대수의 직접곱, 직합, 텐서곱

우리는 §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱에서 module들의 연산을, §환의 곱, 쌍대곱, 텐서곱에서 ring들의 연산을 살펴보았다. \(A\)-algebra는 \(A\)-module 위에 bilinear한 곱셈을 추가한 구조이므로 (§대수, ⁋정의 1), module의 단계에서 정의된 연산들 위에 곱셈이 잘 따라오는지를 확인하는 것이 이번 글의 내용이다. §대수에서와 마찬가지로 \(A\)는 항상 commutative ring이다.

대수의 직접곱과 직합

\(A\)-algebra들의 family \((E_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. 그럼 우선 \(A\)-module로서의 direct product \(\prod_{i\in I}E_i\)를 생각할 수 있고, 이 위에 성분별 곱셈을 주는 것이 자연스럽다.

명제 1 \(A\)-algebra들의 family \((E_i)_{i\in I}\)에 대하여, \(A\)-module \(\prod_{i\in I}E_i\) 위에 다음의 식

\[(x_i)_{i\in I}(y_i)_{i\in I}=(x_iy_i)_{i\in I}\]

으로 곱셈을 정의하면 \(\prod_{i\in I}E_i\)는 \(A\)-algebra가 된다. 또, 모든 \(E_i\)들이 associative (resp. commutative, unital)라면 \(\prod_{i\in I}E_i\)도 그러하다.

증명

위의 곱셈이 \(A\)-bilinear인 것을 보여야 한다. 임의의 \(\alpha\in A\)와 \(x=(x_i),y=(y_i),z=(z_i)\in\prod E_i\)에 대하여, 각 성분에서 \(E_i\)의 곱셈이 \(A\)-bilinear이므로

\[\bigl((\alpha x+y)z\bigr)_i=(\alpha x_i+y_i)z_i=\alpha(x_iz_i)+y_iz_i=\bigl(\alpha(xz)+yz\bigr)_i\]

이고, 둘째 변수에 대해서도 마찬가지이다. 결합법칙과 교환법칙은 성분별로 확인되며, 모든 \(E_i\)가 항등원 \(1_{E_i}\)를 갖는다면 \((1_{E_i})_{i\in I}\)가 \(\prod E_i\)의 항등원이 된다.

이를 다음과 같이 이름붙인다.

정의 2 명제 1에서 정의된 곱셈이 주어진 \(A\)-algebra \(\prod_{i\in I}E_i\)를 \(E_i\)들의 direct product_직접곱라 부른다. Canonical projection \(\pr_i:\prod E_i \rightarrow E_i\)들은 모두 \(A\)-algebra homomorphism이다.

그럼 이렇게 정의한 direct product는 \(A\)-algebra들의 category에서의 product이다, 즉, 다음의 universal property가 성립한다.

명제 3 임의의 \(A\)-algebra \(F\)와 \(A\)-algebra homomorphism들 \(u_i:F \rightarrow E_i\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\pr_i\circ u=u_i\)가 모든 \(i\)에 대해 성립하도록 하는 유일한 \(A\)-algebra homomorphism \(u:F \rightarrow \prod_{i\in I}E_i\)가 존재한다.

증명

\(A\)-module의 단계에서 product의 universal property에 의하여 (§가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋정리 1) 조건을 만족하는 유일한 \(A\)-linear map \(u:F \rightarrow\prod E_i\), 즉 \(u(x)=(u_i(x))_{i\in I}\)가 존재한다. 이것이 곱셈을 보존하는 것은 각각의 \(u_i\)가 곱셈을 보존한다는 것으로부터

\[u(xy)=(u_i(xy))_{i\in I}=(u_i(x)u_i(y))_{i\in I}=u(x)u(y)\]

이기 때문이다.

한편, 우리는 다른 algebraic structure들에서 했던 것처럼 direct product 안의 finitely supported인 원소들을 생각할 수 있다.

명제 4 \(A\)-module direct sum \(\bigoplus_{i\in I}E_i\)는 direct product \(\prod_{i\in I}E_i\)의 two-sided ideal이다. 특별히 \(I\)가 유한집합이라면 \(\bigoplus_{i\in I}E_i=\prod_{i\in I}E_i\)이다.

증명

\(\bigoplus E_i\)가 \(\prod E_i\)의 submodule인 것은 정의에 의한 것이므로, 흡수조건만 확인하면 된다. 임의의 \(x=(x_i)\in\bigoplus E_i\)와 \(\alpha=(\alpha_i)\in\prod E_i\)에 대하여, 성분별 곱 \(\alpha x=(\alpha_ix_i)\)의 \(i\)번째 성분이 \(0\)이 아니려면 \(x_i\neq 0\)이어야 하므로 \(\alpha x\)의 support는 \(x\)의 support에 포함된다. 이는 유한집합이므로 \(\alpha x\in\bigoplus E_i\)이고, \(x\alpha\)의 경우도 마찬가지이다. 마지막으로 \(I\)가 유한집합이라면 finitely supported 조건이 저절로 성립하므로 두 집합이 일치한다.

정의 5 Direct product의 곱셈을 제한하여 얻어지는 (possibly non-unital) \(A\)-algebra \(\bigoplus_{i\in I}E_i\)를 \(E_i\)들의 direct sum_직합이라 부른다.

주의할 것은 이것이 \(A\)-algebra의 category에서의 coproduct가 아니라는 것이다. 우선 §대수, ⁋정의 1의 일반적인 의미에서 보더라도 canonical injection \(\iota_j:E_j\hookrightarrow\bigoplus E_i\)는 덧셈과 스칼라곱, 그리고 곱셈을 모두 보존하지만, 이들 데이터가 universal property를 만족하지는 않는다. 가령 \(E_1=E_2=A\)이고,

\[f_i: E_i\rightarrow A\]

각각이 \(\id_A\)로 주어진 상황을 생각해보자. \(E_1\oplus E_2\)가 coproduct이기 위해서는 다음의 diagram

을 commute하도록 하는 \(f: E_1\oplus E_2\rightarrow A\)가 존재해야 한다. 그런데 임의의 \((a,b)\in E_1\oplus E_2\)에 대하여,

\[f\bigl((a,b)\bigr)=f\bigl((a,0)+(0,b)\bigr)=f\bigl((a,0)\bigr)+f\bigl((0,b)\bigr)=(f\circ\iota_1)(a)+(f\circ\iota_2)(b)=a+b\]

여야 하는데, 다음의 두 계산

\[f\bigl((a,b)(c,d)\bigr)=ac+bd\neq (a+b)(c+d)=f(a,b)f(c,d)\]

에 의해 \(f\)는 곱셈을 보존하지 못한다.

한편 \(A\)-algebra와 그 homomorphism이 항상 unital이라는 우리의 관례 아래에서는 상황이 더 나쁘다. \(\iota_j\)는 \(1_{E_j}\)를 \(\bigoplus E_i\)의 항등원으로 보내지 않으므로 애초에 \(A\)-algebra homomorphism이 아니며, \(I\)가 무한집합이고 모든 \(E_i\)가 nonzero라면 명제 4의 \(\bigoplus E_i\)는 \(\prod E_i\)의 진부분 ideal이라 항등원을 갖지 않는다.

대수의 텐서곱

Commutative \(A\)-algebra들의 category에서 올바른 coproduct의 개념을 주는 것은 tensor product이다. 기본적으로 이는 \(A\)-module \(E\otimes_AE'\) (§가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋명제 8) 위에 곱셈을 적당히 정의하여 얻어지는 \(A\)-algebra로, 우리가 원하는 곱셈은 다음의 식

\[(x\otimes x')(y\otimes y')=xy\otimes x'y'\tag{1}\]

으로 주어지는 것이다. 그러나 일반적으로 \(E\otimes_AE'\)의 원소가 \(x\otimes x'\) 꼴의 원소들의 합으로 유일하게 표현되는 것은 아니므로 이 식이 잘 정의된 \(A\)-bilinear map을 주는지부터 확인해야 한다.

명제 6 두 \(A\)-algebra \(E,E'\)에 대하여, 식 \((1)\)을 만족하는 \(A\)-bilinear map \(\mu:(E\otimes_AE')\times(E\otimes_AE') \rightarrow E\otimes_AE'\)이 유일하게 존재한다.

증명

우선 \((y,y')\in E\times E'\)를 고정하자. 그럼 함수

\[E\times E' \rightarrow E\otimes_AE';\qquad (x,x')\mapsto xy\otimes x'y'\]

은 \(E,E'\)의 곱셈이 각 변수에 대해 \(A\)-linear이므로 \(A\)-bilinear이고, 따라서 §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋명제 8의 universal property에 의하여 \(x\otimes x'\mapsto xy\otimes x'y'\)이도록 하는 유일한 \(A\)-linear map \(m_{(y,y')}:E\otimes_AE' \rightarrow E\otimes_AE'\)을 유도한다.

이제 대응 \((y,y')\mapsto m_{(y,y')}\)를 생각하면, 이는 \(E\times E'\)에서 \(\End_{\lMod{A}}(E\otimes_AE')\)로 가는 함수이며, 다시 곱셈의 bilinearity에 의해 \(A\)-bilinear이다. 가령

\[m_{(\alpha y+z,y')}(x\otimes x')=x(\alpha y+z)\otimes x'y'=\alpha(xy\otimes x'y')+xz\otimes x'y'=\bigl(\alpha m_{(y,y')}+m_{(z,y')}\bigr)(x\otimes x')\]

이 generator들 위에서 성립하므로 \(m_{(\alpha y+z,y')}=\alpha m_{(y,y')}+m_{(z,y')}\)이다. 따라서 한 번 더 universal property를 적용하면 \(y\otimes y'\mapsto m_{(y,y')}\)이도록 하는 \(A\)-linear map \(\tilde{m}:E\otimes_AE' \rightarrow \End_{\lMod{A}}(E\otimes_AE')\)을 얻는다. 이제

\[\mu(s,t)=\tilde{m}(t)(s)\]

로 정의하면 \(\mu\)는 각 변수에 대해 \(A\)-linear이고, generator들 위에서 식 \((1)\)을 만족한다. 유일성은 \(E\otimes_AE'\)이 \(x\otimes x'\) 꼴의 원소들로 생성된다는 것으로부터 자명하다.

정의 7 두 \(A\)-algebra \(E,E'\)에 대하여, 명제 6의 곱셈이 주어진 \(A\)-algebra \(E\otimes_AE'\)을 \(E\)와 \(E'\)의 tensor product_텐서곱라 부른다.

Direct product에서와 마찬가지로, tensor product는 두 대수의 성질을 그대로 물려받는다. 가령 \(E,E'\)이 모두 associative라면 generator들 위에서

\[\bigl((x\otimes x')(y\otimes y')\bigr)(z\otimes z')=(xy)z\otimes (x'y')z'=x(yz)\otimes x'(y'z')=(x\otimes x')\bigl((y\otimes y')(z\otimes z')\bigr)\]

이므로 \(E\otimes_AE'\)도 associative이고, 같은 방식으로 \(E,E'\)이 commutative라면 \(E\otimes_AE'\)도 commutative이다. 또 \(E,E'\)이 unital이라면 \(1_E\otimes 1_{E'}\)이 \(E\otimes_AE'\)의 항등원이 된다. 특히 \(E,E'\)이 associative unital이라면 두 \(A\)-algebra homomorphism

\[\iota:E \rightarrow E\otimes_AE';\quad x\mapsto x\otimes 1_{E'},\qquad \iota':E' \rightarrow E\otimes_AE';\quad x'\mapsto 1_E\otimes x'\]

이 정의되며, 이들의 image는 서로 commute한다. 즉 \((x\otimes 1)(1\otimes x')=x\otimes x'=(1\otimes x')(x\otimes 1)\)이다.

우리가 처음 도입했던 것과 같이, tensor product는 commutative \(A\)-algebra들의 category에서 coproduct가 된다. 이를 설명하는 것이 다음의 정리이다.

정리 8 Commutative \(A\)-algebra \(E,E'\)과, 임의의 commutative \(A\)-algebra \(F\), 그리고 항등원을 보존하는 \(A\)-algebra homomorphism들 \(u:E \rightarrow F\), \(u':E' \rightarrow F\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(w\circ\iota=u\), \(w\circ\iota'=u'\)을 만족하는 유일한 \(A\)-algebra homomorphism \(w:E\otimes_AE' \rightarrow F\)가 존재한다.

증명

함수 \(E\times E' \rightarrow F\)를 \((x,x')\mapsto u(x)u'(x')\)으로 정의하면 이는 \(A\)-bilinear이므로, \(w(x\otimes x')=u(x)u'(x')\)이도록 하는 유일한 \(A\)-linear map \(w:E\otimes_AE' \rightarrow F\)가 존재한다. \(w\)가 곱셈을 보존하는 것은 generator들 위에서 확인하면 충분한데,

\[w\bigl((x\otimes x')(y\otimes y')\bigr)=w(xy\otimes x'y')=u(xy)u'(x'y')=u(x)u(y)u'(x')u'(y')=u(x)u'(x')u(y)u'(y')=w(x\otimes x')w(y\otimes y')\]

이고, 네 번째 등식에서 \(F\)가 commutative라는 가정이 사용되었다. 또 \(w(1_E\otimes 1_{E'})=u(1_E)u'(1_{E'})=1_F\)이며, \(w\circ\iota=u\)와 \(w\circ\iota'=u'\)은 정의로부터 자명하다.

유일성을 보이자. \(w'\)이 같은 조건을 만족한다면, 임의의 generator에 대하여

\[w'(x\otimes x')=w'\bigl((x\otimes 1_{E'})(1_E\otimes x')\bigr)=w'(\iota(x))w'(\iota'(x'))=u(x)u'(x')=w(x\otimes x')\]

이므로 \(w'=w\)이다.

즉, \(E\otimes_AE'\)은 commutative \(A\)-algebra들의 category에서 \(E\)와 \(E'\)의 coproduct이다.

예시 9 Polynomial algebra들의 tensor product는 변수들을 합친 polynomial algebra이다. 즉

\[A[\x]\otimes_AA[\y]\cong A[\x,\y]\]

이 성립한다. 이는 §대수, ⁋명제 8에서 살펴본 functor \(A[-]:\Set \rightarrow \cAlg{A}\)가 left adjoint라는 사실로부터 나온다. Left adjoint는 colimit을 보존하므로, 한 점 집합들의 (집합에서의) coproduct \(\{\x\}\sqcup\{\y\}=\{\x,\y\}\)를 \(\cAlg{A}\)에서의 coproduct로 보내고, 정리 8에 의하여 이는 정확히 tensor product이기 때문이다. 물론 두 isomorphism \(\x\otimes 1\mapsto \x\), \(1\otimes \y\mapsto \y\)를 직접 확인할 수도 있다.

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참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.

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