사영스킴

§스킴, ⁋예시 10에서 우리는 두 개의 affine line $\mathbb{A}^1=\Spec \mathbb{K}[\x]$을 적당한 방식으로 붙여 projective space $\mathbb{P}^1$을 만들었다. 이번에는 이를 일반화하여 projective scheme을 정의한다.

사영공간

§스킴, ⁋예시 10을 그대로 일반화하면 scheme으로서 $\mathbb{P}^n$을 정의하는 것 자체는 어렵지 않다. 하지만 이를 일반화하여 projective scheme을 정의하기 위해서는 $\mathbb{P}^n$을 직관적으로 이해하는 것이 도움이 되므로, 이를 조금 더 찬찬히 뜯어보자.

우선 우리는 기존에 위상수학에서 정의하던 projective space를 간단히 살펴본다. 위상공간 $\mathbb{P}^n$을 만들기 위해 우리는 위상공간 $\mathbb{R}^{n+1}\setminus \{0\}$을 생각했다. 그럼 이 위에 다음의 동치관계

\[(x_0,\ldots, x_n)\sim (y_0,\ldots, y_n)\iff\text{$x_i=\lambda y_i$ for some $\lambda\neq 0$, for all $i$}\]

를 정의하면 projective space $\mathbb{P}^n$은 quotient space $(\mathbb{R}^{n+1}\setminus \{0\})/{\sim}$으로 정의되는 위상공간이며, $(x_0,\ldots, x_n)$을 포함하는 동치류를 표기의 편의를 위해 $[x_0:x_1:\cdots:x_n]$으로 표기한다.

이 때, canonical projection $\pi:\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}\rightarrow \mathbb{P}^n$를 생각하자. 그럼 $\mathbb{P}^n$의 한 점 $[x_0:x_1:\cdots:x_n]$의 fiber는 그 정의에 의하여

\[\{(y_0,\ldots, y_n)\mid\text{$x_i=\lambda y_i$ for some $\lambda\neq 0$, for all $i$}\}\]

즉 원점과 $(x_0,\ldots, x_n)$을 지나는 직선 위의 점들 중, 원점을 제외한 점들의 집합으로 주어진다. 이 때문에 $\mathbb{P}^n$은 종종 $\mathbb{R}^{n+1}$에서의 직선들의 공간으로 생각되기도 한다.

한편, $\mathbb{R}^{n+1}$에서, 임의의 평면 $P$와, $P$와 평행하지 않은 직선은 반드시 한 점에서 만난다. 따라서 평면 $P_i$를

\[P_i=\{\x_i=1\}=\{(x_0,\ldots, x_n)\mid x_i=1\}\]

로 정의한다면, $\mathbb{P}^n$의 점들 중 $\x_i$축과 수직인 직선들을 제외한 점들은 모두 $P_i$의 점과 일대일로 대응되며, 남아있는 점들은 $\x_0\x_1\cdots\x_{i-1}\x_{i+1}\cdots\x_n$-평면, 즉 $\mathbb{R}^n$의 직선이므로 다음의 decomposition

\[\mathbb{P}^n=\mathbb{R}^n\coprod \mathbb{P}^{n-1}\]

을 얻는다. 이 과정은 $n=2$인 경우 다음 그림에 표현되어 있다.

$stereographic_projection$

이를 식으로 적으면, $\mathbb{P}^n$의 한 점 $[x_0:\cdots:x_n]$에 대하여, 만일 $x_i\neq 0$이라면 $[x_0:\cdots:x_n]$의 동치류 안에서 $i$번째 좌표가 $1$이 되는 점을 (유일하게) 찾을 수 있으며, 이 점을 $P_i$의 점으로 보아 다음 부분집합

\[U_i=\{[x_0:\cdots:x_n]\in \mathbb{P}^n\mid x_i\neq 0\}\]

을 $P_i\cong \mathbb{R}^n$과 identify할 수 있다. 한편 $U_i$의 여집합에 속한 점들은 정확히 $x_i=0$인 점들이므로, 단순히 $i$번째 좌표를 생략해서 쓰는 것만으로 이를 $\mathbb{P}^{n-1}$의 점으로 이해할 수 있다.

명시적으로 위의 identification $U_i\cong P_i$는 다음의 식

\[[x_0:\cdots:x_n]\text{ in $U_i\subseteq \mathbb{P}^n$}\leftrightarrow\left(\frac{x_0}{x_i},\ldots, \frac{x_{i-1}}{x_i},1,\frac{x_{i+1}}{x_i},\ldots, \frac{x_n}{x_i}\right)\text{ in $P_i\subseteq \mathbb{R}^{n+1}$}\]

으로 표현된다. 한편, §스킴, ⁋예시 10의 과정은 이 과정을 거꾸로 진행하는 것이다. 즉, $n+1$개의 $n$차원 평면 $P_0,\ldots, P_n$들이 먼저 주어져 있다 하고 이들을 cocycle condition을 만족하는 isomorphism들을 통해서 옮겨주는 것이다. 그럼 cocycle condition이 어떻게 쓰여져야 하는지는 정확히 위의 identification에 의해 $\mathbb{P}^n$의 한 점이 서로 다른 $P_i$와 $P_j$에서 어떻게 쓰여지는지를 살펴보아 얻어진다. 이를 살펴보자. 우선 $P_i$와 $P_j$의 임의의 점은 다음의 꼴

\[(x_{0/i},\ldots, x_{(i-1)/i}, 1, x_{(i+1)/i}, \ldots, x_{n/i})\in P_i,\qquad (x_{0/j},\ldots, x_{(j-1)/j}, 1, x_{(j+1)/j}, \ldots, x_{n/j})\in P_j\]

으로 적을 수 있다. 이제 만일 이들 점이 $\mathbb{P}^n$의 어떤 점으로부터 나온 것이라 가정한다면, 그 점은 반드시 $U_i\cap U_j$에 속해 있어야 하고, 이 집합에서 $x_i,x_j\neq 0$이어야 하므로 $x_{j/i}, x_{i/j}\neq 0$이어야 한다. 표기의 편의상 $j>i$라 하고, 이 사실을 이용하면

\[[x_{0/i}:\ldots: x_{(i-1)/i}: 1: x_{(i+1)/i}: \ldots: x_{j/i}:\ldots, x_{n/i}]=\left[\frac{x_{0/i}}{x_{j/i}}:\ldots: \frac{x_{(i-1)/i}}{x_{j/i}}: \frac{1}{x_{j/i}}: \frac{x_{(i+1)/i}}{x_{j/i}}: \ldots: 1:\ldots, \frac{x_{n/i}}{x_{j/i}}\right]\]

이다. 따라서 우변의 점이

\[[x_{0/j}:\ldots: x_{(j-1)/j}: 1: x_{(j+1)/j}: \ldots: x_{n/j}]\]

과 같기 위해서는 다음의 식

\[x_{k/i}/x_{j/i}=x_{k/j}\quad\text{for all $k\neq i,j$},\qquad\text{and}\qquad x_{i/j}=1/x_{j/i}\]

이 성립해야 한다. 마찬가지로 $P_j$의 점을 $P_i$의 점에 맞추면 $x_{k/j}/x_{i/j}=x_{k/i}$와 같은 식도 얻어질 것이지만, 이는 $x_{i/j}=1/x_{j/i}$에 의해 새로운 식은 아니다.

이제 이 계산을 바탕으로 §스킴, ⁋예시 10를 일반화하자. 우선 $n+1$개의 affine $n$-space들

\[P_i=\Spec \mathbb{K}[\x_{0/i},\ldots, \x_{n/i}]/(x_{i/i}-1)=\Spec A^i\]

를 생각하자. 그럼 $P_i$의 open subscheme들 $P_{ij}=D(\x_{j/i})=(A^i)_{\x_{j/i}}$과, 다음의 ring homomorphism

\[(A^i)_{\x_{j/i}} \rightarrow (A^j)_{\x_{i/j}};\qquad \x_{k/i}\mapsto \x_{k/j}/\x_{i/j}\quad\text{for all $k\neq i,j$},\qquad\text{and}\qquad \x_{j/i}\mapsto 1/\x_{i/j}\]

을 통해 정의되는 isomorphism $\varphi_{ij}:P_{ij} \rightarrow P_{ji}$들이 §스킴, ⁋보조정리 9의 cocycle condition을 만족하는 것이 거의 자명하며 따라서 유일한 scheme $\mathbb{P}^n$이 정의되고, 이 때 $\mathbb{P}^n$의 원소들을 $[x_0:\ldots:x_n]$의 형태로 쓴다면 $U_i$는 정확히 $x_i\neq 0$인 조건을 만족하는 집합이다.

현재로서는 위의 설명이 불완전한 부분들이 있다. 가령, $U_i$들이 $\mathbb{P}^n$의 open subscheme인 것은 §스킴, ⁋보조정리 9의 결과이기는 하지만, 그 정의 자체로도 함수 $\x_i$가 $0$이 되지 않는 집합이므로 열린집합이 되어야 할 것처럼 보인다. 그러나 문제는 $\x_i$가 $\mathbb{P}^n$ 위의 함수가 아니라는 데에 있다. 심지어 $n=1$인 경우만 보아도 우리는 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(\mathbb{P}^1)\cong \mathbb{K}$인 것을 확인했다. 이는 위상수학에서의 construction만으로도 확인할 수 있는데, $\mathbb{R}^{n+1}\setminus \{0\}$의 한 점 $(x_0,\ldots, x_n)$을 받아 $x_i$를 내놓는 함수 $\x_i: \mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\} \rightarrow \mathbb{R}$은 $\sim$과 compatible하지 않고 따라서 $\mathbb{P}^n$ 위의 함수를 정의하지 않는다. 또 다른 예시로 $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 위에서 정의된 함수 $f: \mathbb{R}^2\setminus\{0\} \rightarrow \mathbb{R}$가 다음의 식

\[f(x_0,x_1)=x_0^2-x_1\]

으로 주어졌다면,

\[f(\lambda x_0,\lambda x_1)=\lambda^2x_0^2-\lambda x_1\neq f(x_0,x_1)\]

이 되어 $f$가 잘 정의되지 않는다. 그 대신, $f$를 homogeneous polynomial로 가져온다면, 함수로서 $f$는 잘 정의되지 않더라도 $f$의 zero locus $Z(f)$는 잘 정의된다. 이는 다음의 식

\[f(\lambda x_0,\ldots, \lambda x_n)=\lambda^{\deg f} f(x_0,\ldots, x_n),\qquad \lambda\neq 0\]

이 성립하기 때문이다.

즉, $\mathbb{P}^n$을 스펙트럼과 비슷한 방식으로 설명하기 위해서는 $\mathbb{A}^{n+1}$을 단순한 ring $\mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]$의 spectrum으로 볼 것이 아니라, 여기에 degree에 대한 정보를 추가하여 이를 graded ring으로 보고, 임의의 원소들의 zero locus가 아닌 homogeneous한 원소들의 zero locus를 보아야 한다. 그럼 §등급환, ⁋명제 6를 생각하면 우리의 관심사 또한 homogeneous ideal들이 되어야 할 것이다.

이번 글의 남은 부분에서 우리는 graded ring에 $\Proj$를 취하여 projective scheme을 얻어내는 과정을 따라간다. 이를 위해 몇몇 표기를 고정한다.

참고 Graded ring은 별 말이 없다면 항상 $\mathbb{N}_{\geq0}$-graded인 것으로 가정한다. 즉 우리의 관심이 되는 ring은 항상 다음의 꼴

\[A_\bullet=\bigoplus_{i=0}^\infty A_i=A_0\oplus A_1\oplus\cdots\]

이다. 이 때, $A_0$은 그 자체로 ring이므로, $A_\bullet$은 graded $A_0$-algebra로 볼 수 있으며, 이러한 이유에서 $A_0$을 base ring이라 부른다. 또, $A_\bullet$에 정의된 grading 구조를 잊어버리고 이를 평범한 ring으로 볼 일이 있을 때는 이를 간단히 $A$로만 적기로 한다.

Graded ring $A_\bullet$이 주어졌다 하자. 그럼 다음의 부분집합

\[A_+=\bigoplus_{i=1}^\infty A_i=A_1\oplus A_2\oplus\cdots\]

은 $A_\bullet$의 homogeneous ideal이 되는 것이 자명하다. 그런데 $A_\bullet=\mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]$인 경우를 생각하면, $A_+$의 모든 원소들에 대해 함숫값이 $0$이 되는 점, 즉 모든 다항식에 대해 항등적으로 $0$이 되는 점은 오직 원점 뿐이다. 원점은 $\mathbb{P}^n$을 만들 때 빠지는 점이므로 ideal $A_+$를 포함하는 ideal은 우리의 논의의 대상에서 제외하는 것이 옳을 것이다. 이러한 관점에서 $A_+$를 irrelevant ideal이라 부른다.

이제 집합으로서 $\Proj A_\bullet$은 다음과 같이 정의된다.

정의 1 Graded ring $A_\bullet$에 대하여, $\Proj A_\bullet$은 다음의 집합

\[\Proj A_\bullet =\{\mathfrak{p}\in \Spec A\mid\text{$\mathfrak{p}$ is homogeneous and $A_+\not\subset \mathfrak{p}$}\}\]

으로 정의된다.

정의에 의해 $\Proj A_\bullet$은 $\Spec A$의 부분집합이다. 즉, $\Proj A_\bullet$의 점들은 모두 $\Spec A$의 점들이기도 하다. 이는 $\Spec A$ 대신 $\mSpec A$를 사용했다면 다소 어색한 결과이지만, $\Spec A$에는 전통적인 점들 외에도 prime ideal들에 해당하는 점들이 존재한다. 가령 $A=\mathbb{K}[\x_1,\x_2]$의 ideal $(\x_1-\x_2)$를 생각하면, $\mathbb{K}[\x_1,\x_2]/(\x_1-\x_2)\cong \mathbb{K}[\x_1]$이므로 이 ideal은 prime ideal이다. 또, 이 ideal은 $\mathbb{K}[\x_1,\x_2]$를 graded ring $A_\bullet$으로 보았을 때, $A_+$를 포함하지 않는 homogeneous prime ideal이므로 $\Proj A_\bullet$의 점이기도 하다.

아직까지 $\Proj A_\bullet$은 집합일 뿐이다. 여기에 위상구조를 주기 위해서는 함수의 zero locus를 사용해야 하고, 앞서 관찰했듯 우리는 homogeneous polynomial의 zero locus를 사용해야 한다.

정의 2 Graded ring $A_\bullet$가 주어졌다 하자. $A_\bullet$의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여

\[Z_+(\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}\in\Proj A_\bullet\mid \mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}\}\]

으로 정의한다.

그럼 §등급환의 국소화, ⁋보조정리 2의 셋째 결과를 이용하여, §스펙트럼, ⁋보조정리 6, 그리고 §스펙트럼, ⁋명제 5과 비슷한 다음 보조정리를 보일 수 있다.

보조정리 3 Graded ring $A_\bullet$에 대하여 다음이 성립한다.

임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$에 대하여, $Z_+(\mathfrak{a}\mathfrak{b})=Z_+(\mathfrak{a})\cup Z_+(\mathfrak{b})$이다.
임의의 homogeneous ideal들의 family $\{\mathfrak{a}_i\}$에 대하여, $Z_+(\sum \mathfrak{a}_i)=\bigcap Z_+(\mathfrak{a}_i)$이 성립한다.
임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $Z_+(\sqrt{\mathfrak{a}})=Z_+(\mathfrak{a})$이다.
임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $Z_+(\mathfrak{a})=Z_+(\mathfrak{a}\cap A_+)$이다.

물론 위의 보조정리에서 등장하는 $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$나 $\sqrt{\mathfrak{a}}$, $\sum \mathfrak{a}_i$들은 homogeneous임이 자명하다. 그럼 첫째 결과부터 셋째 결과까지는 이미 스펙트럼에서 관찰한 결과들이며, 오직 넷째 결과만이 새롭다.

보조정리 3의 증명

$\mathfrak{a}$ 혹은 $\mathfrak{b}$를 포함하는 homogeneous prime ideal $\mathfrak{p}$는 그보다 작은 homogeneous ideal $\mathfrak{ab}$ 또한 포함하는 것이 자명하므로, 반대방향 포함관계만 보이면 충분하다. $\mathfrak{p}\supset \mathfrak{ab}$라 가정하자. 만일 $\mathfrak{p}\not\supseteq \mathfrak{b}$라 하면, $b\not\in \mathfrak{p}$인 $\mathfrak{b}$의 원소 $b$를 찾을 수 있다. 그럼 $\mathfrak{b}$가 homogeneous이므로, 이를 homogeneous element들의 합으로 분해하여
\[b=b_1+\cdots b_n,\qquad \text{$b_i\in \mathfrak{b}$ homogeneous}\]
으로 쓸 수 있다. 한편, 임의의 homogeneous element $a\in \mathfrak{a}$에 대하여, $ab\in \mathfrak{ab}\subseteq \mathfrak{p}$이다. 한편 $\mathfrak{ab}\subseteq \mathfrak{p}$의 원소
\[ab=ab_1+\cdots+ab_n\]
를 생각하면, $\mathfrak{p}$가 homogeneous이므로 $ab_i$들은 모두 $\mathfrak{p}$의 원소이다. 한편 앞선 가정에 의해 $b\not\in \mathfrak{p}$이므로, $b_i\not\in \mathfrak{p}$를 만족하는 $i$가 존재하고, 그럼 $ab_i$는 $\mathfrak{p}$에 속하는 homogeneous element이며 $b_i\not\in \mathfrak{p}$이므로 §등급환의 국소화, ⁋보조정리 2에 의해 $a\in \mathfrak{p}$이다. 따라서 $\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}$가 성립한다.
이는 $\sum \mathfrak{a}_i$가 ideal들 $\mathfrak{a}_i$ 각각을 모두 포함하는 ideal 중 가장 작은 것으로 정의되므로 자명하다.
§국소화의 성질들, ⁋따름정리 8.
정의에 의해 $Z_+(\mathfrak{a})\subseteq Z_+(\mathfrak{a}\cap A_+)$는 자명하므로 반대방향만 보이면 충분하다. 즉, $\mathfrak{p}$가 $\mathfrak{a}$의 양의 차수를 갖는 homogeneous element들을 모두 가지며, $A_+$를 통째로 포함하지는 않는 prime ideal이라 하고 $\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}$임을 보이자. 이를 위해서는 임의의 $a\in \mathfrak{a}\cap A_0$을 택했을 때, 위의 가정으로부터 $a$ 또한 $\mathfrak{p}$에 석함을 보이면 충분하다.
이제 $A_+\not\subset\mathfrak{p}$이므로, $\mathfrak{p}$에 속하지 않는 homogeneous element $f$가 존재한다. 이제 $af\in \mathfrak{a}\cap A_+\subseteq \mathfrak{p}$이고, $f\not\in \mathfrak{p}$이므로 $a\in \mathfrak{p}$이다.

이 보조정리들의 결과를 보면, 첫째 결과와 둘째 결과로부터 다음을 정의할 수 있다.

정의 4 Graded ring $A_\bullet$이 주어졌다 하자. 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $Z_+(\mathfrak{a})$ 꼴의 집합을 닫힌집합으로 갖는 $\Proj A_\bullet$의 (유일한) 위상을 Zariski topology라 부른다.

또, 이 보조정리의 넷째 결과에 의해, 우리는 $\Proj A_\bullet$을 정의할 때는 $A_+$에 속한 homogeneous ideal들만 고려하면 된다는 것을 안다. 이는 직관적으로도 자명한데, $A=\mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]$이라 두면 $A_0$에 들어있는 원소들은 어차피 상수함수이기 때문이다.

이제 다음을 정의한다.

정의 5 Graded ring $A_\bullet$의 임의의 homogeneous element $f$에 대하여, $Z_+(f)$의 $\Proj A_\bullet$에서의 complement $\Proj A_\bullet\setminus Z_+(f)$를 $D_+(f)$라 적는다.

다음 따름정리는 보조정리 3의 첫째 결과에 의해 바로 얻어진다.

따름정리 6 $D_+(f)\cap D_+(g)=D_+(fg)$가 성립한다.

뿐만 아니라 다음이 성립한다.

따름정리 7 $D_+(f)$들의 모임은 $\Proj A_\bullet$의 base를 이룬다.

증명

$A$의 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$를 homogeneous generator들을 이용하여 $\mathfrak{a}=\sum_{i\in I} (f_i)$로 쓰면

\[Z_+(\mathfrak{a})=\bigcap_{i\in I} Z_+((f_i))\]

이고 따라서

\[D_+(\mathfrak{a})=\bigcup_{i\in I} D_+(f_i)\]

이다.

한편, 우리는 ring $A$의 스펙트럼 $\Spec A$에서, 임의의 원소 $f\in A$를 택하면 $D(f)$는 (scheme으로서) $\Spec A_f$와 isomorphic한 것을 살펴보았다. 비슷한 결과가 $D_+(f)$에 대해서도 성립한다.

보조정리 8 Graded ring $A_\bullet$과 임의의 homogeneous element $f\in A_\bullet$에 대하여, 함수 $D_+(f) \rightarrow \Spec A_{(f)}$를 다음의 식

\[\mathfrak{p}\mapsto \mathfrak{p}A_f\cap A_{(f)}\]

으로 정의하면 이 함수는 homeomorphism이다. (§등급환의 국소화, ⁋정의 5)

증명

우선 $f\not\in \mathfrak{p}$이므로, localization $A \rightarrow A_f$를 통해 $\mathfrak{p}$는 $A_f$의 prime ideal $\mathfrak{p}A_f$로 옮겨진다. (§국소화, ⁋명제 8) 이제 주장의 우변은 inclusion $i: A_{(f)} \rightarrow A_f$에 의한 $\mathfrak{p}A_f$의 preimage이므로 이는 $A_{(f)}$의 prime ideal이 된다.

이제 함수로서 이 대응의 역함수 $\Spec A_{(f)} \rightarrow D_+(f)$를 정의하자. 임의의 prime ideal $\mathfrak{q}\in\Spec A_{(f)}$가 주어졌다 하고, $A$의 homogeneous element $x$ 중 다음의 조건

\[\frac{x^{\deg f}}{f^{\deg x}}\in \mathfrak{q}\]

을 만족하는 $x$들을 모은 후, 이들에 의해 생성되는 $A$의 homogeneous ideal $\mathfrak{p}$를 생각하자. 그럼 임의의 homogeneous element $x,y\in \mathfrak{p}$에 대하여,

\[xy\in \mathfrak{p}\iff \frac{x^{\deg f}}{f^{\deg x}}\frac{y^{\deg f}}{f^{\deg y}}\in \mathfrak{q}\]

이므로 $\mathfrak{q}$가 prime ideal인 것으로부터 $\mathfrak{p}$가 prime ideal인 것을 안다. 이제 이 대응 $\mathfrak{p}\mapsto \mathfrak{p}A_f\cap A_{(f)}$과 $\mathfrak{q}\mapsto \mathfrak{p}$가 서로의 역함수인 것을 쉽게 확인할 수 있고, $A_\bullet$의 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $D_+(f)$의 닫힌집합 $Z_+(\mathfrak{a})\cap D_+(f)$는 이 함수에 의하여 $\Spec A_{(f)}$의 닫힌집합 $Z(\mathfrak{a}A_f\cap A_{(f)})$으로 옮기므로 이것이 homeomorphism이 되는 것을 안다.

그럼 이제 $\Proj A_\bullet$에 scheme 구조를 주는 방법은 자명하다. 다음 보조정리의 증명은 보조정리 8과 거의 유사하다.

보조정리 9 Graded ring $A_\bullet$과 nonzero homogeneous element $f,g$에 대하여, isomorphism

\[\Spec A_{(fg)}\cong D(g^{\deg f}/f^{\deg g})\subseteq \Spec A_{(f)}\]

이 존재한다.

따라서, $\Spec A_{(g)}$의 principal open set $D(f^{\deg g}/g^{\deg f})\subseteq \Spec A_{(f)}$와 $\Spec A_{(f)}$의 principal open set $\Spec A_{(fg)}\cong D(g^{\deg f}/f^{\deg g})$ 사이의 isomorphism이 존재한다. 이제 다음 정리는 단순한 계산이다.

정리 10 위에서 정의한 $\Spec A_{(f)}$들과 open subscheme들 $D(g^{\deg f}/f^{\deg g})$, 그리고 isomorphism

\[D(f^{\deg g}/g^{\deg f})\cong \Spec A_{(fg)}\cong D(g^{\deg f}/f^{\deg g})\]

들은 §스킴, ⁋보조정리 9의 조건들을 모두 만족하고, 따라서 $\Proj A_\bullet$ 위에 유일한 scheme structure를 준다.

특히 $\Proj A_\bullet$은 locally ringed space이므로, 임의의 $\mathfrak{p}\in \Proj A_\bullet$에 대하여 stalk $\mathcal{O}_{\Proj A_\bullet,\mathfrak{p}}$은 local ring이다. 그런데 어차피 $\mathfrak{p}$는 적당한 affine open neighborhood에 넣을 수 있으므로, 본질적으로 §아핀스킴, ⁋보조정리 8과 동일한 과정으로 다음을 보일 수 있다.

보조정리 11 Graded ring $A_\bullet$과 임의의 $\mathfrak{p}\in \Proj A_\bullet$에 대하여, 다음 isomorphism

\[\mathcal{O}_{\Proj A_\bullet,\mathfrak{p}}\cong A_{(\mathfrak{p})}\]

이 존재한다.

다소 주의할 것은 $\Proj$는 $\Spec$과 다르게, $\bgr_{\mathbb{N}_{\geq 0}}\cRing^\op$에서 $\LRS$로의 functor를 정의하지 않는다는 것이다. 이는 graded ring homomorphism $\phi_\bullet:A_\bullet \rightarrow B_\bullet$과 $B$의 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{q}$가 $B_+$를 포함하지 않더라도 그 inverse image $\phi^{-1}(\mathfrak{q})$는 $A_+$를 포함할 수도 있기 때문이다.

이제 마지막으로 우리는 맨 처음 motivation을 위해 살펴본 projective space를 대수기하의 언어로 (거의) 완전하게 옮겨본다.

예시 12 대수기하학에서, $\mathbb{P}^n_\mathbb{K}$는 다음의 식

\[\mathbb{P}^n_\mathbb{K}=\Proj \mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]\]

으로 정의한다. 여기서 polynomial algebra $\mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]$은 당연히 degree를 통해 grading이 주어진 graded ring이다.

그럼 projective space에서의 $n+1$개의 open cover는 이 언어에서는

\[D_+(\x_i)\cong \Spec \mathbb{K}[\x_{0},\ldots, \x_{n}]_{(\x_{i})}\]

으로 생각할 수 있으며, §등급환의 국소화, ⁋명제 6에 의하여

\[\mathbb{K}[\x_{0},\ldots, \x_{n}]_{(\x_{i})}\cong \mathbb{K}[\x_{0/i},\ldots, \x_{n/i}]/(\x_{i/i}-1)\]

이 되며, 명시적으로 이 isomorphism은 ring homomorphism

\[\mathbb{K}[\x_{0/i}, \ldots, \x_{n/i}]\rightarrow \mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]_{(\x_i)};\qquad \x_{k/i}\mapsto \frac{\x_k}{\x_i}\]

에 first isomorphism theorem을 적용하여 얻어지는 것이다.

이제 임의의 $\mathfrak{p}\in \mathbb{P}^n_\mathbb{K}$는 어떠한 $D_+(\x_i)$에 포함된다. 위의 isomorphism을 통하여 $D_+(\x_i)$의 점 $\mathfrak{p}$가 $U_i=\Spec \mathbb{K}[\x_{0/i}, \ldots, \x_{n/i}]/(\x_{i/i}-1)$의 점 $\mathfrak{q}$로 옮겨졌다 하자. 그럼 이 경우에 다음의 isomorphism

\[\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_\mathbb{K},\mathfrak{p}}\cong \mathcal{O}_{U_i, \mathfrak{q}}\]

을 기대하는 것이 당연할 것이다. 그리고 이는 물론 성립한다. (§등급환의 국소화, ⁋명제 8)

참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.

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