평균값 정리

§미분과 도함수에서 우리는 도함수의 정의를 살펴보았다. 이제 우리는 도함수가 함수에 대해 어떤 정보를 담고 있는지를 살펴볼 것이며, 그 첫 단추는 평균값정리이다.

롤의 정리와 평균값 정리

정의 1 함수 \(f\)가 점 \(c\)에서 극댓값_{local maximum}을 가진다는 것은, \(c\)를 포함하는 어떤 열린구간 안의 모든 \(x\)에 대해 \(f(x) \leq f(c)\)인 것이다. 극솟값_{local minimum}도 대칭적으로 정의하며, 둘을 통틀어 극값_{local extremum}이라 한다.

즉, 직관적으로 \(c\)가 극대 혹은 극소라는 것은 \(c\) 주변 충분히 작은 근방을 고려하면 그 근방 안에서 점 \(c\)의 함숫값이 최소 혹은 최대가 되는 것처럼 보인다는 것이다. 이에 대한 가장 간단한 주장은 다음과 같다.

정리 2 (Fermat) \(f\)가 내부의 점 \(c\)에서 극값을 가지고 \(c\)에서 미분가능하면 \(f'(c) = 0\)이다.

증명

\(c\)가 극댓값인 경우를 보자 (극솟값은 \(-f\)를 보면 된다). \(c\) 근방에서 \(f(x) \leq f(c)\)이므로, 평균변화율 \((f(c+h)-f(c))/h\)의 분자는 \(0\) 이하이다. 따라서 \(h > 0\)인 쪽에서 평균변화율은 \(0\) 이하이고 그 극한은 \(f'(c) \leq 0\)이며, \(h < 0\)인 쪽에서 평균변화율은 \(0\) 이상이고 그 극한은 \(f'(c) \geq 0\)이다. 이제 \(f\)가 \(c\)에서 미분가능하기 위해서는 두 한쪽 극한이 같아야 하므로 \(f'(c) = 0\)이다.

도함수가 \(0\)이거나 존재하지 않는 점을 임계점_{critical point}이라 한다. 페르마 정리는 미분가능한 함수의 내부 극값이 반드시 임계점에서 일어남을 말한다. 단, 역은 거짓이다. 가령, \(f(x) = x^3\)은 \(x = 0\)에서 \(f'(0) = 0\)이지만 극값을 갖지 않는다.

정리 3 (Rolle) \(f\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a,b)\)에서 미분가능하며 \(f(a) = f(b)\)이면, \(f'(c) = 0\)인 \(c \in (a,b)\)가 존재한다.

증명

\(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이므로 §연속함수, ⁋정리 4 (최대·최소 정리)에 의해 \([a,b]\)에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 두 값이 모두 끝점에서만 일어난다면, \(f(a) = f(b)\)이므로 최댓값과 최솟값이 같아 \(f\)는 상수이고 모든 내부 점에서 \(f' = 0\)이다. 그렇지 않으면 최댓값이나 최솟값 중 적어도 하나가 내부 점 \(c\)에서 일어나며, 그 점은 극값이므로 정리 2 (Fermat)에 의해 \(f'(c) = 0\)이다.

정리 4 (Mean Value Theorem) \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분가능하면

\[f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

를 만족하는 \(c \in (a,b)\)가 존재한다.

증명

두 끝점을 잇는 직선을 빼서 정리 3 (Rolle)를 적용한다. 보조함수

\[g(x) = f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x - a) \right]\]

를 두면 \(g\)는 \([a,b]\)에서 연속, \((a,b)\)에서 미분가능하고 \(g(a) = g(b) = 0\)이다. 정리 3 (Rolle)에 의해 \(g'(c) = 0\)인 \(c \in (a,b)\)가 있고, \(g'(c) = f'(c) - (f(b)-f(a))/(b-a)\)이므로 정리가 따른다.

정리 4 (Mean Value Theorem)의 주장은 구간 위 어딘가에서 순간변화율이 평균변화율과 같다는 것으로, 구간 끝의 정보 \(f(a), f(b)\)를 내부의 도함수와 연결짓는다.

평균값 정리의 응용

이제 우리는 이번 글의 나머지 부분과 다음 글에서 본격적으로 함수의 모양이 어떻게 §평균값 정리와 테일러 정리, ⁋정리 3로부터 결정되는지를 살펴보자. 우선 가장 간단한 예시로, 모든 점에서 도함수가 \(0\)인 함수는 상수함수이다.

따름정리 5 \(f\)가 구간 \(I\)에서 미분가능하고 모든 점에서 \(f'(x) = 0\)이면, \(f\)는 \(I\)에서 상수이다. 따라서 \(f' = g'\)이면 \(f - g\)는 상수이다.

증명

\(I\)의 임의의 두 점 \(x_1 < x_2\)에 대해, 정리 4 (Mean Value Theorem)를 \([x_1, x_2]\)에 적용하면 \(f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) = 0\)인 \(c\)가 있다. 따라서 \(f(x_1) = f(x_2)\)이고 \(f\)는 상수이다. 둘째 주장은 \(f - g\)의 도함수가 \(0\)임에서 따른다.

다음은 정리 4 (Mean Value Theorem)의 일반화로, 정리 4 (Mean Value Theorem)가 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)=x\)의 커지는 정도를 비교한 결과였다면 다음 정리는 \(g(x)\)를 일반적인 경우로 확장한 것이다.

정리 6 (Cauchy) \(f, g\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분가능하면

\[\bigl(f(b) - f(a)\bigr)g'(c) = \bigl(g(b) - g(a)\bigr)f'(c)\]

를 만족하는 \(c \in (a,b)\)가 존재한다. 특히 \(g(a) \neq g(b)\)이고 \(g' \neq 0\)이면 \((f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(c)/g'(c)\)이다.

증명

보조함수 \(h(x) = \bigl(f(b)-f(a)\bigr)g(x) - \bigl(g(b)-g(a)\bigr)f(x)\)를 두면 \(h(a) = h(b) = f(b)g(a) - f(a)g(b)\)로 같다. 정리 3 (Rolle)에 의해 \(h'(c) = 0\)인 \(c \in (a,b)\)가 있고, 이것이 곧 주장하는 등식이다.

정리 6 (Cauchy)에서 \(g(x) = x\)로 두면 \(g'(c) = 1\), \(g(b) - g(a) = b - a\)가 되어 정리 4 (Mean Value Theorem)가 다시 얻어진다.

이러한 형태의 정리가 가장 자주 응용되는 형태는 도함수의 부호로 함수의 증감을 읽어 내는 것이다. 함숫값의 차이 \(f(x_2) - f(x_1)\)을 \(f'(c)(x_2 - x_1)\)로 바꾸면, 도함수의 부호가 곧 이 값의 부호를 결정하기 때문이다.

명제 7 \(f\)가 구간 \(I\)에서 미분가능하다고 하자. 만일 \(I\)의 모든 내부 점에서 \(f'(x) > 0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 순증가하고, \(f'(x) < 0\)이면 순감소한다. 더 약하게, 만일 \(f'(x) \geq 0\)이면 \(f\)는 감소하지 않는다.

증명

\(I\)의 임의의 두 점 \(x_1 < x_2\)를 택하면, 정리 4 (Mean Value Theorem)를 \([x_1, x_2]\)에 적용하여

\[f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1), \qquad c \in (x_1, x_2)\]

인 \(c\)를 얻는다. 여기서 \(x_2 - x_1 > 0\)이므로 우변의 부호는 \(f'(c)\)의 부호와 일치한다. 따라서 모든 점에서 \(f' > 0\)이면 \(f(x_2) - f(x_1) > 0\), 곧 \(f(x_1) < f(x_2)\)이므로 순증가이고, \(f' < 0\)이면 같은 방식으로 순감소이며, \(f' \geq 0\)이면 \(f(x_2) - f(x_1) \geq 0\)이므로 감소함수가 아니다.

이 판정은 도함수가 함수를 통제한다는 사실의 가장 실용적인 형태이다. 주의할 점은 순증가가 모든 점에서 \(f' > 0\)임을 강제하지는 않는다는 것이다. 가령, \(f(x) = x^3\)은 \(\mathbb{R}\)에서 순증가하지만 \(f'(0) = 0\)이다. 즉 명제 7의 첫 부분은 충분조건일 뿐 필요조건은 아니다.

예시 8 이제 이 결과를 이용하는 예시를 보기 위해 모든 \(x > 0\)에 대해 \(\ln(1 + x) < x\)임을 보이자. 우선 \(f(x) = x - \ln(1+x)\)로 두면 \(f(0) = 0\)이고

\[f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x} > 0 \qquad (x > 0)\]

이다. 명제 7에 의해 \(f\)는 \([0, \infty)\)에서 순증가하므로, \(x > 0\)이면 \(f(x) > f(0) = 0\), 곧 \(x > \ln(1+x)\)이다. 비슷하게, \(g(x) = \ln(1+x) - x/(1+x)\)에 같은 논법을 쓰면 \(g(0) = 0\)이고 \(g'(x) = x/(1+x)^2 > 0\)이라 \(x/(1+x) < \ln(1+x)\)도 나오므로, 합쳐서

\[\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x \qquad (x > 0)\]

임을 안다.

한편, 정리 4 (Mean Value Theorem)의 등식 \(f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)\)를 보는 관점을 다소 바꾸면, 구간 \([a,b]\)에서의 \(f'(x)\)의 최솟값과 최댓값이 함숫값의 차이를 통제한다는, 보다 정량적인 결과를 얻는다.

명제 9 \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속, \((a,b)\)에서 미분가능하고 모든 \(x\)에서 \(m \leq f'(x) \leq M\)이면

\[m(b - a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b - a)\]

이다. 특히 \(\lvert f'(x)\rvert \leq L\)이면 \(\lvert f(b) - f(a)\rvert \leq L\lvert b - a\rvert\)이다.

증명

정리 4 (Mean Value Theorem)로 \(f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)\)인 \(c \in (a,b)\)를 잡는다. 가정에서 \(m \leq f'(c) \leq M\)이고 \(b - a > 0\)이므로 세 변에 \(b - a\)를 곱하면

\[m(b-a) \leq f'(c)(b-a) \leq M(b-a)\]

이고 가운데 항이 \(f(b) - f(a)\)이다. 둘째 주장은 \(-L \leq f'(x) \leq L\)에 같은 부등식을 적용하여 \(\lvert f(b) - f(a)\rvert \leq L(b-a)\)를 얻는 것이다.

한편, 정리 3 (Rolle)는 도함수의 근의 개수로 함수의 근의 개수를 위에서 묶는 데도 쓰인다. 이는 함수의 서로 다른 두 근 사이마다 도함수의 근이 적어도 하나 끼어 있어야 하기 때문이다.

즉, 직관적으로 함수가 근을 가진 후, 다음 근을 가지기 위해서는 진행하는 방향을 꺾어서 다시 함숫값이 \(0\)으로 돌아와야 하며, 이것이 도함수가 \(0\)이 되는 지점으로 계산되는 것이다. 이를 더 수학적으로 명확하게 적으면 다음과 같다.

명제 10 (근의 분리) \(f\)가 구간 \(I\)에서 미분가능하고 \(f'\)이 \(I\)에서 많아야 \(k\)개의 근을 가지면, \(f\)는 \(I\)에서 많아야 \(k + 1\)개의 근을 가진다.

증명

\(f\)가 \(I\)에서 서로 다른 근 \(x_0 < x_1 < \cdots < x_k < x_{k+1}\)을 \(k + 2\)개 가진다고 가정하고 모순을 이끈다. 각 인접한 쌍 \([x_{i-1}, x_i]\)에서 \(f(x_{i-1}) = f(x_i) = 0\)이므로 정리 3 (Rolle)에 의해

\[f'(c_i) = 0, \qquad c_i \in (x_{i-1}, x_i)\]

인 \(c_i\)가 있다. 이렇게 얻은 \(c_1 < c_2 < \cdots < c_{k+1}\)은 서로 다른 \(k + 1\)개의 점이고 모두 \(f'\)의 근이므로, \(f'\)이 많아야 \(k\)개의 근을 가진다는 가정에 모순이다. 따라서 \(f\)의 근은 많아야 \(k + 1\)개이다.

이 원리는 다항식이 아닌 함수의 근의 개수를 다룰 때 특히 유용한데, 일반적으로 다항식은 인수분해라는 강한 도구를 통해 근을 파악하는 방법이 (항상은 아닐지라도) 존재하지만, 임의의 함수는 이 작업이 그리 자명하지 않기 때문이다. 다음 예시에서 우리는 인수분해되지 않는 다항식을 통해 이 과정이 어떻게 이루어지는지 살펴본다.

예시 11 방정식 \(x^3 + x - 1 = 0\)의 실근이 정확히 하나임을 보이자. \(f(x) = x^3 + x - 1\)로 두면 \(f(0) = -1 < 0\)이고 \(f(1) = 1 > 0\)이므로, §연속함수, ⁋정리 5 (중간값 정리) 에 의해 \((0, 1)\)에 근이 적어도 하나 있다. 한편

\[f'(x) = 3x^2 + 1 > 0 \qquad (\text{모든 } x)\]

이므로 \(f'\)은 근을 갖지 않는다. 명제 10 (근의 분리)에서 \(k = 0\)이면 \(f\)의 근은 많아야 한 개이다. 적어도 하나이면서 많아야 하나이므로, 실근은 정확히 하나이다.