미분과 도함수

우리는 §연속함수에서 함수가 연속이라는 것을 앞서 도입한 \(\epsilon-\delta\)의 언어로 재정립했다. 이제 자연스러운 흐름은 함수의 미분을 정의하는 것이다.

미분계수의 정의

두 점 \((a, f(a))\)와 \((x, f(x))\)를 잇는 직선의 기울기는 평균변화율 \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a}\)이며, 이 때 \(x\)를 \(a\)로 보내는 극한을 취하면 미분계수를 얻는다.

정의 1 함수 \(f\)가 점 \(a\)에서 미분가능_{differentiable}하다는 것은 극한

\[f'(a) := \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]

이 존재하는 것이다. 이 값 \(f'(a)\)를 \(f\)의 \(a\)에서의 미분계수_derivative라 부른다. \(f\)가 정의역의 모든 점에서 미분가능하면, \(a \mapsto f'(a)\)로 정의되는 함수 \(f'\)를 \(f\)의 도함수_{derivative function}라 한다.

두 표현은, 당연히, \(x=a+h\)로 두면 같은 것임이 자명하며, 위의 평균변화율에 대한 논의에 의해 미분계수 \(f'(a)\)는 점 \((a, f(a))\)에서 그래프에 그은 접선의 기울기이다. 한편 임의의 직선은 기울기와 그 위의 한 점에 의해 완벽하게 결정되며, 특히 이 접선은 \((a,f(a))\)를 지난다는 것이 이미 주어진 것이므로 점 \(a\)에서 미분가능한 함수의 접선은

\[y = f(a) + f'(a)(x - a)\]

로 주어진다. 이 일차함수는 \(a\) 근방에서 \(f\)를 가장 잘 근사하여, \(h\)가 작을 때 \(f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h\)로 쓴다. 도함수는 라이프니츠를 따라

\[\frac{df}{dx},\qquad \frac{d}{dx}f\]

등으로도 적지만, 미적분학에서는 \(f'\) 표기로 충분할 때가 많다.

정의를 직접 적용하면, 가령 \(f(x) = x^2\)의 평균변화율은 \(\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = 2a + h\)이므로 \(f'(a) = 2a\)이고, 상수함수의 도함수는 항상 \(0\)이다. 같은 방식으로 \(f(x) = 1/x\) (\(x \neq 0\)) 는 평균변화율을 통분하여 \(f'(a) = -1/a^2\)을, \(f(x) = \sqrt x\) (\(x > 0\)) 는 분자를 유리화하여 \(f'(a) = 1/(2\sqrt a)\)을 준다.

미분가능성과 연속성

미분가능은 연속보다 강한 조건이다.

명제 2 \(f\)가 \(a\)에서 미분가능하면 \(f\)는 \(a\)에서 연속이다.

증명

\(x \neq a\)에서

\[f(x) - f(a) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)\]

이다. \(x \to a\)일 때 우변의 첫 인자는 \(f'(a)\)로, 둘째 인자는 \(0\)으로 수렴하므로, §함수의 극한, ⁋명제 5 (극한법칙)에 의해

\[\lim_{x\to a}\bigl(f(x)-f(a)\bigr) = f'(a)\cdot 0 = 0\]

이다. 따라서 \(f\)는 \(a\)에서 연속이다.

그러나 그 역은 성립하지 않는다. 대표적인 예가 \(f(x) = \lvert x\rvert\)로, 이 함수는 \(0\)에서 연속이지만 미분가능하지 않다.

실제로

\[\frac{f(h)-f(0)}{h} = \frac{\lvert h\rvert}{h}=\begin{cases}1&\text{if $h>0$}\\-1&\text{if $h<0$}\end{cases}\]

이므로, 이 함수의 미분계수는 \(h \to 0^+\)일 때 \(1\), \(h \to 0^-\)일 때 \(-1\)로, 한쪽 극한이 서로 달라 극한이 존재하지 않는다.

비슷한 예시로, \(f(x) = \sqrt[3]{x}\)는 \(0\)에서 평균변화율이 \(h^{-2/3} \to \infty\)로 발산하는 수직접선_{vertical tangent}을 갖는다.

이를 \(f(x) = x^{2/3}\)는 \(0\)에서 좌우 평균변화율이 \(\mp\infty\)로 갈라지는 첨점_cusp을 이룬다.

이들은 한두 점에서만 미분 불가능한 예이지만, 미분 불가능성은 훨씬 더 심할 수도 있어서 바이어슈트라스의 함수 \(W(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)\)처럼 \(\mathbb{R}\) 전체에서 연속이면서 어느 점에서도 접선을 갖지 않는 함수마저 존재한다.

거꾸로 미분가능성은 한 점에서만 성립할 수도 있는 국소적 성질이어서, 다음과 같은 형태의 극단적인 예시도 가능하다.

예시 3 (한 점에서만 미분가능한 함수) 함수

\[f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 & (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases}\]

를 보자. \(a \neq 0\)에서는 \(a\)에 수렴하는 유리수열과 무리수열을 따라 함숫값이 각각 \(a^2\)과 \(0\)으로 갈라지므로 \(f\)는 불연속이고, 명제 2의 대우에 의해 미분가능하지 않다. 반면 \(0\)에서는 \(\lvert f(x)\rvert \leq x^2\)이라 연속이며, 평균변화율이

\[\left\lvert \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \right\rvert = \frac{\lvert f(x)\rvert}{\lvert x\rvert} \leq \lvert x\rvert \to 0\]

이므로 \(f'(0) = 0\)이 존재한다. 즉 \(f\)는 오직 \(0\)에서만 미분가능하다.

미분의 성질

한편, 도함수는 결국엔 평균변화율이라는 함수의 극한이므로, §함수의 극한, ⁋명제 5 (극한법칙)으로부터 미분도 선형성을 갖는다는 것을 증명할 수 있다.

명제 4 \(f, g\)가 \(a\)에서 미분가능하고 \(c\)가 상수이면, \(f + g\)와 \(cf\)도 \(a\)에서 미분가능하고

\[(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a), \qquad (cf)'(a) = c\,f'(a)\]

이다.

증명

평균변화율이

\[\frac{(f+g)(a+h)-(f+g)(a)}{h} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h} + \frac{g(a+h)-g(a)}{h}\]

로 갈라지고, 각 항이 \(f'(a), g'(a)\)로 수렴하므로 극한법칙에 의해 합도 수렴한다. \(cf\)도 평균변화율 식을 살펴보면 동일한 결과를 얻는다.

한편 도함수 \(f'\)도 다시 함수이므로, 그것이 미분가능하면 또 미분할 수 있다.

정의 5 \(f\)의 도함수 \(f'\)이 미분가능하면 그 도함수를 이계도함수 \(f'' = (f')'\)라 한다. 이를 반복하여 \(n\)번 미분한 것을 \(n\)계도함수 \(f^{(n)}\)이라 하며, \(f^{(0)} = f\)로 둔다. 어떤 구간에서 \(f^{(n)}\)이 존재하고 연속이면 \(f\)가 그 구간에서 \(C^n\)급이라 하고, 모든 계의 도함수가 존재하면 \(C^\infty\)급 또는 매끄럽다_smooth고 한다.

이계도함수 \(f''\)은 변화율의 변화율로, \(f\)가 위치라면 \(f''\)은 가속도이다. 또 \(f''\)의 부호는 그래프가 굽는 방향(볼록·오목)을 알려 준다. 이번 글에서 우리는 구체적인 함수를 미분하는 것을 목표로 하지 않지만, 다음 글에서 우리는 다항함수와 \(\sin, \cos, \exp\) 등의 함수가 매끄러움을 보게 될 것이다.

마지막으로, 극한이 좌우에서 일치할 때에만 존재하듯, 미분계수의 존재도 좌우 평균변화율의 극한이 일치하는지에 달려 있다. 이를 떼어 정의해 두면 모서리·끝점에서의 미분가능성을 정밀하게 다룰 수 있다.

정의 6 함수 \(f\)의 점 \(a\)에서의 우미분계수_{right-hand derivative}와 좌미분계수_{left-hand derivative}를 각각

\[f'_+(a) := \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}, \qquad f'_-(a) := \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]

로 정의한다. 두 한쪽 미분계수가 모두 존재하고 서로 같으면, 그리고 오직 그때에만, \(f\)는 \(a\)에서 미분가능하고 그 공통값이 \(f'(a)\)이다.

이는 양쪽 극한이 일치할 때에만 극한이 존재한다는 사실 (§함수의 극한)을 평균변화율에 적용한 것에 지나지 않는다. 절댓값함수 \(f(x) = \lvert x\rvert\)를 다시 보면 \(f'_+(0) = 1\), \(f'_-(0) = -1\)로 둘이 달라 \(0\)에서 미분 불가능함이 곧바로 확인된다. 한쪽 미분계수는 정의역의 끝점에서 미분가능성을 논할 때에도 자연스럽게 쓰이는데, 가령 \([0, \infty)\)에서 정의된 \(f(x) = \sqrt x\)의 \(0\)에서의 거동은 우미분계수로만 의미를 갖는다.