점함자

이제 우리는 스킴의 언어를 더 확장하기 위한 준비를 시작한다. 이를 위해서는 §스킴 사이의 사상, ⁋정의 6에서 살펴보았던 functor of points 관점이 필요하다. 이는 §스킴 사이의 사상, ⁋정의 9에서 이미 정의했던 것으로, scheme \(X\)를 살펴보기 위해 모든 가능한 test scheme \(T\)에 대하여 \(X\)의 \(T\)-point들의 모임을 보는 것이다. 즉, 다음의 functor

\[h_X=\Hom_\Sch(-,X): \Sch^\op \rightarrow \Set\]

를 생각하는 것이다. 우리의 첫째 목표는 이 functor가 \(X\)를 isomorphism까지 완전히 결정한다는 것을 Yoneda 보조정리를 통해 확인하고, 이러한 functorial한 관점이 affine space, projective space, Grassmannian, fiber product 등을 다룰 때 어떻게 자연스러운 언어를 제공하는지를 살펴본다.

본격적인 논의를 시작하기 전에 표기를 고정하자. 각각의 scheme \(T\)에 대하여 \(h_X(T)=\Hom_\Sch(T,X)\)를 \(X(T)\)로 적으며, scheme morphism \(\tau: T' \rightarrow T\)에 대하여 \(h_X(\tau): X(T) \rightarrow X(T')\)은 합성 \(h_X(\tau)(\psi)=\psi\circ \tau\)을 의미한다. 특히 \(T=\Spec A\)인 경우 \(X(\Spec A)\)를 간단히 \(X(A)\)로 적으며, 위에서 정의했던 것과 같이 집합 \(X(T)\)의 원소를 \(T\)-valued point라고도 부른다. 그럼 이 이름 하에서 \(X(\tau)\)는 \(X\)의 \(T\)-point를 \(\tau\)를 따라 \(T'\)-point로 끌어당기는 것과 같다.

한편 functoriality는 \(X\) 방향에도 존재한다. Scheme morphism \(\varphi: X\rightarrow Y\)가 주어졌을 때, 고정된 test scheme \(T\)에 대하여 합성

\[h_\varphi(T): X(T) \rightarrow Y(T);\qquad \psi\mapsto \varphi\circ \psi\]

은 잘 정의되며, 뿐만 아니라 임의의 \(\tau: T' \rightarrow T\)에 대하여 \(h_\varphi(T')\circ h_X(\tau)=h_Y(\tau)\circ h_\varphi(T)\)가 성립한다. 즉 \(\varphi\)는 natural transformation \(h_\varphi: h_X \rightarrow h_Y\)를 유도하고, 이로부터 \(X\mapsto h_X\)가 functor

\[h_{(-)}:\Sch \rightarrow \Fun(\Sch^\op, \Set)\]

를 정의한다는 것을 안다. 이 관점은 \(\Sch_{/S}\)로 우리의 관심의 대상을 바꾸어도 그대로 성립하지만, 이번 글에서는 편의상 \(\Sch\)에서 모든 일을 진행하기로 한다.

Yoneda 보조정리와 representability

이제 우리는 \(X\)가 정의하는 functor of points \(h_X\)가 실제로 \(X\)에 대한 충분한 scheme-theoretic 정보를 가지고 있다는 것을 보인다. 이는 기본적으로 범주론에서 이미 다룬 것으로, 여기서는 간단한 리뷰만 진행하기로 한다.

Functor of points 관점의 범주론적 기초는 당연히 Yoneda 보조정리와 representability로, [범주론] §표현가능한 함자, ⁋정리 4 (Yoneda)를 \(\mathcal{A}=\Sch\)에 적용하면 functor \(h_{(-)}:\Sch \rightarrow \Fun(\Sch^\op, \Set)\)이 fully faithful functor임을 안다. 이는 scheme \(X\)가 \(h_X\)에 의해 up to isomorphism으로 유일하게 결정되고, scheme morphism은 functor of points 사이의 natural transformation과 정확히 같은 데이터임을 보여준다.

위에서 살펴봤듯, scheme morphism \(\varphi:X\rightarrow Y\)가 주어지면, \(T\)-point \(\psi:T\rightarrow X\)를 합성 \(\varphi\circ\psi:T\rightarrow Y\)로 보낼 수 있다. 이러한 방식으로 \(\varphi\)는 모든 test scheme에 걸쳐 호환되는 map \(X(T)\rightarrow Y(T)\)들을 준다. 핵심적인 관찰은 이것이 거꾸로도 작동한다는 것이다. 이러한 호환되는 map들의 모임 \(\alpha_T:X(T)\rightarrow Y(T)\)가 주어졌다고 하자. \(\alpha_X\)가 identity morphism \(\id_X:X\rightarrow X\)에 보내는 원소 \(\alpha_X(\id_X)\)는 \(Y\)의 \(X\)-point, 곧 scheme morphism \(f:X\rightarrow Y\)이다. Naturality에 의하여 임의의 \(\psi:T\rightarrow X\)에 대하여 \(\alpha_T(\psi)=f\circ\psi\)가 성립하므로, 나머지 모든 \(T\)-point에서의 map은 \(f\)와의 합성으로 강제된다. 즉 functor of points 사이의 natural transformation은 하나의 scheme morphism과 정확히 같은 데이터이다.

그렇다면 scheme은 본질적으로 functor \(F:\Sch\rightarrow \Fun(\Sch^\op, \Set)\)이며, 이것이 실제로 scheme으로 나타나기 위해서는 이 functor가 representable functor여야 한다. ([범주론] §표현가능한 함자, ⁋정의 1) 이 방법으로 얻어진 scheme \(X\) 위에는 \(h_X(X)\)의 \(\id_X\)에 대응하는 universal element가 주어지며, 임의의 scheme morphism \(f:T\rightarrow X\)는 이를 \(T\) 위로 pullback하여 \(F(T)\)의 원소를 준다. 이는 [대수적 위상수학] §분류공간, ⁋정리 8 (분류정리)에서 classifying map \(f:B\rightarrow \B G\)가 universal bundle을 pullback하여 \(B\) 위의 principal \(G\)-bundle을 주는 것과 같은 방식이지만, 차이는 여기서는 homotopy class 대신 실제 scheme morphism \(f:T\rightarrow X\) 자체가 나타난다는 것이다.

Functor로 본 affine space와 projective space

이제 우리는 이 관점으로 우리가 이미 알고 있는 기하학적 대상들을 살펴본다. 그 시작점은 당연히 affine space와 projective space이다.

명제 1 \(\mathbb{Z}\) 위의 affine line \(\mathbb{A}^1=\Spec \mathbb{Z}[\x]\)와 임의의 scheme \(T\)에 대하여, \(\mathbb{A}^1\)의 \(T\)-point들의 집합은

\[\mathbb{A}^1(T)\cong \Gamma(T, \mathcal{O}_T)=\mathcal{O}_T(T)\]

로 주어지며, 이 대응은 \(T\)에 대해 natural하다.

증명

§아핀스킴, ⁋정리 13에서 살펴본 adjunction

\[\Hom_\Sch(T, \Spec A)\cong \Hom_\cRing(A, \Gamma(T, \mathcal{O}_T))\]

에서 \(A=\mathbb{Z}[\x]\)로 두자. Ring \(\mathbb{Z}[\x]\)는 \(\cRing\)에서 free object이므로, ring homomorphism \(\mathbb{Z}[\x] \rightarrow \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)은 generator \(\x\)의 image \(\x\mapsto a\)를 자유롭게 정하는 것과 같고, 이는 정확히 원소 \(a\in \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)를 하나 고르는 것이다. 따라서

\[\mathbb{A}^1(T)=\Hom_\Sch(T, \Spec \mathbb{Z}[\x])\cong \Hom_\cRing(\mathbb{Z}[\x], \Gamma(T, \mathcal{O}_T))\cong \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\]

이다. 이 대응의 naturality는 임의의 \(\tau: T' \rightarrow T\)에 대하여 restriction map \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T) \rightarrow \Gamma(T', \mathcal{O}_{T'})\)이 위의 대응과 commute한다는 것으로, adjunction의 naturality로부터 따라온다.

이전 절에서 도입한 언어를 도입하자면, \(\mathbb{A}^1\)은 global section functor \(T\mapsto\Gamma(T,\mathcal{O}_T)\)를 represent하는 것이다. 이 때 universal element는 \(h_{\mathbb{A}^1}(\mathbb{A}^1)=\Hom_\Sch(\mathbb{A}^1,\mathbb{A}^1)\) 안에서 identity morphism \(\id_{\mathbb{A}^1}\)에 대응되는 것으로, 위의 명제 1의 대응을 쫓아가보면 이는 \(\Gamma(\mathbb{A}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{A}^1})=\mathbb{Z}[\x]\) 안의 \(\x\)에 대응한다는 것을 안다.

이제 임의의 scheme morphism \(f:T\rightarrow\mathbb{A}^1\)는 pullback map \(f^\ast:\Gamma(\mathbb{A}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{A}^1})\rightarrow\Gamma(T,\mathcal{O}_T)\)을 통해 \(T\) 위에 정의된 (global) regular function \(f^\ast \x\)를 정의한다. 거꾸로, 임의의 global regular function \(a\in\Gamma(T,\mathcal{O}_T)\)가 주어지면 \(\x\mapsto a\)로 정해지는 ring homomorphism \(\mathbb{Z}[\x]\rightarrow\Gamma(T,\mathcal{O}_T)\)가 있고, 바로 이 선택이 유일한 scheme morphism \(f:T\rightarrow\mathbb{A}^1\)를 주며 이러한 \(f\)는 \(f^\ast\x=a\)를 만족한다. 이를 \(n\)개의 generator로 일반화하면 다음을 얻는다.

명제 2 \(\mathbb{Z}\) 위의 affine \(n\)-space \(\mathbb{A}^n=\Spec \mathbb{Z}[\x_1,\ldots, \x_n]\)에 대하여, 자연스러운 일대일대응

\[\mathbb{A}^n(T)\cong \Gamma(T, \mathcal{O}_T)^n\]

이 존재한다. 즉 \(\mathbb{A}^n\)의 \(T\)-point는 \(T\) 위의 regular function \(n\)개의 순서쌍이다.

증명

명제 1의 증명과 동일하게, free ring \(\mathbb{Z}[\x_1,\ldots, \x_n]\)에서 나가는 ring homomorphism은 각 generator \(\x_i\)의 image \(a_i\in \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)를 자유롭게 정하는 것이므로

\[\mathbb{A}^n(T)\cong \Hom_\cRing(\mathbb{Z}[\x_1,\ldots, \x_n], \Gamma(T, \mathcal{O}_T))\cong \Gamma(T, \mathcal{O}_T)^n\]

을 얻는다.

특별히 \(T=\Spec A\)인 경우 \(\mathbb{A}^n(A)\cong A^n\)이며, 이는 고전적인 직관과 정확히 일치한다. 즉 affine \(n\)-space의 \(A\)-point는 \(A\)의 원소 \(n\)개로 이루어진 좌표이다. 더 일반적으로 만일 \(T\)가 affine이 아닌 경우에는 \(\Gamma(T,\mathcal{O}_T)\)이 더 풍부할 수 있으므로, \(\mathbb{A}^n(T)\) 역시 고전적인 좌표보다 더 많은 정보를 담는다. 한편 global section functor에서 곱셈에 대한 가역원만을 추출하면 다음 functor를 얻는다.

명제 3 \(\mathbb{G}_m=\Spec \mathbb{Z}[\t, \t^{-1}]\)에 대하여, 자연스러운 일대일대응

\[\mathbb{G}_m(T)\cong \Gamma(T, \mathcal{O}_T)^\times\]

이 존재한다. 여기에서 \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)^\times\)은 ring \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)의 가역원들의 group이다.

증명

\(\mathbb{Z}[\t, \t^{-1}]=\mathbb{Z}[\t]_\t\)이므로, ring homomorphism \(\mathbb{Z}[\t, \t^{-1}] \rightarrow \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)은 \(\t\)의 image \(a\)가 가역인 것들과 일대일대응한다. 실제로 localization의 universal property에 의하여 \(\mathbb{Z}[\t]_\t\)에서 나가는 ring homomorphism은 \(\t\)의 image를 가역원으로 보내는 \(\mathbb{Z}[\t] \rightarrow \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)들과 정확히 대응하고, 명제 1에서 본 것처럼 이는 가역원 \(a\in \Gamma(T, \mathcal{O}_T)^\times\)를 하나 고르는 것이다.

이를 사용하면 affine space로부터 projective space를 얻어낼 수 있다. 이를 위해 \(\mathbb{A}^{n+1}\)에서 원점을 제거한 open subscheme \(U\)를 생각하자. 먼저 scheme morphism

\[\mu:\mathbb{G}_m\times\mathbb{A}^{n+1}\rightarrow\mathbb{A}^{n+1}\]

을 다음의 식

\[\mathbb{Z}[\x_0,\ldots,\x_n]\rightarrow\mathbb{Z}[\t,\t^{-1},\x_0,\ldots,\x_n];\qquad \x_i\mapsto\t\x_i\]

으로 정의한다. 그럼 이는 \(\mathbb{G}_m\)의 scalar multiplication action이며 \(U\) 위에도 제한된다. 고전적으로 projective space는 이 action에 대한 몫 \(U/\mathbb{G}_m\)으로 생각되었다.

이를 \(T\)-point들에서 살펴보면, 명제 3에 의하여 \(\mathbb{G}_m(T)=\Gamma(T,\mathcal{O}_T)^\times\)이므로, 위 action은 \(T\)-point에서 가역함수 \(u\)가 tuple \((a_0,\ldots,a_n)\in U(T)\)에

\[u\cdot(a_0,\ldots,a_n)=(ua_0,\ldots,ua_n)\]

로 작용하는 것으로 생각할 수 있다. 여기서 각각의 \(a_i\)들은 \(T\) 위에 정의된 함수들로서, \(T\)의 임의의 점 \(t\)에서의 tuple \((a_0(t),\ldots, a_n(t))\)이 영벡터가 되지 않아야 한다.

자연스러운 기대는 \(\mathbb{P}^n(T)=U(T)/\mathbb{G}_m(T)\)일 것이지만, 이것이 성립하지는 않는다. 실제로 이러한 tuple \((a_0,\ldots, a_n)\in U(T)\)에 대하여,

\[T_i=\{t\in T\mid \text{$a_i(t)$ invertible}\}\]

이 \(T\)의 open subscheme들이 되며, \(T_i\) 위에서는 비율 \(a_j/a_i\)가 항상 정의되므로 다음의 식

\[\mathbb{Z}[\x_0/\x_i,\ldots, \x_n/\x_i]\rightarrow \Gamma(T_i, \mathcal{O}_T);\qquad \x_j/\x_i\mapsto a_j/a_i\]

을 통해 각각의 morphism \(T_i\rightarrow D_+(\x_i)\)이 정의되며, 이들은 교집합 위에서 일치하여 하나의 morphism \(T\rightarrow\mathbb{P}^n\)으로 붙는다. 뿐만 아니라 \(\mathbb{G}_m(T)\)-action은 비율 \(a_j/a_i\)를 바꾸지는 않으므로, 대응 \(U(T)/\mathbb{G}_m(T)\rightarrow\mathbb{P}^n(T)\)이 얻어진다는 사실 자체는 자연스럽다.

문제는 이 대응이 일반적으로 전사가 아니라는 것으로, 그 이유는 \(\psi: T \rightarrow \mathbb{P}^n\)의 image가 \(\mathbb{P}^n\)의 여러 chart에 걸쳐 있을 때 homogeneous coordinate를 고르는 방식이 chart마다 달라질 수 있기 때문이다. 구체적으로 morphism \(\psi:T\rightarrow\mathbb{P}^n\)이 주어지면 \(V_i=\psi^{-1}(D_+(\x_i))\)들이 \(T\)의 open cover를 이루고, 각각의 \(V_i\) 위에서는 \(i\)번째 coordinate가 \(1\)이 되도록 맞춘 tuple

\[a^{(i)}=(\psi^\ast(\x_0/\x_i),\ldots, \psi^\ast(\x_n/\x_i))\in U(V_i)\]

이 정의되며 서로 다른 두 chart를 연결하는 transition relation은

\[a^{(i)}=\psi^\ast(\x_j/\x_i)\cdot a^{(j)}\]

로 주어진다. 문제는 이 때의 factor \(\psi^\ast(\x_j/\x_i)\)는 \(V_i\cap V_j\) 위에서만 정의된 가역함수인 반면, 위에서 \(T_i\)들을 붙일 때 고려했던 factor는 \(\mathbb{G}_m(T)\), 즉 global scaling factor에서 왔다는 것이다. 따라서 단순히 \(\mathbb{P}^n(T)=U(T)/\mathbb{G}_m(T)\)라 생각하면 이러한 \(T\)-point들을 놓치게 된다.

한편 우리는 마침 이러한 경우마다 국소적으로 scaling factor를 담을 수 있는 방법을 잘 알고 있다. 즉 \(T\) 위에 정의된 line bundle을 생각하면 된다. 이렇게 얻어지는 line bundle \(\mathcal{L}\) 위에서 국소적인 tuple들의 coordinate는 global section \(n+1\)개 \(s_0,\ldots, s_n\in \Gamma(T, \mathcal{L})\)으로 합쳐지고, \(a^{(i)}\)의 \(i\)번째 coordinate가 \(1\)이었다는 것은 \(V_i\) 위에서 \(s_i\)가 \(\mathcal{L}\)을 생성한다는 뜻이 된다. 이 때 우리는 이 비율을 잘 정의하기 위해 다음의 조건을 요구하여야 한다.

정의 4 Scheme \(T\) 위의 line bundle \(\mathcal{L}\)의 globally generating sections_{전역생성단면} \(s_0,\ldots, s_n\in \Gamma(T, \mathcal{L})\)이라는 것은, 각각의 점 \(t\in T\)에서 stalk \(\mathcal{L}_t\)이 germ \((s_0)_t,\ldots, (s_n)_t\)로 \(\mathcal{O}_{T,t}\)-module로서 생성되는 것이다. 두 데이터 \((\mathcal{L}, s_0,\ldots, s_n)\)과 \((\mathcal{L}', s_0',\ldots, s_n')\)이 isomorphic하다는 것은, \(\mathcal{O}_T\)-module isomorphism \(\theta:\mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L}'\)이 존재하여 각각의 \(i\)에 대하여 \(\theta(s_i)=s_i'\)인 것이다.

이 isomorphism 조건이 homogeneous coordinate의 scaling을 기록한다. 특히 \(\mathcal{L}=\mathcal{O}_T\)인 경우, \(\mathcal{O}_T\)의 automorphism은 가역함수 \(u\in\Gamma(T,\mathcal{O}_T)^\times\)를 곱하는 것뿐이다. 따라서 \((\mathcal{O}_T,s_0,\ldots,s_n)\)와 \((\mathcal{O}_T,us_0,\ldots,us_n)\)은 isomorphic한 data이다.

그럼 이 정의 하에서 \(\mathbb{P}^n\)의 functor of points는 다음과 같이 깔끔하게 기술된다.

정리 5 \(\mathbb{Z}\) 위의 projective space \(\mathbb{P}^n=\Proj \mathbb{Z}[\x_0,\ldots, \x_n]\)에 대하여, \(\mathbb{P}^n(T)\)는 \(T\) 위의 line bundle \(\mathcal{L}\)과 그 globally generating sections \(s_0,\ldots, s_n\in \Gamma(T, \mathcal{L})\)의 데이터 \((\mathcal{L}, s_0,\ldots, s_n)\)들의 isomorphism class와 자연스럽게 일대일대응한다.

증명

Morphism \(\psi: T \rightarrow \mathbb{P}^n\)이 주어졌다 하자. \(\mathbb{P}^n\) 위의 twisting sheaf \(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)\)은 line bundle이고 그 global sections \(\x_0,\ldots, \x_n\)은 globally generating sections이므로, pullback을 취하여 \(T\) 위의 line bundle \(\mathcal{L}=\psi^\ast \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)\)과 sections \(s_i=\psi^\ast \x_i\)를 얻는다. Pullback이 globally generating sections인 성질을 보존하므로 \((\mathcal{L}, s_0,\ldots, s_n)\)은 위의 데이터를 이룬다.

거꾸로 \(T\) 위의 line bundle \(\mathcal{L}\)과 그 globally generating sections \(s_0,\ldots, s_n\)이 주어졌다 하자. 각각의 \(i\)에 대하여 section \(s_i\)가 생성하는 곳 \(T_{s_i}=\{t\in T\mid (s_i)_t \text{ generates } \mathcal{L}_t\}\)는 열린집합이고, sections가 \(\mathcal{L}\)을 globally generate하므로 \(\{T_{s_i}\}_{i=0}^n\)은 \(T\)의 open cover를 이룬다. \(T_{s_i}\) 위에서는 \(s_i\)가 \(\mathcal{L}\vert_{T_{s_i}}\)의 trivialization을 주므로, 각 \(j\)에 대하여 \(s_j/s_i\in \Gamma(T_{s_i}, \mathcal{O}_T)\)가 잘 정의된다. 이로써 §스킴 사이의 사상, ⁋예시 5와 같은 방식으로 \(T_{s_i} \rightarrow D_+(\x_i)\)를 정의하고, 교집합 위에서의 gluing condition을 확인하여 morphism \(\psi: T \rightarrow \mathbb{P}^n\)을 얻는다.

이 두 구성이 서로 역이라는 것과 isomorphic한 데이터가 같은 morphism을 준다는 것은, \((\mathcal{L}, s_0,\ldots, s_n)\) 전체를 \(\mathcal{O}_T\)-module isomorphism으로 옮겨도 \(s_j/s_i\)들이 변하지 않으므로 같은 gluing 데이터를 준다는 사실로부터 확인된다. 자연스러움은 \(\tau: T' \rightarrow T\)에 대하여 위의 데이터를 pullback하는 것과 morphism을 합성하는 것이 일치한다는 것이다.

구체적으로 §다양체에서 스킴으로, ⁋예시 5에서 살펴본 \(\mathbb{P}^n_\mathbb{K}\)의 \(\mathbb{K}[\epsilon]/(\epsilon^2)\)-point를 이 언어로 다시 살펴보자. 이는 one-point space이므로 그 위의 line bundle은 trivial line bundle 뿐이며, 따라서 trivialization을 하나 고정하면 \(\Gamma(T,\mathcal{L})\cong\Gamma(T,\mathcal{O}_T)=A\)이므로 이 위의 line bundle의 section을 고르는 것은 \(A\)의 원소를 고르는 것과 같다. 한편 이들이 globally generating이라는 조건은, \(\Spec A\)의 유일한 점에서 stalk이 \(A\) 자신이므로, 어떤 \(a_i\)가 가역이라는 조건이 되어 정확히 \((a_0,\ldots, a_n)\in U(A)\)라는 조건이 된다.

이제 정리 5가 어떻게 작동하는지 보기 위해 그 isomorphism class를 살펴보면, \(\mathcal{O}_T\)의 automorphism은 이제 \(A^\times\)의 원소를 곱하는 것뿐이므로 두 tuple이 같은 \(A\)-point를 주는 것은 서로 \(A^\times\)배인 것과 동치이다. 따라서

\[\mathbb{P}^n(A)=U(A)/A^\times\]

이며, 여기서 \(U(A)\)는 각 좌표가 \(A\)인 \((n+1)\)-tuple \((a_0, \ldots, a_n)\) 중 적어도 한 좌표가 가역인 것이고 \(A^\times\)는 모든 성분에 \(A^\times\)의 원소를 곱하는 것으로 얻어진다.

이제 \(V=\mathbb{K}^{n+1}\)이라 하고, \(U(A)\)의 원소를 \(a=b+\epsilon c\)의 형태로 쓰자. 그럼 다음 대응

\[\widetilde{\rho}: U(A)\rightarrow \mathbb{P}^n(\mathbb{K});\qquad b+\epsilon c\mapsto [b]\]

을 생각할 수 있다. 직관적으로 이는 tangent vector 방향은 잊어버리고 그 base point만 기억하는 함수이며, \(U(A)\) 위의 \(A^\times\) action을 위와 같이 전개된 식으로 계산해보면

\[u(b+\epsilon c)=\lambda b+\epsilon(\lambda c+\mu b)\]

이므로 이러한 \(\widetilde{\rho}\)는 \(\rho: \mathbb{P}^n(A)\rightarrow \mathbb{P}^n(\mathbb{K})\)으로 떨어진다.

이렇게 얻은 \(\rho\)는 실제로 ring homomorphism

\[q:A\rightarrow\mathbb{K};\qquad \epsilon\mapsto0\]

으로부터 functorial하게 유도되는 map이다. 즉, 이 ring homomorphism에 대응하는 morphism을 \(\iota:\Spec\mathbb{K}\rightarrow\Spec A\)라 하면, \(\rho\)는 \(A\)-point \(\psi:\Spec A\rightarrow\mathbb{P}^n\)을 합성 \(\psi\circ\iota\)로 보낸다는 것을 확인할 수 있으며, 이것이 위에서 정의한 \(\rho\)와 정확히 일치하는 것을 확인할 수 있다.

따라서 \(\rho^{-1}(\ell)\)은 \(\Spec\mathbb{K}\rightarrow\Spec A\)를 따라 restriction했을 때 \(\ell\)이 되는 \(A\)-point들의 집합이다. 이를 직접 계산해보자. 우선 class \([b+\epsilon c]\in\rho^{-1}(\ell)\)을 하나 택하면 \(\ell=\mathbb{K}b\subseteq V\)이고, 이 \(A\)-point로부터 \(\mathbb{K}\)-linear map

\[\phi:\ell\rightarrow V/\ell,\qquad \phi(b)=c+\ell\]

을 정의할 수 있다. 이는 representative의 선택에 의존하지 않는다. 실제로 앞선 계산을 활용하면, \(b+\epsilon c\)와 같은 class에 속하는 \(\lambda b+\epsilon(\lambda c+\mu b)\)의 경우, \(\phi\)를 통해 \(\lambda b\)가 옮겨지는 값은

\[(\lambda c+\mu b)+\ell=\lambda(c+\ell)\]

이 되기 때문이다. 거꾸로 일차원 부분공간 \(\ell\subseteq V\)와 linear map \(\phi:\ell\rightarrow V/\ell\)이 주어졌다고 하자. 영벡터가 아닌 \(b\in\ell\)을 택하고 \(\phi(b)\)의 lift \(c\in V\)를 택하면 \(b+\epsilon c\in U(A)\)를 얻는다. 이는 우선 \(b\)의 lift에 의존하지 않는 것으로, 만일 다른 lift \(c'=c+\mu b\)를 택하면

\[b+\epsilon c'=(1+\epsilon\mu)(b+\epsilon c)\]

가 되어 이는 같은 \(A^\times\)-class에 속한다. 비슷하게 basis \(b'=\lambda b\)와 그 lift \(c'=\lambda c+\mu b\)를 택하면

\[b'+\epsilon c'=(\lambda+\epsilon\mu)(b+\epsilon c)\]

이므로, 어떠한 선택에도 의존하지 않는 \(A^\times\)-class가 주어진다. 이는 위의 구성과 역과정인 것을 확인할 수 있으며, 따라서 다음의 isomorphism

\[\mathbb{P}^n(A)\cong\{(\ell,\phi)\mid \ell\in \mathbb{P}^n(\mathbb{K}),\ \phi\in \Hom_\mathbb{K}(\ell, V/\ell)\}\]

을 얻는다. 즉 \(\mathbb{P}^n(A)\)는 \(\mathbb{P}^n\)의 모든 점들에서의 tangent vector들을 모아둔 것이 되며, \(\rho\)는 그중 base point만 남기므로 \(\rho^{-1}(\ell)\)은 \(\mathbb{P}^n\)의 \(\ell\)에서의 tangent space \(T_\ell\mathbb{P}^n\)을 준다. 더 일반적으로 임의의 \(\mathbb{K}\)-scheme \(X\)에 대하여 \(X(A)\)는 모든 \(\mathbb{K}\)-point에서의 tangent space들을 모은 집합이다.

예시 6 이제 우리는 위에서 살펴본 projective space가 정의하는 functor를 구체적으로 살펴본다. 우선 \(\mathbb{P}^n(T)\)를 나타내는 \(\mathcal{L}\)과 globally generating sections \(s_0,\ldots, s_n\)은 다음의 surjection

\[\mathcal{O}_T^{\oplus n+1}\twoheadrightarrow \mathcal{L};\qquad e_i\mapsto s_i\]

으로 다시 쓸 수 있다. 이제 이러한 surjection들 사이의 isomorphism을 다음의 diagram

으로 정의하고, \(T\in\Sch\)를 받아 이러한 isomorphism class를 대응시키는 functor \(F_{n+1}\)을 생각하자. 이 때 functoriality는 morphism의 단계에서는, \(\tau:T'\rightarrow T\)를 통해 surjection을 pullback하여

\[\mathcal{O}_{T'}^{\oplus n+1}\twoheadrightarrow\tau^\ast\mathcal{L}\]

을 정의하는 방식으로 주어진다. 즉, 이 대응은 contravariant functor

\[F_{n+1}:\Sch^\op\rightarrow\Set\]

를 정의한다. 이 관점에서 정리 5는 모든 scheme \(T\)에 대하여 natural한 일대일대응

\[\mathbb{P}^n(T)\cong F_{n+1}(T)\]

이 존재한다는 것이며, projective space \(\mathbb{P}^n\)이 이 functor를 represent한다. [범주론] §표현가능한 함자, ⁋정리 4 (Yoneda)에 의하여 \(\id_{\mathbb{P}^n}\)에 대응하는 universal element는 \(\mathbb{P}^n\) 위의 quotient bundle

\[\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}^{\oplus n+1}\twoheadrightarrow\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)\]

이고, 임의의 \(T\)-point는 이 universal quotient를 \(T\) 위로 pullback하여 rank \(1\) quotient를 얻는다.

Grassmannian은 위 functor에서 rank \(1\) target을 rank \(k\) target으로 바꾸어 얻는다. 즉 정수 \(0<k<n\)에 대하여 scheme \(T\)에 집합

\[F_{k,n}(T)=\left\{\mathcal{O}_T^n\twoheadrightarrow\mathcal{Q}\mid \mathcal{Q}\text{ is locally free of rank }k\right\}\big/\cong\]

를 대응시키고, morphism \(\tau:T'\rightarrow T\)에는 pullback을 대응시킨다. 이 contravariant functor를 represent하는 scheme을 \(\Gr(k,n)\)이라 하므로, 모든 scheme \(T\)에 대하여 natural한 일대일대응

\[\Gr(k,n)(T)\cong F_{k,n}(T)\]

이 존재한다.

\(T=\Spec\mathbb{K}\)인 경우 \(F_{k,n}(T)\)의 원소는 rank \(k\) quotient space \(\mathbb{K}^n\twoheadrightarrow Q\)이다. 이는 kernel인 \((n-k)\)차원 부분공간 \(\bar S\subseteq\mathbb{K}^n\)에 의하여 유일하게 결정되므로, \(\Gr(k,n)(\mathbb{K})\)는 이러한 부분공간들의 집합과 일치한다. 부분공간을 직접 분류하는 [대수다양체] §그라스만 다양체, ⁋정의 1의 관례에서는 이 집합을 \(\Gr(n-k,n)\)으로 표기한다. 특히 \(k=1\)이면 rank \(1\) quotient를 분류하므로 정리 5의 \(\mathbb{P}^{n-1}\)을 회복한다.

이러한 functorial한 정의가 representable함을 보이는 것이 moduli theory의 출발점이며, Grassmannian의 경우에는 quotient bundle이 standard affine chart들 위에서 행렬의 data로 표현된다는 사실을 이용하여 representing scheme과 universal quotient를 구성할 수 있다.

Functor로 본 올곱

Functor of points 관점은 §올곱, ⁋정의 1에서 정의한 fiber product와 잘 맞아떨어진다. Fiber product \(X\times_S Y\)의 universal property는, 임의의 test scheme \(T\)에 대하여 그 \(T\)-point들이 어떻게 결정되는지를 functor 수준에서 곧바로 말해준다.

명제 7 Scheme morphism \(X \rightarrow S\)와 \(Y \rightarrow S\)가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 scheme \(T\)에 대하여, 자연스러운 일대일대응

\[(X\times_S Y)(T)\cong X(T)\times_{S(T)} Y(T)\]

이 존재한다. 여기서 우변은 \(\Set\)에서의 fiber product, 즉 \(X(T)\times Y(T)\)에서 \(X(T) \rightarrow S(T)\)와 \(Y(T) \rightarrow S(T)\)가 같은 값을 주는 순서쌍들의 집합이다.

증명

§올곱, ⁋정의 1의 universal property는, \(T\)로부터 \(X\times_S Y\)로의 morphism이 \(\psi_X: T \rightarrow X\)와 \(\psi_Y: T \rightarrow Y\)로서 \(S\)로의 합성이 일치하는, 즉 \(X(T) \rightarrow S(T)\)와 \(Y(T) \rightarrow S(T)\)를 통해 \(\psi_X\)와 \(\psi_Y\)가 같은 \(S\)-point로 가는 순서쌍과 유일하게 대응한다는 것을 의미한다 . 이를 집합의 언어로 적으면

\[(X\times_S Y)(T)\cong \{(\psi_X, \psi_Y)\in X(T)\times Y(T)\mid \psi_X, \psi_Y \text{ map to the same element of } S(T)\}=X(T)\times_{S(T)} Y(T)\]

이다. Naturality는 \(\tau: T' \rightarrow T\)에 대하여 양변의 pullback이 일치한다는 것으로, universal property의 naturality으로부터 따라온다.

명제 7은 fiber product를 functor 수준에서 점별로 fiber product를 취하는 연산으로 해석하게 해준다. 이 관점에서 §올곱, ⁋정리 8의 존재성 증명은, 점별로 자명하게 정의되는 functor \(T\mapsto X(T)\times_{S(T)} Y(T)\)가 representable임을 보이는 일로 재해석된다. 특히 product \(X\times Y=X\times_{\Spec \mathbb{Z}} Y\)의 경우에는 단순히 \((X\times Y)(T)\cong X(T)\times Y(T)\)이 된다.

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참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundations of algebraic geometry. Available online.

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