등급가군

이제 우리는 graded module의 개념을 정의한다.

등급가군

정의 1 Commutative monoid \(I\)에 대해, \(A=\bigoplus_{i\in I}A_i\)가 \(I\)-graded ring이라 하고, \(M\)이 left \(A\)-module이면서 동시에 \(I\)-graded abelian group \(M=\bigoplus_{i\in I}M_i\)라 하자. 그럼 \(M\)이 \(I\)-graded left \(A\)-module_{\(I\)-등급 왼쪽가군}이라는 것은 임의의 \(i,j\in I\)에 대하여

\[A_iM_j\subseteq M_{i+j}\]

이 성립하는 것이다.

비슷하게 \(I\)-graded right \(A\)-module도 또한 정의한다. 특별히 \(A\)를 \(A\) 자기 자신에 대한 left \(A\)-module로 본다면, 정의 1에 의해 모든 graded ring은 자기 자신에 대한 graded (left) \(A\)-module이다. 만일 \(I\)의 덧셈에 대하여, 모든 원소가 cancellable이라면 §등급환, ⁋명제 2에 의하여 \(A_0\)은 ring이다. 그럼 위의 식으로부터 각각의 \(M_j\)들이 \(A_0\)-module이 되는 것이 자명하다.

정의 2 두 \(I\)-graded left \(A\)-module \(M,M'\)에 대하여, \(A\)-linear map \(u:M \rightarrow M'\)이 graded homomorphism이라는 것은 \(u(M_i)\subseteq M_i'\)이 항상 성립하는 것이다.

이를 통해 \(I\)-graded left \(A\)-module들의 category \(\bgr_I\lMod{A}\)를 정의할 수 있다. 더 일반적으로 다음을 정의한다.

정의 3 두 \(I\)-graded left \(A\)-module \(M,M'\)에 대하여, \(A\)-linear map \(u:M \rightarrow M'\)이 graded homomorphism of degree \(i\)_{차수 \(i\)의 등급 준동형}라는 것은 \(u(M_j)\subseteq M_{i+j}'\)이 항상 성립하는 것이다.

그럼 정의 2의 graded homomorphism들은 모두 graded homomorphism of degree \(0\)에 불과하다. 만일 \(I\)의 모든 원소들이 cancellable이라면, 우리는 graded homomorphism of degree \(-i\)를 다음 조건

\[u(M_{i+j})\subseteq M_j',\qquad u(M_k)=0\text{ if $k-i\not\in I$}\]

으로 정의할 수도 있다. 다만 이러한 방식으로 정의할 때 주의할 점은 bijective graded homomorphism of degree \(i\)는 \(i\neq 0\)일 경우, 일반적으로 \(I\)-graded left \(A\)-module들 사이의 isomorphism으로 생각하지 않는다는 것이다.

이러한 방식의 일반화는 homological algebra에서 더 자세히 다룬다.

등급부분가군

명제 4 \(I\)-graded left \(A\)-module \(M=\bigoplus_{i\in I} M_i\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(M\)의 submodule \(N\)에 대하여, 다음이 모두 동치이다.

1. \(N\)은 \(N\cap M_i\)들의 합이다.
2. \(N\)의 임의의 원소를 homogeneous element들로 분해하면, 각각의 원소들도 모두 \(N\)에 속한다.
3. \(N\)은 homogeneous element들로 생성된다.

이 명제는 §등급환, ⁋명제 6의 일반화이며, 그 증명 또한 동일하다. 이 동치조건을 만족하는 submodule들을 graded submodule_{등급부분가군}이라 부른다. 한편 graded submodule \(N\)에 대하여 §등급환, ⁋명제 7의 증명이 그대로 옮겨가, quotient module \(M/N\)은 다음의 decomposition

\[M/N=\bigoplus_{i\in I}M_i/(N\cap M_i)\]

을 통해 graded module이 된다. 그럼 다음이 성립한다.

명제 5 Degree \(d\)의 graded \(A\)-homomorphism \(u:M \rightarrow N\)에 대하여, 다음이 성립한다.

1. \(\im(u)\)는 \(N\)의 graded submodule이다.
2. 만일 \(d\)가 cancellable이라면, \(\ker(u)\)는 \(M\)의 graded submodule이다.
3. \(d=0\)이라면 canonical bijection \(M/\ker(u)\cong\im(u)\)는 graded module들 사이의 isomorphism을 정의한다.

증명

1번의 경우, \(M=\bigoplus_j M_j\)이므로 \(\im(u)\)는 homogeneous element \(u(x_j)\in N_{d+j}\)들로 생성되고, 따라서 명제 4의 셋째 조건에 의해 graded submodule이다.

2번의 경우, \(x=\sum_j x_j\in\ker(u)\)라 하면 \(0=u(x)=\sum_j u(x_j)\)이고 각 \(u(x_j)\)는 \(N_{d+j}\)에 속한다. \(d\)가 cancellable이므로 \(j\mapsto d+j\)는 단사이고, 따라서 이 합의 항들이 서로 다른 degree에 놓여 성분별로 \(u(x_j)=0\)을 얻는다. 즉 각 \(x_j\)가 \(\ker(u)\)에 속하므로 명제 4의 둘째 조건이 성립한다.

3번의 경우, 임의의 \(y\in\im(u)\cap N_i\)에 대하여 \(y=u(x)\)인 \(x=\sum_j x_j\)를 택하면 \(d=0\)이므로 \(u(x)\)의 \(N_i\)-성분은 \(u(x_i)\)이고, 따라서 \(\im(u)\cap N_i=u(M_i)\)이다. 그럼 canonical bijection \(M/\ker(u)\rightarrow\im(u)\)가 \(M_i/(\ker(u)\cap M_i)\)를 \(\im(u)\cap N_i\)로 보내므로, 위에서 준 \(M/\ker(u)\)의 grading에 대하여 degree를 보존한다.

---

참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.