수열의 극한

우리는 본격적으로 미적분학을 시작하기 전에 우선 수열의 극한을 정의한다. 여기서 수열_sequence \((a_n)\)이란 자연수에 실수를 대응시키는 함수, 즉 \(a : \mathbb{N} \to \mathbb{R}\)을 그 값들 \(a_1, a_2, a_3, \ldots\)의 나열로 본 것이다. §함수의 극한에서 우리는 이미 \(x \to \infty\)일 때 함수가 어떻게 행동하는지를 다루었는데, 수열의 극한은 그 이산적 버전, 즉 변수가 자연수만 취하는 경우에서 \(n \to \infty\)로만 가는 경우로 생각할 수 있다.

수열의 수렴

정의 1 실수열 \((a_n)_{n=1}^\infty\)와 실수 \(L\)에 대해, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대하여 어떤 자연수 \(N\)이 존재하여

\[n > N \implies \lvert a_n - L \rvert < \varepsilon\]

이 성립할 때, \(L\)을 \(n \to \infty\)일 때 \(a_n\)의 극한_limit이라 하고 \(\lim_{n\to\infty} a_n = L\)로 적는다.

이 정의는 §함수의 극한, ⁋정의 14를 거의 그대로 가져온 것으로, 수열은 그 정의에 의해 변수가 자연수뿐이고 한 방향(\(+\infty\))으로만 가므로, 수열의 극한을 정의하는 거의 유일한 방법은 이것 뿐이다. 약간의 변종은 수열이 무한대로 발산하는 것으로, 이는 §함수의 극한, ⁋정의 13을 약간 변형하면 어떻게 정의해야 할지 자명하다. 그러나 물론, 특정한 값으로 수렴하는 수열과 무한대로 발산하는 수열이 아닌 다른 종류의 수열도 존재한다 (예시 12 (발산하는 수열))

예시 2 이 예시에서 우리는 \(a_n=1/n\)이 \(0\)으로 수렴하는 것과, \(b_n=n\)이 무한대로 발산하는 것을 보인다.

우선 첫째 극한의 경우, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(N > 1/\varepsilon\)인 자연수 \(N\)을 택하면,

\[n > N\implies 1/n < 1/N < \varepsilon\]

이므로 \(\lvert 1/n\rvert < \varepsilon\)가 되어 증명이 완료된다.

또, 수열 \(b_n = n\)은 발산한다. 이를 확인하기 위해서는 임의의 실수 \(M\)에 대해 \(N = \lfloor M\rfloor\)로 잡으면

\[n > N\implies b_n = n > M\]

임을 확인하면 된다.

한편, 다음 명제 또한 §함수의 극한, ⁋명제 5 (극한법칙)의 증명과 동일한 방식으로 진행하면 충분하다.

명제 3 (수열의 극한법칙) 두 수열 \(a_n\), \(b_n\)이 수렴하고, 그 수렴값을

\[\lim_{n\to\infty} a_n = L, \qquad \lim_{n\to\infty} b_n = M\]

이라 하자. 그러면

1. \(\lim (a_n + b_n) = L + M\),
2. 임의의 상수 \(c\)에 대해 \(\lim c\,a_n = cL\),
3. \(\lim a_n b_n = LM\),
4. \(M \neq 0\)이고 모든 \(n\)에 대해 \(b_n \neq 0\)이면 \(\lim a_n/b_n = L/M\)

이 성립한다.

극한의 성질

수열 \((a_n)\)에 대해 모든 \(n\)에서 \(\lvert a_n\rvert \leq M\)인 양수 \(M\)이 존재하면 \((a_n)\)을 유계_bounded라 한다. 수렴하는 수열은 앞의 유한개의 항을 제외하면 항상 수렴하는 점 근처로 모이므로 유계이다.

명제 4 수렴하는 수열은 유계이다.

증명

\(a_n \to L\)이면 \(\varepsilon = 1\)에 대응하는 \(N\)을 잡았을 때 \(n \geq N\)에서 \(\lvert a_n\rvert \leq \lvert L\rvert + 1\)이다. 나머지 유한개 항을 포함하여 \(M = \max\{\lvert a_1\rvert, \ldots, \lvert a_{N-1}\rvert, \lvert L\rvert + 1\}\)로 두면 모든 \(n\)에서 \(\lvert a_n\rvert \leq M\)이다.

수렴하는 수열의 기본 성질들 또한 명제 3 (수열의 극한법칙)에서 그러했듯 함수의 극한에서의 증명을 그대로 베껴와서 얻어진다. 가령 다음은 §함수의 극한, ⁋명제 8 (조임정리)의 수열 버전이다.

명제 5 (조임정리) 충분히 큰 모든 \(n\)에서 \(a_n \leq c_n \leq b_n\)이고 \(a_n \to L\), \(b_n \to L\)이면 \(c_n \to L\)이다.

그럼 다음의 간단하지만 유용한 결과를 얻을 수 있다.

명제 6 (비율 판정) 실수열 \(a_n\)이 모든 \(n\)에 대해 \(a_n > 0\)을 만족하고, 인접항의 비로 이루어진 수열이 \(a_{n+1}/a_n\)이 \(1\)보다 작은 값 \(L\)로 수렴하면 \(a_n \to 0\)이다.

증명

\(L < r < 1\)인 \(r\)를 고르면, 충분히 큰 \(n \geq N\)에서 \(a_{n+1}/a_n < r\)이므로 \(a_{N+k} < r^k a_N\)이다. \(0 < r < 1\)이라 \(r^k \to 0\)이고, 조임정리로 \(a_n \to 0\)이다.

이와 비슷하게, 실제 계산에서 많이 쓰이는 결과들을 다음 예시로 모아둔다.

예시 7 다음은 수열의 극한의 기본 예시들이다.

1. \(p > 0\)에 대해 \(1/n^p \to 0\)이 성립한다. 이는 \(n \geq 1\)에서 \(n^p \geq n\)이므로 \(0 < 1/n^p \leq 1/n \to 0\)이고, 따라서 명제 5 (조임정리)를 적용하면 된다.

2. 더 일반적으로, 같은 차수를 갖는 다항식의 비는 최고차항의 비에 의해 결정된다.

   \[\frac{a_k n^k + \cdots}{b_k n^k + \cdots}\]

   의 분자·분모를 \(n^k\)으로 나누면 분자·분모 모두 유한개의 \(1/n^j\) 항과 상수항으로 이루어진다. 그럼 이 때 \(1/n^j \to 0\)이므로 분자와 분모는 각각 최고차항의 계수로 수렴하는 것을 알 수 있다. 만일 분모가 분자보다 큰 차수를 갖는다면 명제 5 (조임정리)와 앞선 1번에 의하여 이 비율이 \(0\)으로 수렴함을 알 수 있고, 비슷하게 분자가 분모보다 큰 차수를 갖는다면 이 비율이 발산함을 알 수 있다.

3. \(\lvert r\rvert < 1\)이면 \(r^n \to 0\)이다. 이를 확인하기 위해, 적당한 \(h>0\)에 대해 \(\lvert r\rvert = 1/(1+h)\)이라 하자. 그럼 이항정리를 사용하면 \((1+h)^n \geq 1 + nh\)이고, 따라서

   \[\lvert r\rvert^n = \frac{1}{(1+h)^n} \leq \frac{1}{1+nh} \to 0\]

   이다. 여기서 마지막의 수렴은 위 2번의 결과를 사용하였다. 만일 \(r=1\)인 경우 이 수열은 항상 \(1\)이므로 \(1\)로 수렴하는 것이 자명하며, 만일 \(\lvert r\rvert > 1\)이면 비슷하게 \(r=1+h\)라 했을 때

   \[\lvert r\rvert^n =(1+h)^n \geq 1+nh\]

   이므로 어떠한 \(M\)을 잡아오더라도 \(n\)을 충분히 키우기만 하면 \(\lvert r\rvert^n\)을 \(M\)보다 커지게 할 수 있고, 따라서 \(\lvert r\rvert^n\)은 발산한다.

4. \(n^{1/n} \to 1\)이다. 이를 확인하기 위해 \(n^{1/n} = 1 + h_n\) ( \(h_n \geq 0\))으로 두면 이항정리로

   \[n = (1+h_n)^n \geq \binom{n}{2}h_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}h_n^2\]

   이므로 \(h_n^2 \leq 2/(n-1) \to 0\), 즉 \(h_n \to 0\)이기 때문이다.

5. \(r > 1\), \(p > 0\)에 대해 \(n^p/r^n \to 0\)이 성립한다. 이는 명제 6 (비율 판정)에 의하여, 인접한 항의 비가

   \[\frac{(n+1)^p}{r^{n+1}}\cdot\frac{r^n}{n^p} = \frac{1}{r}\left(1+\frac{1}{n}\right)^p \to \frac{1}{r} < 1\]

   이므로 바로 얻어진다.

6. 비슷하게, \(r > 1\), \(p > 0\)에 대해 수열 \(r^n/n!\)의 인접한 항의 비는 \(r/(n+1) \to 0 < 1\)이므로 같은 이유로 \(0\)이다.

단조수렴정리

한편, 다음 명제를 증명하기 위해서는 해석학의 지식이 필요하므로 현재 우리가 증명하는 것은 불가능하지만, 그 결과 자체는 유용하므로 미리 받아들이기로 한다.

명제 8 (단조수렴) 위로 유계인 증가수열과 아래로 유계인 감소수열은 수렴한다. (증가수열의 극한은 그 항들의 상한이다.)

이에 대한 가장 유용한 활용은 다음 자연상수의 존재성 증명이다.

예시 9 (자연상수 \(e\)) 수열 \(a_n = (1 + 1/n)^n\)은 증가하며 위로 유계이고, 따라서 명제 8 (단조수렴)에 의해 수렴한다.

우선 이 수열이 증가수열임을 보이자. 우선 \(n\)개의 \(1+1/n\)과 하나의 \(1\)에 대하여 산술기하평균 부등식을 적용하면, 산술평균은

\[\frac{n(1+1/n)+1}{n+1} = \frac{n+2}{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1}\]

이고 기하평균은 \(((1+1/n)^n\cdot)^{1/(n+1)}=a_n^{1/(n+1)}\)이므로

\[a_n \leq \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} = a_{n+1}\]

가 되며, 뿐만 아니라 등호조건에서 \(n+1\)개의 수가 모두 같지 않으므로, 등호가 성립하지 않는 부등식 \(a_n < a_{n+1}\)을 얻을 수 있다.

이제 이 함수가 위로 유계임을 보이기 위해, 이항정리로

\[a_n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\]

임을 관찰하자. 각 항은

\[\binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \leq \frac{1}{k!}\]

이며, \(k! \geq 2^{k-1}\) ( \(k \geq 1\) ) 이므로

\[a_n \leq \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \leq 1 + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k-1}} = 3\]

이다. 이 수열의 극한을 자연상수 \(e = 2.718\ldots\)로 정의한다.

부분수열

한편, 수열의 수렴 여부를 분석할 때, 수열의 일부 항만 골라 뽑은 새 수열을 보는 것이 유용하다.

정의 10 수열 \((a_n)\)과 자연수의 순증가 수열 \(n_1 < n_2 < n_3 < \cdots\)이 주어졌을 때, 새 수열 \((a_{n_k})_{k\geq 1}\)을 \((a_n)\)의 부분수열_subsequence이라 한다.

설명은 복잡하게 해 두었지만, 수열 \(a_n\)에서 index의 순서를 유지한 상태로 일부 항만 택하는 것, 혹은 원래 수열에서 건너뛰며 항을 고르는 것이다. 그렇다면, 원래 수열이 특정 값으로 수렴한다면 이 수열의 임의의 부분수열도 그 값으로 수렴한다는 것이 직관적으로 자명할 것이다.

명제 11 만일 수열 \(a_n\)이 \(L\)로 수렴하면 모든 부분수열 \((a_{n_k})\)도 \(L\)로 수렴한다.

증명

임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(n \geq N\)이면 \(\lvert a_n - L\rvert < \varepsilon\)인 \(N\)을 잡자. 그럼 정의에 의해 \(n_k \geq k\)이고, 따라서 \(k \geq N\)이면 \(n_k \geq N\)이라

\[\lvert a_{n_k} - L\rvert < \varepsilon\]

이다. 즉 \(a_{n_k} \to L\)이다.

이 명제의 실제 유용성은 어떠한 수열이 수렴한다는 것을 보일 때보다, 어떠한 수열이 수렴하지 않는다는 것을 보일 때 특히 유용하다. 위 명제의 대우명제에 의하여, 서로 다른 두 극한을 갖는 부분수열이 존재한다면 원래의 수열 \((a_n)\)이 수렴하지 않을 것이기 때문이다.

예시 12 (발산하는 수열) 수열 \(a_n = (-1)^n\)을 보자. 짝수번째 부분수열 \(a_{2k} = 1 \to 1\)과 홀수번째 부분수열 \(a_{2k-1} = -1 \to -1\)이 서로 다른 극한을 가지므로, 명제 12에 의해 \((a_n)\)은 발산한다.