미적분학
수열의 극한
수열의 수렴, 극한 법칙, 표준 극한과 e, 단조수렴
우리는 본격적으로 미적분학을 시작하기 전에 우선 수열의 극한을 정의한다. 여기서 수열sequence \((a_n)\)이란 자연수에 실수를 대응시키는 함수, 즉 \(a : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\)을 그 값들 \(a_1, a_2, a_3, \ldots\)의 나열로 본 것이다. §함수의 극한에서 우리는 이미 \(x \rightarrow \infty\)일 때 함수가 어떻게 행동하는지를 다루었는데, 수열의 극한은 그 이산적 버전, 즉 변수가 자연수만 취하는 경우에서 \(n \rightarrow \infty\)로만 가는 경우로 생각할 수 있다.
수열의 수렴
정의 1 실수열 \((a_n)_{n=1}^\infty\)와 실수 \(L\)에 대해, 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 어떤 자연수 \(N\)이 존재하여
\[n > N \implies \lvert a_n - L \rvert < \epsilon\]이 성립할 때, \(L\)을 \(n \rightarrow \infty\)일 때 \(a_n\)의 극한limit이라 하고 \(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = L\)로 적는다.
이 정의는 §함수의 극한, ⁋정의 14를 거의 그대로 가져온 것으로, 수열은 변수가 자연수뿐이고 한 방향(\(+\infty\))으로만 가므로 극한을 정의하는 방법도 사실상 이것뿐이다. 가령 \(a_n = 1/n \rightarrow 0\)은 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대해 \(N > 1/\epsilon\)인 \(N\)을 택하면 \(n > N\)에서 \(1/n < 1/N < \epsilon\)이 되는 것으로 확인된다. 약간의 변종은 수열이 무한대로 발산하는 것으로, 이는 §함수의 극한, ⁋정의 13에서 임의의 \(M\)에 대해 \(n > N \implies a_n > M\)인 \(N\)이 존재하는 것으로 옮겨 적으면 되며, 가령 \(b_n = n\)이 그러하다. 그러나 수렴하지도 무한대로 발산하지도 않는 수열 또한 존재한다 (예시 11 (발산하는 수열)).
수렴하는 수열의 기본 성질들은 대개 함수의 극한에서의 증명을 그대로 옮겨 얻어진다. 가령 다음 명제는 §함수의 극한, ⁋명제 5 (극한법칙)의 증명과 동일한 방식으로 진행하면 충분하다.
명제 2 (수열의 극한법칙) 두 수열 \(a_n\), \(b_n\)이 수렴하고, 그 수렴값을
\[\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = L, \qquad \lim_{n\rightarrow\infty} b_n = M\]이라 하자. 그러면
- \(\lim (a_n + b_n) = L + M\),
- 임의의 상수 \(c\)에 대해 \(\lim c a_n = cL\),
- \(\lim a_n b_n = LM\),
- \(M \neq 0\)이고 모든 \(n\)에 대해 \(b_n \neq 0\)이면 \(\lim a_n/b_n = L/M\)
이 성립한다.
극한의 성질
수열 \((a_n)\)에 대해 모든 \(n\)에서 \(\lvert a_n\rvert \leq M\)인 양수 \(M\)이 존재하면 \((a_n)\)을 유계bounded라 한다. 수렴하는 수열은 앞의 유한개의 항을 제외하면 항상 수렴하는 점 근처로 모이므로 유계이다.
명제 3 수렴하는 수열은 유계이다.
증명
\(a_n \rightarrow L\)이면 \(\epsilon = 1\)에 대응하는 \(N\)을 잡았을 때 \(n \geq N\)에서 \(\lvert a_n\rvert \leq \lvert L\rvert + 1\)이다. 나머지 유한개 항을 포함하여 \(M = \max\{\lvert a_1\rvert, \ldots, \lvert a_{N-1}\rvert, \lvert L\rvert + 1\}\)로 두면 모든 \(n\)에서 \(\lvert a_n\rvert \leq M\)이다.
같은 베껴오기로, 다음은 §함수의 극한, ⁋명제 8 (조임정리)의 수열 버전이다.
명제 4 (조임정리) 충분히 큰 모든 \(n\)에서 \(a_n \leq c_n \leq b_n\)이고 \(a_n \rightarrow L\), \(b_n \rightarrow L\)이면 \(c_n \rightarrow L\)이다.
그럼 다음의 간단하지만 유용한 결과를 얻을 수 있다.
명제 5 (비율판정) 실수열 \(a_n\)이 모든 \(n\)에 대해 \(a_n > 0\)을 만족하고, 인접항의 비로 이루어진 수열 \(a_{n+1}/a_n\)이 \(1\)보다 작은 값 \(L\)로 수렴하면 \(a_n \rightarrow 0\)이다.
증명
\(L < r < 1\)인 \(r\)를 고르면, 충분히 큰 \(n \geq N\)에서 \(a_{n+1}/a_n < r\)이므로 \(a_{N+k} < r^k a_N\)이다. \(0 < r < 1\)이라 \(r^k \rightarrow 0\)이고, 조임정리로 \(a_n \rightarrow 0\)이다.
이와 비슷하게, 실제 계산에서 많이 쓰이는 결과들을 다음 예시로 모아둔다.
예시 6 다음은 수열의 극한의 기본 예시들이다.
- \(p > 0\)에 대해 \(1/n^p \rightarrow 0\)이 성립한다. 이는 \(n \geq 1\)에서 \(n^p \geq n\)이므로 \(0 < 1/n^p \leq 1/n \rightarrow 0\)이고, 따라서 명제 4 (조임정리)를 적용하면 된다.
-
더 일반적으로, 같은 degree를 갖는 다항식의 비는 최고차항의 비에 의해 결정된다.
\[\frac{a_k n^k + \cdots}{b_k n^k + \cdots}\]의 분자·분모를 \(n^k\)으로 나누면 분자·분모 모두 유한개의 \(1/n^j\) 항과 상수항으로 이루어진다. 그럼 이 때 \(1/n^j \rightarrow 0\)이므로 분자와 분모는 각각 최고차항의 계수로 수렴하는 것을 알 수 있다. 만일 분모가 분자보다 큰 degree를 갖는다면 명제 4 (조임정리)와 앞선 1번에 의하여 이 비율이 \(0\)으로 수렴함을 알 수 있고, 비슷하게 분자가 분모보다 큰 degree를 갖는다면 이 비율이 발산함을 알 수 있다.
-
\(\lvert r\rvert < 1\)이면 \(r^n \rightarrow 0\)이다. 이를 확인하기 위해, 적당한 \(h>0\)에 대해 \(\lvert r\rvert = 1/(1+h)\)이라 하자. 그럼 이항정리를 사용하면 \((1+h)^n \geq 1 + nh\)이고, 따라서
\[\lvert r\rvert^n = \frac{1}{(1+h)^n} \leq \frac{1}{1+nh} \rightarrow 0\]이다. 여기서 마지막의 수렴은 위 2번의 결과를 사용하였다. 만일 \(r=1\)인 경우 이 수열은 항상 \(1\)이므로 \(1\)로 수렴하는 것이 자명하며, 만일 \(\lvert r\rvert > 1\)이면 비슷하게 \(r=1+h\)라 했을 때
\[\lvert r\rvert^n =(1+h)^n \geq 1+nh\]이므로 어떠한 \(M\)을 잡아오더라도 \(n\)을 충분히 키우기만 하면 \(\lvert r\rvert^n\)을 \(M\)보다 커지게 할 수 있고, 따라서 \(\lvert r\rvert^n\)은 발산한다.
-
\(n^{1/n} \rightarrow 1\)이다. 이를 확인하기 위해 \(n^{1/n} = 1 + h_n\) ( \(h_n \geq 0\))으로 두면 이항정리로
\[n = (1+h_n)^n \geq \binom{n}{2}h_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}h_n^2\]이므로 \(h_n^2 \leq 2/(n-1) \rightarrow 0\), 즉 \(h_n \rightarrow 0\)이기 때문이다.
-
\(r > 1\), \(p > 0\)에 대해 \(n^p/r^n \rightarrow 0\)이 성립한다. 이는 명제 5 (비율판정)에 의하여, 인접한 항의 비가
\[\frac{(n+1)^p}{r^{n+1}}\cdot\frac{r^n}{n^p} = \frac{1}{r}\left(1+\frac{1}{n}\right)^p \rightarrow \frac{1}{r} < 1\]이므로 바로 얻어진다.
- 비슷하게, \(r > 1\), \(p > 0\)에 대해 수열 \(r^n/n!\)의 인접한 항의 비는 \(r/(n+1) \rightarrow 0 < 1\)이므로 같은 이유로 \(0\)이다.
단조수렴정리
한편, 다음 명제를 증명하기 위해서는 해석학의 지식이 필요하므로 현재 우리가 증명하는 것은 불가능하지만, 그 결과 자체는 유용하므로 미리 받아들이기로 한다.
명제 7 (단조수렴) 위로 유계인 증가수열과 아래로 유계인 감소수열은 수렴한다. (증가수열의 극한은 그 항들의 상한이다.)
이에 대한 가장 유용한 활용은 다음 자연상수의 존재성 증명이다.
예시 8 (자연상수 \(e\)) 수열 \(a_n = (1 + 1/n)^n\)은 증가하며 위로 유계이고, 따라서 명제 7 (단조수렴)에 의해 수렴한다.
우선 이 수열이 증가수열임을 보이자. 우선 \(n\)개의 \(1+1/n\)과 하나의 \(1\)에 대하여 산술기하평균 부등식을 적용하면, 산술평균은
\[\frac{n(1+1/n)+1}{n+1} = \frac{n+2}{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1}\]이고 기하평균은 \(((1+1/n)^n\cdot 1)^{1/(n+1)}=a_n^{1/(n+1)}\)이므로
\[a_n \leq \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} = a_{n+1}\]가 되며, 뿐만 아니라 등호조건에서 \(n+1\)개의 수가 모두 같지 않으므로, 등호가 성립하지
이제 이 수열이 위로 유계임을 보이기 위해, 이항정리로
\[a_n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\]임을 관찰하자. 각 항은
\[\binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \leq \frac{1}{k!}\]이며, \(k! \geq 2^{k-1}\) ( \(k \geq 1\) ) 이므로
\[a_n \leq \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \leq 1 + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k-1}} = 3\]이다. 이 수열의 극한을 자연상수 \(e = 2.718\ldots\)로 정의한다.
부분수열
한편, 수열의 수렴 여부를 분석할 때, 수열의 일부 항만 골라 뽑은 새 수열을 보는 것이 유용하다.
정의 9 수열 \((a_n)\)과 자연수의 순증가 수열 \(n_1 < n_2 < n_3 < \cdots\)이 주어졌을 때, 새 수열 \((a_{n_k})_{k\geq 1}\)을 \((a_n)\)의 부분수열subsequence이라 한다.
즉 수열 \(a_n\)에서 index의 순서를 유지한 채
명제 10 만일 수열 \(a_n\)이 \(L\)로 수렴하면 모든 부분수열 \((a_{n_k})\)도 \(L\)로 수렴한다.
증명
임의의 \(\epsilon > 0\)에 대해 \(n \geq N\)이면 \(\lvert a_n - L\rvert < \epsilon\)인 \(N\)을 잡자. 그럼 정의에 의해 \(n_k \geq k\)이고, 따라서 \(k \geq N\)이면 \(n_k \geq N\)이라
\[\lvert a_{n_k} - L\rvert < \epsilon\]이다. 즉 \(a_{n_k} \rightarrow L\)이다.
이 명제는 어떤 수열이 수렴함을 보일 때보다, 수렴하지
예시 11 (발산하는 수열) 수열 \(a_n = (-1)^n\)을 보자. 짝수번째 부분수열 \(a_{2k} = 1 \rightarrow 1\)과 홀수번째 부분수열 \(a_{2k-1} = -1 \rightarrow -1\)이 서로 다른 극한을 가지므로, 명제 10에 의해 \((a_n)\)은 발산한다.
참고문헌
[Ste] J. Stewart, Calculus, 8th ed., Cengage Learning, 2016.
[Kim] 김홍종, 미적분학 1·2, 제3개정판, 서울대학교출판문화원, 2020.
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