을 잊어버리고 \(E\)를 ring으로 봤을 때의 ideal과 같다. 실제로 임의의 \(\alpha\in A\)와 \(x\in E\)에 대하여 \(\alpha\cdot x=(\alpha\cdot 1_E)x\)이고, 따라서 ring으로서의 ideal은 자동으로 submodule이 된다. 반면 정의 9의 unital subalgebra는 \(1_E\)을 포함하므로, ideal이면서 unital subalgebra인 것은 \(E\) 자신뿐이다. 예시로 \(A\)-algebra homomorphism \(u:E \rightarrow F\)의 kernel

\[\ker u=\{x\in E\mid u(x)=0\}\]

은 \(E\)의 two-sided ideal이다. 그럼 다음을 정의할 수 있다.

정의 11 임의의 \(A\)-algebra \(E\)와 \(E\)의 two-sided ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, \(E/\mathfrak{a}\)를 \(\mathfrak{a}\)에 의한 \(E\)의 quotient algebra_몫대수라 부른다.

Two-sided ideal 조건에 의하여

\[(x+\mathfrak{a})(y+\mathfrak{a})=xy+\mathfrak{a}\]

는 representative의 선택과 무관하게 잘 정의된다. 또한 \(\mathfrak{a}\)가 submodule이므로 \(E\)의 덧셈과 \(A\)-action도 \(E/\mathfrak{a}\)로 내려가며, 이로부터 \(E/\mathfrak{a}\)가 \(A\)-algebra임을 얻는다. \(E\)가 associative, commutative, 또는 unital이면 \(E/\mathfrak{a}\)도 각각 같은 성질을 갖는다. 또, 다음이 성립한다.

명제 12 \(A\)-algebra homomorphism \(u:E \rightarrow F\)와 kernel \(\ker u\)에 대하여, 다음이 성립한다.

1. \(\ker u\)는 \(E\)의 two-sided ideal이며, \(x+\ker u \mapsto u(x)\)가 잘 정의된 isomorphism \(E/\ker u \rightarrow \im u\)을 정의한다.
2. \(E\)의 subalgebra \(E'\)에 대하여, \(E'+\ker u=\{x'+y\mid x'\in E', y\in\ker u\}\)는 \(E\)의 subalgebra이고, \(E'\cap\ker u\)는 \(E'\)의 two-sided ideal이 되며, isomorphism \((E'+\ker u)/\ker u\cong E'/(E'\cap \ker u)\)이 존재한다.
3. \(E\)의 두 two-sided ideal \(\mathfrak{a}, \mathfrak{b}\)가 \(\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{a}\)를 만족한다면, \(\mathfrak{a}/\mathfrak{b}\)는 \(E/\mathfrak{b}\)의 two-sided ideal이고 \((E/\mathfrak{b})/(\mathfrak{a}/\mathfrak{b})\cong E/\mathfrak{a}\)이 성립한다.
4. \(E\)의 two-sided ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, \(E/\mathfrak{a}\)의 two-sided ideal의 집합과, \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 \(E\)의 two-sided ideal들의 집합 사이의 inclusion-preserving bijection이 존재한다.

각 항의 증명은 §몫환, 환 동형사상, ⁋정리 3과 같은 구성으로 얻어진다. 여기에는 덧셈과 bilinear한 곱셈, two-sided ideal 조건만 사용되며, 각 map이 \(A\)-linear라는 것은 대응하는 subset이 \(E\)의 \(A\)-action에 닫혀 있다는 데서 나온다. 따라서 네 주장은 associativity, commutativity, unit을 가정하지 않은 \(A\)-algebra에 대해 성립한다. 등장하는 \(A\)-algebra들이 associative 또는 commutative인 경우에도 같은 구성이 그 성질을 보존하며, unital \(A\)-algebra와 unital homomorphism 및 unital subalgebra를 사용하는 경우에는 위의 isomorphism들도 unital이다.

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참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.