준연접층

Scheme $X$의 structure sheaf $\mathcal{O}_X$는 그 자체로 ring들의 sheaf이지만, 우리는 종종 $\mathcal{O}_X$ 위에서 정의된 module들의 sheaf를 다루어야 한다. 가령 affine scheme $\Spec A$ 위에서 우리가 관심을 가지는 대상들, 즉 $A$-module $M$은 $\Spec A$ 위의 sheaf로 변환되어야 자연스럽게 기하학과 연결되며, ideal sheaf나 line bundle 또한 이러한 sheaf의 예시이다. 그러나 임의의 $\mathcal{O}_X$-module은 너무 거칠어서 affine 위에서의 대수적인 정보로 환원되지 않는다. 이번 글에서는 affine 위에서 module로부터 직접 만들어지는 sheaf를 정의하고, 이로부터 quasi-coherent sheaf의 개념을 도입한다.

$\mathcal{O}_X$-module

우선 일반적인 ringed space $(X, \mathcal{O}_X)$ (§아핀스킴, ⁋정의 1) 위에서 module들의 sheaf를 정의한다.

정의 1 Ringed space $(X, \mathcal{O}_X)$ 위의 abelian group들의 sheaf $\mathcal{F}$가 $\mathcal{O}_X$-module_{$\mathcal{O}_X$-가군층}이라는 것은, 임의의 열린집합 $U$에 대하여 $\mathcal{F}(U)$가 $\mathcal{O}_X(U)$-module의 구조를 가지며, 이 module 구조가 restriction map과 호환되는 것이다. 즉 $V\subseteq U$와 $a\in \mathcal{O}_X(U)$, $s\in \mathcal{F}(U)$에 대하여

\[(a\cdot s)\vert_V=(a\vert_V)\cdot (s\vert_V)\]

가 성립하는 것이다. 두 $\mathcal{O}_X$-module $\mathcal{F}, \mathcal{G}$ 사이의 morphism은 sheaf 사이의 morphism $\varphi:\mathcal{F} \rightarrow \mathcal{G}$ 가운데, 각각의 $U$에 대하여 $\varphi(U):\mathcal{F}(U) \rightarrow \mathcal{G}(U)$가 $\mathcal{O}_X(U)$-module homomorphism인 것이다.

즉 스칼라곱을 먼저 한 뒤 제한하는 것과 restriction을 먼저 한 뒤 스칼라곱을 하는 것이 일치한다는 것이 $\mathcal{O}_X$-module이며, 이 스칼라곱을 유지하는 것이 $\mathcal{O}_X$-module의 morphism이다. 이 데이터들은 $\mathcal{O}_X$-module들의 category를 이루며, 이를 $\rMod{\mathcal{O}_X}$로 적는다. 가장 기본적인 예시는 $\mathcal{O}_X$ 자기 자신으로, 이는 각각의 $\mathcal{O}_X(U)$를 그 위의 rank $1$ free module로 보아 얻어지는 $\mathcal{O}_X$-module이다. 뿐만 아니라 $\mathcal{O}_X$-module은 stalk 수준에서도 module 구조를 물려받는다. 즉, 임의의 $x\in X$에 대하여 stalk $\mathcal{F}_x=\varinjlim\mathcal{F}(U)$는 $\mathcal{O}_{X,x}=\varinjlim\mathcal{O}_X(U)$ 위의 module이 된다.

한편, 일반적인 module 위에서의 선형대수적 연산들은 $\mathcal{O}_X$-module에 그대로 옮겨진다.

정의 2 두 $\mathcal{O}_X$-module $\mathcal{F}, \mathcal{G}$와 정수 $r\geq 0$에 대하여,

Direct sum $\mathcal{F}\oplus \mathcal{G}$는 열린집합마다 $U\mapsto \mathcal{F}(U)\oplus \mathcal{G}(U)$로 주어지는 $\mathcal{O}_X$-module이다.
Tensor product $\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{G}$는 presheaf $U\mapsto \mathcal{F}(U)\otimes_{\mathcal{O}_X(U)}\mathcal{G}(U)$의 sheafification이다.
Sheaf Hom_{층 $\Hom$} $\sHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})$는 열린집합마다 $U\mapsto \Hom_{\mathcal{O}_X\vert_U}(\mathcal{F}\vert_U, \mathcal{G}\vert_U)$로 주어지는 $\mathcal{O}_X$-module이다.
Exterior power $\bigwedge^r\mathcal{F}$는 presheaf $U\mapsto \bigwedge^r_{\mathcal{O}_X(U)}\bigl(\mathcal{F}(U)\bigr)$의 sheafification이다. ([다중선형대수학] §텐서대수, ⁋정의 10)

위에서 direct sum과 sheaf Hom의 경우는 열린집합마다의 대응이 곧바로 sheaf를 이루지만, tensor product의 경우 presheaf

\[U\mapsto \mathcal{F}(U)\otimes_{\mathcal{O}_X(U)}\mathcal{G}(U)\]

가 sheaf 조건을 만족하지 않을 수 있어 sheafification으로 정의하였다. ([위상수학] §준층, ⁋정의 2) Exterior power도 같은 이유로 sheafification이 필요하다. Sheaf Hom $\sHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})$의 global section은 $\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})$이며, 특히 $\sHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X, \mathcal{F})\cong \mathcal{F}$가 성립한다.

정의 2의 목록들은 앞으로 쓰게 될 것들일 뿐, module 위의 선형대수적 구성은 어느 것이나 같은 방식으로 옮겨진다. 곧 각 열린집합에서 $\mathcal{O}_X(U)$-module에 그 구성을 적용한 뒤, 얻어진 presheaf가 sheaf가 아니면 sheafification을 취하면 된다. 가령 tensor power $\mathcal{F}^{\otimes r}$과 symmetric power $\Sym^r\mathcal{F}$, 그리고 이들을 모두 모은 tensor algebra $\T(\mathcal{F})$와 symmetric algebra $\S(\mathcal{F})$, exterior algebra $\bigwedge\mathcal{F}$가 그러하며 ([다중선형대수학] §텐서대수, ⁋정의 1), 임의의 첨자집합에 대한 direct sum과 direct product도 마찬가지이다. 이렇듯 $\mathcal{O}_X$-module은 일반적인 module과 비슷한 형식적 성질을 가지지만, 그 자체로는 너무 일반적이어서 affine 위에서 대수적인 정보로 환원되지 않는다. 우리가 실제로 다루고자 하는 것은 affine 위에서 module로부터 직접 만들어지는 sheaf들이다.

Affine scheme 위의 associated sheaf

이제 affine scheme $\Spec A$를 고정하고, $A$-module $M$이 주어졌다 하자. 우리는 $M$으로부터 $\Spec A$ 위의 $\mathcal{O}_{\Spec A}$-module을 만들고자 한다. 그 구성은 structure sheaf $\mathcal{O}_{\Spec A}$의 구성을 그대로 본뜬 것으로, structure sheaf가 principal open set $D(f)$ 위에서 localization $A_f$로 주어졌듯, module의 localization $M_f=S_f^{-1}M$을 같은 방식으로 붙인다. (§아핀스킴, ⁋보조정리 6)

보조정리 3 $A$-module $M$에 대하여, $\Spec A$의 base $\{D(f)\}_{f\in A}$ 위에서

\[\widetilde M(D(f))=M_f\]

으로 정의하고, $D(f)\subseteq D(g)$에 대한 restriction map을 canonical localization map $M_g \rightarrow M_f$로 정의하자. 그럼 이 데이터는 [위상수학] §층, ⁋명제 8의 두 조건을 만족하여 $\Spec A$ 위의 sheaf로 유일하게 확장되며, 이는 $\mathcal{O}_{\Spec A}$-module이다.

증명

우선 $D(f)\subseteq D(g)$일 때 restriction map이 잘 정의됨을 본다. §아핀스킴, ⁋보조정리 5와 같은 논증으로, $D(f)\subseteq D(g)$인 것은 $g$의 image가 $A_f$의 unit인 것과 동치이므로, $A_g$의 universal property로부터 $M_g=M\otimes_A A_g \rightarrow M\otimes_A A_f=M_f$가 유일하게 결정된다. 이 map이 [위상수학] §준층, ⁋정의 2의 restriction 조건을 만족함은 localization의 functoriality로부터 자명하다.

이제 [위상수학] §층, ⁋명제 8의 두 sheaf 조건을 보인다. 그 증명은 §아핀스킴, ⁋보조정리 6의 증명을 그대로 따라가되, 등장하는 ring $A$를 module $M$으로 바꾸어 읽으면 된다. 구체적으로 $\Spec A=\bigcup_{i\in I}D(f_i)$를 고정하자. 분리성을 보이기 위해 원소 $s\in M$이 모든 $M_{f_i}$에서 $0$이라 하면, 각각의 $i$마다 $f_i^{m_i}s=0$인 $m_i$가 존재하고, $\Spec A=\bigcup D(f_i^{m_i})$로부터 $1=\sum a_i f_i^{m_i}$인 $a_i\in A$들을 잡으면

\[s=\Bigl(\sum_i a_if_i^{m_i}\Bigr)s=\sum_i a_i(f_i^{m_i}s)=0\]

이다. 접합성의 경우, 각 $D(f_i)$ 위에서 주어진 section들 $s_i=a_i/f_i^{m_i}\in M_{f_i}$가 겹치는 부분에서 일치하면, §아핀스킴, ⁋보조정리 6의 증명에서와 동일하게 $1=\sum b_i a_i f_i^{Nm_i+m_i}$ 꼴의 partition of unity를 사용하여 $s=\sum b_i a_i f_i^{Nm_i}\in M$이 모든 $D(f_i)$ 위에서 $s_i$로 제한됨을 확인한다. 이 논증에서 $A$의 곱셈을 $M$ 위로의 scalar action으로 바꾼 것을 제외하면 모든 계산이 동일하다.

마지막으로 각 $\widetilde M(D(f))=M_f$는 $\mathcal{O}_{\Spec A}(D(f))=A_f$ 위의 module이고, restriction map이 scalar action과 호환되므로 $\widetilde M$은 $\mathcal{O}_{\Spec A}$-module이다.

정의 4 $A$-module $M$에 대하여, 보조정리 3으로 정의되는 $\Spec A$ 위의 $\mathcal{O}_{\Spec A}$-module $\widetilde M$을 $M$의 associated sheaf_연관층라 부른다.

정의에 의하여 $\widetilde A=\mathcal{O}_{\Spec A}$이며, $\widetilde M$의 global section은 $\widetilde M(\Spec A)=\widetilde M(D(1))=M_1=M$이다. 다음 명제는 associated sheaf가 structure sheaf와 같은 국소적 성질을 가짐을 보여주며, 이는 §아핀스킴, ⁋보조정리 8의 module 버전이다.

명제 5 $A$-module $M$에 대하여, 다음이 성립한다.

임의의 $\mathfrak{p}\in \Spec A$에 대하여 stalk $\widetilde M_\mathfrak{p}\cong M_\mathfrak{p}$이다.
임의의 $f\in A$에 대하여 $\widetilde M\vert_{D(f)}\cong \widetilde{M_f}$이다. 여기에서 우변은 $\Spec A_f\cong D(f)$ 위의 $A_f$-module $M_f$의 associated sheaf이다.

증명

첫째 결과의 경우, $D(f)$들이 $\Spec A$의 base이므로 ([위상수학] §위상공간의 기저, ⁋명제 5)

\[\widetilde M_\mathfrak{p}=\varinjlim_{D(f)\ni \mathfrak{p}}\widetilde M(D(f))=\varinjlim_{f\not\in \mathfrak{p}}M_f\]

이다. 한편 §아핀스킴, ⁋보조정리 8의 증명에서 $\varinjlim_{f\not\in \mathfrak{p}}A_f\cong A_\mathfrak{p}$를 보인 것과 동일하게, localization과 direct limit의 universal property로부터 $\varinjlim_{f\not\in \mathfrak{p}}M_f\cong M_\mathfrak{p}$를 얻는다.

둘째 결과의 경우, §스킴, ⁋보조정리 2에 의하여 $D(f)\cong \Spec A_f$이고, 이 isomorphism 아래에서 $\Spec A_f$의 principal open set은 $g\in A$에 대한 $D(fg)$의 꼴이다. 그럼

\[\widetilde M\vert_{D(f)}(D(fg))=\widetilde M(D(fg))=M_{fg}\cong (M_f)_g=\widetilde{M_f}(D(g))\]

이고, 이 isomorphism들이 restriction map과 호환되므로 base 위에서 두 sheaf가 일치하며 따라서 $\widetilde M\vert_{D(f)}\cong \widetilde{M_f}$이다.

특히 첫째 결과로부터 $\widetilde M$의 stalk은 모두 $M$의 localization으로 주어지므로, $\widetilde M$은 $M$의 국소적인 정보를 전부 담고 있다.

Categorical equivalence

이제 우리는 affine scheme 위에서 module의 associated sheaf를 취하는 대응이 module의 범주와 적절한 sheaf 범주 사이의 동치를 준다는 것을 보인다. 우선 이 대응이 exact functor임을 확인한다.

명제 6 대응 $M\mapsto \widetilde M$은 functor $\widetilde{(-)}:\rMod{A} \rightarrow \rMod{\mathcal{O}_{\Spec A}}$를 정의하며, 이는 exact이다. 즉 $A$-module의 short exact sequence

\[0 \rightarrow M' \rightarrow M \rightarrow M'' \rightarrow 0\]

는 $\mathcal{O}_{\Spec A}$-module의 short exact sequence

\[0 \rightarrow \widetilde{M'} \rightarrow \widetilde M \rightarrow \widetilde{M''} \rightarrow 0\]

를 유도한다.

증명

$A$-module homomorphism $\phi:M \rightarrow N$이 주어지면, 각각의 $f\in A$마다 localization $\phi_f:M_f \rightarrow N_f$가 유도되고, 이들은 restriction map과 호환되므로 sheaf 사이의 morphism $\widetilde\phi:\widetilde M \rightarrow \widetilde N$을 정의한다. 이 대응이 합성과 항등사상을 보존함은 localization의 functoriality로부터 자명하므로 $\widetilde{(-)}$는 functor이다.

Exactness를 보이기 위해, sheaf 사이의 sequence가 exact인 것은 모든 stalk에서 exact인 것과 동치임을 사용한다. 명제 5에 의하여 임의의 $\mathfrak{p}$에서 stalk를 취하면 주어진 sequence는

\[0 \rightarrow M'_\mathfrak{p} \rightarrow M_\mathfrak{p} \rightarrow M''_\mathfrak{p} \rightarrow 0\]

가 되며, localization은 exact functor이므로 ([가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋명제 2) 이 sequence는 exact이다. 따라서 stalk 수준에서 exact이고, 이로부터 sheaf 수준에서도 exact이다.

Associated sheaf functor는 tensor product 및 localization과도 호환된다. 즉 $\widetilde{M\otimes_A N}\cong \widetilde M\otimes_{\mathcal{O}_{\Spec A}}\widetilde N$이고, 임의의 $f$에 대하여 명제 5에서 본 $\widetilde M\vert_{D(f)}\cong \widetilde{M_f}$가 성립한다. 첫째 호환성은 양변의 stalk이 모두 $(M\otimes_A N)_\mathfrak{p}\cong M_\mathfrak{p}\otimes_{A_\mathfrak{p}}N_\mathfrak{p}$로 일치함으로부터 따라온다.

이제 이번 절의 결과인 categorical equivalence의 한 방향을 위해 우리는 임의의 $\mathcal{O}_{\Spec A}$-module이 어떻게 module로부터 복원되는지를 알아야 한다. 다음 정리가 핵심이다.

정리 7 Affine scheme $\Spec A$ 위에서, 다음의 자연스러운 isomorphism

\[\Hom_{\mathcal{O}_{\Spec A}}(\widetilde M, \widetilde N)\cong \Hom_A(M, N)\]

이 임의의 $A$-module $M, N$에 대하여 성립한다. 즉 functor $\widetilde{(-)}:\rMod{A} \rightarrow \rMod{\mathcal{O}_{\Spec A}}$는 fully faithful이다.

증명

대응 $\phi\mapsto \widetilde\phi$는 명제 6에 의하여 $\Hom_A(M, N) \rightarrow \Hom_{\mathcal{O}_{\Spec A}}(\widetilde M, \widetilde N)$를 준다. 거꾸로 morphism $\psi:\widetilde M \rightarrow \widetilde N$이 주어지면, global section 위에서

\[\psi(\Spec A):\widetilde M(\Spec A)=M \rightarrow N=\widetilde N(\Spec A)\]

를 취하여 $A$-module homomorphism $\phi=\psi(\Spec A)$를 얻는다. 이 두 대응이 서로 역임을 보이면 충분하다.

우선 $\phi\in \Hom_A(M, N)$에서 출발하면 $\widetilde\phi$의 global section은 정의에 의해 다시 $\phi$이므로 한 방향은 자명하다. 거꾸로 $\psi:\widetilde M \rightarrow \widetilde N$이 주어졌다 하고 $\phi=\psi(\Spec A)$라 하자. 우리는 $\widetilde \phi=\psi$임을 보여야 하며, 두 morphism이 일치하는 것은 base $\{D(f)\}$ 위에서 일치하는 것으로 충분하다. 임의의 $f\in A$에 대하여, $\psi$가 sheaf morphism이므로 다음 diagram

이 commute하며, 여기에서 세로 morphism은 localization map이다. 한편 $\psi(D(f))$는 $A_f$-module homomorphism이므로 윗줄의 $\phi$와 commute한다는 조건과 $A_f$-선형성에 의해 임의의 $m/f^n\in M_f$에 대하여

\[\psi(D(f))\Bigl(\frac{m}{f^n}\Bigr)=\frac{1}{f^n}\psi(D(f))\Bigl(\frac{m}{1}\Bigr)=\frac{1}{f^n}\frac{\phi(m)}{1}=\frac{\phi(m)}{f^n}=\widetilde\phi(D(f))\Bigl(\frac{m}{f^n}\Bigr)\]

으로 완전히 결정된다. 따라서 $\psi(D(f))=\widetilde\phi(D(f))$가 모든 $f$에 대해 성립하고, 이로부터 $\psi=\widetilde\phi$이다.

정리 7은 associated sheaf functor가 fully faithful임을 보여준다. 그러나 모든 $\mathcal{O}_{\Spec A}$-module이 associated sheaf의 꼴은 아니므로, 올바른 종류의 categorical equivalence를 얻기 위해서는 sheaf들의 category 쪽에서 적당한 제한이 필요하다.

정의 8 Scheme $X$ 위의 $\mathcal{O}_X$-module $\mathcal{F}$가 quasi-coherent sheaf_준연접층라는 것은, 임의의 $x\in X$에 대하여 $x$의 affine open neighborhood $U\cong \Spec A$가 존재하여 적당한 $A$-module $M$에 대해 $\mathcal{F}\vert_U\cong \widetilde M$이도록 할 수 있는 것이다.

즉 정의에 의해 quasi-coherent sheaf는 국소적으로 associated sheaf로 나타나는 것들이다. $X$ 위의 quasi-coherent sheaf들과 그 사이의 morphism들은 $\rMod{\mathcal{O}_X}$의 full subcategory를 이루며, 이를 $\QCoh(X)$로 적는다. 이로부터 정리 7을 affine 위의 동치로 끌어올릴 수 있다.

정리 9 Affine scheme $\Spec A$에 대하여, functor

\[\widetilde{(-)}:\rMod{A} \rightarrow \QCoh(\Spec A)\]

는 categorical equivalence이다.

증명

정리 7에 의하여 $\widetilde{(-)}$는 fully faithful이므로, ([범주론] §자연변환, ⁋정리 5) essentially surjective임을 보이면 충분하다. 즉 임의의 quasi-coherent sheaf $\mathcal{F}\in \QCoh(\Spec A)$가 적당한 $A$-module의 associated sheaf와 isomorphic함을 보여야 한다.

$M=\mathcal{F}(\Spec A)$라 하고, 우리는 $\mathcal{F}\cong \widetilde M$임을 주장한다. Restriction map들로부터 각각의 $f\in A$마다 $M=\mathcal{F}(\Spec A) \rightarrow \mathcal{F}(D(f))$가 유도되고, 이 image가 $f$의 action에 대해 invertible하므로 $A_f$의 universal property에 의해 $A_f$-module homomorphism

\[\theta_f:M_f \rightarrow \mathcal{F}(D(f))\]

가 결정된다. 이들은 base $\{D(f)\}$ 위에서 morphism $\theta:\widetilde M \rightarrow \mathcal{F}$를 정의하므로, $\theta$가 stalk마다 isomorphic함을 보이면 된다.

이를 위해 $\mathcal{F}$의 quasi-coherence를 사용한다. 각 점 $\mathfrak{p}$에 대하여 $\mathfrak{p}\in D(g)$이고 $\mathcal{F}\vert_{D(g)}\cong \widetilde N$인 적당한 $g$와 $A_g$-module $N$이 존재한다. 이 때 정의 8에서 affine open neighborhood를 principal open set으로 줄일 수 있는 것은, §스킴, ⁋보조정리 3의 증명에서와 같이 그 neighborhood 안에서 $\Spec A$의 principal open set이면서 동시에 그 neighborhood 자신의 principal open set이기도 한 근방을 잡을 수 있고, 그 위에서 명제 5의 둘째 결과에 의하여 다시 associated sheaf가 되기 때문이다. 그럼 $N=\mathcal{F}(D(g))$이고, 명제 5에 의하여 $D(g)$ 위로 제한된 $\theta$는 $\widetilde{M_g} \rightarrow \widetilde N$의 꼴이다. 두 associated sheaf 사이의 morphism은 정리 7에 의해 그 global section morphism으로 결정되므로, 이 restriction이 isomorphic한 것은 자연스러운 localization morphism $M_g=\mathcal{F}(\Spec A)_g \rightarrow \mathcal{F}(D(g))=N$이 isomorphic한 것과 같다. 이제 이 morphism이 isomorphic함을 확인한다. $\Spec A$가 quasi-compact이므로 그 위에서 $\mathcal{F}$가 associated sheaf가 되는 유한 개의 principal open $D(h_1),\ldots,D(h_m)$으로 $\Spec A$를 덮을 수 있고, sheaf 조건은 exact sequence

\[0 \rightarrow \mathcal{F}(\Spec A) \rightarrow \prod_i \mathcal{F}(D(h_i)) \rightarrow \prod_{i,j}\mathcal{F}(D(h_ih_j))\]

을 준다. 각 $D(h_i)$·$D(h_ih_j)$ 위에서 $\mathcal{F}$가 associated sheaf이라 그 section은 $A$-module이고 곱이 유한하므로, 완전한 localization $(-)\otimes_A A_g$은 이 열의 완전성을 보존할 뿐 아니라 곱을 통과한다. 그 결과 위 열을 $g$에서 localize한 것은 covering $\{D(h_ig)\}$에 대한 $D(g)$ 위의 sheaf 조건과 정확히 일치하는 exact sequence가 되어 $M_g\cong \mathcal{F}(D(g))=N$을 얻는다. 여기서 $\Spec A$의 quasi-compactness가 finite covering을 보장하는 데 본질적으로 쓰였다. 따라서 $\theta$는 각 $D(g)$ 위에서 isomorphic하고, 이로부터 모든 stalk에서 isomorphic하므로 $\theta:\widetilde M \rightarrow \mathcal{F}$는 sheaf의 isomorphism이다.

정리 9는 affine scheme 위에서 quasi-coherent sheaf를 다루는 것이 곧 module을 다루는 것과 같음을 말해준다. 즉 $\Spec A$ 위의 모든 quasi-coherent sheaf는 그 global section module $M=\Gamma(\Spec A, \mathcal{F})$으로 완전히 복원되며, 이 대응은 명제 6의 exactness와 위에서 언급한 tensor product와의 호환성을 통해 module의 대수와 sheaf의 대수를 일치시킨다.

Quasi-coherence의 affine-local 성질

정의 8이 요구하는 것은 각 점마다 적절한 affine open neighborhood를 하나 찾아 그 위에서 associated sheaf임을 확인하는 것뿐이다. 그런데 다음 정리가 보여주듯 이 조건은 훨씬 강한 성질, 곧 $X$의 임의의 affine open subset 위에서 associated sheaf가 된다는 것을 함의한다. 이러한 의미에서 quasi-coherence는 affine-local property이다.

정리 10 Scheme $X$ 위의 $\mathcal{O}_X$-module $\mathcal{F}$에 대하여 다음이 동치이다.

$\mathcal{F}$는 quasi-coherent sheaf이다.
$X$의 모든 affine open subset $U\cong \Spec A$에 대하여, $A$-module $M_U=\mathcal{F}(U)$의 associated sheaf가 $\mathcal{F}\vert_U\cong \widetilde{M_U}$를 준다.

증명

둘째 조건이 첫째 조건을 함의하는 것은 정의 8로부터 자명하므로 그 역을 보인다. $\mathcal{F}$가 quasi-coherent sheaf라 하고, 임의의 affine open subset $U=\Spec A$를 고정하자. 우리는 $\mathcal{F}\vert_U$가 $\Spec A$ 위의 quasi-coherent sheaf임을 보이면 정리 9에 의해 $\mathcal{F}\vert_U\cong \widetilde{M_U}$ (단, $M_U=\mathcal{F}(U)$)가 따라온다.

$\mathcal{F}$의 quasi-coherence에 의하여 $U$의 각 점 $x$마다 ($X$에서의) affine open neighborhood $V\cong \Spec B$와 $B$-module $N$이 존재하여 $\mathcal{F}\vert_V\cong \widetilde N$이다. §스킴, ⁋보조정리 3의 증명에서와 같이, $U\cap V$는 $U$ 안에서 principal open set들 $D(f)$ ($f\in A$)로 덮이며, 또 $V$ 안에서도 principal open set $D(g)$ ($g\in B$)로 덮인다. 이 둘을 동시에 만족하도록 충분히 작게 잡으면, $x$를 포함하고 $U$와 $V$ 양쪽의 principal open set이 되는 affine open $W=\Spec A_f=\Spec B_g$를 얻는다.

이제 $\mathcal{F}\vert_V\cong \widetilde N$이므로 명제 5에 의하여 $\mathcal{F}\vert_W\cong \widetilde N\vert_{D(g)}\cong \widetilde{N_g}$이고, $W=\Spec A_f$로 보면 이는 $A_f$-module $N_g$의 associated sheaf이다. 따라서 $U=\Spec A$의 각 점은 $\mathcal{F}\vert_U$가 associated sheaf가 되는 principal open neighborhood를 가지며, 이로부터 $\mathcal{F}\vert_U$는 $\Spec A$ 위의 quasi-coherent sheaf이다.

따라서 어떤 한 affine cover 위에서 associated sheaf임을 확인하는 것만으로 quasi-coherence가 보장되며, 그 결과 모든 affine open subset 위에서 자동으로 associated sheaf가 된다. 이 affine-locality 덕분에 quasi-coherent sheaf에 대한 많은 명제들은 associated sheaf에 대한 명제로 환원하여 증명할 수 있다.

Quasi-coherent sheaf 가운데 특히 affine 위에서 finitely generated module 또는 finitely presented module에 대응하는 것들을 따로 구별한다. 이는 Noetherian 가정 아래에서 가장 잘 작동한다.

정의 11 Scheme $X$ 위의 quasi-coherent sheaf $\mathcal{F}$가 finite type_유한형이라는 것은, 각 점이 affine open neighborhood $U\cong \Spec A$를 가져 $\mathcal{F}\vert_U\cong \widetilde M$이고 $M$이 finitely generated $A$-module인 것이다. 만일 추가로 각 점이 이러한 affine open neighborhood를 가지며 이들 각각에서 $M$을 finitely presented $A$-module로 잡을 수 있다면, $\mathcal{F}$를 coherent sheaf_연접층라 부른다.

Locally Noetherian scheme 위에서는 finitely generated와 finitely presented가 일치하므로, 이 경우 coherent sheaf는 곧 finite type quasi-coherent sheaf이다. $X$ 위의 coherent sheaves는 $\QCoh(X)$의 full subcategory $\Coh(X)$를 이룬다. 가장 단순한 예시는 $\mathcal{O}_X$ 자기 자신으로, 이는 affine 위에서 $\widetilde A$이고 $A$는 자기 자신 위의 free module이므로 coherent sheaf이다.

Finite type 조건은 한 점에서의 생성을 그 근방으로 퍼뜨린다. $\mathcal{F}$가 finite type이고 정의 11이 주는 affine open neighborhood $U=\Spec A$ 위에서 $\mathcal{F}\vert_U\cong\widetilde M$이라 하자. 점 $x\in U$에 대응하는 prime을 $\mathfrak{p}$라 할 때 $m_1,\ldots, m_r\in M$의 image가 stalk $M_\mathfrak{p}$를 생성한다 하면, $N=M/\sum_iAm_i$는 finitely generated이면서 $N_\mathfrak{p}=0$이므로 $N$의 각 generator를 소멸시키는 $\mathfrak{p}$ 밖의 원소가 존재하고, $\mathfrak{p}$가 prime이라 이들의 곱 $f$ 또한 $\mathfrak{p}$에 속하지 않아 $fN=0$에서 $N_f=0$이다. 곧 stalk을 생성하는 section들은 언제나 그 점의 근방 $D(f)$ 위에서 $\mathcal{F}$ 전체를 생성한다.

Locally free sheaf와 invertible sheaf

Quasi-coherent sheaf 가운데 국소적으로 free module에 대응하는 것들은 vector bundle의 대수기하학적 대응물로서 특히 중요하다.

정의 12 Scheme $X$ 위의 $\mathcal{O}_X$-module $\mathcal{E}$가 locally free sheaf of rank $r$_{랭크 $r$ 국소 자유층}라는 것은, 각 점 $x\in X$의 열린근방 $U$가 존재하여 $\mathcal{E}\vert_U\cong \mathcal{O}_U^{\oplus r}$인 것이다. Rank $1$인 locally free sheaf를 invertible sheaf_가역층라 부른다.

Locally free sheaf는 항상 quasi-coherent sheaf이다. 실제로 각 점의 근방을 affine $\Spec A$로 줄이면 $\mathcal{E}\vert_{\Spec A}\cong \mathcal{O}_{\Spec A}^{\oplus r}=\widetilde{A^{\oplus r}}$이므로, 이는 free module $A^{\oplus r}$의 associated sheaf이다. 더욱이 finite rank이면 $A^{\oplus r}$이 finitely presented이므로 locally free sheaf는 coherent sheaf이기도 하다.

[대수다양체] §선다발과 벡터다발, ⁋정의 23에서 우리는 variety 위의 rank $r$ vector bundle을 local trivialization의 데이터로 정의하였고, rank $1$의 경우 그 section sheaf가 invertible sheaf임을 보았다. ([대수다양체] §선다발과 벡터다발, ⁋명제 5) 일반적인 rank에서도 local trivialization이 section sheaf를 각 $U_i$ 위에서 $\mathcal{O}_{U_i}^{\oplus r}$로 만들어 주므로, scheme의 언어에서 locally free sheaf는 정확히 이 vector bundle의 section sheaf에 대응하며 특히 invertible sheaf는 line bundle에 대응한다. ([대수다양체] §선다발과 벡터다발, ⁋정의 1) 이름이 알려주듯, invertible sheaf는 tensor product에 대한 역원을 가진다.

Vector bundle의 각 점 위의 fiber에 해당하는 것도 sheaf의 언어로 그대로 옮겨진다. $\mathcal{O}_X$-module $\mathcal{F}$와 점 $x\in X$에 대하여, §스킴에서 정의한 residue field $\kappa(x)=\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x$를 사용하여 $\mathcal{F}$의 $x$에서의 fiber를

\[\mathcal{F}\otimes\kappa(x)=\mathcal{F}_x\otimes_{\mathcal{O}_{X,x}}\kappa(x)=\mathcal{F}_x/\mathfrak{m}_x\mathcal{F}_x\]

로 정의한다. 이는 stalk과 구별되는 대상인데, stalk $\mathcal{F}_x$가 $x$ 주위의 germ을 모두 기억하는 $\mathcal{O}_{X,x}$-module인 데 반해 fiber는 그것을 maximal ideal로 내려 그 점에서의 값만 남긴 $\kappa(x)$-vector space이기 때문이다. 가령 $\mathcal{O}_X$의 stalk은 local ring $\mathcal{O}_{X,x}$ 전체이지만 그 fiber는 $\kappa(x)$이며, $\mathcal{E}$가 rank $r$의 locally free sheaf이면 이를 trivialize하는 근방 위에서 stalk이 $\mathcal{O}_{X,x}^{\oplus r}$이고 fiber가 $\kappa(x)^{\oplus r}$이 되어 대응하는 vector bundle의 $x$ 위 fiber를 그대로 준다. 물론 일반적인 quasi-coherent sheaf에서는 fiber의 차원이 점을 옮겨다닐 때 변할 수 있으며, affine 위의 finitely generated module에 대하여 이 차원이 upper semicontinuous하다는 것이 §평탄사상, ⁋명제 22이다.

명제 13 Invertible sheaf $\mathcal{L}$에 대하여, $\mathcal{L}^\vee=\sHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X)$ 또한 invertible sheaf이며, $\mathcal{L}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{L}^\vee\cong \mathcal{O}_X$이다.

증명

문제가 국소적이므로 $\mathcal{L}\vert_U\cong \mathcal{O}_U$인 열린집합 $U$ 위에서 확인하면 충분하다. 그 위에서

\[\mathcal{L}^\vee\vert_U=\sHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_U, \mathcal{O}_U)\cong \mathcal{O}_U\]

이므로 $\mathcal{L}^\vee$는 invertible sheaf이다. 또한 $U$ 위에서

\[(\mathcal{L}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{L}^\vee)\vert_U\cong \mathcal{O}_U\otimes_{\mathcal{O}_U}\mathcal{O}_U\cong \mathcal{O}_U\]

이고, 이 국소적 isomorphism들이 자연스럽게 정의된 evaluation morphism $\mathcal{L}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{L}^\vee \rightarrow \mathcal{O}_X$로부터 오므로 ($s\otimes \phi\mapsto \phi(s)$) 이들이 붙어 전역적인 isomorphism $\mathcal{L}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{L}^\vee\cong \mathcal{O}_X$를 준다.

따라서 invertible sheaf들은 tensor product를 연산으로 하여 group을 이루며, 항등원은 $\mathcal{O}_X$, $\mathcal{L}$의 역원은 $\mathcal{L}^\vee$이다. 이는 [대수다양체] §선다발과 벡터다발, ⁋정의 9에서 정의한 Picard group $\Pic(X)$의 scheme 버전이다.

Invertible sheaf를 얻는 가장 중요한 방법 중 하나는 locally free sheaf에 exterior power를 취하는 것이다. 우선 exterior power는 base change와 commute하므로 ([다중선형대수학] §텐서대수, ⁋명제 14) $A$-module $M$과 $g\in A$에 대하여 $\bigl(\bigwedge^rM\bigr)_g\cong \bigwedge^r(M_g)$이고, 따라서 $U=\Spec A$ 위에서 $\mathcal{F}\vert_U\cong \widetilde M$이면 local model들이 restriction과 호환되어

\[\bigl(\bigwedge\nolimits^r\mathcal{F}\bigr)\big\vert_U\cong \widetilde{\bigwedge\nolimits^rM}\]

이 성립한다. (명제 5) 그러므로 quasi-coherent sheaf의 exterior power는 다시 quasi-coherent sheaf이다.

특히 $\mathcal{E}$가 rank $n$의 locally free sheaf이면, $\mathcal{E}\vert_U\cong \mathcal{O}_U^{\oplus n}$인 열린집합 $U$ 위에서 $\bigwedge^r\mathcal{E}\vert_U$는 basis $e_1,\ldots, e_n$으로부터 만들어지는 $e_J$ ($\lvert J\rvert=r$)들을 basis로 가지므로 ([다중선형대수학] §텐서대수, ⁋명제 13) rank $\binom{n}{r}$ free sheaf이다. 즉 $\bigwedge^r\mathcal{E}$는 다시 locally free sheaf이며, $r=n$인 경우에는 rank $1$, 곧 invertible sheaf가 된다. 이 마지막 경우를 $\mathcal{E}$의 determinant라 부르고 $\det\mathcal{E}=\bigwedge^n\mathcal{E}$로 적는다. 그러므로 rank $n$의 locally free sheaf는 그 determinant를 통해 $\Pic(X)$의 원소를 하나 정한다.

Pullback과 pushforward

이제 scheme morphism을 따라 quasi-coherent sheaf를 옮기는 두 연산을 살펴본다. Morphism $\varphi:X \rightarrow Y$가 주어질 때, $Y$ 위의 sheaf를 $X$로 당기는 pullback과 $X$ 위의 sheaf를 $Y$로 미는 pushforward를 정의한다.

정의 14 Scheme morphism $\varphi:X \rightarrow Y$가 주어졌다 하자.

$X$ 위의 $\mathcal{O}_X$-module $\mathcal{F}$에 대하여, pushforward $\varphi_\ast \mathcal{F}$는 열린집합마다 $V\mapsto \mathcal{F}(\varphi^{-1}(V))$로 주어지는 $Y$ 위의 $\mathcal{O}_Y$-module이다. ([위상수학] §준층, ⁋예시 8 (Pushforward)) 그 module 구조는 morphism의 sheaf morphism $\varphi^\sharp:\mathcal{O}_Y \rightarrow \varphi_\ast \mathcal{O}_X$을 통해 주어진다.
$Y$ 위의 $\mathcal{O}_Y$-module $\mathcal{G}$에 대하여, pullback $\varphi^\ast \mathcal{G}$는 다음 식
\[\varphi^\ast \mathcal{G}=\varphi^{-1}\mathcal{G}\otimes_{\varphi^{-1}\mathcal{O}_Y}\mathcal{O}_X\]
으로 주어지는 $X$ 위의 $\mathcal{O}_X$-module이다. 여기에서 $\varphi^{-1}$은 [위상수학] §층, ⁋정의 10의 inverse image sheaf이다.

두 연산 모두 affine 위에서는 module의 친숙한 연산으로 환원된다. $\varphi$가 affine scheme들 사이의 morphism $\Spec B \rightarrow \Spec A$, 즉 ring homomorphism $\phi:A \rightarrow B$로부터 온다면, $A$-module $M$의 pullback은 extension of scalars $\widetilde{M\otimes_A B}$이고 $B$-module $N$의 pushforward는 restriction of scalars $\widetilde{\phi^\ast N}$이다. ([대수적 구조] §스칼라의 변환, ⁋정의 1, 스칼라의 변환, ⁋정의 3) 그럼 [대수적 구조] §스칼라의 변환, ⁋명제 6의 adjoint $\phi_!\dashv \phi^\ast$가 그대로 $\varphi^\ast\dashv \varphi_\ast$로 옮겨진다.

이제 자연스러운 질문은 이 두 연산이 quasi-coherence를 보존하는가이며, 이에 대한 대답은 두 연산에 따라 갈린다. 즉 pullback의 경우는 항상 보존되지만, pushforward의 경우는 추가 조건이 필요하다. 직관적으로 이는 quasi-coherence가 affine chart 위에서는 free $\mathcal{O}_X$-module의 presentation

\[\mathcal{O}^{(J)} \rightarrow \mathcal{O}^{(I)} \rightarrow \mathcal{F} \rightarrow 0\]

꼴로 나오는데, $\varphi^\ast$는 left adjoint이므로 direct sum과 cokernel을 보존하므로 이러한 presentation을 그대로 옮기는 반면 right adjoint인 $\varphi_\ast$는 그렇지 않기 때문이다.

명제 15 Scheme morphism $\varphi:X \rightarrow Y$와 $Y$ 위의 quasi-coherent sheaf $\mathcal{G}$에 대하여, pullback $\varphi^\ast \mathcal{G}$는 $X$ 위의 quasi-coherent sheaf이다.

증명

quasi-coherence가 affine-local property이므로 (정리 10), $X=\Spec B$, $Y=\Spec A$인 경우에 대해 보이면 충분하다. 이 때 $\varphi$는 ring homomorphism $\phi:A \rightarrow B$로부터 오며 (§아핀스킴, ⁋명제 11), $\mathcal{G}=\widetilde M$인 $A$-module $M$이 존재한다. (정리 9)

우리는 $\varphi^\ast \widetilde M\cong \widetilde{M\otimes_A B}$임을 주장한다. 이를 보이기 위해 stalk을 비교한다. 임의의 $\mathfrak{q}\in \Spec B$와 $\mathfrak{p}=\phi^{-1}(\mathfrak{q})$에 대하여, inverse image와 tensor product가 stalk과 호환되므로

\[(\varphi^\ast \widetilde M)_\mathfrak{q}=(\varphi^{-1}\widetilde M)_\mathfrak{q}\otimes_{(\varphi^{-1}\mathcal{O}_{\Spec A})_\mathfrak{q}}\mathcal{O}_{\Spec B,\mathfrak{q}}\cong \widetilde M_\mathfrak{p}\otimes_{A_\mathfrak{p}}B_\mathfrak{q}\cong M_\mathfrak{p}\otimes_{A_\mathfrak{p}}B_\mathfrak{q}\]

이고, (명제 5) 한편 base change module의 stalk은

\[(\widetilde{M\otimes_A B})_\mathfrak{q}=(M\otimes_A B)_\mathfrak{q}\cong M\otimes_A B_\mathfrak{q}\cong M_\mathfrak{p}\otimes_{A_\mathfrak{p}}B_\mathfrak{q}\]

이다. 이 isomorphism들이 자연스러우므로 sheaf의 isomorphism $\varphi^\ast \widetilde M\cong \widetilde{M\otimes_A B}$를 얻고, 따라서 $\varphi^\ast \mathcal{G}$는 associated sheaf이며 quasi-coherent sheaf이다.

Pushforward의 경우 quasi-coherence가 보존되려면 morphism이 quasi-compact이고 quasi-separated여야 한다. 이는 $\varphi_\ast \mathcal{F}(V)=\mathcal{F}(\varphi^{-1}(V))$를 affine 위에서 계산할 때, $\varphi^{-1}(V)$를 유한히 많은 affine으로 덮고 그 교집합 또한 통제할 수 있어야 localization과 호환되는 module 구조를 얻기 때문이다.

정리 16 Quasi-compact이고 quasi-separated인 scheme morphism $\varphi:X \rightarrow Y$와 $X$ 위의 quasi-coherent sheaf $\mathcal{F}$에 대하여, pushforward $\varphi_\ast \mathcal{F}$는 $Y$ 위의 quasi-coherent sheaf이다.

증명

Quasi-coherence가 affine-local property이므로 (정리 10) $Y=\Spec A$인 경우만 보이면 충분하다. 이 때 $\varphi$가 quasi-compact이므로 $X$는 유한히 많은 affine open subset $U_i=\Spec B_i$ ($i=1,\ldots, n$)으로 덮인다. 또 $\varphi$가 quasi-separated이므로 각 $U_i\cap U_j$ 또한 유한히 많은 affine open $U_{ijk}=\Spec C_{ijk}$로 덮인다.

이제 $M=\Gamma(X, \mathcal{F})=\varphi_\ast \mathcal{F}(\Spec A)$라 하고 $\varphi_\ast \mathcal{F}\cong \widetilde M$임을 보이자. 그러려면 각 $D(g)\subseteq \Spec A$에 대하여 $\varphi_\ast \mathcal{F}(D(g))\cong M_g$임을 확인하면 된다. 정의에 의하여 $\varphi_\ast \mathcal{F}(D(g))=\mathcal{F}(\varphi^{-1}(D(g)))$이며, sheaf 조건 (§아핀스킴, ⁋보조정리 6 이후 일반 sheaf의 sheaf axiom)으로부터 다음 equalizer

\[\mathcal{F}(\varphi^{-1}(D(g)))=\ker\Bigl(\prod_i \mathcal{F}(U_i\cap \varphi^{-1}(D(g))) \rightrightarrows \prod_{i,j,k}\mathcal{F}(U_{ijk}\cap \varphi^{-1}(D(g)))\Bigr)\]

를 얻는다. 한편 $U_i\cap \varphi^{-1}(D(g))=\Spec (B_i)_{g}$ 꼴의 principal open set이고, $\mathcal{F}\vert_{U_i}$가 quasi-coherent sheaf이므로 $\mathcal{F}(U_i)=N_i$라 하면 명제 5에 의하여

\[\mathcal{F}(U_i\cap \varphi^{-1}(D(g)))=(N_i)_g\cong \mathcal{F}(U_i)\otimes_A A_g\]

이고, 같은 식이 $U_{ijk}$에 대해서도 성립한다. Localization $(-)\otimes_A A_g$은 exact functor이므로 ([가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋명제 2) 위 equalizer와 commute하며, 유한 곱 위에서 정의되었으므로

\[\mathcal{F}(\varphi^{-1}(D(g)))\cong \ker\Bigl(\prod_i N_i \rightrightarrows \prod_{i,j,k}\mathcal{F}(U_{ijk})\Bigr)\otimes_A A_g=M\otimes_A A_g=M_g\]

를 얻는다. 여기에서 유한성은 곱과 localization이 commute하는 데 본질적으로 사용되었으며, 이것이 quasi-compactness와 quasi-separatedness가 필요한 이유이다. 따라서 $\varphi_\ast \mathcal{F}(D(g))\cong M_g$가 모든 $g$에 대해 성립하므로 $\varphi_\ast \mathcal{F}\cong \widetilde M$이고, 이는 quasi-coherent sheaf이다.

정리 16의 quasi-compact, quasi-separated 조건은 본질적이다. 가령 무한히 많은 affine을 붙여야 하는 morphism에서는 $\varphi^{-1}(D(g))$ 위의 section을 계산할 때 무한 곱이 등장하여 localization과 commute하지 않을 수 있다. 다만 Noetherian scheme들 사이의 morphism이나, 특히 affine scheme들 사이의 morphism은 항상 이 조건을 만족하므로, 실용적으로 자주 마주치는 상황에서는 pushforward가 quasi-coherence를 보존한다.

마지막으로 pushforward가 tensor product와 어떻게 호환되는지를 본다. 일반적으로 $\varphi_\ast$는 tensor product를 보존하지 않지만, 두 인자 가운데 하나가 base 위의 locally free sheaf를 당겨온 것이라면 그 인자를 $\varphi_\ast$ 밖으로 빼낼 수 있다.

명제 17 (Projection formula) Scheme morphism $\varphi:X \rightarrow Y$와 $X$ 위의 quasi-coherent sheaf $\mathcal{F}$, 그리고 $Y$ 위의 finite rank locally free sheaf $\mathcal{L}$에 대하여 (정의 12) isomorphism

\[\varphi_\ast(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}\varphi^\ast \mathcal{L})\cong \varphi_\ast \mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_Y}\mathcal{L}\]

이 성립한다.

증명

먼저 임의의 $\mathcal{O}_Y$-module $\mathcal{L}$에 대하여 자연스러운 사상을 만든다. 정의 14의 pullback은 $\varphi^{-1}$과 $\mathcal{O}_X$로의 base change의 합성이므로 tensor product와 commute하며, 따라서 adjunction $\varphi^\ast\dashv \varphi_\ast$의 counit $\varepsilon:\varphi^\ast\varphi_\ast \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F}$과 함께

\[\varphi^\ast(\varphi_\ast \mathcal{F}\otimes \mathcal{L})\cong \varphi^\ast\varphi_\ast \mathcal{F}\otimes \varphi^\ast \mathcal{L}\xrightarrow{\varepsilon\otimes\id}\mathcal{F}\otimes \varphi^\ast \mathcal{L}\]

를 얻는다. 이 사상의 adjoint가 우리가 원하는 $\theta:\varphi_\ast \mathcal{F}\otimes \mathcal{L} \rightarrow \varphi_\ast(\mathcal{F}\otimes \varphi^\ast \mathcal{L})$이며, 이는 $\mathcal{L}$의 선택에 대해 natural하다.

이제 $\mathcal{L}$이 finite rank locally free일 때 $\theta$가 isomorphism임을 보인다. Pushforward는 base의 열린집합으로의 제한과 commute하므로, 곧 $\varphi_\ast \mathcal{G}\vert_V$는 $\varphi^{-1}(V) \rightarrow V$에 대한 pushforward이므로, isomorphism 여부는 $Y$를 덮는 열린집합들 위에서 확인하면 충분하다. 가정에 의하여 $\mathcal{L}\vert_V\cong \mathcal{O}_V^{\oplus r}$인 열린집합 $V$들이 $Y$를 덮고, 이러한 $V$ 위에서 $\varphi^\ast \mathcal{L}\cong \mathcal{O}^{\oplus r}$이다. 한편 tensor product는 finite direct sum과 commute하고, $\varphi_\ast$ 또한 right adjoint로서 finite product와 commute하므로 finite direct sum과 commute한다. ([범주론] §수반함자, ⁋정리 9) 따라서 $V$ 위에서 양변은 모두 $(\varphi_\ast \mathcal{F}\vert_V)^{\oplus r}$이고, $\theta$의 naturality에 의하여 이 identification 아래에서 $\theta$는 항등사상 $r$개의 direct sum이다. 곧 $\theta$는 각 $V$ 위에서 isomorphism이므로 isomorphism이다.

명제 17 (Projection formula)이 말하는 것은 $\varphi_\ast$가 abelian sheaf 수준의 연산에 그치지 않고 $\mathcal{O}_Y$-module 구조를 존중한다는 것이다. 이는 [대수적 위상수학] §벡터다발의 특성류에서 Gysin homomorphism $\pi_!$가 주는 등식

\[\pi_!(\pi^\ast\alpha\smile\beta)=\alpha\smile\pi_!\beta\]

의 대수기하 버전이며, 이들은 모두 base에서 당겨온 것은 pushforward 밖으로 빠져나온다는 공통된 아이디어로부터 오는 것이다.

Ideal sheaf와 closed subscheme

Pushforward가 quasi-coherence를 보존한다는 사실의 가장 중요한 응용은 closed subscheme이 결정하는 ideal sheaf이다. Affine scheme $\Spec A$의 ideal $\mathfrak{a}\subseteq A$는 그 자체로 $A$-module이므로 associated sheaf $\widetilde{\mathfrak{a}}$를 정의하고, 이는 $\mathcal{O}_{\Spec A}=\widetilde A$의 subsheaf이다. 일반적인 scheme $X$의 closed embedding $\iota:Z \rightarrow X$가 정의하는 ideal sheaf $\mathcal{I}_{Z/X}=\ker\iota^\sharp$ 또한 각각의 affine open subset 위에서 ideal을 주지만 (§닫힌 부분스킴, ⁋정의 5), 이 ideal들이 localization과 호환되어 하나의 associated sheaf로 붙는지는 별개의 문제이다. §닫힌 부분스킴, ⁋명제 6이 gluing을 위해 요구한 localization 조건이 바로 quasi-coherence이므로, 확인해야 할 것은 $\mathcal{I}_{Z/X}$가 quasi-coherent sheaf라는 것이다. 이는 정리 16의 응용으로 얻어진다.

명제 18 Closed embedding $\iota:Z \rightarrow X$에 대하여 (§닫힌 부분스킴, ⁋정의 2), $\iota_\ast \mathcal{O}_Z$와 ideal sheaf $\mathcal{I}_{Z/X}$는 모두 $X$ 위의 quasi-coherent sheaf이다.

증명

정리 16의 세 가설 가운데 $\mathcal{O}_Z$가 $Z$ 위의 quasi-coherent sheaf라는 것은, 각 affine open subset $\Spec B\subseteq Z$ 위에서 $\mathcal{O}_Z\vert_{\Spec B}=\widetilde B$인 데에서 곧바로 따라온다. 따라서 $\iota$가 quasi-compact이고 quasi-separated임만 확인하면 된다. $X$의 affine open subset $U\cong \Spec A$를 고정하고 $W=\iota^{-1}(U)$라 하자. $\iota$는 연속함수로서 $Z$와 $X$의 닫힌집합 사이의 homeomorphism이므로, $W$는 $U$의 닫힌 부분집합 $C=\iota(Z)\cap U$와 homeomorphic하다. 그런데 affine scheme은 quasi-compact이고 (§스펙트럼, ⁋보조정리 12) quasi-compact space의 닫힌 부분집합은 quasi-compact이므로 $W$ 또한 quasi-compact이다. 즉 $\iota$는 quasi-compact morphism이다. (§스킴 사상의 성질들, ⁋정의 2)

Quasi-separatedness도 $C$의 위상만으로 확인된다. $\{D(f)\}_{f\in A}$가 $U$의 base이므로 $C$의 임의의 열린집합은 $C\cap D(f)$들의 합집합이고, 각각의 $C\cap D(f)$는 quasi-compact space $D(f)\cong \Spec A_f$의 닫힌 부분집합이라 quasi-compact이다. 따라서 $C$의 quasi-compact 열린집합은 유한히 많은 $C\cap D(f)$의 합집합으로 쓸 수 있으며, 그러한 두 집합의 교집합은 $C\cap D(f)\cap D(g)=C\cap D(fg)$ 꼴들의 유한 합집합이 되어 다시 quasi-compact이다. 즉 $W$는 quasi-separated scheme이고, $U$가 임의의 affine open subset이었으므로 $\iota$는 quasi-separated morphism이다. (§스킴 사상의 성질들, ⁋정의 5) 이제 정리 16에 의하여 $\iota_\ast \mathcal{O}_Z$는 $X$ 위의 quasi-coherent sheaf이다.

남은 것은 $\mathcal{I}_{Z/X}=\ker\iota^\sharp$이다. quasi-coherence가 affine-local이므로 (정리 10) 위에서 고정한 $U=\Spec A$ 위에서 보이면 충분하다. $N=(\iota_\ast \mathcal{O}_Z)(U)$라 하면 정리 10에 의하여 $(\iota_\ast \mathcal{O}_Z)\vert_U\cong \widetilde N$이고, 따라서 $\iota^\sharp$을 $U$로 제한한 것은 $\widetilde A \rightarrow \widetilde N$ 꼴의 morphism이므로 정리 7에 의하여 적당한 $A$-module homomorphism $\phi:A \rightarrow N$의 associated sheaf $\widetilde\phi$이다. 그럼 두 short exact sequence

\[0 \rightarrow \ker\phi \rightarrow A \rightarrow \im\phi \rightarrow 0,\qquad 0 \rightarrow \im\phi \rightarrow N \rightarrow N/\im\phi \rightarrow 0\]

에 명제 6을 적용하면 $\widetilde{\im\phi} \rightarrow \widetilde N$이 injective이고 $\widetilde{\ker\phi}=\ker(\widetilde A \rightarrow \widetilde{\im\phi})$이므로, 결국 $\ker\widetilde\phi=\widetilde{\ker\phi}$를 얻는다. 즉 $\mathcal{I}_{Z/X}\vert_U\cong \widetilde{\ker\phi}$는 associated sheaf이고, 이로부터 $\mathcal{I}_{Z/X}$는 quasi-coherent sheaf이다.

이로써 $X$의 closed subscheme들은 $\mathcal{O}_X$의 quasi-coherent ideal sheaf, 곧 $\mathcal{O}_X$의 quasi-coherent 부분 $\mathcal{O}_X$-module과 정확히 대응한다. 한 방향은 명제 18이 주며, 거꾸로 그러한 $\mathcal{I}$가 주어지면 각각의 affine open subset $\Spec A$에 대하여 $\mathcal{I}(\Spec A)$는 $A$의 ideal이고 정리 10과 보조정리 3에 의하여 $\mathcal{I}(D(f))\cong \mathcal{I}(\Spec A)_f$가 성립하므로, §닫힌 부분스킴, ⁋명제 6에 의하여 $\mathcal{I}$는 $X$의 유일한 closed subscheme을 유도한다. 이 대응은 affine 위에서 ideal $\mathfrak{a}\subseteq A$와 quotient $A/\mathfrak{a}$ 사이의 대응에 다름 아니다. 또한 명제 18은 §닫힌 부분스킴, ⁋명제 3의 증명에서 증명 없이 사용한 사실이기도 하다.

Affine morphism과 relative spectrum

Closed embedding은 특정한 sheaf, 즉 $\mathcal{O}_X$의 ideal sheaf를 통해 완전하게 설명할 수 있었으며, 우리는 위에서 이 ideal sheaf가 quasi-coherent sheaf인 것을 살펴보았다. 이렇게 sheaf를 통해 완전하게 정해지는 morphism은 closed embedding 뿐이 아니며, 우리는 affine morphism 또한 이러한 방식의 표현을 갖는다는 것을 살펴볼 것이다. (§스킴 사상의 성질들, ⁋정의 8) 핵심적인 사실은 affine morphism $X\rightarrow S$를 정의하기 위해서는 $X$의 open affine subscheme들 (그리고 이들로부터 $S$로의 map들)을 붙여주면 된다는 것이다. 그런데 affine subscheme들은 정확하게 그 coordinate ring으로부터 완전하게 얻어지는 것이므로 우리는 이 ring들을 붙이는 문제를 대신 풀면 된다. 이 때 affine morphism $\varphi: X \rightarrow S$에 대하여 각각의 ring $\mathcal{O}_X(\varphi^{-1}(V))$는 structure morphism이 주는 $\mathcal{O}_S(V)$로부터의 ring homomorphism을 함께 가지므로 $\mathcal{O}_S(V)$-algebra이고, 따라서 이 데이터 전체는 $S$ 위의 sheaf $\varphi_\ast\mathcal{O}_X$ 하나와 그 algebra 구조로 정리된다.

정의 19 Scheme $S$ 위의 $\mathcal{O}_S$-module $\mathcal{A}$가 quasi-coherent $\mathcal{O}_S$-algebra라는 것은, $\mathcal{A}$가 quasi-coherent sheaf이며 (정의 8) 각각의 열린집합 $V$마다 $\mathcal{A}(V)$가 가환 $\mathcal{O}_S(V)$-algebra의 구조를 가지고 restriction map이 algebra homomorphism인 것이다.

위에서 설명한 것과 같이 affine morphism이 주어지면 항상 이러한 방식으로 quasi-coherent $\mathcal{O}_S$-algebra를 정의할 수 있다. 우리 주장은 이보다 강력한 것으로, 임의의 quasi-coherent $\mathcal{O}_S$-algebra는 언제나 이러한 방식으로 얻어진다는 것이다.

정리 20 다음이 성립한다.

Affine morphism $\varphi: X \rightarrow S$에 대하여 $\varphi_\ast \mathcal{O}_X$는 quasi-coherent $\mathcal{O}_S$-algebra이며 $S$의 임의의 affine open subset $V$에 대하여 $\varphi^{-1}(V)\cong \Spec (\varphi_\ast \mathcal{O}_X)(V)$이다.
임의의 quasi-coherent $\mathcal{O}_S$-algebra $\mathcal{A}$에 대하여, affine morphism $\varphi: X \rightarrow S$와 $\mathcal{O}_S$-algebra들의 isomorphism $\alpha:\mathcal{A}\xrightarrow{\sim} \varphi_\ast \mathcal{O}_X$가 존재한다. 이러한 triple $(X, \varphi, \alpha)$은 $\alpha$와 호환되는 unique isomorphism에 대하여 유일하다.
두 affine morphism $\varphi: X \rightarrow S$와 $\varphi': Z \rightarrow S$에 대하여, $S$ 위의 morphism $X \rightarrow Z$를 주는 것은 $\mathcal{O}_S$-algebra들의 morphism $(\varphi')_\ast \mathcal{O}_Z \rightarrow \varphi_\ast \mathcal{O}_X$를 주는 것과 같다.

증명

첫째 주장부터 보인다. 우선 quasi-coherence를 보이기 위해 우리는 앞서와 마찬가지로 정리 16을 사용한다. 우선 $S$의 affine open subset $V$에 대하여 $\varphi^{-1}(V)\cong \Spec A$는 affine scheme이므로 quasi-compact이다. (§스펙트럼, ⁋보조정리 12) 또, $\{D(f)\}$가 $\Spec A$의 base이므로 quasi-compact open set이 언제나 유한히 많은 $D(f)$의 합집합이고, $D(f)\cap D(g)=D(fg)$이므로 그러한 두 열린집합의 교집합이 다시 유한히 많은 $D(fg)$ 꼴의 합집합이 되므로 이들은 quasi-separated이다. 즉 $\varphi$는 quasi-compact, quasi-separated morphism이 되어 정리 16을 적용할 수 있고 따라서 $\varphi_\ast \mathcal{O}_X$는 $S$ 위의 quasi-coherent sheaf이다. 이 위의 algebra 구조는 structure sheaf의 morphism $\varphi^\sharp:\mathcal{O}_S \rightarrow \varphi_\ast\mathcal{O}_X$으로 주어진다. 마지막으로 $V$가 affine open subset이면 $\varphi^{-1}(V)$ 자체가 affine scheme이므로, §아핀스킴, ⁋보조정리 6에 의하여 $\varphi^{-1}(V)\cong \Spec \mathcal{O}_X(\varphi^{-1}(V))=\Spec (\varphi_\ast \mathcal{O}_X)(V)$를 얻는다.

역시 핵심적인 것은 둘째 주장이다. 우선 존재성을 보이기 위해 $S$의 affine open covering $\{V_i=\Spec B_i\}$를 택하자. 이제 $A_i=\mathcal{A}(V_i)$라 하면 $\mathcal{A}$가 quasi-coherent이므로 정리 10에 의하여 $\mathcal{A}\vert_{V_i}\cong \widetilde{A_i}$이다. 이제 $\mathcal{A}$의 $\mathcal{O}_S$-algebra 구조가 주는 ring homomorphism을 $\phi_i:B_i \rightarrow A_i$라 하면, $X_i=\Spec A_i$로 두어 $\phi_i$가 정의하는 scheme morphism $\varphi_i:X_i \rightarrow V_i$을 정의할 수 있다. 주장은 $X_{ij}=\varphi_i^{-1}(V_i\cap V_j)$들을 붙일 수 있다는 것이다. 이를 확인하기 위해 임의의 $x\in V_i\cap V_j$에 대하여, $V_i$와 $V_j$ 모두에서 principal open subset인 $x\in W\subseteq V_i\cap V_j$를 택하자. (§스킴의 위상구조, ⁋보조정리 11 (Nike)) $W$가 $V_i$ 안에서 $D(f)$ 꼴로 적힌다 하면, $\mathcal{A}\vert_{V_i}\cong \widetilde{A_i}$로부터 $\mathcal{A}(W)\cong (A_i)_{\phi_i(f)}$이고, $W$의 정의에 의해 $\varphi_i^{-1}(W)=D(\phi_i(f))$이므로

\[\varphi_i^{-1}(W)\cong \Spec (A_i)_{\phi_i(f)}\cong \Spec \mathcal{A}(W)\tag{$\ast$}\]

이 성립한다. 같은 계산이 $V_j$ 쪽에서도 성립하므로 canonical isomorphism $\varphi_i^{-1}(W)\cong \varphi_j^{-1}(W)$를 얻는다. 이 isomorphism은 $\mathcal{A}(W)$만으로 결정되므로, 이들은 자연스럽게 overlap 위에서 붙으며 cocycle condition을 만족한다. 즉 이들은 하나의 scheme $X$과 이 위의 morphism $\varphi: X\rightarrow S$로 붙는다. 이 때 각각의 $\varphi^{-1}(V_i)=X_i$가 affine이므로 §스킴 사상의 성질들, ⁋명제 9에 의하여 $\varphi$는 affine morphism이고, identification $(\varphi_\ast\mathcal{O}_X)(V_i)=\Gamma(X_i,\mathcal{O}_{X_i})=A_i=\mathcal{A}(V_i)$이 restriction map과 호환되므로 이들은 $\mathcal{O}_S$-algebra들의 isomorphism $\alpha:\mathcal{A}\xrightarrow{\sim}\varphi_\ast\mathcal{O}_X$을 준다. 유일성 또한 본질적으로 $(\ast)$로부터 나오는 것으로, 두 triple $(X,\varphi,\alpha)$와 $(X',\varphi',\alpha')$이 조건을 만족한다면 이 계산에 의해 $S$의 임의의 affine open subset $V$에 대하여

\[\varphi^{-1}(V)\cong \Spec \mathcal{A}(V)\cong (\varphi')^{-1}(V)\]

이 성립해야 하기 때문에 얻어진다.

마지막 주장의 경우, $S$ 위의 morphism $\vartheta:X\rightarrow Z$가 주어지면 $S$의 affine open subset $V$마다 $\vartheta$는 morphism $\varphi^{-1}(V)\rightarrow (\varphi')^{-1}(V)$를 유도하고, 첫째 주장에 의하여 이 둘이 affine scheme이므로 이는 $\mathcal{O}_S(V)$-algebra homomorphism $((\varphi')_\ast\mathcal{O}_Z)(V)\rightarrow (\varphi_\ast\mathcal{O}_X)(V)$에 대응된다. 이들이 restriction map과 호환되므로 $\mathcal{O}_S$-algebra들의 morphism $(\varphi')_\ast\mathcal{O}_Z\rightarrow \varphi_\ast\mathcal{O}_X$를 얻는다. 거꾸로 이러한 morphism이 주어지면 같은 대응이 각 affine open subset 위에서 $\varphi^{-1}(V)\rightarrow (\varphi')^{-1}(V)$를 주고 이들은 overlap 위에서 일치하므로 §스킴 사이의 사상, ⁋명제 1에 의하여 $S$ 위의 morphism $X\rightarrow Z$로 붙고, 이 두 구성이 서로의 역인 것은 affine 위에서 확인할 수 있다.

즉 affine morphism은 $S$ 위의 quasi-coherent algebra와 정확히 같은 데이터이며, 정리 20의 셋째 주장은 이 대응이 morphism까지 보존한다는 것을 보여준다. 즉 $S$ 위의 affine scheme들의 category $\AffSch_{/S}$와 quasi-coherent $\mathcal{O}_S$-algebra들의 category 사이의 contravariant equivalenc가 존재한다. 이제 이 대응의 한쪽 방향에 이름을 붙인다.

정의 21 Quasi-coherent $\mathcal{O}_S$-algebra $\mathcal{A}$에 대하여, 정리 20의 둘째 주장이 주는 affine morphism $\varphi:X\rightarrow S$의 정의역 $X$를 $\mathcal{A}$의 relative spectrum이라 부르고 $\rSpec_S(\mathcal{A})$로 적는다.

직관적으로 이는 $\Spec$을 base 위로 올린 relative 버전으로, 특히 closed embedding $\iota:Z\rightarrow S$는 affine morphism이므로 (§닫힌 부분스킴, ⁋명제 3) 같은 construction을 반본할 수 있다. 당연히 이렇게 얻어지는 algebra는 $\mathcal{O}_S/\mathcal{I}_{Z/S}$로, 즉 위에서 살펴본 ideal sheaf의 대응은 relative spectrum을 이 특수한 경우에 적용한 것이다.

뿐만 아니라 relative spectrum은 base change에 대해서도 잘 행동한다.

명제 22 Scheme morphism $\varphi:S'\rightarrow S$와 quasi-coherent $\mathcal{O}_S$-algebra $\mathcal{A}$에 대하여, pullback $\varphi^\ast\mathcal{A}$는 quasi-coherent $\mathcal{O}_{S'}$-algebra이고

\[\rSpec_{S'}(\varphi^\ast\mathcal{A})\cong \rSpec_S(\mathcal{A})\times_SS'\]

이 성립한다.

증명

$\varphi^\ast\mathcal{A}$가 quasi-coherent sheaf인 것은 명제 15이며, pullback이 tensor product와 compatible하므로 $\mathcal{A}$의 곱셈과 항등원을 pullback해와서 이 위에 $\mathcal{O}_{S'}$-algebra 구조를 줄 수 있다.

이제 $X=\rSpec_S(\mathcal{A})$라 하고 projection $p:X\times_SS'\rightarrow S'$를 생각하자. $\varphi(V')\subseteq V$인 affine open subset $V'=\Spec B'\subseteq S'$와 $V=\Spec B\subseteq S$의 쌍은 $S'$을 덮으며, $\varphi\vert_{V'}:V'\rightarrow V$에 대응하는 ring homomorphism을 $\phi:B\rightarrow B'$라 하자. 이러한 $V'$에 대하여 §올곱, ⁋보조정리 3과 fiber product의 결합법칙으로부터

\[p^{-1}(V')\cong X\times_SV'\cong (X\times_SV)\times_VV'\]

이고, §올곱, ⁋보조정리 3에 의하여 $X\times_SV$는 $V$의 preimage, 곧 정리 20의 첫째 주장에 의하여 $\Spec \mathcal{A}(V)$이다. 따라서 §올곱, ⁋보조정리 2에 의하여

\[p^{-1}(V')\cong \Spec \mathcal{A}(V)\times_{\Spec B}\Spec B'\cong \Spec (\mathcal{A}(V)\otimes_BB')\]

를 얻는다. 한편 명제 15의 증명에 의하여 $(\varphi^\ast\mathcal{A})\vert_{V'}\cong \widetilde{\mathcal{A}(V)\otimes_BB'}$이므로, 정리 20의 첫째 주장에 의하여 $\rSpec_{S'}(\varphi^\ast\mathcal{A})$ 또한 $V'$ 위에서 $\Spec (\mathcal{A}(V)\otimes_BB')$이다. 이 isomorphism들은 모두 $\phi:B\rightarrow B'$과 $\mathcal{A}(V)$의 $B$-algebra 구조로부터 canonical하게 정해지므로 overlap 위에서 일치하여 $S'$ 위의 isomorphism으로 붙는다.

참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundations of algebraic geometry. Available online.

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