환의 정의

환

정의 1 Symmetric monoidal category \((\Ab,\otimes, \mathbb{Z})\)의 monoid object를 ring_환이라 부른다. (§가환군, ⁋정리 14)

Abelian group을 다룰 때의 convention에 따라 \(A\)의 연산은 \(+\)로 적는다. 이러한 상황에서 ring \(A\)의 곱셈 \(\mu:A\otimes A \rightarrow A\)는 \(\cdot\)으로 적으며, 오해의 여지가 없을 때에는 이를 생략하여 \(\alpha\cdot \beta\)를 간단히 \(\alpha\beta\)로 적기도 한다. 그럼

\[\Hom_\Ab(A\otimes A,A)\cong\Bilin(A,A;A)\]

으로부터 \(\mu\)가 bilinear라는 것을 안다. 즉

\[(\alpha+\beta)\gamma=\alpha\gamma+\beta\gamma,\quad \alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma\]

이 성립한다. 또, \(\mu\)는 결합법칙을 만족하며,

\[\eta:\mathbb{Z}\rightarrow A\]

는 \(1\in \mathbb{Z}\)의 image를 통해 \(A\)의 (곱셈에 대한) 항등원 \(1\)을 결정한다. 즉, 집합 \(A\)가 ring이라는 것은 두 이항연산 \(+,\cdot\)과 원소 \(0,1\)이 존재하여, 다음 조건들이 성립하는 것이다.

1. \((A, +, 0)\)이 abelian group이다.
2. \((A,\cdot,1)\)은 monoid이다.
3. \(\cdot\)과 \(+\) 사이에 분배법칙이 성립한다.

저자에 따라 ring의 정의에서 곱셈에 대한 항등원의 존재성은 없을 때도 있지만, 우리는 이러한 경우를 pseudo-ring, 혹은 (ring에서 \(i\)가 없는) rng라 부른다. 어차피 대부분의 경우 우리는 commutative ring (with unity)을 사용하게 된다.

명제 2 Ring \(A\)의 임의의 원소 \(\alpha,\beta\)에 대해 다음이 성립한다.

1. \(\alpha0=0\alpha=0\),
2. \(\alpha(-\beta)=(-\alpha)\beta=-(\alpha\beta)\).

증명

1. \(0\)은 덧셈에 대한 항등원이므로, 다음 식

   \[0\alpha=(0+0)\alpha=0\alpha+0\alpha\]

   으로부터 \(0\alpha=0\)을 얻는다. 유사하게 \(\alpha0=0\)을 얻을 수 있다.

2. 1번 결과에 의하여,

   \[0=\alpha0=\alpha(\beta+(-\beta))=\alpha\beta+\alpha(-\beta)\]

   이고 따라서 \(-(\alpha\beta)=\alpha(-\beta)\)이다. 유사하게 \((-\alpha)\beta=-(\alpha\beta)\) 또한 얻는다.

일반적으로 정의 1에서 우리는 \(0\neq 1\)임을 가정하지는 않지만, 만일 \(0=1\)이라면 명제 2의 1번에 의해, 임의의 \(\alpha\in A\)에 대하여

\[\alpha=\alpha\cdot 1=\alpha\cdot 0=0\]

이 성립할 것이므로 \(A=\{0\}\)이어야 한다. 이러한 ring을 zero ring이라 부른다.

환 준동형사상

정의 3 두 ring \(A,B\)에 대하여, 함수 \(\phi:A \rightarrow B\)가 ring homomorphism_{환 준동형사상}이라는 것은 임의의 \(\alpha,\beta\in A\)에 대하여

\[\phi(\alpha+\beta)=\phi(\alpha)+\phi(\beta),\quad \phi(\alpha\beta)=\phi(\alpha)\phi(\beta),\quad \phi(1)=1\]

이 성립하는 것이다.

이를 morphism으로 하여,

• Ring들의 category \(\Ring\),
• Rng들의 category \(\Rng\),
• Commutative ring들의 category \(\cRing\)

등이 정의된다. \(\Ring\)과 \(\cRing\)에서는 \(\mathbb{Z}\)가 initial object, \(\{0\}\)이 terminal object이며, \(\Rng\)에서는 \(\{0\}\)이 zero object이다.

정의에 의하여 ring homomorphism \(\phi:A\rightarrow B\)은 두 abelian group \((A,+,0)\), \((B,+,0)\) 사이의 group homomorphism이기도 하다. 그럼 ring homomorphism \(\phi\)의 kernel \(\ker \phi\)는 이 group homomorphism의 kernel로 정의된다. 즉 \(\ker \phi=\phi^{-1}(0)\)이다. 그럼 §군 준동형사상, ⁋명제 3에 의하여 \(\phi\)가 단사인 것은 \(\ker \phi=\{0\}\)인 것과 동치이다.

가환군 위에 정의된 자유환

정의에 의해 ring은 abelian group이고, ring homomorphism은 abelian group들 사이의 homomorphism이기도 하다. 즉 forgetful functor \(U:\Ring \rightarrow \Ab\)이 존재하며, 이는 단순히 곱셈구조를 잊어버리는 functor이다. 이 functor는 right adjoint이며, 그 left adjoint \(F: \Ab \rightarrow \Ring\)은 다음의 graded abelian group

\[F(G)=\bigoplus_{n\geq 0} G^{\otimes n}\]

으로 주어진다. 여기서 \(G^{\otimes n}\)의 원소 \(\alpha_n\)은 다음의 꼴

\[\alpha_n=\sum_{i\in I} \alpha^i_{n1}\otimes\cdots\otimes \alpha^i_{nn},\qquad \text{$\alpha_{nj}^i\in G$, $I$ finite}\]

로 쓸 수 있으며, \(F(G)\)의 원소들은

\[(\alpha_0,\alpha_1,\ldots )=(\alpha_0,0,\ldots)+(0,\alpha_1,\ldots)+\cdots,\qquad \text{$\alpha_n=0$ for all but finitely many $n$}\]

의 꼴이다. 그런데 \(\alpha_n\)들 각각은 이들을 이루는 \(\alpha^i_{n1}\otimes\cdots\otimes \alpha^i_{nn}\)들이 몇 개의 원소의 tensor product로 이루어졌는지를 보면 어떠한 \(G^{\otimes n}\)에 들어있는지를 알 수 있으므로, 표기법을 남용하여 \((0,\ldots, 0, \alpha_n,0,\ldots)\)을 \(\alpha_n\)으로 적어도 되고, 그럼 \(F(G)\)의 임의의 원소는

\[\sum_{i\in I} \alpha_{i1}\otimes \cdots\otimes \alpha_{in_i}\]

의 꼴로 쓸 수 있다. 이제 \(F(G)\) 위에 곱셈을 정의해야 하는데, 곱셈이 잘 정의된다면 분배법칙에 의하여

\[\left(\sum_{i\in I} \alpha_{i1}\otimes \cdots\otimes \alpha_{in_i}\right)\left(\sum_{j\in J} \beta_{j1}\otimes \cdots\otimes \beta_{jn_j}\right)=\sum_{(i,j)\in I\times J}(\alpha_{i1}\otimes\cdots \otimes \alpha_{in_i})(\beta_{j1}\otimes\cdots\otimes \beta_{jn_j})\]

가 성립해야 한다. 거꾸로 이야기하면 \(\alpha_{i1}\otimes\cdots \otimes \alpha_{in_i}\)와 \(\beta_{j1}\otimes\cdots\otimes \beta_{jn_j}\)의 곱들만 정의하면 위의 식을 통해 \(F(G)\)의 모든 원소들의 곱이 정의된다. 그리고 우리는

\[(\alpha_{i1}\otimes\cdots \otimes \alpha_{in_i})(\beta_{j1}\otimes\cdots\otimes \beta_{jn_j})=\alpha_{i1}\otimes\cdots\otimes \alpha_{in_i}\otimes \beta_{j1}\otimes\cdots\otimes \beta_{jn_j}\]

으로 정의한다. [범주론] §모노이드 범주, §§모노이드 카테고리의 coherence theorem에 의해 이것이 \(F(G)\) 위에 ring의 구조를 정의하는 것을 알 수 있으며, \(F(G)\)의 덧셈에 대한 항등원은 \(0=(0,0,\ldots)\), 곱셈에 대한 항등원은 \(1=(1,0,\ldots)\)이 된다. 어렵지 않게 \(G\mapsto F(G)\)의 functoriality를 증명할 수 있으며, 여기에 더해 다음이 성립한다.

명제 4 위에서 정의한 \(F\)와, forgetful functor \(U:\Ring \rightarrow \Ab\)에 대하여, \(F\dashv U\)이다.

증명

임의의 ring \(A\)와 abelian group \(G\)가 주어졌다 하자. 그럼

\[\Hom_\Ring(F(G), A)\cong \Hom_\Ab(G, U(A))\]

을 증명해야 한다. 임의의 ring homomorphism \(\phi: F(G) \rightarrow A\)에 대하여, inclusion \(i:G\hookrightarrow F(G)\)를 합성하면 abelian group homomorphism \(\phi\circ i:G \rightarrow U(A)\)을 얻는다.

거꾸로 임의의 abelian group homomorphism \(f:G \rightarrow U(A)\)이 주어졌다 하면 다음 식

\[\sum_{i\in I} \alpha_{i1}\otimes \cdots\otimes \alpha_{in_i}\mapsto \sum_{i\in I} f(\alpha_{i1})\cdots f(\alpha_{in_i})\]

이 ring homomorphism \(\phi:F(G) \rightarrow A\)를 정의한다.

이렇게 정의한 두 방향의 함수들 \(\Hom_\Ring(F(G), A) \rightarrow\Hom_\Ab(G, U(A))\)과 \(\Hom_\Ab(G, U(A))\rightarrow \Hom_\Ring(F(G), A)\)이 서로의 inverse가 되고, 이 bijection이 natural이라는 것을 확인할 수 있다.

부분환과 아이디얼

정의 5 Ring \((A,+,-,\cdot,0,1)\)의 부분집합 \(S\)가 subring_부분환이라는 것은 \((S,+,-,\cdot,0,1)\)가 ring의 구조를 갖는 것이다.

한편, 다음이 성립한다.

명제 6 임의의 ring homomorphism \(\phi:A \rightarrow B\)에 대하여, \(\ker \phi\)는 \((A,+,0)\)의 subgroup이며 곱셈에 대해 닫혀 있다.

증명

\(\ker \phi\)는 abelian group \((A,+,0)\)의 subgroup임을 확인하였으므로, \(\ker \phi\)가 곱셈에 대해 닫혀있음을 보이면 충분하다. 그런데 임의의 \(\alpha,\beta\in\ker \phi\)에 대하여,

\[\phi(\alpha\beta)=\phi(\alpha)\phi(\beta)=0\cdot 0=0\]

이므로 \(\alpha\beta\in\ker \phi\)가 성립한다.

위의 증명을 잘 살펴보면, 두 원소 \(\alpha,\beta\) 중 하나만 \(\ker \phi\)에 속하더라도 \(\alpha\beta\)가 \(\ker \phi\)에 속한다는 것을 확인할 수 있다. 이를 다음과 같이 정의한다.

정의 7 Ring \(A\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\mathfrak{a}\subseteq A\)가 left ideal_{왼쪽 아이디얼} (resp. right ideal_{오른쪽 아이디얼})이라는 것은 \(\mathfrak{a}\)가 \((A,+,0)\)의 subgroup이며, 임의의 \(x\in\mathfrak{a}\)와 \(\alpha\in A\)에 대하여 \(\alpha x\in\mathfrak{a}\) (resp. \(x\alpha\in\mathfrak{a}\))가 성립하는 것이다.

만일 \(\mathfrak{a}\)가 left ideal인 동시에 right ideal이라면 이를 two-sided ideal_{양쪽 아이디얼}이라 부른다.

특히 위의 관찰은 임의의 ring homomorphism \(\phi\)에 대하여 \(\ker\phi\)가 \(A\)의 two-sided ideal이라는 것을 말한다.

편의를 위해 앞으로 left ideal에 대한 명제들 (혹은 two-sided ideal에 대한 명제들)만 증명하지만, left ideal에 대한 모든 명제들은 적절한 변형을 통해 right ideal에 대해서도 성립한다. 어차피 실제로 사용할 ring의 대부분은 commutative이므로, left ideal, right ideal, two-sided ideal의 구분이 필요하지 않다.

Left ideal들의 교집합은 left ideal이라는 것을 쉽게 증명할 수 있다. 한편, \(A\)의 임의의 원소 \(x\)에 대하여, 다음 집합

\[Ax=\{\alpha x\mid\alpha\in A\}\]

은 덧셈에 대한 subgroup이며, 뿐만 아니라 임의의 \(\beta\in A\)와 \(\alpha x\in Ax\)에 대하여, \(\beta(\alpha x)=(\beta\alpha)x\in Ax\)이므로 \(Ax\)는 \(A\)의 left ideal이다. 이들은 사실 \(x\)를 포함하는 left ideal 중 가장 작은 것, 즉 \(x\)를 포함하는 모든 left ideal들의 교집합과 일치한다는 것을 확인할 수 있으며, 같은 논증이 right ideal과 two-sided ideal에 대해서도 적용된다.

더 일반적으로 \(A\)의 left ideal들의 합_sum \(\mathfrak{a}+\mathfrak{b}\)를 다음 집합

\[\mathfrak{a}+\mathfrak{b}=\{x+y\mid x\in \mathfrak{a},y\in \mathfrak{b}\}\]

으로 정의하면 \(\mathfrak{a}+\mathfrak{b}\)도 다시 left ideal이 된다는 것을 알 수 있으며, 사실 이는 두 left ideal \(\mathfrak{a}\)와 \(\mathfrak{b}\)를 포함하는 left ideal 중 가장 작은 것이다. 그럼 \(A\)의 임의의 원소 \(x_1,\ldots, x_n\)에 대하여, 다음 ideal

\[Ax_1+\cdots+Ax_n\]

은 \(x_1,\ldots, x_n\)을 포함하는 모든 left ideal들 중 가장 작은 것이다. 비슷하게

\[x_1A+\cdots+x_nA,\qquad Ax_1A+\cdots +Ax_nA\]

을 정의할 수도 있으며, 여기서 \(AxA\)는 \(\alpha x\beta\) 꼴의 원소들의 유한합이다. 그럼 위의 두 집합은 각각 \(x_1,\ldots, x_n\)을 포함하는 가장 작은 right ideal과 two-sided ideal들이다. 만일 \(A\)가 commutative라면 left ideal, right ideal과 two-sided ideal의 개념이 모두 같으므로, 이들을 뭉뚱그려 \((x_1,\ldots, x_n)\)이라 적기도 한다.

한편 임의의 left ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여 \(1\in\mathfrak{a}\)인 것과 \(\mathfrak{a}=A\)인 것이 동치이다. 따라서 \(\mathfrak{a}\subsetneq A\)이기 위해서는 반드시 \(1\not\in\mathfrak{a}\)여야 한다.

Subring과 ideal은 일반적으로 같은 개념이 아니다. 우선 subring은 정의상 항상 \(1\)을 포함하므로, 만일 어떤 subring이 동시에 ideal이라면 방금 관찰한 대로 그것은 \(A\) 전체여야 한다. 설령 subring의 개념을 \(\Rng\)로 약화시켜 \(1\)의 포함을 요구하지 않는다 하더라도, ideal이 임의의 원소와의 곱셈에 대해 닫혀 있어야 한다는 조건은 subring이 갖지 않는 것이므로 여전히 두 개념은 다르다. 그러므로 ideal이 아닌 subring의 예시를 찾는 것은 자연스러운 질문이며, 가장 중요한 예가 ring의 center이다.

정의 8 Ring \(A\)의 center_중심 \(Z(A)\)는 \(A\)의 모든 원소와 commute하는 원소들의 모임, 즉

\[Z(A)=\{z\in A\mid za=az\text{ for all }a\in A\}\]

이다.

\(Z(A)\)는 덧셈과 곱셈에 닫혀 있고 \(1\)을 포함하므로 \(A\)의 subring이며, 정의에 의해 commutative하다. 그러나 \(Z(A)\)는 일반적으로 ideal이 아니다. \(x\in Z(A)\)와 \(a\in A\)에 대하여 \(ax\)가 여전히 center에 속하는지 보자. 임의의 \(y\in A\)에 대하여

\[(ax)y=a(xy)=a(yx)\]

로, center의 원소 \(x\)는 \(y\)와 commute하지만 \(a\)는 그렇지 못하므로 \(ax\)는 center의 원소일 필요가 없다. 실제로 \(x=1\)로 두면 \(ax=a\)이고, \(a\)가 central이 아닌 한 어떤 \(y\)에 대해 \(ay\neq ya\), 즉 \((ax)y\neq y(ax)\)가 되어 \(ax=a\not\in Z(A)\)이다. 따라서 \(Z(A)\)는 ideal의 조건을 만족하지 않으며, \(Z(A)\)가 ideal이 되는 것은 \(Z(A)=A\), 즉 \(A\)가 commutative일 때뿐이다. 그러므로 noncommutative ring에서 \(Z(A)\)는 ideal이 아닌 subring의 대표적인 예이다.

정의 9 Ring \(A\)와 ideal \(\mathfrak{m}\subsetneq A\)에 대하여, 만일 \(\mathfrak{m}\subsetneq\mathfrak{a}\subsetneq A\)를 만족하는 ideal \(\mathfrak{a}\)가 존재하지 않는다면 \(\mathfrak{m}\)을 maximal ideal_{극대 아이디얼}이라 부른다.

\(A\)의 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\subsetneq A\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\mathfrak{a}\)를 포함하고, \(A\) 자신과는 다른 \(A\)의 ideal들의 모임을 생각할 수 있다. 그럼 이 모임은 inductive set이므로 maximal element를 갖는다. ([집합론] §선택공리, ⁋정리 4 (Zorn’s lemma)) 어렵지 않게 이 maximal element는 maximal ideal임을 알 수 있으며, 따라서 다음을 얻는다.

정리 10 (Krull) Ring \(A\)의 ideal \(\mathfrak{a}\subsetneq A\)에 대하여, \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 \(A\)의 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)이 항상 존재한다.

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참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.

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