미적분의 기본정리

우리는 앞선 글에서 서로 다른 두 종류의 적분, 즉 부정적분과 정적분을 정의했다. 부정적분은 미분의 역과정이라는 데에 그 의미가 있으며, 정적분은 그 자체로 곡선 아래의 넓이라는 기하학적 의미를 갖는다. 미적분의 기본정리는 이 둘이 어떤 방식으로는 완전히 같은 과정이라는 것을 보이며, 미적분학 자체가 여기서부터 탄생했다고 볼 수도 있다.

미적분의 기본정리

부정적분은 그 정의부터가 미분의 역과정이므로, 이 과정에서 의미가 있는 것은 정적분이 실제로 미분의 역과정과 비슷한 결과를 준다는 것이다. 그러나 정적분은 결국 값을 내놓는 도구이므로, 그 결과물이 함수가 나오지는 않는다. 이에 우리는 정적분의 위쪽 끝을 변수로 두어 다음과 같은 함수

\[\int_a^x f(t)dt\]

로 둔다. 여기서 \(t\)는 그냥 dummy variable로, 위끝에 (이미) 들어간 \(x\)와 헷갈리지 않도록 하기 위해 도입한 변수이며, 헷갈리지 않을 수 있다면 \(t\)도 얼마든지 \(x\)로 써도 된다.

정리 1 (미적분의 기본정리) \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \(F(x) = \int_a^x f(t)dt\)로 정의하면, \(F\)는 \([a,b]\)에서 미분가능하고 모든 \(x\)에서

\[F'(x) = f(x)\]

이다.

증명

§적분, ⁋명제 11의 둘째 결과에 의해, \(h>0\)에 대해서는

\[F(x+h) - F(x) = \int_a^{x+h} f - \int_a^x f = \int_x^{x+h} f(t)dt\]

이다. 그럼 \(f\)가 \([x, x+h]\)에서 연속이므로 §연속함수, ⁋정리 4 (최대·최소 정리)에 의해 그 구간에서 최솟값 \(m_h\)와 최댓값 \(M_h\)를 가지며, §적분, ⁋명제 11의 셋째 결과에 의해

\[m_h \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq M_h\]

이 성립한다. 이제 \(h \to 0\)일 때 구간 \([x, x+h]\)가 한 점 \(x\)로 줄어들고, \(f\)의 연속성에 의해 \(m_h, M_h \to f(x)\)이므로, §함수의 극한, ⁋명제 8 (조임정리)에 의해 평균변화율이 \(f(x)\)로 수렴한다. \(h < 0\)인 경우도 비슷한 방식으로 증명을 완료할 수 있다.

이 정리는 넓이가 쌓이는 속도가 곧 높이라는 직관의 엄밀한 표현이다. 즉, 적분으로 정의된 함수 \(F(x)\)가 한 점에서 늘어나는 비율 \(F'(x)\)는 바로 그 점에서의 피적분함수 값 \(f(x)\)이다.

따름정리 2 \([a,b]\)에서 연속인 모든 함수는 원시함수를 가진다. 구체적으로 \(F(x) = \int_a^x f(t)dt\)가 그 중 하나이다.

위에서 정의한 \(F(x)\)는 적분상수 \(C\)의 값을 하나로 고정한 것으로, 구체적으로 \(F(a)=0\)이도록 하는 적분상수를 택한 것으로 생각할 수 있다.

한편, 위의 따름정리는 이는 임의의 함수의 적분이 초등함수의 꼴로 나타난다는 것과는 다른 이야기로, 오직 위의 식으로 정의한 \(\int_a^x f(t)dt\)가 그 자체로 \(f\)의 원시함수라는 것이다. 가령 다음 예시를 보자.

예시 3 (특수함수의 도함수) 오차함수_{error function}는

\[\erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}dt\]

로 정의된다. \(e^{-t^2}\)의 원시함수는 초등함수로 적히지 않으므로 이 적분은 닫힌 꼴이 없지만, 정리 1 (미적분의 기본정리)에 의해 \(\erf\)는 미분가능하고

\[\erf'(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}\]

이다. 마찬가지로 적분로그 \(\li(x) = \int_2^x dt/\ln t\)도 \(\li'(x) = 1/\ln x\)로 도함수가 즉시 나온다. 이처럼 적분으로 정의된 함수는 그 자체로 미적분의 대상이 된다.

이보다 약간 더 발전한 형태의 표현은 명제 7 (멱급수의 항별 적분)에서 멱급수의 적분을 살펴본 후 다시 도입하게 된다.

한편 정리 1 (미적분의 기본정리)과, 미분이 \(0\)인 함수는 상수함수뿐이라는 사실을 결합하면, 정적분을 원시함수의 차로 계산하는 강력한 도구를 얻는다.

정리 4 \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \(G\)가 \(f\)의 임의의 원시함수이면

\[\int_a^b f(x)dx = G(b) - G(a)\]

이다.

증명

\(F(x) = \int_a^x f\)로 두면 정리 1 (미적분의 기본정리)에 의해 \(F\)도 \(f\)의 원시함수이다. 두 원시함수는 상수 차이뿐이므로 (§평균값 정리, ⁋따름정리 5) \(F = G + C\)인 상수 \(C\)가 있다. \(F(a) = \int_a^a f = 0\)이므로 \(C = -G(a)\)이고, 따라서

\[\int_a^b f = F(b) = G(b) + C = G(b) - G(a)\]

이다.

흔히 \(G(b) - G(a)\)를 \(\bigl[G(x)\bigr]_a^b\)로 적는다. 이 정리 덕분에 정적분의 계산은 리만 합의 극한이 아니라 원시함수를 찾는 문제로 환원된다. 가령 \(\int_0^1 x^2dx = \bigl[x^3/3\bigr]_0^1 = 1/3\)은 §적분에서 리만 합으로 힘겹게 얻은 값과 일치하지만, 여기서는 전혀 다른 계산, 즉 원시함수에 양 끝점을 대입하는 것으로 얻어진다.

특히 정리 1 (미적분의 기본정리)은 적분의 상·하한이 변수에 의존할 때 §미분법, ⁋정리 4 (연쇄법칙)과 결합된다. 상한이 함수 \(g(x)\)이면 \(F(u) = \int_a^u f\)로 두어 \(\int_a^{g(x)} f = F(g(x))\)이고, \(F'(u) = f(u)\)이므로 연쇄법칙으로 \(\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)dt = f(g(x))g'(x)\)이다. 상·하한이 모두 변수이면 이를 두 개의 구간으로 나누어 양쪽에 적용하면 된다.

명제 5 (라이프니츠 규칙) \(f\)가 연속이고 \(g, h\)가 미분가능하면

\[\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt = f(g(x))g'(x) - f(h(x))h'(x)\]

이다.

증명

임의의 고정점 \(c\)를 잡아 §적분, ⁋명제 11의 구간가법성으로 적분을 둘로 나눈다.

\[\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt = \int_c^{g(x)} f(t)dt - \int_c^{h(x)} f(t)dt\]

이다. \(F(u) = \int_c^v f(v)dv\)로 두면정리 1 (미적분의 기본정리)에 의해 \(F'(u) = f(u)\)이고, 우변은 \(F(g(x)) - F(h(x))\)이다. 연쇄법칙을 두 항에 각각 적용하면

\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}\bigl[F(g(x)) - F(h(x))\bigr] &= F'(g(x))g'(x) - F'(h(x))h'(x) \\[2pt] &= f(g(x))g'(x) - f(h(x))h'(x) \end{aligned}\]

를 얻는다.

단, 주의할 것은 피적분함수가 적분구간에서 정의되지 않거나 불연속일 때 발생한다. 다음의 예시를 보자.

예시 6 적분

\[\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2}\]

에 형식적으로

\[\bigl[-x^{-1}\bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\]

를 대입하면 음수가 나오는데, 피적분함수 \(1/x^2\)는 항상 양수이므로 이는 명백히 틀린 계산이다. 이것이 틀린 원인은 \(x = 0\)에서 피적분함수가 발산하여 \([-1,1]\)에서 연속이 아니라는 데 있다. 정리 4의 가정이 깨졌으므로 이 정리를 그대로 쓸 수 없으며, 실제로 이 적분은 발산한다.

멱급수의 항별 적분

한편, 적분은 멱급수와도 잘 어울린다. 다음 명제 또한 증명을 위해서는 해석학의 지식이 필요하므로, 이는 우선 사실로 받아들이기로 한다.

명제 7 (멱급수의 항별 적분) \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n\)이 수렴반경 \(R > 0\)을 가지면, \(\lvert x\rvert < R\)에서

\[\int_0^x f(t)dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{c_n}{n+1} x^{n+1}\]

이고, 이 급수의 수렴반경도 \(R\)이다.

그럼 앞서 예시 3 (특수함수의 도함수)에서 살펴본 \(e^{-x^2}\)가 어떤 형태로 쓰이는지 알 수 있다.

예시 8 예시 3 (특수함수의 도함수)의 오차함수로 돌아가자. 지수함수의 멱급수로부터

\[e^{-t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}t^{2n}\]

이며, 그 수렴반경은 \(\infty\)이다. 이제 명제 7 (멱급수의 항별 적분)로 항별 적분하면

\[\int_0^x e^{-t^2}dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}x^{2n+1}\]

이고, 따라서

\[\erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}x^{2n+1}\]

이다.

즉, 여전히 원시함수가 초등함수로 적히지는 않지만, 이와 같이 명시적으로 멱급수로는 적어줄 수 있다.

비슷한 방법으로 방법으로 \(1/(1 + x^2)\)와 \(1/(1+x)\)를 항별 적분하면 각각의 수렴반경 내에서

\[\arctan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\]

그리고

\[\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n\]

을 얻는다.