등급환

등급환

Index set \(I\)가 commutative monoid일 경우, 우리는 abelian group들의 family \((A_i)_{i\in I}\)를 graded abelian group이라 부르기로 하였다. (§가환군, ⁋정의 16) 당시에는 \(A_i\) 위에 어떠한 조건도 없었기 때문에 이는 별로 흥미로운 정의가 아니었으나, 이제는 \(A_i\) 위에 곱셈구조가 더해져 있으므로 이 정의가 더 의미를 갖게 된다.

정의 1 Commutative monoid \(I\)와 \(I\)-indexed family of abelian groups \((A_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. 만일 \(A=\bigoplus_{i\in I} A_i\) 위에 정의된 곱셈구조가 이를 ring으로 만들고, 추가적으로 다음 조건

\[A_i A_j\subseteq A_{i+j}\qquad\text{for all $i,j\in I$}\]

을 만족한다면 \(A\)를 \(I\)로 index가 주어진 graded ring_등급환이라 부른다. \(A_i\)에 속한 원소를 homogeneous element_동차원소라 부른다.

정의에 의하여, \(A\)의 임의의 원소들은 homogeneous element들의 유한한 합으로 유일하게 표현할 수 있다.

명제 2 만일 \(I\)의 임의의 원소가 cancellable이고 \(A=\bigoplus_{i\in I} A_i\)가 graded ring이라 하자. 그럼 \(A_0\)은 \(A\)의 subring이다.

증명

\(A_0A_0\subseteq A_0\)으로부터 \(A_0\)은 곱셈에 대해 닫혀있다. 따라서 \(A=\bigoplus A_i\)의 곱셈에 대한 항등원 \(1\)이 \(A_0\)에 속함을 보이면 충분하다. \(1=\sum_{i\in I} \epsilon_i\)라 하자. 그럼 임의의 \(\alpha\in A_j\)에 대하여,

\[\alpha=1\alpha=\sum_{i\in I} \epsilon_i\alpha\in A_j\]

이고, 따라서 모든 \(i\neq 0\)에 대해서는 \(\epsilon_i\alpha=0\)이고, \(i=0\)에 대해서만 \(\epsilon_0\alpha=\alpha\)가 성립한다. 이제 \(A\)의 임의의 원소는 homogeneous element들의 합으로 나타낼 수 있으므로 모든 \(x\in A\)에 대하여 \(\epsilon_0x=x\)가 성립하고, 여기에 \(x=1\)을 대입하면 \(1=\epsilon_0\in A_0\)을 얻는다.

대부분의 경우 우리가 관심있는 것은 \(I=\mathbb{Z}\)이거나 \(I= \mathbb{N}\)인 경우이다. 따라서 명제 2의 전제조건이 만족된다.

예시 3 임의의 abelian group \(G\)에 대하여, \(G\)에 의해 생성되는 free ring \(F(G)=\bigoplus_{n\geq 0} G^{\otimes n}\)을 생각하자. \(G^{\otimes m}\)의 원소와 \(G^{\otimes n}\)의 원소의 곱은 \(G^{\otimes (m+n)}\)에 속하므로 \(F(G)\)는 \(\mathbb{N}\)-graded ring이다. (§환의 정의, §§가환군 위에 정의된 자유환)

등급환 준동형사상

정의 4 Commutative monoid \(I\)와 두 \(I\)-graded ring \(A,A'\)에 대하여, ring homomorphism \(\phi:A \rightarrow A'\)가 graded homomorphism이라는 것은 임의의 \(i\in I\)에 대하여 \(\phi(A_i)\subseteq A_i'\)이 성립하는 것이다.

어렵지 않게 \(I\)-graded ring과 \(I\)-graded homomorphism이 category \(\bgr_I\Ring\)을 이루는 것을 안다.

동차아이디얼과 등급환의 몫

Graded ring \(A=\bigoplus_{i\in I} A_i\)와 \(A\)의 two-sided ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, quotient ring \(A/\mathfrak{a}\)는 \(A\)의 grading을 물려받지 못할 수 있다. 즉 quotient map이 graded homomorphism이 되도록 하는 \(A/\mathfrak{a}\)의 grading이 존재하지 않을 수 있다.

예시 5 Commutative ring \(A\)를 고정하고, \(A\)의 원소들을 계수로 가지는 polynomial ring

\[A[\x]=\{\alpha_n\x^n+\cdots+\alpha_1\x+\alpha_0\mid n\in\mathbb{N}, \alpha_i\in A\}\]

을 생각하자. 그럼 이는 다음의 decomposition

\[A[\x]=\bigoplus_{n\geq 0} A\x^n\]

에 의하여 graded ring의 구조를 갖는다. 한편 \(\x-1\)로 생성된 ideal \((\x-1)\)을 생각하자. 그럼 ring으로서

\[A[\x]/(\x-1)\cong A\]

이며, 명시적으로 이 isomorphism은

\[\alpha_n\x^n +\cdots+\alpha_1\x+\alpha_0\quad \mapsto\quad \alpha_n+\cdots+\alpha_1+\alpha_0\]

으로 정의된 evaluation map에 first isomorphism theorem을 적용하여 얻어진다. 그런데 이 때 quotient map \(\pi:A[\x]\rightarrow A[\x]/(\x-1)\)은 임의의 \(n\)에 대하여 \(A\x^n\)을 \(A\) 전체로 보낸다. 따라서 \(A\neq 0\)이라면 \(\pi(A\x^n)\)들의 합은 direct sum이 될 수 없고, \(\pi\)를 graded homomorphism으로 만드는 grading은 \(A[\x]/(\x-1)\)에 존재하지 않는다.

이를 피하기 위해 homogeneous ideal의 개념을 도입한다.

명제 6 \(I\)-graded ring \(A=\bigoplus_{i\in I} A_i\)와 \(A\)의 two-sided ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여 다음이 모두 동치이다.

1. \(\mathfrak{a}\)는 \(\mathfrak{a}\cap A_i\)들의 합이다.
2. \(\mathfrak{a}\)의 임의의 원소를 homogeneous element로 분해하면, 각각의 원소들도 모두 \(\mathfrak{a}\)에 속한다.
3. \(\mathfrak{a}\)는 homogeneous element로 생성된다.

증명

\(A\)의 원소로서, \(\mathfrak{a}\)의 모든 원소들은 homogeneous element들의 합으로 유일하게 나타난다. 따라서 처음 두 조건은 서로 동치이며, 1번 조건 하에서 \(\mathfrak{a}\)는 homogeneous element인 \(\mathfrak{a}\cap A_i\)의 원소들로 생성되므로 1번 조건이 3번 조건을 함의한다. 이제 세 번째 조건을 가정하고 두 번째 조건을 증명한다. \(\mathfrak{a}\)가 homogeneous element들 \((x_j)_{j\in J}\)로 생성된다 가정하자. 그럼 임의의 \(x\in \mathfrak{a}\)가 다음의 식

\[x=\sum_{k\in K} a_k x_{j(k)} b_k,\qquad\text{$K$ finite, $a_k,b_k\in A$}\]

으로 나타난다. 이제 \(a_k\)와 \(b_k\) 각각은 다시 \(A\)의 원소로서 homogeneous element들의 합

\[a_k=\sum_{p} a_{kp},\qquad b_k=\sum_q b_{kq}\]

으로 나타나므로

\[x=\sum_{k\in K}\sum_{p,q}a_{kp}x_{j(k)}b_{kq}\]

를 얻는다. 이 때 \(a_{kp}x_{j(k)}b_{kq}\)들은 모두 각각 homogeneous element들이며 모두 \(\mathfrak{a}\)에 속한다. 이제 같은 degree를 갖는 항들끼리 모으면 그 합이 \(x\)의 각 homogeneous 성분이 되고, 이들이 모두 \(\mathfrak{a}\)에 속하므로 2번 조건을 얻는다.

위의 동치조건을 만족하는 two-sided ideal을 homogeneous ideal_{동차 아이디얼}이라 부른다. 그럼 다음이 성립한다.

명제 7 Homogeneous ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, \(A/\mathfrak{a}\)가 graded ring이며, 그 decomposition이 다음 식

\[A/\mathfrak{a}=\bigoplus_{i\in I}A_i/(\mathfrak{a}\cap A_i)\]

으로 주어진다.

증명

Quotient map을 \(\pi:A\rightarrow A/\mathfrak{a}\)라 하자. \(A=\bigoplus_i A_i\)이고 \(\pi\)가 전사이므로 \(A/\mathfrak{a}\)는 \(\pi(A_i)\)들의 합이며, \(\pi\)를 \(A_i\)로 제한한 것의 kernel이 \(\mathfrak{a}\cap A_i\)이므로 \(\pi(A_i)\cong A_i/(\mathfrak{a}\cap A_i)\)이다.

이 합이 direct sum인 것을 보이기 위해 우리는 finitely supported homogeneous element들의 family \((\alpha_i)\)가 \(\sum_i \pi(\alpha_i)=0\)을 만족한다 가정하고 모든 \(i\)에 대해 \(\pi(\alpha_i)=0\)임을 보여야 한다. 가정에 의해 \(\sum_i\alpha_i\in\mathfrak{a}\)이므로, 명제 6의 둘째 조건에 의해 각 \(\alpha_i\)가 \(\mathfrak{a}\)에 속해야 하고, 따라서 \(\mathfrak{a}\cap A_i\)에 속한다. 즉 모든 \(i\)에 대해 \(\pi(\alpha_i)=0\)이다.

마지막으로 \(A_iA_j\subseteq A_{i+j}\)로부터 \(\pi(A_i)\pi(A_j)\subseteq \pi(A_{i+j})\)가 성립하므로, 이 decomposition은 \(A/\mathfrak{a}\) 위에 graded ring의 구조를 준다.

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참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.