사영공간과 Proj 구성

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§스킴, ⁋예시 10에서 우리는 두 개의 affine line $\mathbb{A}^1=\Spec \mathbb{K}[\x]$을 적당한 방식으로 붙여 projective space $\mathbb{P}^1$을 만들었다. 이번에는 이를 일반화하여, graded ring $A_\bullet$으로부터 scheme $\Proj A_\bullet$을 얻어내는 $\Proj$ 구성을 다룬다.

사영공간

§스킴, ⁋예시 10을 그대로 일반화하면 scheme으로서 $\mathbb{P}^n$을 정의하는 것 자체는 어렵지 않다. 하지만 이를 일반화하여 $\Proj$ 구성에 이르기 위해서는 $\mathbb{P}^n$을 직관적으로 이해하는 것이 도움이 되므로, 이를 조금 더 찬찬히 뜯어보자.

우선 우리는 기존에 위상수학에서 정의하던 projective space를 간단히 살펴본다. 위상공간 $\mathbb{P}^n$을 만들기 위해 우리는 위상공간 $\mathbb{R}^{n+1}\setminus \{0\}$을 생각했다. 그럼 이 위에 다음의 동치관계

\[(x_0,\ldots, x_n)\sim (y_0,\ldots, y_n)\iff\text{$x_i=\lambda y_i$ for all $i$, for some $\lambda\neq 0$}\]

를 정의하면 projective space $\mathbb{P}^n$은 quotient space $(\mathbb{R}^{n+1}\setminus \{0\})/{\sim}$으로 정의되는 위상공간이며, $(x_0,\ldots, x_n)$을 포함하는 equivalence class를 표기의 편의를 위해 $[x_0:x_1:\cdots:x_n]$으로 표기한다.

이 때, canonical projection $\pi:\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}\rightarrow \mathbb{P}^n$를 생각하자. 그럼 $\mathbb{P}^n$의 한 점 $[x_0:x_1:\cdots:x_n]$의 fiber는 그 정의에 의하여

\[\{(y_0,\ldots, y_n)\mid\text{$x_i=\lambda y_i$ for all $i$, for some $\lambda\neq 0$}\}\]

즉 원점과 $(x_0,\ldots, x_n)$을 지나는 직선 위의 점들 중, 원점을 제외한 점들의 집합으로 주어진다. 이 때문에 $\mathbb{P}^n$은 종종 $\mathbb{R}^{n+1}$에서의 직선들의 공간으로 생각되기도 한다.

한편, $\mathbb{R}^{n+1}$에서, 임의의 평면 $P$와, $P$와 평행하지 않은 직선은 반드시 한 점에서 만난다. 따라서 평면 $P_i$를

\[P_i=\{\x_i=1\}=\{(x_0,\ldots, x_n)\mid x_i=1\}\]

로 정의한다면, $\mathbb{P}^n$의 점들 중 $\x_i$축과 수직인 직선들을 제외한 점들은 모두 $P_i$의 점과 일대일로 대응되며, 남아있는 점들은 $\x_0\x_1\cdots\x_{i-1}\x_{i+1}\cdots\x_n$-평면, 즉 $\mathbb{R}^n$의 직선이므로 다음의 decomposition

\[\mathbb{P}^n=\mathbb{R}^n\coprod \mathbb{P}^{n-1}\]

을 얻는다. 이 과정은 $n=2$인 경우 다음 그림에 표현되어 있다.

이를 식으로 적으면, $\mathbb{P}^n$의 한 점 $[x_0:\cdots:x_n]$에 대하여, 만일 $x_i\neq 0$이라면 $[x_0:\cdots:x_n]$의 equivalence class 안에서 $i$번째 좌표가 $1$이 되는 점을 (유일하게) 찾을 수 있으며, 이 점을 $P_i$의 점으로 보아 다음 부분집합

\[U_i=\{[x_0:\cdots:x_n]\in \mathbb{P}^n\mid x_i\neq 0\}\]

을 $P_i\cong \mathbb{R}^n$과 identify할 수 있다. 한편 $U_i$의 여집합에 속한 점들은 정확히 $x_i=0$인 점들이므로, 단순히 $i$번째 좌표를 생략해서 쓰는 것만으로 이를 $\mathbb{P}^{n-1}$의 점으로 이해할 수 있다.

명시적으로 위의 identification $U_i\cong P_i$는 다음의 식

\[[x_0:\cdots:x_n]\text{ in $U_i\subseteq \mathbb{P}^n$}\leftrightarrow\left(\frac{x_0}{x_i},\ldots, \frac{x_{i-1}}{x_i},1,\frac{x_{i+1}}{x_i},\ldots, \frac{x_n}{x_i}\right)\text{ in $P_i\subseteq \mathbb{R}^{n+1}$}\]

으로 표현된다. 한편, §스킴, ⁋예시 10의 과정은 이 과정을 거꾸로 진행하는 것이다. 즉, $n+1$개의 $n$차원 평면 $P_0,\ldots, P_n$들이 먼저 주어져 있다 하고 이들을 cocycle condition을 만족하는 isomorphism들을 통해서 옮겨주는 것이다. 그럼 cocycle condition이 어떻게 쓰여져야 하는지는 정확히 위의 identification에 의해 $\mathbb{P}^n$의 한 점이 서로 다른 $P_i$와 $P_j$에서 어떻게 쓰여지는지를 살펴보아 얻어진다. 이를 살펴보자. 우선 $P_i$와 $P_j$의 임의의 점은 다음의 꼴

\[(x_{0/i},\ldots, x_{(i-1)/i}, 1, x_{(i+1)/i}, \ldots, x_{n/i})\in P_i,\qquad (x_{0/j},\ldots, x_{(j-1)/j}, 1, x_{(j+1)/j}, \ldots, x_{n/j})\in P_j\]

으로 적을 수 있다. 이제 만일 이들 점이 $\mathbb{P}^n$의 어떤 점으로부터 나온 것이라 가정한다면, 그 점은 반드시 $U_i\cap U_j$에 속해 있어야 하고, 이 집합에서 $x_i,x_j\neq 0$이어야 하므로 $x_{j/i}, x_{i/j}\neq 0$이어야 한다. 표기의 편의상 $j>i$라 하고, 이 사실을 이용하면

\[[x_{0/i}:\ldots: x_{(i-1)/i}: 1: x_{(i+1)/i}: \ldots: x_{j/i}:\ldots: x_{n/i}]=\left[\frac{x_{0/i}}{x_{j/i}}:\ldots: \frac{x_{(i-1)/i}}{x_{j/i}}: \frac{1}{x_{j/i}}: \frac{x_{(i+1)/i}}{x_{j/i}}: \ldots: 1:\ldots: \frac{x_{n/i}}{x_{j/i}}\right]\]

이다. 따라서 우변의 점이

\[[x_{0/j}:\ldots: x_{(j-1)/j}: 1: x_{(j+1)/j}: \ldots: x_{n/j}]\]

과 같기 위해서는 다음의 식

\[x_{k/i}/x_{j/i}=x_{k/j}\quad\text{for all $k\neq i,j$},\qquad\text{and}\qquad x_{i/j}=1/x_{j/i}\]

이 성립해야 한다. 마찬가지로 $P_j$의 점을 $P_i$의 점에 맞추면 $x_{k/j}/x_{i/j}=x_{k/i}$와 같은 식도 얻어질 것이지만, 이는 $x_{i/j}=1/x_{j/i}$에 의해 새로운 식은 아니다.

이제 이 계산을 바탕으로 §스킴, ⁋예시 10를 일반화하자. 우선 $n+1$개의 affine $n$-space들

\[P_i=\Spec \mathbb{K}[\x_{0/i},\ldots, \x_{n/i}]/(\x_{i/i}-1)=\Spec A^i\]

를 생각하자. 그럼 $P_i$의 open subscheme들 $P_{ij}=D(\x_{j/i})\cong \Spec (A^i)_{\x_{j/i}}$과, 다음의 ring homomorphism

\[(A^j)_{\x_{i/j}} \rightarrow (A^i)_{\x_{j/i}};\qquad \x_{k/j}\mapsto \x_{k/i}/\x_{j/i}\quad\text{for all $k\neq i,j$},\qquad\text{and}\qquad \x_{i/j}\mapsto 1/\x_{j/i}\]

의 spectrum으로 정의되는 isomorphism $\varphi_{ij}:P_{ij} \rightarrow P_{ji}$들이 §스킴, ⁋보조정리 9의 cocycle condition을 만족하는 것이 거의 자명하며 따라서 유일한 scheme $\mathbb{P}^n$이 정의된다. 이 때 $\mathbb{K}$의 원소들로 이루어진 좌표를 갖는 점들, 즉 앞의 위상수학적 논의에서와 같이 $[x_0:\ldots:x_n]$의 형태로 쓸 수 있는 점들에 한하여 $U_i$는 정확히 $x_i\neq 0$인 조건을 만족하는 집합이다. 물론 $\mathbb{A}^n$이 그러하였듯 $\mathbb{P}^n$에는 이러한 좌표로 쓰이지 않는 점들 또한 존재한다.

사영스킴

현재로서는 위의 설명이 불완전한 부분들이 있다. 가령, $U_i$들이 $\mathbb{P}^n$의 open subscheme인 것은 §스킴, ⁋보조정리 9의 결과이기는 하지만, 그 정의 자체로도 함수 $\x_i$가 $0$이 되지 않는 집합이므로 열린집합이 되어야 할 것처럼 보인다. 그러나 문제는 $\x_i$가 $\mathbb{P}^n$ 위의 함수가 아니라는 데에 있다. 심지어 $n=1$인 경우만 보아도 우리는 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(\mathbb{P}^1)\cong \mathbb{K}$인 것을 확인했다. 이는 위상수학에서의 construction만으로도 확인할 수 있는데, $\mathbb{R}^{n+1}\setminus \{0\}$의 한 점 $(x_0,\ldots, x_n)$을 받아 $x_i$를 내놓는 함수 $\x_i: \mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\} \rightarrow \mathbb{R}$은 $\sim$과 compatible하지 않고 따라서 $\mathbb{P}^n$ 위의 함수를 정의하지 않는다. 또 다른 예시로 $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 위에서 정의된 함수 $f: \mathbb{R}^2\setminus\{0\} \rightarrow \mathbb{R}$가 다음의 식

\[f(x_0,x_1)=x_0^2-x_1\]

으로 주어졌다면,

\[f(\lambda x_0,\lambda x_1)=\lambda^2x_0^2-\lambda x_1\neq f(x_0,x_1)\]

이 되어 $f$가 잘 정의되지 않는다. 그 대신, $f$를 homogeneous polynomial로 가져온다면, 함수로서 $f$는 잘 정의되지 않더라도 $f$의 zero locus $Z(f)$는 잘 정의된다. 이는 다음의 식

\[f(\lambda x_0,\ldots, \lambda x_n)=\lambda^{\deg f} f(x_0,\ldots, x_n),\qquad \lambda\neq 0\]

이 성립하기 때문이다.

즉, $\mathbb{P}^n$을 spectrum과 비슷한 방식으로 설명하기 위해서는 $\mathbb{A}^{n+1}$을 단순한 ring $\mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]$의 spectrum으로 볼 것이 아니라, 여기에 degree에 대한 정보를 추가하여 이를 graded ring으로 보고, 임의의 원소들의 zero locus가 아닌 homogeneous한 원소들의 zero locus를 보아야 한다. 그럼 [대수적 구조] §등급환, ⁋명제 6를 생각하면 우리의 관심사 또한 homogeneous ideal들이 되어야 할 것이다.

이번 글의 남은 부분에서 우리는 graded ring에 $\Proj$를 취하여 scheme을 얻어내는 과정을 따라간다. 임의의 graded ring의 $\Proj$가 곧 projective scheme인 것은 아니다. 가령 $A_\bullet=\mathbb{K}[\x_1,\x_2,\ldots]$이라 두면 $\Proj A_\bullet$은 quasi-compact조차 아니므로, projective scheme이라는 이름은 finitely generated 조건과 함께 §사영공간의 닫힌 부분스킴, ⁋정의 7에서 따로 정의한다. 이를 위해 몇몇 표기를 고정한다.

참고 Graded ring은 별 말이 없다면 항상 $\mathbb{N}_{\geq0}$-graded인 것으로 가정한다. 즉 우리의 관심이 되는 ring은 항상 다음의 꼴

\[A_\bullet=\bigoplus_{i=0}^\infty A_i=A_0\oplus A_1\oplus\cdots\]

이다. 이 때, $A_0$은 그 자체로 ring이므로, $A_\bullet$은 graded $A_0$-algebra로 볼 수 있으며, 이러한 이유에서 $A_0$을 base ring이라 부른다. 또, $A_\bullet$에 정의된 grading 구조를 잊어버리고 이를 평범한 ring으로 볼 일이 있을 때는 이를 간단히 $A$로만 적기로 한다.

Graded ring $A_\bullet$이 주어졌다 하자. 그럼 다음의 부분집합

\[A_+=\bigoplus_{i=1}^\infty A_i=A_1\oplus A_2\oplus\cdots\]

은 $A_\bullet$의 homogeneous ideal이 되는 것이 자명하다. 그런데 $A_\bullet=\mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]$인 경우를 생각하면, $A_+$의 모든 원소들에 대해 함숫값이 $0$이 되는 점, 즉 모든 다항식에 대해 항등적으로 $0$이 되는 점은 오직 원점 뿐이다. 원점은 $\mathbb{P}^n$을 만들 때 빠지는 점이므로 ideal $A_+$를 포함하는 ideal은 우리의 논의의 대상에서 제외하는 것이 옳을 것이다. 이러한 관점에서 $A_+$를 irrelevant ideal이라 부른다.

이를 조금 더 기하학적으로 읽을 수도 있다. 위의 등식 $f(\lambda x_0,\ldots,\lambda x_n)=\lambda^{\deg f}f(x_0,\ldots,x_n)$에 의하여 homogeneous polynomial들이 $\mathbb{A}^{n+1}$에서 자르는 닫힌집합은 언제나 상수배에 닫혀 있으므로, 이는 원점을 지나는 직선들을 모아 놓은 것, 곧 affine cone이다. ([대수다양체] §사영다양체, ⁋정의 12) 그런데 affine cone 중에는 원점만으로 이루어진 cone, 즉 $A_+$가 자르는 cone도 있으며, 이 cone의 경우 원점을 지우면 공집합만 남으므로 이 cone은 우리 관심사에서 제외해야 한다. Homogeneous prime ideal $\mathfrak{p}$에 대하여 $A_+\subseteq \mathfrak{p}$인 것은 $\mathfrak{p}$가 자르는 cone이 원점인 것과 동치이므로, 우리는 이러한 $\mathfrak{p}$를 빼고 $\Proj A_\bullet$을 정의한다.

정의 1 Graded ring $A_\bullet$에 대하여, $\Proj A_\bullet$은 다음의 집합

\[\Proj A_\bullet =\{\mathfrak{p}\in \Spec A\mid\text{$\mathfrak{p}$ is homogeneous and $A_+\not\subseteq \mathfrak{p}$}\}\]

으로 정의된다.

정의에 의해 $\Proj A_\bullet$은 $\Spec A$의 부분집합이다. 즉, $\Proj A_\bullet$의 점들은 모두 $\Spec A$의 점들이기도 하다. 이는 $\Spec A$ 대신 $\MaxSpec A$를 사용했다면 다소 어색한 결과이지만, $\Spec A$에는 전통적인 점들 외에도 prime ideal들에 해당하는 점들이 존재한다. 가령 $A=\mathbb{K}[\x_1,\x_2]$의 ideal $(\x_1-\x_2)$를 생각하면, $\mathbb{K}[\x_1,\x_2]/(\x_1-\x_2)\cong \mathbb{K}[\x_1]$이므로 이 ideal은 prime ideal이다. 또, 이 ideal은 $\mathbb{K}[\x_1,\x_2]$를 graded ring $A_\bullet$으로 보았을 때, $A_+$를 포함하지 않는 homogeneous prime ideal이므로 $\Proj A_\bullet$의 점이기도 하다.

아직까지 $\Proj A_\bullet$은 집합일 뿐이다. 여기에 위상구조를 주기 위해서는 함수의 zero locus를 사용해야 하고, 앞서 관찰했듯 우리는 homogeneous polynomial의 zero locus를 사용해야 한다.

정의 2 Graded ring $A_\bullet$가 주어졌다 하자. $A_\bullet$의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여

\[Z_+(\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}\in\Proj A_\bullet\mid \mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}\}\]

으로 정의한다.

그럼 [가환대수학] §등급환의 국소화, ⁋보조정리 2의 셋째 결과를 이용하여, §스펙트럼, ⁋보조정리 6, 그리고 §스펙트럼, ⁋명제 5과 비슷한 다음 보조정리를 보일 수 있다.

보조정리 3 Graded ring $A_\bullet$에 대하여 다음이 성립한다.

임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$에 대하여, $Z_+(\mathfrak{a}\mathfrak{b})=Z_+(\mathfrak{a})\cup Z_+(\mathfrak{b})$이다.
임의의 homogeneous ideal들의 family $\{\mathfrak{a}_i\}$에 대하여, $Z_+(\sum \mathfrak{a}_i)=\bigcap Z_+(\mathfrak{a}_i)$이 성립한다.
임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $Z_+(\sqrt{\mathfrak{a}})=Z_+(\mathfrak{a})$이다.
임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $Z_+(\mathfrak{a})=Z_+(\mathfrak{a}\cap A_+)$이다.

물론 위의 보조정리에서 등장하는 $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$나 $\sqrt{\mathfrak{a}}$, $\sum \mathfrak{a}_i$들은 homogeneous임이 자명하다. 그럼 첫째 결과부터 셋째 결과까지는 이미 spectrum에서 관찰한 결과들이며, 오직 넷째 결과만이 새롭다.

보조정리 3의 증명

$\mathfrak{a}$ 혹은 $\mathfrak{b}$를 포함하는 homogeneous prime ideal $\mathfrak{p}$는 그보다 작은 homogeneous ideal $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ 또한 포함하는 것이 자명하므로, 반대방향 포함관계만 보이면 충분하다. $\mathfrak{p}\supset \mathfrak{a}\mathfrak{b}$라 가정하자. 만일 $\mathfrak{p}\not\supseteq \mathfrak{b}$라 하면, $b\not\in \mathfrak{p}$인 $\mathfrak{b}$의 원소 $b$를 찾을 수 있다. 그럼 $\mathfrak{b}$가 homogeneous이므로, 이를 homogeneous element들의 합으로 분해하여
\[b=b_1+\cdots+b_n,\qquad \text{$b_i\in \mathfrak{b}$ homogeneous}\]
으로 쓸 수 있다. 한편, 임의의 homogeneous element $a\in \mathfrak{a}$에 대하여, $ab\in \mathfrak{a}\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{p}$이다. 한편 $\mathfrak{a}\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{p}$의 원소
\[ab=ab_1+\cdots+ab_n\]
를 생각하면, $\mathfrak{p}$가 homogeneous이므로 $ab_i$들은 모두 $\mathfrak{p}$의 원소이다. 한편 앞선 가정에 의해 $b\not\in \mathfrak{p}$이므로, $b_i\not\in \mathfrak{p}$를 만족하는 $i$가 존재하고, 그럼 $ab_i$는 $\mathfrak{p}$에 속하는 homogeneous element이며 $b_i\not\in \mathfrak{p}$이므로 $\mathfrak{p}$가 prime ideal인 것으로부터 $a\in \mathfrak{p}$이다. 따라서 [대수적 구조] §등급환, ⁋명제 6에 의해 $\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}$가 성립한다.
이는 $\sum \mathfrak{a}_i$가 ideal들 $\mathfrak{a}_i$ 각각을 모두 포함하는 ideal 중 가장 작은 것으로 정의되므로 자명하다.
[가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋따름정리 8.
정의에 의해 $Z_+(\mathfrak{a})\subseteq Z_+(\mathfrak{a}\cap A_+)$는 자명하므로 반대방향만 보이면 충분하다. 즉, $\mathfrak{p}$가 $\mathfrak{a}$의 양의 degree를 갖는 homogeneous element들을 모두 가지며, $A_+$를 통째로 포함하지는 않는 prime ideal이라 하고 $\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}$임을 보이자. 이를 위해서는 임의의 $a\in \mathfrak{a}\cap A_0$을 택했을 때, 위의 가정으로부터 $a$ 또한 $\mathfrak{p}$에 속함을 보이면 충분하다.
이제 $A_+\not\subseteq\mathfrak{p}$이므로, $\mathfrak{p}$에 속하지 않는 homogeneous element $f$가 존재한다. 이제 $af\in \mathfrak{a}\cap A_+\subseteq \mathfrak{p}$이고, $f\not\in \mathfrak{p}$이므로 $a\in \mathfrak{p}$이다.

이 보조정리들의 결과를 보면, 첫째 결과와 둘째 결과로부터 다음을 정의할 수 있다.

정의 4 Graded ring $A_\bullet$이 주어졌다 하자. 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $Z_+(\mathfrak{a})$ 꼴의 집합을 닫힌집합으로 갖는 $\Proj A_\bullet$의 (유일한) 위상을 Zariski topology라 부른다.

또, 이 보조정리의 넷째 결과에 의해, 우리는 $\Proj A_\bullet$의 위상을 정의할 때는 $A_+$에 속한 homogeneous ideal들만 고려하면 된다는 것을 안다. 이는 직관적으로도 자명한데, $A=\mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]$이라 두면 $A_0$에 들어있는 원소들은 어차피 상수함수이기 때문이다.

이제 다음을 정의한다.

정의 5 Graded ring $A_\bullet$의 임의의 homogeneous element $f$에 대하여, $Z_+(f)$의 $\Proj A_\bullet$에서의 complement $\Proj A_\bullet\setminus Z_+(f)$를 $D_+(f)$라 적는다. 여기에서 homogeneous element $f$에 대한 $Z_+(f)$는 $Z_+((f))$의 축약이며, 마찬가지로 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여 $\Proj A_\bullet\setminus Z_+(\mathfrak{a})$를 $D_+(\mathfrak{a})$로 적는다.

다음 따름정리는 보조정리 3의 첫째 결과에 의해 바로 얻어진다.

따름정리 6 $D_+(f)\cap D_+(g)=D_+(fg)$가 성립한다.

뿐만 아니라 다음이 성립한다.

따름정리 7 $D_+(f)$들의 모임은 $\Proj A_\bullet$의 base를 이룬다.

증명

$A$의 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$를 homogeneous generator들을 이용하여 $\mathfrak{a}=\sum_{i\in I} (f_i)$로 쓰면

\[Z_+(\mathfrak{a})=\bigcap_{i\in I} Z_+((f_i))\]

이고 따라서

\[D_+(\mathfrak{a})=\bigcup_{i\in I} D_+(f_i)\]

이다.

한편, 우리는 ring $A$의 spectrum $\Spec A$에서, 임의의 원소 $f\in A$를 택하면 $D(f)$는 (scheme으로서) $\Spec A_f$와 isomorphic한 것을 살펴보았다. 비슷한 결과가 $D_+(f)$에 대해서도 성립한다.

보조정리 8 Graded ring $A_\bullet$과 $A_+$의 임의의 nonzero homogeneous element $f$에 대하여, 함수 $D_+(f) \rightarrow \Spec A_{(f)}$를 다음의 식

\[\mathfrak{p}\mapsto \mathfrak{p}A_f\cap A_{(f)}\]

으로 정의하면 이 함수는 homeomorphism이다. ([가환대수학] §등급환의 국소화, ⁋정의 5)

증명

우선 $f\not\in \mathfrak{p}$이므로, localization $A \rightarrow A_f$를 통해 $\mathfrak{p}$는 $A_f$의 prime ideal $\mathfrak{p}A_f$로 옮겨진다. ([가환대수학] §국소화, ⁋명제 8) 이제 주장의 우변은 inclusion $i: A_{(f)} \rightarrow A_f$에 의한 $\mathfrak{p}A_f$의 preimage이므로 이는 $A_{(f)}$의 prime ideal이 된다.

이제 함수로서 이 대응의 역함수 $\Spec A_{(f)} \rightarrow D_+(f)$를 정의하자. 임의의 prime ideal $\mathfrak{q}\in\Spec A_{(f)}$가 주어졌다 하고, $A$의 homogeneous element $x$ 중 다음의 조건

\[\frac{x^{\deg f}}{f^{\deg x}}\in \mathfrak{q}\]

을 만족하는 $x$들을 모은 후, 이들에 의해 생성되는 $A$의 homogeneous ideal $\mathfrak{p}$를 생각하자. 여기에서 확인해야 할 것은 위 조건을 만족하는 homogeneous element들의 집합이 이미 ideal을 이룬다는 것, 즉 같은 degree를 갖는 두 원소의 합과 임의의 homogeneous element와의 곱이 다시 그 조건을 만족한다는 것이다. 곱의 경우는 자명하고, 합의 경우는 $(x+y)^{\deg f}$를 이항전개했을 때 각 항 $x^ky^{\deg f-k}/f^{\deg x}$의 $\deg f$거듭제곱이 $x^{\deg f}/f^{\deg x}$와 $y^{\deg f}/f^{\deg y}$의 거듭제곱들의 곱이 되는 것과 $\mathfrak{q}$가 prime인 것을 함께 쓰면 된다.

그럼 $\mathfrak{p}$의 homogeneous element들은 정확히 위 조건을 만족하는 것들이므로, 임의의 homogeneous element $x,y\in A$에 대하여

\[xy\in \mathfrak{p}\iff \frac{x^{\deg f}}{f^{\deg x}}\frac{y^{\deg f}}{f^{\deg y}}\in \mathfrak{q}\]

이고, $\mathfrak{q}$가 prime ideal인 것과 [가환대수학] §등급환의 국소화, ⁋보조정리 2의 셋째 결과로부터 $\mathfrak{p}$가 prime ideal인 것을 안다. 또 $f^{\deg f}/f^{\deg f}=1\not\in \mathfrak{q}$이므로 $f\not\in \mathfrak{p}$이고, 따라서 $\mathfrak{p}$는 $A_+$를 포함하지 않아 $\mathfrak{p}\in D_+(f)$이다. 이제 이 대응 $\mathfrak{p}\mapsto \mathfrak{p}A_f\cap A_{(f)}$과 $\mathfrak{q}\mapsto \mathfrak{p}$가 서로의 역함수인 것을 쉽게 확인할 수 있고, $A_\bullet$의 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $D_+(f)$의 닫힌집합 $Z_+(\mathfrak{a})\cap D_+(f)$는 이 함수에 의하여 $\Spec A_{(f)}$의 닫힌집합 $Z(\mathfrak{a}A_f\cap A_{(f)})$으로 옮기므로 이것이 homeomorphism이 되는 것을 안다.

그럼 이제 $\Proj A_\bullet$에 scheme 구조를 주는 방법은 자명하다. 다음 보조정리의 증명은 보조정리 8과 거의 유사하다.

보조정리 9 Graded ring $A_\bullet$과 $A_+$의 nonzero homogeneous element $f,g$에 대하여, isomorphism

\[\Spec A_{(fg)}\cong D(g^{\deg f}/f^{\deg g})\subseteq \Spec A_{(f)}\]

이 존재한다.

증명

$\Proj A_\bullet$의 임의의 점 $\mathfrak{p}$는 $A_+\not\subseteq \mathfrak{p}$를 만족하므로 $\mathfrak{p}$에 속하지 않는 $A_+$의 homogeneous element를 갖는다. 즉 $\Proj A_\bullet$을 덮는 것은 $A_+$의 nonzero homogeneous element들이 주는 $D_+(f)$들이므로, 가정을 이러한 $f$들로 제한하는 것은 우리의 목적에 아무런 손실을 주지 않는다. 이제 $d=\deg f\geq 1$과 $e=\deg g\geq 1$로 적기로 하면 $\deg (g^d)=de=\deg (f^e)$이므로

\[\theta=\frac{g^{\deg f}}{f^{\deg g}}=\frac{g^d}{f^e}\]

는 $A_f$의 degree $0$ 원소, 즉 $\theta\in A_{(f)}$이다. ([가환대수학] §등급환의 국소화, ⁋명제 3) 한편 $D(\theta)$는 $\Spec (A_{(f)})_\theta$와 isomorphic한 $\Spec A_{(f)}$의 open subscheme이므로 (§스킴, ⁋보조정리 2), 우리는 ring isomorphism $(A_{(f)})_\theta\cong A_{(fg)}$를 만들면 충분하다.

우선 localization $A_f \rightarrow A_{fg}$는 grading을 보존하므로, 이를 degree $0$ 부분으로 제한하여 canonical ring homomorphism

\[\rho: A_{(f)} \rightarrow A_{(fg)};\qquad \frac{a}{f^n}\mapsto \frac{ag^n}{(fg)^n}\]

을 얻는다. 이 때 $f^e/g^d$는 $A_{fg}$의 degree $0$ 원소이고

\[\frac{g^d}{f^e}\cdot\frac{f^e}{g^d}=1\]

이므로, $\rho(\theta)$는 $A_{(fg)}$의 unit이다. 따라서 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6에 의하여 $\rho$를 확장하는 유일한 ring homomorphism

\[\Phi:(A_{(f)})_\theta \rightarrow A_{(fg)};\qquad \frac{x}{\theta^n}\mapsto \rho(x)\left(\frac{f^e}{g^d}\right)^n\]

이 존재한다.

$\Phi$가 surjective인 것을 보이자. $A_{(fg)}$의 임의의 원소는 homogeneous element $a$와 $n\geq 0$에 대하여 $a/(fg)^n$의 꼴로 쓸 수 있으며, 이 원소의 degree가 $0$이므로 $\deg a=n(d+e)$이다. 이제

\[x=\frac{ag^{n(d-1)}}{f^{n(e+1)}}\]

으로 두면, 분자의 degree는

\[n(d+e)+en(d-1)=n(d+ed)=nd(e+1)\]

이고 분모의 degree는 $dn(e+1)$로 이와 같으므로 $x\in A_{(f)}$이다. (여기에서 $d\geq 1$이 사용된다.) 그럼 $A_{fg}$에서

\[\Phi\left(\frac{x}{\theta^n}\right)=\frac{ag^{n(d-1)}}{f^{n(e+1)}}\cdot\frac{f^{ne}}{g^{nd}}=\frac{a}{f^ng^n}=\frac{a}{(fg)^n}\]

이므로 $\Phi$는 surjective이다.

이제 $\Phi$가 injective인 것을 보이자. $(A_{(f)})_\theta$의 원소 $x/\theta^n$이 $\Phi$에 의해 $0$으로 옮겨졌다 하자. $\Phi(\theta)$가 unit이므로 이는 $\rho(x)=0$인 것과 같다. $x=b/f^m$이라 쓰면 여기에서 $b$는 $\deg b=md$인 homogeneous element이고, $\rho(x)=0$은 $A_{fg}$에서 $b/f^m=0$인 것이므로 적당한 $k\geq 0$이 존재하여 $(fg)^kb=0$이다. 그럼 $d\geq 1$이므로

\[f^k\cdot bg^{dk}=(f^kg^kb)g^{(d-1)k}=0\]

이고 따라서 $A_f$에서 $bg^{dk}=0$이다. 이로부터 $A_{(f)}$에서

\[\theta^kx=\frac{g^{dk}}{f^{ek}}\cdot\frac{b}{f^m}=\frac{bg^{dk}}{f^{ek+m}}=0\]

이 되어 $(A_{(f)})_\theta$에서 $x/\theta^n=0$이다. 즉 $\Phi$는 injective이며, 이상에서 $\Phi$는 isomorphism이다.

마지막으로 이 isomorphism이 보조정리 8의 homeomorphism과 정합적임을 확인해두자. $\mathfrak{p}\in D_+(f)$의 image를 $\mathfrak{q}=\mathfrak{p}A_f\cap A_{(f)}$라 하면, $f\not\in \mathfrak{p}$이므로

\[\theta=\frac{g^d}{f^e}\in \mathfrak{q}\iff g^d\in \mathfrak{p}\iff g\in \mathfrak{p}\]

이다. 따라서 보조정리 8의 homeomorphism은 따름정리 6의 $D_+(fg)=D_+(f)\cap D_+(g)$를 정확히 $D(\theta)$ 위로 옮긴다.

따라서, $\Spec A_{(g)}$의 principal open set $D(f^{\deg g}/g^{\deg f})\subseteq \Spec A_{(g)}$와 $\Spec A_{(f)}$의 principal open set $\Spec A_{(fg)}\cong D(g^{\deg f}/f^{\deg g})$ 사이의 isomorphism이 존재한다. 이제 다음 정리는 단순한 계산이다.

정리 10 위에서 정의한 $\Spec A_{(f)}$들과 open subscheme들 $D(g^{\deg f}/f^{\deg g})$, 그리고 isomorphism

\[D(f^{\deg g}/g^{\deg f})\cong \Spec A_{(fg)}\cong D(g^{\deg f}/f^{\deg g})\]

들은 §스킴, ⁋보조정리 9의 조건들을 모두 만족하고, 따라서 $\Proj A_\bullet$ 위에 유일한 scheme structure를 준다.

증명

Index set으로는 $A_+$의 nonzero homogeneous element들 전체를 택한다. 두 원소 $f,g$에 대하여 보조정리 9의 증명에서와 같이

\[\theta_{f,g}=\frac{g^{\deg f}}{f^{\deg g}}\in A_{(f)}\]

로 적기로 하면, 그 증명이 준 것은 canonical ring homomorphism $\rho_{f,fg}:A_{(f)} \rightarrow A_{(fg)}$가 $\theta_{f,g}$를 unit으로 보내고, 이로부터 유도되는

\[\Phi_{f,g}:(A_{(f)})_{\theta_{f,g}} \rightarrow A_{(fg)}\]

가 $\rho_{f,fg}$를 확장하는 isomorphism이라는 것이다. 이제 $X_f=\Spec A_{(f)}$와 그 open subscheme $X_{fg}=D(\theta_{f,g})$를 생각하고, $A_{(fg)}=A_{(gf)}$인 것에 주의하여 isomorphism $\varphi_{fg}:X_{fg} \rightarrow X_{gf}$를 ring isomorphism

\[\Phi_{f,g}^{-1}\circ \Phi_{g,f}:(A_{(g)})_{\theta_{g,f}} \rightarrow (A_{(f)})_{\theta_{f,g}}\]

의 spectrum으로 정의한다. 여기에서 $fg=0$인 경우는 $\theta_{f,g}=0$과 $\theta_{g,f}=0$이 되어 $X_{fg}$와 $X_{gf}$가 모두 공집합이므로, 이 경우 $\varphi_{fg}$는 empty scheme의 identity로 둔다. 우선 $f=g$인 경우 $\theta_{f,f}=1$이므로 $X_{ff}=X_f$이고, $A_{f\cdot f}=A_f$이므로 $\rho_{f,ff}$가 identity이며 따라서 $\varphi_{ff}=\id$이다.

이제 cocycle condition을 확인하자. Nonzero homogeneous element $f,g,h\in A_+$를 택하고 $d=\deg f$, $e=\deg g$, $m=\deg h$라 하자. 그럼 $A_{(f)}$에서

\[\theta_{f,g}\theta_{f,h}=\frac{g^d}{f^e}\cdot\frac{h^d}{f^m}=\frac{(gh)^d}{f^{e+m}}=\theta_{f,gh}\]

이므로, $X_f$ 안에서의 삼중 교집합은

\[X_{fg}\cap X_{fh}=D(\theta_{f,g})\cap D(\theta_{f,h})=D(\theta_{f,gh})\]

이다. 만일 $gh=0$이라면 $\theta_{f,gh}=0$이므로 이 삼중 교집합은 공집합이고 cocycle 조건은 공허하게 성립한다. $fg=0$ 혹은 $fh=0$인 경우도 $\theta_{f,g}=0$ 혹은 $\theta_{f,h}=0$이 되어 마찬가지이므로, 이하에서는 $fg$, $gh$, $fh$가 모두 nonzero인 경우만 다룬다. 그럼 보조정리 9를 $f$와 $gh$에 적용하면 isomorphism

\[\Psi_f=\Phi_{f,gh}:(A_{(f)})_{\theta_{f,gh}} \rightarrow A_{(fgh)}\]

를 얻는다. 마찬가지로 $\Psi_g=\Phi_{g,fh}$와 $\Psi_h=\Phi_{h,fg}$를 정의하면, 이들은 각각 canonical homomorphism $\rho_{f,fgh}$, $\rho_{g,fgh}$, $\rho_{h,fgh}$를 확장한다. 한편 이들 canonical homomorphism은 모두 $A_f \rightarrow A_{fg} \rightarrow A_{fgh}$와 같은 localization들의 degree $0$ 부분이므로

\[\rho_{fg,fgh}\circ\rho_{f,fg}=\rho_{f,fgh}\]

와 같은 transitivity를 만족한다.

우선 $\varphi_{fg}$가 삼중 교집합을 삼중 교집합으로 옮기는 것을 확인하자. $\Phi_{f,g}$와 $\Phi_{g,f}$는 각각 $\theta_{f,h}$와 $\theta_{g,h}$를 $A_{(fg)}$의 원소

\[u=\frac{h^d}{f^m},\qquad v=\frac{h^e}{g^m}\]

으로 보내는데, $A_{(fg)}$에서

\[u^e=\frac{h^{de}}{f^{me}}=\left(\frac{g^d}{f^e}\right)^m\cdot\frac{h^{de}}{g^{md}}=\rho_{f,fg}(\theta_{f,g})^mv^d\]

이고 $\rho_{f,fg}(\theta_{f,g})$는 unit이다. 따라서 $u^e$와 $v^d$는 unit 배만큼만 차이나고, $\Spec A_{(fg)}$에서 $D(u)=D(v)$이며 $A_{(fg)}$를 $u$에서 localization한 것과 $v$에서 localization한 것은 같은 ring이다. 즉 $\varphi_{fg}$는 $X_{fg}\cap X_{fh}$를 $X_{gf}\cap X_{gh}$ 위로 옮기며, 이 restriction은 ring homomorphism

\[\alpha:(A_{(g)})_{\theta_{g,fh}} \rightarrow (A_{(f)})_{\theta_{f,gh}}\]

의 spectrum이다. 여기에서 $\alpha$는 $\Phi_{f,g}^{-1}\circ\Phi_{g,f}$를 localize하여 얻어진다. 그럼 합성

\[\tau: A_{(fg)}\overset{\Phi_{f,g}^{-1}}{\longrightarrow}(A_{(f)})_{\theta_{f,g}} \longrightarrow (A_{(f)})_{\theta_{f,gh}}\overset{\Psi_f}{\longrightarrow} A_{(fgh)}\]

을 생각하면, $\Phi_{f,g}$와 $\Psi_f$가 각각 $\rho_{f,fg}$와 $\rho_{f,fgh}$를 확장하므로 $\tau\circ\rho_{f,fg}=\rho_{f,fgh}$이다. 그런데 $A_{(fg)}$는 $\Phi_{f,g}$를 통해 $A_{(f)}$의 $\theta_{f,g}$에서의 localization이며 $\rho_{fg,fgh}$ 또한 같은 식을 만족하므로, [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6의 유일성에 의하여 $\tau=\rho_{fg,fgh}$이다. 이로부터

\[\Psi_f\circ\alpha\vert_{A_{(g)}}=\tau\circ \rho_{g,fg}=\rho_{fg,fgh}\circ\rho_{g,fg}=\rho_{g,fgh}=\Psi_g\vert_{A_{(g)}}\]

를 얻고, 다시 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6의 유일성을 $A_{(g)}$의 localization $(A_{(g)})_{\theta_{g,fh}}$에 적용하면 $\Psi_f\circ\alpha=\Psi_g$, 곧 $\alpha=\Psi_f^{-1}\circ\Psi_g$이다. 즉

\[\varphi_{fg}\vert_{X_{fg}\cap X_{fh}}=\Spec(\Psi_f^{-1}\circ \Psi_g)\]

이며, 같은 논증을 $(g,h)$와 $(f,h)$에 적용하면 삼중 교집합 위에서

\[\varphi_{gh}=\Spec(\Psi_g^{-1}\circ\Psi_h),\qquad \varphi_{fh}=\Spec(\Psi_f^{-1}\circ\Psi_h)\]

이다. $\Spec$이 contravariant이므로

\[\varphi_{gh}\circ\varphi_{fg}=\Spec\left((\Psi_f^{-1}\circ\Psi_g)\circ(\Psi_g^{-1}\circ \Psi_h)\right)=\Spec(\Psi_f^{-1}\circ\Psi_h)=\varphi_{fh}\]

가 되어 cocycle condition이 성립한다. 따라서 §스킴, ⁋보조정리 9에 의하여 유일한 scheme $X$가 존재하여 $X_f$들을 open subscheme으로 가지며 $X_f\cap X_g=X_{fg}$이다.

마지막으로 $X$의 바탕 위상공간이 $\Proj A_\bullet$인 것을 확인하자. 보조정리 8은 homeomorphism $\psi_f: D_+(f) \rightarrow \Spec A_{(f)}=X_f$들을 주며, 보조정리 9의 증명에서 확인했듯 $\psi_f$는 $D_+(fg)$를 $X_{fg}=D(\theta_{f,g})$ 위로 옮긴다. 뿐만 아니라 임의의 $\mathfrak{p}\in D_+(fg)$에 대하여 $\rho_{f,fg}$에 의한 $\mathfrak{p}A_{fg}\cap A_{(fg)}$의 preimage는 $\mathfrak{p}A_f\cap A_{(f)}$이므로 ([가환대수학] §국소화, ⁋명제 8), $\psi_f$와 $\psi_g$는 $\varphi_{fg}$와 정합적이다. 즉 $\psi_g=\varphi_{fg}\circ\psi_f$가 $D_+(fg)$ 위에서 성립한다. 한편 위에서 관찰했듯 $D_+(f)$들은 $\Proj A_\bullet$을 덮으므로, $\psi_f$들을 붙여 $X$의 바탕 위상공간과 $\Proj A_\bullet$ 사이의 homeomorphism을 얻는다. 이를 통해 $\Proj A_\bullet$은 scheme 구조를 가지며, §스킴, ⁋보조정리 9의 유일성에 의해 이러한 scheme 구조는 유일하다.

특히 $\Proj A_\bullet$은 locally ringed space이므로, 임의의 $\mathfrak{p}\in \Proj A_\bullet$에 대하여 stalk $\mathcal{O}_{\Proj A_\bullet,\mathfrak{p}}$은 local ring이다. 그런데 어차피 $\mathfrak{p}$는 적당한 affine open neighborhood에 넣을 수 있으므로, 본질적으로 §아핀스킴, ⁋보조정리 8과 동일한 과정으로 다음을 보일 수 있다.

보조정리 11 Graded ring $A_\bullet$과 임의의 $\mathfrak{p}\in \Proj A_\bullet$에 대하여, 다음 isomorphism

\[\mathcal{O}_{\Proj A_\bullet,\mathfrak{p}}\cong A_{(\mathfrak{p})}\]

이 존재한다.

증명

$\mathfrak{p}\in \Proj A_\bullet$이므로 $A_+\not\subseteq \mathfrak{p}$이고, 따라서 $\mathfrak{p}$에 속하지 않는 $A_+$의 homogeneous element $f$가 존재한다. $d=\deg f\geq 1$이라 두자. 그럼 $\mathfrak{p}\in D_+(f)$이고, 정리 10에 의하여 $D_+(f)$는 $\Spec A_{(f)}$와 isomorphic한 $\Proj A_\bullet$의 open subscheme이다. Open subscheme의 stalk은 원래 scheme의 stalk과 같으므로, 보조정리 8이 $\mathfrak{p}$를 옮기는 점 $\mathfrak{q}=\mathfrak{p}A_f\cap A_{(f)}$에 대하여 §아핀스킴, ⁋보조정리 8로부터

\[\mathcal{O}_{\Proj A_\bullet,\mathfrak{p}}\cong \mathcal{O}_{\Spec A_{(f)},\mathfrak{q}}\cong (A_{(f)})_\mathfrak{q}\]

를 얻는다. 따라서 isomorphism $(A_{(f)})_\mathfrak{q}\cong A_{(\mathfrak{p})}$를 만들면 충분하다.

$S$를 $\mathfrak{p}$에 속하지 않는 homogeneous element들이 이루는 multiplicative set이라 하면 $A_{(\mathfrak{p})}=(S^{-1}A)_0$이다. ([가환대수학] §등급환의 국소화, ⁋정의 5) 이제 $f\in S$이므로 localization $A_f \rightarrow S^{-1}A$가 존재하며, 이는 grading을 보존하므로 degree $0$ 부분으로 제한하여 canonical ring homomorphism

\[\sigma: A_{(f)} \rightarrow A_{(\mathfrak{p})};\qquad \frac{a}{f^n}\mapsto \frac{a}{f^n}\]

을 얻는다. 이 때 $\sigma$는 $A_{(f)}\setminus \mathfrak{q}$의 원소를 unit으로 보낸다. 실제로 $x=a/f^n\in A_{(f)}$라 하면 $a$는 $\deg a=nd$인 homogeneous element이고, $f\not\in \mathfrak{p}$이므로 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 8에 의하여

\[x\in \mathfrak{q}\iff a\in \mathfrak{p}\]

이다. 따라서 $x\not\in \mathfrak{q}$라면 $a\in S$이고, $f^n/a$는 degree $0$을 갖는 $S^{-1}A$의 원소로 $\sigma(x)$의 inverse가 된다. 이제 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6에 의하여 $\sigma$를 확장하는 유일한 ring homomorphism

\[\Theta:(A_{(f)})_\mathfrak{q} \rightarrow A_{(\mathfrak{p})}\]

가 존재한다.

$\Theta$가 surjective인 것을 보이자. $A_{(\mathfrak{p})}$의 임의의 원소는 homogeneous element $a$와 $s\in S$에 대하여 $a/s$의 꼴이며, 이 원소의 degree가 $0$이므로 $l=\deg s=\deg a$이다. 이제

\[u=\frac{as^{d-1}}{f^l},\qquad v=\frac{s^d}{f^l}\]

로 두면 $\deg (as^{d-1})=l+l(d-1)=ld=\deg (f^l)$이고 $\deg (s^d)=ld$이므로 $u,v\in A_{(f)}$이다. 또 $s\not\in \mathfrak{p}$이고 $\mathfrak{p}$가 prime ideal이므로 $s^d\not\in \mathfrak{p}$이고, 따라서 $v\not\in \mathfrak{q}$이다. 그럼 $S^{-1}A$에서

\[\Theta\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{as^{d-1}}{f^l}\cdot\frac{f^l}{s^d}=\frac{a}{s}\]

이므로 $\Theta$는 surjective이다.

이제 $\Theta$가 injective인 것을 보이자. $(A_{(f)})_\mathfrak{q}$의 원소 $x/v$가 $\Theta$에 의해 $0$으로 옮겨졌다 하면, $\Theta(v)$가 unit이므로 $\sigma(x)=0$이다. $x=a/f^n$이라 쓰면 이는 $S^{-1}A$에서 $a/f^n=0$인 것이므로, 적당한 homogeneous element $t\in S$가 존재하여 $ta=0$이다. 이제 $\deg (t^d)=d\deg t=\deg (f^{\deg t})$이므로

\[w=\frac{t^d}{f^{\deg t}}\]

는 $A_{(f)}$의 원소이며, $t\not\in \mathfrak{p}$이므로 $w\not\in \mathfrak{q}$이다. 한편 $d\geq 1$이므로 $t^da=0$이고 따라서 $A_{(f)}$에서

\[wx=\frac{t^da}{f^{\deg t+n}}=0\]

이다. 즉 $(A_{(f)})_\mathfrak{q}$에서 $x=0$이므로 $x/v=0$이고, $\Theta$는 injective이다. 이상에서 $\Theta$는 isomorphism이다.

다소 주의할 것은 $\Proj$는 $\Spec$과 다르게, $\bgr_{\mathbb{N}_{\geq 0}}\cRing^\op$에서 $\LRS$로의 functor를 정의하지 않는다는 것이다. 이는 graded ring homomorphism $\phi_\bullet:A_\bullet \rightarrow B_\bullet$과 $B$의 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{q}$가 $B_+$를 포함하지 않더라도 그 inverse image $\phi^{-1}(\mathfrak{q})$는 $A_+$를 포함할 수도 있기 때문이다.

이제 마지막으로 우리는 맨 처음 motivation을 위해 살펴본 projective space를 대수기하의 언어로 (거의) 완전하게 옮겨본다.

예시 12 Algebraic geometry에서, $\mathbb{P}^n_\mathbb{K}$는 다음의 식

\[\mathbb{P}^n_\mathbb{K}=\Proj \mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]\]

으로 정의한다. 여기서 polynomial algebra $\mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]$은 당연히 degree를 통해 grading이 주어진 graded ring이다.

그럼 projective space에서의 $n+1$개의 open cover는 이 언어에서는

\[D_+(\x_i)\cong \Spec \mathbb{K}[\x_{0},\ldots, \x_{n}]_{(\x_{i})}\]

으로 생각할 수 있으며, [가환대수학] §등급환의 국소화, ⁋명제 6에 의하여

\[\mathbb{K}[\x_{0},\ldots, \x_{n}]_{(\x_{i})}\cong \mathbb{K}[\x_{0/i},\ldots, \x_{n/i}]/(\x_{i/i}-1)\]

이 되며, 명시적으로 이 isomorphism은 ring homomorphism

\[\mathbb{K}[\x_{0/i}, \ldots, \x_{n/i}]\rightarrow \mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]_{(\x_i)};\qquad \x_{k/i}\mapsto \frac{\x_k}{\x_i}\]

에 first isomorphism theorem을 적용하여 얻어지는 것이다.

이제 임의의 $\mathfrak{p}\in \mathbb{P}^n_\mathbb{K}$는 어떠한 $D_+(\x_i)$에 포함된다. 위의 isomorphism을 통하여 $D_+(\x_i)$의 점 $\mathfrak{p}$가 $U_i=\Spec \mathbb{K}[\x_{0/i}, \ldots, \x_{n/i}]/(\x_{i/i}-1)$의 점 $\mathfrak{q}$로 옮겨졌다 하자. 그럼 이 경우에 다음의 isomorphism

\[\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_\mathbb{K},\mathfrak{p}}\cong \mathcal{O}_{U_i, \mathfrak{q}}\]

을 기대하는 것이 당연할 것이다. 그리고 이는 물론 성립한다. ([가환대수학] §등급환의 국소화, ⁋명제 8)

참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.

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