함수와 수열의 극한

극한의 정의

함수의 미분과 적분을 정의하기 위해서는 고등학교 때 배우는 것과 마찬가지로 극한의 개념이 필요하다. 그 때와 비교하여 지금 우리가 다루는 극한이 더 발전한 것은 이제 우리는 극한을 정의한다는 것이다.

정의 1 실수 \(a\)를 포함하는 어떤 개구간 \((c,d)\) (\(c<a<d\))를 점 \(a\)의 근방_neighborhood이라 부른다.

점 \(a\)의 근방은 이후 해석학과 위상수학에서 더 엄밀한 방식으로 정의하게 되지만, 현재는 이 정도의 정의로 충분하다. 특별히 점 \(a\)의 근방 중 \(a\) 자기 자신이 빠진 집합을 편의상 삭제된 근방_{deleted neighborhood}라 부른다.

정의 2 점 \(a\)의 어떤 삭제된 근방에서 정의된 함수 \(f\)를 생각하자. 그럼 실수 \(L\)이 \(x \to a\)일 때 \(f\)의 극한_limit이라는 것은, 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 어떤 \(\delta > 0\)이 존재하여

\[0 < \lvert x - a \rvert < \delta \implies \lvert f(x) - L \rvert < \epsilon\]

이 성립하는 것이다. 이 때 \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L\)로 적는다.

이에 대한 직관적인 설명은 다음과 같다. 우리가 고등학교 때 극한의 개념을 \(f(x)\)가 \(L\)에 무한히 가까워진다고 이야기하는 것이 엄밀한 수학적 정의가 될 수 없는 이유는 가깝다는 개념이 수학적이지 않기 때문이다. 가령 \(L\)과 가까운 숫자들의 모임이, 수학적으로는 집합을 정의하지 않는 것과 같은 이치이다.

직관적으로 위의 \(\epsilon-\delta\) 정의는 이를 해결하기 위해, 모든 사람을 대상으로 합의를 만들어내는 과정으로 생각하면 이해가 편하다. 즉, \(f(x)\)가 \(L\)에 얼마나 가까울 것을 요구하든 (즉, 어떤 \(\epsilon>0\)이 주어지든), \(x\)가 \(L\)에 충분히 가깝도록 하기만 하면 (\(\lvert f(x) - L\rvert < \epsilon\)) 이 요구를 맞춰줄 수 있다는 것이다. 이를 다음 예시에서 살펴보자.

예시 3 이 예시에서는 일차함수와 이차함수의 예시에서 극한의 정의를 적용해본다.

우선 일차함수 \(f(x)=2x-1\)을 생각하고, \(x\rightarrow 3\)일 때 이 함수의 극한값이 \(5\)임을 보이자. 그럼

\[\lvert f(x)-L\rvert=\lvert (2x-1)-5\rvert=2\lvert x-3\rvert\]

이므로, 만일 \(\delta=\epsilon/2\)로 택한다면

\[0<\lvert x-3\rvert<\delta\implies 0<> 2\lvert x-3\rvert<2\delta=\epsilon\]

이 된다.

또 다른 예시로, 이차함수 \(g(x)=x^2\)을 생각하고 \(x\rightarrow 2\)일 때 이 함수의 극한값이 \(4\)임을 보이자. 우선 이를 위해 위와 마찬가지로

\[\lvert g(x)-L\rvert=\lvert x^2-4\rvert=\lvert x-2\rvert\lvert x+2\rvert\]

를 계산한다. 이 계산에서 핵심적인 것은 \(\lvert x-2\rvert\)가 \(2\) 근방에서는 작은 값이지만, \(\lvert x+2\rvert\)는 그렇게까지 커지지는 않는다는 것이다. 즉, \(\delta\leq 1\)인 곳을 생각하면 여기에서는 \(\lvert x+2\rvert<5\)가 되며, \(\delta>1\)인 곳은 애초에 우리의 관심대상이 아니다. 따라서 \(\delta=\min(1,\epsilon/5)\)로 두면

\(0 < \lvert x-2\rvert < \delta \implies \lvert x^2 - 4\rvert < 5\delta \leq \epsilon\)이 성립한다.

위와 같이, 본질적으로 우리가 \(\epsilon\)을 \(\delta\)에 의해 결정되는 것으로 둘 수 있다는 것이 이 정의의 핵심으로, 위에서의 직관을 이어가자면 어떠한 \(\epsilon>0\)을 가져오더라도 이 조건을 만족할 수 있는 \(\delta>0\)를 찾는 규칙이 바로 우리가 함수의 극한을 증명할 때 하는 일이다.

극한의 성질들

이제 이를 바탕으로 극한의 성질들을 살펴보자. 우선 첫 번째 성질은 극한이 만일 존재한다면 유일하다는 것이다.

명제 4 (극한의 유일성) \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = L\)이고 \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = L'\)이면 \(L = L'\)이다.

증명

결론에 반하여 \(L \neq L'\)이라 가정하자. 그럼 \(\epsilon = \frac{1}{2}\lvert L - L'\rvert > 0\)이다. 이제 정의 2에 의해 각각에 대응하는 \(\delta_1, \delta_2 > 0\)이 존재하여 다음 두 조건

\[0 < \lvert x-a\rvert < \delta_1\implies \lvert f(x) - L\rvert < \epsilon,\qquad 0 < \lvert x-a\rvert < \delta_2\implies\lvert f(x) - L'\rvert < \epsilon\]

을 만족하도록 할 수 있다. 이제 \(\delta = \min(\delta_1, \delta_2)\)로 두면 \(0 < \lvert x-a\rvert < \delta\)인 \(x\)에 대해 삼각부등식으로

\[\lvert L - L'\rvert \leq \lvert L - f(x)\rvert + \lvert f(x) - L'\rvert < \epsilon + \epsilon = \lvert L - L'\rvert\]

이 되어 모순이다. 따라서 \(L = L'\)이다.

한편, 정의 2는 원칙적으로 함수의 극한값의 후보 \(L\)이 주어졌을 때 그 극한값이 실제로 \(L\)이 맞다는 것을 보일 때만 사용할 수 있다. 즉, 이는 함수의 극한값이 무엇인지 알려주는 도구는 아니다. 이를 위해서는 다음 명제가 유용하다.

명제 5 (극한법칙) \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = L\), \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = M\)이라 하자. 그러면

1. \(\displaystyle\lim_{x\to a} \bigl(f(x) + g(x)\bigr) = L + M\),
2. 임의의 상수 \(c\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{x\to a} cf(x) = cL\),
3. \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)g(x) = LM\),
4. \(M \neq 0\)이면 \(\displaystyle\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}\)

이 성립한다.

증명

1. 양수 \(\epsilon > 0\)이 주어졌을 때, \(\epsilon/2\)에 대응하는 \(\delta_1, \delta_2 > 0\)을 각각 \(f, g\)의 극한 정의에서 얻을 수 있다. 그럼 \(\delta = \min(\delta_1,\delta_2)\)로 두면, \(0 < \lvert x-a\rvert < \delta\)일 때

   \[\lvert (f(x)+g(x)) - (L+M)\rvert \leq \lvert f(x)-L\rvert + \lvert g(x)-M\rvert < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon\]

   이다.

2. 만일 \(c=0\)이면 아무런 \(\delta\)를 잡아도 상관없으므로 자명하다. \(c \neq 0\)이면 \(\epsilon/\lvert c\rvert\)에 대응하는 \(\delta\)를 잡으면 된다.

3. 다음의 부등식

   \[\lvert f(x)g(x) - LM\rvert = \lvert f(x)(g(x)-M) + M(f(x)-L)\rvert \leq \lvert f(x)\rvert\,\lvert g(x)-M\rvert + \lvert M\rvert\,\lvert f(x)-L\rvert\]

   을 사용한다. 그럼 직관적으로 \(x\)가 \(a\)로 갈 때 \(\lvert g(x)-M\rvert\)와 \(\lvert f(x)-L\rvert\)는 모두 \(0\)으로 가므로, 만일 그 앞에 붙는 \(\lvert f(x)\rvert, \lvert g(x)\rvert\)들이 유한하다는 것만 보장된다면 위의 1번과 비슷한 계산을 통해 이를 \(\epsilon\)보다 작게 만들 수 있다.

   트릭은 \(\epsilon=1\)로 두고 정의 2를 \(f\)와 \(g\) 각각에 적용하는 것이다. 그럼 적당한 \(\delta_1, \delta_2\)가 존재하여

   \[0<\lvert x-a\rvert<\delta_1\implies 0<\lvert f(x)-L\rvert<1\implies \lvert f(x)\rvert< \lvert L\rvert+1\]

   이도록 할 수 있고, 비슷하게 \(\lvert g(x)\rvert <\lvert M\rvert+1\)이도록 하는 \(\delta\)도 잡을 수 있다. 이제 \(\delta\)를 이들 두 조건과, 다음 두 조건

   $\lvert g(x)-M\rvert < \frac{\epsilon}{2(\lvert L\rvert+1)},\qquad \lvert f(x)-L\rvert < \frac{\epsilon}{2(\lvert M\rvert+1)}$$

   이 모두 성립하도록 잡으면 된다.

4. \(1/g(x) \to 1/M\)을 보인 뒤 3을 적용하면 된다. \(M \neq 0\)이므로 \(a\) 근방에서 \(\lvert g(x)\rvert > \lvert M\rvert/2\)이고,

\[\left\lvert \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{M}\right\rvert = \frac{\lvert g(x)-M\rvert}{\lvert g(x)\rvert\,\lvert M\rvert} < \frac{2}{\lvert M\rvert^2}\lvert g(x)-M\rvert\]

이므로 \(\lvert g(x)-M\rvert\)을 충분히 작게 만들면 된다.

그럼 다음이 성립한다.

따름정리 6 (거듭제곱과 거듭제곱근의 극한) \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = L\)이면

1. 임의의 양의 정수 \(k\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{x\to a} \bigl(f(x)\bigr)^k = L^k\),
2. \(L > 0\)이면 임의의 양의 정수 \(k\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{x\to a} \sqrt[k]{f(x)} = \sqrt[k]{L}\)

이 성립한다.

증명

1. 명제 5 (극한법칙)의 3을 적용하여 \(k\)에 대한 귀납법을 돌리면 된다.

2. 먼저 \(L > 0\)이므로, \(\epsilon_1 = L/2\)에 대응하는 \(\delta_1 > 0\)을 잡으면

   \[0 < \lvert x-a\rvert < \delta_1\implies\lvert f(x)-L\rvert < L/2\]

   이므로 \(f(x) > L/2 > 0\)이다. 한편, 임의의 양의 실수 \(u,v\)에 대해 다음 전개

   \[u - v = \bigl(u^{1/k}-v^{1/k}\bigr)\bigl(u^{(k-1)/k}+u^{(k-2)/k}v^{1/k}+\cdots+v^{(k-1)/k}\bigr)\]

   를 생각하면 우변 둘째 인자의 각 항은 \(\min(u,v)^{(k-1)/k}\)보다 크므로

   \[\bigl\lvert u^{1/k}-v^{1/k}\bigr\rvert \leq \frac{\lvert u-v\rvert}{k\,\min(u,v)^{(k-1)/k}}\]

   가 성립한다. \(따라서\)0 < \lvert x-a\rvert < \delta_1\(이면\)0<L/2 < \min(f(x), L)\(이므로,\)f(x)=u\(,\)L=v$$를 대입하여

   \[\bigl\lvert \sqrt[k]{f(x)}-\sqrt[k]{L}\bigr\rvert \leq \frac{\lvert f(x)-L\rvert}{k\,(L/2)^{(k-1)/k}}\]

   를 얻는다. 이제 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대해 \(k\,(L/2)^{(k-1)/k}\,\epsilon\)에 대응하는 \(\delta_2 > 0\)을 택하고 \(\delta = \min(\delta_1,\delta_2)\)로 두면, \(0 < \lvert x-a\rvert < \delta\)일 때 우변이 \(\epsilon\)보다 작아진다.

이 법칙들을 조합하면 다항함수의 극한은 각 항의 극한으로 분리하여 계산할 수 있다. 핵심은 다음 예시이다.

예시 7 임의의 실수 \(a\)에 대하여,

\[\lim_{x\rightarrow a}x=a\]

이다. 이는 \(\delta=\epsilon\)으로 잡으면 된다. 또, 임의의 실수 \(c\)에 대하여,

\[\lim_{x\rightarrow a}c=c\]

이다. 이는 아무런 \(\delta\)나 잡아도 상관없다.

그럼 임의의 다항함수

\[f(x)=c_nx^n+\cdots +c_1x+c_0\]

에 대하여, 명제 5 (극한법칙)의 첫째 법칙을 연속하여 적용하여

\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x \rightarrow a}c_nx^n+\cdots +\lim_{x\rightarrow a}c_1x+ \lim_{x\rightarrow a} c_0\]

을 얻은 후, 명제 5 (극한법칙)의 둘째 법칙과 따름정리 6 (거듭제곱과 거듭제곱근의 극한)을 적용하여 이를

\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=c_n\lvert(\lim_{x\rightarrow a}x\rvert)^n+\cdots c_1\lim_{x\rightarrow a}x+\lim_{x\rightarrow a}c_0\]

으로 바꾼 후 예시 7을 적용할 수 있다. 비슷한 방식으로, 임의의 다항함수의 비로 이루어진 유리함수의 극한 또한, 분모의 극한이 \(0\)이 아니라면 분자와 분모의 극한을 각각 구한 뒤 그 분수로 얻어진다는 것을 보일 수 있다.

조임정리와 극한의 대소관계

극한법칙만으로 계산되지 않는 극한은 종종 부등식으로 가두어 처리한다. 이 방법의 핵심 도구가 조임정리이다.

명제 8 (조임정리) 실수 \(a\)의 삭제된 근방에서 \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)이고 \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x) = L\)이면 \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = L\)이다.

증명

\(\epsilon > 0\)에 대해, \(g\)와 \(h\)의 극한 정의에서 얻은 \(\delta_1, \delta_2\)와 \(g \leq f \leq h\)가 성립하는 근방의 반지름 \(\delta_3\)을 모아 \(\delta = \min(\delta_1,\delta_2,\delta_3)\)으로 두자. \(0 < \lvert x-a\rvert < \delta\)이면 \(L - \epsilon < g(x) \leq f(x) \leq h(x) < L + \epsilon\)이므로 \(\lvert f(x) - L\rvert < \epsilon\)이다.

부등식과 극한이 어울리는 또 다른 기본 사실은 극한이 대소관계를 보존한다는 것이다.

명제 9 (극한의 대소 보존) \(a\)의 근방에서 (\(a\) 제외) \(f(x) \leq g(x)\)이고 두 극한 \(L = \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\), \(M = \displaystyle\lim_{x\to a}g(x)\)이 존재하면 \(L \leq M\)이다.

증명

\(L > M\)이라 가정하고 \(\epsilon = \frac{1}{2}(L - M) > 0\)으로 두자. 충분히 작은 근방에서 \(f(x) > L - \epsilon = \frac{L+M}{2}\)이고 \(g(x) < M + \epsilon = \frac{L+M}{2}\)이므로 \(f(x) > g(x)\)가 되어 가정에 모순이다. 따라서 \(L \leq M\)이다.

여기서 강한 부등식 \(f < g\)는 강한 부등식 \(L < M\)을 주지 않음에 유의한다. 예컨대 \(f(x) = 0 < x^2 = g(x)\) (\(x \neq 0\)) 이지만 두 극한은 \(x \to 0\)에서 모두 \(0\)으로 같다. 즉 부등식은 극한에서 약해질 수 있다.

압착정리의 가장 유명한 응용은 다음의 삼각함수 극한으로, 미분에서 삼각함수를 다룰 때 결정적으로 쓰인다.

예시 10 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\)이다. \(0 < x < \pi/2\)에서 단위원의 넓이를 비교하면 부등식

\[\frac{1}{2}\sin x \leq \frac{1}{2}x \leq \frac{1}{2}\tan x\]

를 얻는다. 즉 \(\sin x \leq x \leq \tan x\)이다.

이제 위 부등식의 양변을 \(\sin x > 0\)으로 나누고 역수를 취하면

\[\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1\]

임을 안다. 우리의 주장은 \(\cos x \to 1\)이라는 것이다. 이를 위해 삼각함수의 반각공식과 위에서 얻은 \(\sin\frac{x}{2} \leq \frac{x}{2}\)를 쓰면

\[0 \leq \lvert 1 - \cos x\rvert = \left\lvert2\sin^2\frac{x}{2}\right\rvert \leq 2\left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{2}\]

이므로

\[-\frac{x^2}{2}\leq 1 - \cos x \leq \frac{x^2}{2}\]

이며, 조임정리를 적용하면 \(\cos x \to 1\)임을 안다. 이제 이를 이용하여 앞선 부등식에 다시 조임정리를 적용하면 \(\frac{\sin x}{x}\)의 극한값이 \(1\)임을 안다.

다음 예시 또한 고전적이다.

예시 11 \(\displaystyle\lim_{x\to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0\)이다. 이는 \(\bigl\lvert x\sin\frac{1}{x}\bigr\rvert \leq \lvert x\rvert\)이므로

\[-\lvert x\rvert \leq x\sin\frac1x \leq \lvert x\rvert\]

이고, 양 끝이 \(0\)으로 가기 때문이다. 반면 \(\sin\frac1x\) 자체는 \(x \to 0\)에서 극한을 갖지 않는데, \(x\)가 \(0\)에 다가가는 동안 \(-1\)과 \(1\) 사이를 무한히 진동하기 때문이다. 인자 \(x\)가 이 진동을 \(0\)으로 눌러 주는 것이 조임정리의 기여이다.

한쪽 극한과 무한대에서의 극한

지금까지의 극한은 \(x\)가 \(a\)로 양쪽에서 다가가는 경우였다. 다가가는 방향을 한쪽으로 제한하거나, \(x\) 또는 \(f(x)\)가 무한히 커지는 경우로 정의를 확장하면 함수의 모양을 더 세밀하게 기술할 수 있다.

정의 12 실수 \(a\)와 함수 \(f\)에 대해, 적당한 \(c > 0\)에 대하여 \(f\)가 \((a, a+c)\)에서 정의되어 있다고 하자. 실수 \(L\)이 \(x \to a^+\)일 때 \(f\)의 오른쪽 극한_{right limit}이라는 것은, 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대해 어떤 \(\delta > 0\)이 존재하여

\[a < x < a+\delta \implies \lvert f(x) - L\rvert < \epsilon\]

이 성립하는 것이다. 이 때 \(\displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x) = L\)로 적는다. 비슷하게 \(f\)가 \((a-c, a)\)에서 정의되어 있을 때, \(x \to a^-\)일 때의 왼쪽 극한_{left limit}은

\[a-\delta < x < a \implies \lvert f(x) - L\rvert < \epsilon\]

으로 정의하고 \(\displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x) = L\)로 적는다.

극한 \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)\)가 존재하는 것은 두 한쪽 극한이 모두 존재하고 서로 같은 것과 동치이다. 가령 \(f(x) = \dfrac{\lvert x\rvert}{x}\)는 \(x \to 0^+\)에서 \(1\), \(x \to 0^-\)에서 \(-1\)로 두 한쪽 극한이 다르므로 \(x \to 0\)에서의 극한은 존재하지 않는다. 이렇게 두 한쪽 극한이 유한하지만 서로 다른 점을 함수의 도약_jump 불연속점이라 부른다 (§연속함수).

정의 13 실수 \(a\)의 삭제된 근방에서 정의된 함수 \(f\)에 대해, \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \infty\)란 임의의 \(M > 0\)에 대해 어떤 \(\delta > 0\)이 존재하여 \(0 < \lvert x-a\rvert < \delta\)이면 \(f(x) > M\)인 것이다. 비슷하게 \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = -\infty\)란 임의의 \(M > 0\)에 대해 어떤 \(\delta > 0\)이 존재하여 \(0 < \lvert x-a\rvert < \delta\)이면 \(f(x) < -M\)인 것이다.

예컨대 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2} = \infty\)이며, 이 경우 직선 \(x = 0\)을 그래프의 수직점근선_{vertical asymptote}이라 한다.

정의 14 어떤 실수 \(N_0\)보다 큰 \(x\)에서 정의된 함수 \(f\)에 대해, \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = L\)이란 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대해 어떤 \(N > N_0\)이 존재하여 \(x > N\)이면 \(\lvert f(x) - L\rvert < \epsilon\)인 것이다. 비슷하게 어떤 \(N_0\)보다 작은 \(x\)에서 정의된 함수에 대해 \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) = L\)은 \(x < N\)이면 \(\lvert f(x) - L\rvert < \epsilon\)이도록 하는 \(N\)이 존재하는 것이다.

가령 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x} = 0\)이고, 유리함수에서는 최고차항이 거동을 지배하여 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2 + 1}{3x^2 - x} = \frac{2}{3}\)이다. 이러한 유한 극한 \(L\)이 존재하면 직선 \(y = L\)이 그래프의 수평점근선_{horizontal asymptote}이 된다.

예시 15 (부정형의 해소) 직접 대입이 \(\frac00\)을 주면 대수적 변형으로 부정형을 해소한다. 인수분해로

\[\lim_{x\to 2}\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x\to 2}(x + 2) = 4,\]

분자의 유리화로

\[\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac12,\]

그리고 예시 10과 결합하여 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x\to 0}3\cdot\frac{\sin 3x}{3x} = 3\)이다.

수열의 극한

지금까지의 극한 이론에서 정의역은 실수의 부분집합이었다. 정의역을 자연수 집합 \(\mathbb{N}\)으로 제한하면 수열_sequence을 얻고, \(n \to \infty\)로 가는 극한은 앞서 다룬 무한대에서의 함수 극한의 이산적 판본이 된다. 기본적으로 \(\mathbb{N}\)의 원소들은 \(\mathbb{R}\)과는 달리 이산적으로 분포하므로, 수열의 극한을 다룰 때 의미가 있는 것은 \(N\rightarrow\infty\)인 상황 뿐이다. 이러한 관점에서 수열의 극한을 \(\epsilon-N\) 언어로 정리한다.

정의 16 실수열 \((a_n)_{n=1}^\infty\)와 실수 \(L\)에 대해, 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 어떤 자연수 \(N\)이 존재하여

\[n > N \implies \lvert a_n - L \rvert < \epsilon\]

이 성립할 때, \(L\)을 \(n \to \infty\)일 때 \(a_n\)의 극한_limit이라 하고 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = L\)로 적는다.

정의의 뜻은 분명하다. 어떤 오차 허용치 \(\epsilon\)이 주어져도, 그 이후의 모든 항이 \(L\)에서 \(\epsilon\) 이내에 들어오도록 하는 지점 \(N\)을 찾을 수 있다는 것이다. 고등학교에서 익힌 “\(n\)이 커질수록 \(a_n\)이 \(L\)에 가까워진다”는 말을 정확히 만든 것이 \(\epsilon-N\) 정의이며, 이는 앞서 본 무한대에서의 함수 극한 정의를 정의역 \(\mathbb{N}\)에 적용한 것에 불과하다.

예시 17 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\)임을 확인하자. 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대해 \(N > \frac{1}{\epsilon}\)인 자연수 \(N\)을 택하면, \(n > N\)일 때 \(\frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \epsilon\)이므로 \(\bigl\lvert \frac{1}{n}-0\bigr\rvert < \epsilon\)이다.

그럼 다음은 명제 5 (극한법칙)의 analogue로, 그 증명 또한 거의 동일하다.

명제 18 (수열의 극한법칙) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = L\), \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = M\)이라 하자. 그러면

1. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \bigl(a_n + b_n\bigr) = L + M\),
2. 임의의 상수 \(c\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} c\,a_n = cL\),
3. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n b_n = LM\),
4. \(M \neq 0\)이고 모든 \(n\)에 대해 \(b_n \neq 0\)이면 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{L}{M}\)

이 성립한다.

이로써 극한의 정의와 기본 도구를 갖추었다. 다음 글 §연속함수에서는 극한을 이용하여 함수의 연속을 정의하고, 연속함수가 갖는 성질들을 다룬다. 한편 본 글에서 직관적으로 다룬 실수의 “빈틈 없음”이 왜 극한 이론을 떠받치는지 — 예컨대 단조유계수열이 왜 수렴하는지 — 는 해석학에서 §실수의 완비성으로 엄밀히 정초된다.