제한합

앞서 우리는 §군의 직접곱에서 $\Grp$에서 임의의 product가 존재한다는 것을 확인하였고, §군 준동형사상에서 $\Grp$의 임의의 morphism은 equalizer를 갖는다는 것을 확인하였다. 따라서 [범주론] §극한, ⁋예시 7 (Equalizer) 이후의 논증에 의해 $\Grp$은 complete category가 된다.

한편 $\Grp$의 임의의 morphism은 coequalizer를 갖는다. (§군 동형사상, ⁋명제 8) 따라서 $\Grp$이 임의의 coproduct를 갖는다면, $\Grp$은 cocomplete category가 되고 따라서 bicomplete category가 될 것이다.

그러나 §군의 직접곱, ⁋보조정리 1과 같이 $\Set$에서의 coproduct $\coprod G_i$ 위에 group 구조를 주는 방법을 자명하게 찾는 것은 힘들어 보인다. ([집합론] §집합의 합, ⁋명제 5)

그 대신 우리는 이미 존재를 아는 product $\prod G_i$ 안에서 답을 찾는다. 각 $G_i$를 $\prod G_i$의 subgroup으로 보고 이들이 함께 생성하는 subgroup을 생각하는 것으로, 이 글에서 우리는 이렇게 얻어지는 group을 weak direct product라 부르고 그 universal property를 확인한다.

다만 이 universal property에는 서로 다른 $G_i$에서 오는 homomorphism들의 image가 commute해야 한다는 조건이 따라붙어, weak direct product는 적어도 abelian group들에 대해서는 우리가 찾던 구성이 되지만 일반적인 group에 대해서는 그렇지 못하다. 다음 글에서는 이번 글과는 다른 방식을 통해 임의의 group들에 대하여도 coproduct의 universal property를 만족하는 group이 존재함을 보인다.

Restricted sum

Group들의 family $(G_i)$와, 이들의 product가 주어졌다 하자. 각 $i$에 대하여 $g\in G_i$를 $i$번째 성분만 $g$이고 나머지 성분은 항등원인 원소로 보내는 함수 $\iota_i:G_i\rightarrow\prod G_i$는 injective group homomorphism이므로, $G_i$들 각각은 $\iota_i$를 통해 $\prod G_i$의 subgroup으로 볼 수 있다. 자연스럽게 다음의 식

\[\prod_{i\in I} G_i=\left\langle\bigcup \iota_i(G_i)\right\rangle\]

이 성립하는지를 생각할 수 있다. 이 식은 $I$가 무한집합이라면 거의 대부분 성립하지 않는다. 가장 간단한 예시로, $I=\mathbb{N}$이라 잡고 $G_i=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{\bar{0}, \bar{1}\}$이라 하자. 그럼, 예를 들어 좌변은 원소

\[(\bar{1},\bar{1},\cdots)\]

를 포함하지만, 우변은 $\iota_i(\bar{1})$들의 유한한 연산을 통해 얻어지는 원소만을 포함하므로 위의 원소를 포함할 수 없다.

정의 1 Group들의 family $(G_i)$가 주어졌다 하고, $G_i$들의 subgroup $H_i$들을 고정하자. 그럼 유한개를 제외한 모든 $i$에 대해 $\pr_ix\in H_i$를 만족하는 $x$들로 이루어진 subgroup을 $H_i$에 대한 $G_i$들의 restricted sum_제한합이라 부르고 $\prod^H G_i$라 표현한다.

특별히 모든 $i$에 대해 $H_i=\{e\}$인 경우 $G_i$들의 weak direct product_{약한 직접곱}라 부르고, 간단히

\[{\prod_{i\in I}}^w G_i\]

으로 표기한다.

표기법 $\prod^H$는 그렇게까지 좋은 표기법은 아니지만, 다행히 우리는 weak direct product에만 관심이 있으므로 이 표기를 다시 쓸 일은 없다.

정의에 의해

\[\left\langle\bigcup \iota_i(G_i)\right\rangle={\prod_{i\in I}}^w G_i\]

이 성립한다. 특히 $\iota_i$의 image는 $\prod^w G_i$에 포함되므로, 앞으로 $\iota_i$는 $\prod^w G_i$로 가는 injective homomorphism으로 본다. 또, 만일 $I$가 유한집합이라면 weak direct product는 보통의 direct product와 동일하다.

그럼 $\prod^wG_i$는 다음과 같은 universal property를 갖는다.

정리 2 Group들의 family $(G_i)$와 이들의 weak direct product $\prod^w G_i$가 주어졌다 하자. 또 다른 group $H$에 대하여, group homomorphism들 $f_i:G_i\rightarrow H$가 다음의 조건

임의의 $i\neq j$에 대하여 $x\in G_i$이고 $y\in G_j$라면, $f_i(x)f_j(y)=f_j(y)f_i(x)$

을 만족한다면, 유일한 group homomorphism $f:\prod^w G_i\rightarrow H$가 존재하여 $f_i=f\circ\iota_i$가 임의의 $i$에 대해 성립한다.

증명

우선 유일성부터 보이자. 만일 $f, f'$가 위의 식을 만족한다면, 이들은 $\bigcup\iota_i(G_i)$에서 같은 값을 가져야 하므로 $\prod^w G_i$에서도 같은 값을 가져야 하고 따라서 $f=f'$여야 한다.

이제 $f$의 존재성을 보여야 한다. 임의의 $x\in \prod^w G_i$에 대하여, $f(x)$를 다음의 식

\[f(x)=\prod_{i\in I} f_i(\pr_ix)\]

으로 정의하자. 이 때 $\prod$는 일반적인 원소들의 곱을 의미한다. $x$는 $\prod^w G_i$의 원소이므로, 우변의 $f_i(\pr_ix)$는 유한개의 $i$를 제외하면 모두 항등원이다. 또, 우변의 원소의 항등원이 아닌 인자들은 서로 다른 index에서 오므로 가설에 의해 서로 commute하고, 따라서 곱하는 순서와 무관하게 이 곱은 잘 정의된다.

식 $f_i=f\circ\iota_i$가 성립하는 것은 $f(\iota_i(g))=\prod_{j\in I}f_j(\pr_j\iota_i(g))=f_i(g)$로부터 얻어지고, $f$가 group homomorphism인 것은 임의의 $x,y\in\prod^wG_i$에 대해

\[f(xy)=\prod_{i\in I}f_i(\pr_i(xy))=\prod_{i\in I}f_i(\pr_ix)f_i(\pr_iy)\]

가 성립하므로, $\pr_ix$와 $\pr_iy$ 중 적어도 하나가 $e_i$가 아니도록 하는 유한개의 값만 골라 이 index들을 $1,\ldots, n$이라 하면 이 식은

\[f_1(\pr_1x)f_1(\pr_1y)f_2(\pr_2x)f_2(\pr_2y)\cdots f_n(\pr_nx)f_n(\pr_ny)\]

가 되고, 이 때 $f_i(\pr_ix)$와 $f_j(\pr_jy)$는 $i\neq j$라면 항상 commute하므로 이 식을

\[f_1(\pr_1x)f_2(\pr_2x)\cdots f_n(\pr_nx)f_1(\pr_1y)f_2(\pr_2y)\cdots f_n(\pr_ny)\]

으로 바꾸어 쓸 수 있다. 따라서 $f(xy)=f(x)f(y)$이고 $f$는 group homomorphism이 된다.

$f_i$들에 걸려있는 조건

임의의 $i\neq j$에 대하여 $x\in G_i$이고 $y\in G_j$라면, $f_i(x)f_j(y)=f_j(y)f_i(x)$

은 필연적으로 나와야 할 조건인데, 이 조건들이 정확히 $\iota_i$들이 만족하는 조건이기 때문이다. 이로 인해 정리 2이 abelian group들에 대해서만 우리의 물음에 대한 답이 된다.

Weak direct product의 universal property를 이용하면 direct product때와 유사한 몇몇 성질들을 보일 수 있다. 예컨대 다음이 성립한다.

명제 3 $G_i$들이 group이고, $H_i$들이 $G_i$들의 normal subgroup이라 하면 $\prod^w H_i$들 또한 $\prod^w G_i$들의 normal subgroup이고 그 quotient group은 $\prod^w (G_i/H_i)$와 같다.

증명

Canonical homomorphism들 $p_i:G_i\rightarrow G_i/H_i$를 생각하자. 임의의 $x\in\prod^wG_i$에 대하여 $\bigl(p_i(\pr_ix)\bigr)_{i\in I}$는 유한개의 $i$를 제외하면 모두 항등원이므로 $\prod^w(G_i/H_i)$의 원소이고, 이렇게 얻어지는 함수 $p:\prod^wG_i\rightarrow\prod^w(G_i/H_i)$는 각 성분에서 $p_i$가 homomorphism이므로 homomorphism이다.

$\prod^w(G_i/H_i)$의 원소 $y$가 주어지면 $\pr_iy$가 항등원인 $i$에서는 representative로 $e$를 택하고 남은 유한개의 $i$에서는 임의의 representative를 택하여 $\prod^wG_i$의 원소를 얻을 수 있으므로 $p$는 전사이다. 또 $p(x)$가 항등원인 것은 임의의 $i$에 대하여 $\pr_ix\in H_i$인 것과 동치이므로 $\ker p=\prod^wH_i$이다. 따라서 §군 동형사상, ⁋보조정리 1에 의해 $\prod^wH_i$는 $\prod^wG_i$의 normal subgroup이고, §군 동형사상, ⁋정리 2 (The first isomorphism theorem)에 의해 다음의 식

\[\biggl({\prod_{i\in I}}^wG_i\biggr)\bigg/\biggl({\prod_{i\in I}}^wH_i\biggr)\cong{\prod_{i\in I}}^w(G_i/H_i)\]

이 성립한다.

Internal weak product

$G$가 group이고, $(H_i)$들이 $G$의 subgroup들의 family라 하자. 만일 $i\neq j$일 때마다 $H_i$의 원소들이 $H_j$의 원소들과 commute한다면, inclusion homomorphism들 $\iota_i:H_i\rightarrow G$에 의해 유도되는 $\prod^w H_i$에서 $G$로의 homomorphism $\iota$가 존재한다. 이 때 $H_i$에서 $\prod^wH_i$로의 inclusion homomorphism을 $\iota^w_i$로 적으면 $\iota\circ\iota^w_i=\iota_i$가 성립한다.

또, 다음을 정의한다.

정의 4 위와 같은 상황에서, 만일 $\iota$가 isomorphism이라면 $G$가 $H_i$들의 internal weak direct product_{내부 약한 직접곱}라고 부른다.

정리 2에서 만들어낸 homomorphism $f$의 모양을 생각하면, $G$가 $H_i$들의 internal weak direct product인 것은 다음 조건

임의의 $x\in G$가 $y_i\in H_i$를 만족하는 finitely supported family $(y_i)_{i\in I}$들의 곱 $\prod y_i$로 유일하게 나타날 수 있다.

과 동치임을 확인할 수 있다.

만일 subgroup들 $H_i$가 모두 $G$의 normal subgroup이라면, 추가적으로 다음의 조건이 갖춰지면 $G$가 $H_i$들의 internal weak direct product가 된다.

명제 5 Group $G$의 normal subgroup들 $(H_i)$가 다음의 두 조건

$G=\bigl\langle\bigcup_{i\in I} H_i\bigr\rangle$,
각 $k$에 대하여 $H_k\cap \bigl\langle\bigcup_{i\neq k} H_i\bigr\rangle=\{e\}$

을 만족한다면 $G$가 $H_i$들의 internal weak direct product이다.

증명

우선 2번 조건은 특히 $H_i\cap H_j=\{e\}$가 모든 pair $i\neq j$에 대해 성립한다는 것을 보여준다. 이제 $x_i\in H_i,x_j\in H_j$를 임의로 택하면,

\[x_ix_jx_i^{-1}x_j^{-1}=x_i\bigl(x_jx_i^{-1}x_j^{-1}\bigr)=\bigl(x_ix_jx_i^{-1}\bigr)x_j^{-1}\in H_i\cap H_j=\{e\}\]

으로부터 $H_i$와 $H_j$의 원소들이 commute한다는 것을 안다. 따라서 inclusion homomorphism $\iota_i$들이 정리 2에서와 같이 $\iota$를 잘 유도한다.

$G$가 $H_i$들의 internal weak direct product임을 보이기 위해서는 이렇게 유도된 $\iota$가 isomorphism인 것을 보여야 한다. 우선 1번 조건에 의해, 임의의 $a\in G$는 $\bigcup H_i$들의 finite한 operation들을 통해 얻어진다. 또 $H_i$들이 서로 commute하므로, $a$를

\[a=\prod_{i\in I} h_i,\qquad\text{$\supp(h_i)$ finite and $h_i\in H_i$}\]

로 적을 수 있다. $h=\prod_{i\in I} \iota^w_i(h_i)\in\prod^w H_i$라 하면,

\[\iota(h)=\prod_{i\in I}\iota\bigl(\iota^w_i(h_i)\bigr)=\prod_{i\in I}\iota_i(h_i)=\prod_{i\in I}h_i=a\]

이므로 $\iota$는 surjective이다.

이제 $\iota(a)=e$라 하자. 그럼 각 항들이 $H_i$에 속하는 finitely supported family $(a_i)$에 대하여 $a=(a_i)_{i\in I}$로 쓸 수 있다. 다음의 식

\[\iota(a)=\prod_{i\in I}\iota_i(a_i)=\prod_{i\in I} a_i=e\]

으로부터, 만일 $\supp(a_i)$가 하나 이상의 원소를 갖고, $i\in\supp(a_i)$라 하면

\[a_i^{-1}=\prod_{j\in I\setminus\{i\}}a_j\in H_i\cap \left\langle\bigcup_{j\neq i} H_j\right\rangle=\{e\}\]

가 되어 $i\in\supp(a_i)$라는 가정에 모순이다. 따라서 $\supp(a_i)$는 공집합이고 $a$는 항등원이다.

참고문헌

[Hun] Thomas W. Hungerford, Algebra, Graduate texts in mathematics, Springer, 2003.

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Internal weak product

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