면적분과 선속

이제 우리는 선적분에서 변수를 하나 추가하여 곡면의 적분을 정의한다.

매개곡면

정의 1 평면 영역 \(D\)에서 정의된 \(C^1\) 사상

\(\mathbf{r}\colon D \to \mathbb{R}^3\), \(\mathbf{r}(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))\)

를 매개곡면_{parametrized surface}이라 한다.

\(u\)를 고정하고 \(v\)만 움직이면 곡면 위의 곡선이 그려지고 그 접선이 \(\mathbf{r}_v\)이며, 마찬가지로 \(\mathbf{r}_u\)도 곡면 위의 한 곡선의 접선이다. 두 접벡터가 펼치는 평면이 접평면이고, 그에 수직인 \(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\)가 법선 방향을 준다. 즉, 편도함수 벡터 \(\mathbf{r}_u = \partial \mathbf{r}/\partial u\)와 \(\mathbf{r}_v = \partial \mathbf{r}/\partial v\)는 곡면에 접하며, 그 교차곱

\[\mathbf{N} = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\]

가 곡면의 법선벡터이다. 우리는 \(\mathbf{N} \neq 0\)인 곡면을 정칙_regular이라 한다.

곡면넓이

곡면을 매개변수 영역의 작은 직사각형들로 쪼개면, 각 조각은 접평면 위의 작은 평행사변형, 더 구체적으로는 \(\mathbf{r}_u\Delta u\)와 \(\mathbf{r}_v\Delta v\)가 만드는 평행사변형으로 근사된다. 이 넓이가 \(\lvert \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\rvert\Delta u\Delta v\)이므로, 이를 모아 극한을 취한 것이 곡면넓이이다.

정의 2 정칙 매개곡면 \(\mathbf{r}\colon D \to \mathbb{R}^3\)의 곡면넓이_{surface area}는

\[\iint_D \lvert \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\rvert \mathop{du}\mathop{dv}\]

이고, 면적원소를 \(dS = \lvert \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\rvert \mathop{du}\mathop{dv}\)로 적는다.

면적원소 \(dS\)는 다중적분의 야코비 행렬식과 같은 역할을 하는 것으로, 이렇게 정의한 면적작용소 \(dS\)로 곡면 위에 분포한 스칼라량을 적분할 수 있다.

정의 3 곡면 \(S\) 위에서 연속인 스칼라장 \(f\)의 면적분_{surface integral}은

\[\iint_S f\mathop{dS} = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v))\lvert \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\rvert \mathop{du}\mathop{dv}\]

이다.

선적분이 arc length parametrization으로 적분하여 곡선의 매개화에 무관했듯, 면적분도 면적원소로 적분하여 곡면의 매개화에 무관하다.

선속

한편 우리는 스칼라함수가 아니라 벡터함수를 곡면을 따라 적분하는 상황 또한 생각할 수 있다. 이를 위해서는 앞선 글과 마찬가지로 곡면의 어느 쪽이 “바깥”인지를 정해야 한다. 곡면의 경우, 각 점에서 두 단위법선 \(\pm \mathbf{N}/\lvert \mathbf{N}\rvert\) 중 하나를 연속적으로 고르는 것을 곡면의 방향_orientation이라 한다.

정의 4 단위법선 \(\mathbf{n}\)으로 방향이 주어진 곡면 \(S\) 위의 연속 벡터장 \(\mathbf{F}\)의 선속_flux은

\[\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\mathop{dS} = \iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\mathop{du}\mathop{dv}\]

이다. 여기서 \(\mathbf{n} = (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)/\lvert \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\rvert\)가 곡면의 방향과 맞는다고 본다.

선속은 단위시간에 곡면을 가로질러 흐르는 양이다. 가령 \(\mathbf{F}\)가 유체의 속도이면 \(\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}\)는 곡면을 통과하는 유체의 양으로 생각할 수 있다. 그럼 법선 성분 \(\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\)만이 흐름에 기여하며 곡면에 접하는 성분은 이 양에 기여하지 않는다는 것이 직관적으로 자명하며, 방향을 반대로 잡으면 \(\mathbf{n}\)이 뒤집혀 선속의 부호가 바뀐다는 것 또한 쉽게 확인할 수 있다.

다음은 이 적분의 두 예시들이다.

예시 5 (구의 겉넓이) 반지름 \(R\)인 구를 구면좌표

\[\mathbf{r}(\phi, \theta) = (R\sin\phi\cos\theta, R\sin\phi\sin\theta, R\cos\phi),\qquad 0 \leq \phi \leq \pi,\quad 0 \leq \theta \leq 2\pi\]

로 매개화하자. 접벡터의 교차곱을 계산하면 그 크기는

\[\lvert \mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_\theta\rvert = R^2\sin\phi\]

이며, 따라서 곡면의 넓이는

\[\iint_S \mathop{dS} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi R^2\sin\phi \mathop{d\phi} \mathop{d\theta} = R^2 \cdot 2\pi \cdot 2 = 4\pi R^2\]

으로 익숙한 값이 나온다.

다음은 벡터함수의 적분의 예시이다.

예시 6 예시 5 (구의 겉넓이)의 구에, 바깥 방향으로의 향을 주자. 이 예시에서 우리의 목표는

\[\mathbf{F}(x,y,z) = (x,y,z)\]

의 선속을 구하는 것이다. 마찬가지로 구면 매개화에서

\[\mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_\theta = R(\sin\phi) \mathbf{r}\]

이고 \(\mathbf{F}(\mathbf{r}) = \mathbf{r}\)이므로

\[\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_\phi\times \mathbf{r}_\theta) = \mathbf{r} \cdot R\sin\phi \mathbf{r} = R\sin\phi\lvert \mathbf{r}\rvert^2 = R^3\sin\phi\]

이다. 그러므로

\[\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi R^3\sin\phi \mathop{d\phi} \mathop{d\theta} = 4\pi R^3\]

이다.