몫환, 환 동형사상

이번 글에서 우리는 quotient ring의 개념을 정의한다. §몫군을 정의할 때를 떠올려보면, group \(G\)의 임의의 subgroup \(H\)에 대해 \(G/H\)는 집합으로서는 항상 정의되지만 이것이 항상 group의 구조를 갖는 것은 아니었고, 이를 위해서는 \(H\)가 normal subgroup이라는 조건이 필요했다. 마찬가지로 ring \(A\)에 대해서도 quotient를 정의할 수 있는 방식은 제한되어 있다.

몫환의 정의

우선 \(A\)가 abelian group이고 \(S\)가 그 subgroup이라면 \(A/S\)에 abelian group 구조가 존재한다. 이 위에 ring 구조가 정의되기 위해서는 곱셈 구조에도 비슷한 성질이 성립해야 한다. 즉 \(A/S\)의 임의의 두 원소 \(\alpha+S\), \(\alpha'+S\)에 대하여 이들의 곱

\[(\alpha+S)(\alpha'+S)\overset{?}{=}\alpha\alpha'+S\]

이 위와 같이 정의되어야 한다. 한편, 임의의 \(x,x'\in S\)에 대하여

\[(\alpha+x)(\alpha'+x')=\alpha\alpha'+x\alpha'+\alpha x'+xx'\]

이므로, 위의 식이 성립하기 위해서는 \(x\alpha'+\alpha x'+xx'\in S\)가 항상 성립해야 한다. 특히 \(x'=0\)으로 두면 임의의 \(\alpha'\in A\)에 대하여 \(x\alpha'\in S\)여야 하고, \(x=0\)으로 두면 임의의 \(\alpha\in A\)에 대하여 \(\alpha x'\in S\)여야 한다. 즉 \(S\)가 \(A\)의 two-sided ideal이어야 한다. 거꾸로 \(S\)가 two-sided ideal이라면 세 항 \(x\alpha'\), \(\alpha x'\), \(xx'\)이 모두 \(S\)에 속하므로 위의 곱셈은 representative의 선택과 무관하게 잘 정의된다. 이 논의로부터 다음을 얻는다.

정의 1 Ring \(A\)와 two-sided ideal \(\mathfrak{a}\)가 주어졌다 하자. 위와 같이 정의된 ring \(A/\mathfrak{a}\)를 \(\mathfrak{a}\)에 의한 \(A\)의 quotient ring_몫환이라 부른다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 2 Ring \(A\)와 two-sided ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여 다음이 성립한다.

1. \(\alpha\mapsto \alpha+\mathfrak{a}\)로 정의된 함수 \(\pi:A\rightarrow A/\mathfrak{a}\)는 ring homomorphism이다.
2. Ring homomorphism \(\phi:A \rightarrow B\)에 대하여, 만일 \(\phi(\mathfrak{a})=\{0\}\)이라면 \(A/\mathfrak{a}\)에서 \(B\)로 가는 유일한 ring homomorphism \(\bar{\phi}\)가 존재하여 \(\phi=\bar{\phi}\circ\pi\)가 성립한다.

증명

1. \(\pi\)가 덧셈에 대해 abelian group homomorphism을 정의한다는 것은 §몫군의 결과이다. \(\pi\)가 곱셈을 보존하는 것은 다음 계산

   \[\pi(\alpha)\pi(\alpha')=(\alpha+\mathfrak{a})(\alpha'+\mathfrak{a})=\alpha\alpha'+\mathfrak{a}=\pi(\alpha\alpha')\]

   에서 얻어지며, 이 때 \(1+\mathfrak{a}\)가 \(A/\mathfrak{a}\)의 \(1\)이 되는 것을 확인할 수 있다.

2. 우선 \(\phi\)를 abelian group homomorphism으로 생각하자. 그럼 주어진 조건에 의하여 \(A\)의 subgroup \(\mathfrak{a}\)가 \(\ker \phi\)에 포함되므로, \(A/\mathfrak{a}\)에서 \(B\)로 가는 유일한 group homomorphism \(\bar{\phi}:A/\mathfrak{a}\rightarrow B\)가 존재하여 \(\phi=\bar{\phi}\circ\pi\)가 성립한다. (§군 동형사상, ⁋명제 3)
   이제 \(A/\mathfrak{a}\)의 두 원소 \(\alpha+\mathfrak{a}, \beta+\mathfrak{a}\)를 임의로 택하자. 그럼

   \[(\alpha+\mathfrak{a})(\beta+\mathfrak{a})=\alpha\beta+\mathfrak{a}=\pi(\alpha\beta)\]

   이므로, 다음 식

   \[\bar{\phi}((\alpha+\mathfrak{a})(\beta+\mathfrak{a}))=\bar{\phi}(\pi(\alpha)\pi(\beta))=\bar{\phi}(\pi(\alpha\beta))=\phi(\alpha\beta)=\phi(\alpha)\phi(\beta)=\bar{\phi}(\pi(\alpha))\bar{\phi}(\pi(\beta))=\bar{\phi}(\alpha+\mathfrak{a})\bar{\phi}(\beta+\mathfrak{a})\]

   에 의해 \(\bar{\phi}\)는 곱셈을 보존한다. 비슷하게 \(\bar{\phi}(1+\mathfrak{a})=\bar{\phi}(\pi(1))=\phi(1)=1\)로부터 \(\bar{\phi}\)는 \(1\)을 \(1\)로 보낸다.

다음 정리는 §군 동형사상의 ring homomorphism 버전이라 할 수 있다.

정리 3 Ring homomorphism \(\phi:A \rightarrow B\)와 kernel \(\ker \phi\), 그리고 image \(\im\phi\)에 대하여, 다음이 성립한다.

1. \(\ker \phi\)는 \(A\)의 two-sided ideal이며, \(\alpha+\ker \phi \mapsto \phi(\alpha)\)가 잘 정의된 isomorphism \(A/\ker \phi \rightarrow \im \phi\)을 정의한다.
2. \(A\)의 subring \(S\)에 대하여, \(S+\ker \phi=\{\alpha+x\mid\alpha\in S, x\in\ker \phi\}\)는 \(A\)의 subring이고, \(S\cap\ker \phi\)는 \(S\)의 two-sided ideal이 되며, isomorphism \((S+\ker \phi)/\ker \phi\cong S/(S\cap \ker \phi)\)이 존재한다.
3. \(A\)의 두 two-sided ideal \(\mathfrak{a}, \mathfrak{b}\)가 \(\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{a}\)를 만족한다면, \(\mathfrak{a}/\mathfrak{b}\)는 \(A/\mathfrak{b}\)의 two-sided ideal이고 \((A/\mathfrak{b})/(\mathfrak{a}/\mathfrak{b})\cong A/\mathfrak{a}\)이 성립한다.
4. \(A\)의 two-sided ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, \(A/\mathfrak{a}\)의 two-sided ideal의 집합과, \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 \(A\)의 two-sided ideal들의 집합 사이의 inclusion-preserving bijection이 존재한다.

증명

1번과 3번은 §군 동형사상에서 다루었던 것과 거의 동일하게 진행하되, 거기서 얻어지는 group homomorphism이 실제로 ring homomorphism 또한 된다는 것을 명제 2의 2번과 같은 방식으로 확인하면 된다.

2번의 경우, \(S+\ker \phi\)가 덧셈에 대한 subgroup이라는 것은 group의 경우와 같다. 임의의 \(\alpha,\alpha'\in S\)와 \(x,x'\in\ker \phi\)에 대하여

\[(\alpha+x)(\alpha'+x')=\alpha\alpha'+(x\alpha'+\alpha x'+xx')\]

에서 \(\alpha\alpha'\in S\)이고, 1번에 의해 \(\ker \phi\)가 two-sided ideal이므로 괄호 안의 세 항이 모두 \(\ker \phi\)에 속한다. 여기에 \(1\in S\)를 더하면 \(S+\ker \phi\)가 \(A\)의 subring임을 얻는다. 또 \(S\cap\ker \phi\)는 \(S\)의 덧셈에 대한 subgroup이고, 임의의 \(\alpha\in S\)와 \(y\in S\cap\ker \phi\)에 대하여 \(\alpha y\)와 \(y\alpha\)가 \(S\)와 \(\ker \phi\) 모두에 속하므로 이는 \(S\)의 two-sided ideal이다. 이제 합성

\[S\hookrightarrow S+\ker \phi\longrightarrow (S+\ker \phi)/\ker \phi\]

을 생각하면 이는 전사이고 그 kernel이 \(S\cap\ker \phi\)이므로, 1번을 적용하여 원하는 isomorphism을 얻는다.

4번의 두 대응 \(\bar{\mathfrak{b}}\mapsto\pi^{-1}(\bar{\mathfrak{b}})\)와 \(\mathfrak{b}\mapsto\pi(\mathfrak{b})\)가 서로의 역이며 포함관계를 보존한다는 것은 §군 동형사상, ⁋정리 7 (The fourth isomorphism theorem)에 따른 것이다. 남는 것은 이 대응이 two-sided ideal을 two-sided ideal로 보낸다는 것이다. 우선 임의의 \(\alpha\in A\)와 \(x\in\pi^{-1}(\bar{\mathfrak{b}})\)에 대하여 ,

\[\pi(\alpha x)=\pi(\alpha)\pi(x)\in\bar{\mathfrak{b}}\]

이므로 \(\alpha x\in\pi^{-1}(\bar{\mathfrak{b}})\)가 되어 \(\pi^{-1}(\bar{\mathfrak{b}})\)는 왼쪽에서의 곱셈에 대해 닫혀있다. 비슷하게, \(\pi\)가 전사이므로 \(A/\mathfrak{a}\)의 임의의 원소는 \(\pi(\alpha)\)의 꼴이며 따라서

\[\pi(\alpha)\pi(x)=\pi(\alpha x)\in\pi(\mathfrak{b})\]

이므로 이로부터 \(\bar{\mathfrak{b}}\)가 왼쪽에서의 곱셈에 대해 닫혀있음을 확인할 수 있다. 오른쪽에서 곱하는 경우도 같은 방식으로 보일 수 있으며, 따라서 이들은 two-sided ideal이다.

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참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.

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