무한급수

§수열의 극한에서 다룬 무한수열의 성질들은, 우리 상황에서는 특히 무한급수를 다룰 때 중요하게 사용된다.

부분합과 무한급수

정의 1 수열 \((a_n)\)의 부분합_{partial sum} \(s_N = \sum_{n=1}^N a_n\)이 이루는 수열 \((s_N)\)이 \(S\)로 수렴하면 무한급수_{infinite series} \(\sum a_n\)이 \(S\)로 수렴_converge한다고 하고 \(\sum a_n = S\)로 적는다. \((s_N)\)이 발산하면 급수가 발산_diverge한다고 한다.

이에 따르면 급수가 수렴하는지 발산하는지의 여부는 단지 부분합이라 새롭게 이름붙은 특정한 수열 \(s_N\)의 수렴/발산 문제에 지나지 않는다. 다음은 특히 많이 쓰이는 두 부분합의 예시이다.

예시 2

• 기하급수 \(\sum r^n\)은 부분합

  \[s_N = \sum_{n=0}^N r^n = \frac{1 - r^{N+1}}{1-r} \qquad (r \neq 1)\]

  으로 정의되는 무한급수로, 위의 식은 \((1-r)s_N = (1-r)(1 + r + \cdots + r^N) = 1 - r^{N+1}\)을 통해 확인할 수 있다. 만일 \(\lvert r\rvert < 1\)이면 \(r^{N+1} \to 0\)이므로 이 무한합이 \(1/(1-r)\)로 수렴하는 것을 안다. 만일 \(\lvert r\rvert \geq 1\)이면 이 수열이 아래로 bounded가 아니거나 진동하므로 발산한다는 것을 증명할 수 있다.

• \(p\)-급수 \(\sum_n 1/n^p\)은 \(p > 1\)이면 수렴하고 \(p \leq 1\)이면 발산한다. \(p \leq 0\)이면 일반항 \(1/n^p = n^{-p}\)가 무한대로 발산하므로, 특히 부분합이 위로 유계가 아니고 따라서 발산한다. \(p > 0\)인 경우를 보자. 부분합의 첫 항을 제외하고 \(2^k\)개씩 \((k=1,\dots,m)\) 묶어 \(2^{m+1}-1\)항까지 살펴 본다면

  \[s_{2^{m+1}-1} = 1 + \left(\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}\right) + \left(\frac{1}{4^p}+\cdots+\frac{1}{7^p}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{(2^m)^p}+\cdots+\frac{1}{(2^{m+1}-1)^p}\right)\]

  이다. 여기서 \(k\)번째 괄호는 \(2^k\)개의 항을 담고 있고, 그 안의 모든 항은 \(\frac{1}{(2^k)^p}\)보다 작거나 같으므로

  \[s_{2^{m+1}-1} \leq \sum_{k=0}^m 2^k \cdot \frac{1}{2^{kp}} = \sum_{k=0}^m (2^{1-p})^k\]

  이다. 만일 \(p > 1\)이면 \(2^{1-p} < 1\)이어서 우변은 기하급수의 부분합이므로 유계이고, §수열의 극한, ⁋명제 5 (조임정리)과 §수열의 극한, ⁋명제 8 (단조수렴)를 적용하면 \(p\)-급수가 수렴한다는 것을 보일 수 있다. 반면 \(0 < p \leq 1\)이면, 각 괄호의 합은 \(2^k\)개의 항 중 가장 작은 항 \(\frac{1}{(2^{k+1}-1)^p}\)만큼은 크므로 \(\frac{2^k}{(2^{k+1}-1)^p} \geq \frac{2^k}{2^{k+1}-1} \geq \frac{1}{2}\) 이상이다. 따라서

  \[s_{2^{m+1}-1} \geq 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2} \geq 1 + \frac{m}{2}\]

  로부터 부분합이 무한대로 발산한다는 것을 확인할 수 있다.

급수가 부분합이라는 수열의 수렴 문제로 환원된다는 정의 1의 관점은, 수열의 극한이 갖는 성질이 급수에도 그대로 옮겨옴을 함의한다. 가장 기본적인 것은 선형성으로, 두 급수의 항별 합과 상수배가 다시 급수의 수렴을 보존한다. 이는 부분합 수준에서 극한의 선형성 (§수열의 극한, ⁋명제 3 (수열의 극한법칙))이 옮겨오는 것이다.

명제 3 (급수의 선형성) \(\sum a_n = A\), \(\sum b_n = B\)가 수렴하고 \(\lambda, \mu\)가 상수이면 \(\sum (\lambda a_n + \mu b_n)\)도 수렴하며 그 합은 \(\lambda A + \mu B\)이다.

증명

부분합을 각각 \(s_N = \sum_{n=1}^N a_n\), \(t_N = \sum_{n=1}^N b_n\)로 두면, 유한합이므로

\[\begin{aligned} \sum_{n=1}^N (\lambda a_n + \mu b_n) &= \lambda \sum_{n=1}^N a_n + \mu \sum_{n=1}^N b_n \\ &= \lambda s_N + \mu t_N \end{aligned}\]

이다. \(s_N \to A\), \(t_N \to B\)이므로 수렴 수열의 선형성으로 우변이 \(\lambda A + \mu B\)로 수렴한다. 따라서 좌변의 부분합도 같은 값으로 수렴하여 결론을 얻는다.

수렴 판정법

대부분의 급수의 경우, 그 수렴값을 구하는 것은 과한 욕심이고, 오직 수렴여부만 필요한 경우가 많다. 이를 판정하기 위한 가장 기초적이지만 강력한 도구는 다음의 명제이다.

명제 4 (일반항 판정) 부분합 \(\sum a_n\)이 수렴하면 \(a_n \to 0\)이다. 따라서 \(a_n \not\to 0\)이면 급수는 발산한다.

증명

\(s_N \to S\)이면 \(s_{N-1} \to S\)이기도 하므로 \(a_N = s_N - s_{N-1} \to S - S = 0\)이다.

예시 5 (조화급수) 조화급수

\[\sum \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots\]

는 항이 \(0\)으로 가지만 발산한다. 이는 예시 2에서 \(p=1\)인 특수한 경우로, 마찬가지로 항을 \(2^k\)개씩 묶어

\[1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right) + \cdots\]

을 보면, 각 괄호의 합이 \(1/2\) 이상이므로 부분합이 한없이 커진다.

조화급수가 보여주듯 \(a_n \to 0\)은 수렴의 충분조건이 아니라 필요조건일 뿐이다. 한편, 항이 양수인 급수는 부분합이 단조증가하므로 §수열의 극한, ⁋명제 8 (단조수렴)를 적용하면 수렴 여부는 합의 유계성을 체크하는 것으로 귀결된다.

정리 6 항이 양수인 급수에 대하여 다음이 성립한다.

1. (비교판정) \(0 \leq a_n \leq b_n\)이고 \(\sum b_n\)이 수렴하면 \(\sum a_n\)도 수렴한다.
2. (비율판정) \(a_{n+1}/a_n \to L\)일 때, \(L < 1\)이면 수렴, \(L > 1\)이면 발산한다.
3. (적분판정) \(f\)가 양의 감소 연속함수이고 \(a_n = f(n)\)이면, \(\sum a_n\)과 \(\int_1^\infty f\)는 동시에 수렴하거나 발산한다.

증명

1: \(\sum a_n\)의 부분합 \((s_N)\)은 증가하고 \(s_N \leq \sum_n b_n\)으로 위로 유계이므로, 단조수렴정리 (§수열의 극한, ⁋명제 8 (단조수렴))에 의해 수렴한다.

2: \(L < 1\)이면 \(L < r < 1\)인 \(r\)를 잡아 큰 \(n\)에서 \(a_{n+1} \leq r a_n\), 따라서 \(a_{N+k} \leq r^k a_N\)이 되어 수렴하는 기하급수와 비교된다. \(L > 1\)이면 항이 증가하여 \(0\)으로 가지 않으므로 발산판정으로 발산한다.

3: \(f\)가 감소하므로 \(\int_k^{k+1} f \leq f(k) \leq \int_{k-1}^k f\)이고, 이를 \(k\)에 대해 더하면 부분합이 적분으로 위아래에서 끼이므로 둘이 함께 수렴·발산한다.

비율판정법에서 \(L = 1\)인 경우는 판정이 불가능하다는 것을 관찰하자. 가령 \(p\)-급수는 모두 \(L = 1\)이지만 \(p\)에 따라 수렴여부가 달라지며, 이러한 이유로 급수의 수렴을 판정할 때에는 그에 맞는 판정법을 택하는 것이 중요하다.

비교판정은 어떻게 생긴 수열이든 적당한 부등식만 찾을 수 있다면 적용할 수 있으므로 위의 예시 중 가장 강력하지만, 항을 다른 급수의 항과 직접 부등식으로 묶어야 한다는 부담이 있다. 실제 급수에서는 항이 어떤 기준 급수의 항과 같은 크기 정도임은 분명한데 깔끔한 부등식이 잡히지 않는 일이 잦다. 이때는 항끼리의 비율의 극한만 보아도 충분하다는 다음 변형이 편리하다.

명제 7 (극한비교판정) 양항급수 \(\sum a_n\), \(\sum b_n\)에 대해 \(a_n/b_n \to c\)이고 \(0 < c < \infty\)이면, 두 급수는 함께 수렴하거나 함께 발산한다.

증명

극한의 정의에서 충분히 큰 \(n\)에 대해

\[\frac{c}{2} < \frac{a_n}{b_n} < 2c\]

가 성립하도록 할 수 있다. 양변에 \(b_n > 0\)을 곱하면

\[\begin{aligned} \frac{c}{2}\,b_n &< a_n < 2c\,b_n \end{aligned}\]

이다. 만약 \(\sum b_n\)이 수렴하면 \(\sum 2c\,b_n\)도 수렴하므로 오른쪽 부등식과 비교판정 (정리 6)으로 \(\sum a_n\)이 수렴한다. 거꾸로 \(\sum a_n\)이 수렴하면 왼쪽 부등식 \(b_n < (2/c) a_n\)과 비교판정으로 \(\sum b_n\)이 수렴한다. 발산의 경우는 대우로 따른다.

극한비교판정의 효용은 다항식·거듭제곱이 섞인 항을 그 수렴성을 주도하는 항으로 대치하는 데 있다. 가령 다음의 예시를 보자.

예시 8 급수

\[\sum \frac{2n^2 - n + 3}{n^4 + 5n + 1}\]

의 수렴을 판정하자. 큰 \(n\)에서 분자는 \(2n^2\), 분모는 \(n^4\)이 주도하므로 기준을 \(b_n = 1/n^2\)로 잡는다. 그러면

\[\frac{a_n}{b_n} = \frac{2n^2 - n + 3}{n^4 + 5n + 1} \cdot n^2 = \frac{2n^4 - n^3 + 3n^2}{n^4 + 5n + 1} = \frac{2 - \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}}{1 + \frac{5}{n^3} + \frac{1}{n^4}} \to 2\]

이다. 극한 \(c = 2\)가 \((0, \infty)\)에 있고 \(\sum 1/n^2\)이 수렴하는 \(p\)-급수이므로, 명제 7 (극한비교판정)에 의해 주어진 급수도 수렴한다.

또 다른 유효한 판정법 중 하나는 다음의 근판정법_{root test}이다.

명제 9 (근판정) 양항급수 \(\sum a_n\)에 대해 \(\sqrt[n]{a_n} \to L\)일 때, \(L < 1\)이면 수렴하고 \(L > 1\)이면 발산한다.

증명

\(L < 1\)이면 \(L < r < 1\)인 \(r\)를 택할 수 있고, 충분히 큰 \(n\)에서 \(\sqrt[n]{a_n} < r\), 즉 \(a_n<r^n\)이다. 우변은 공비 \(r < 1\)의 수렴하는 기하급수이므로 비교판정으로 \(\sum a_n\)이 수렴한다. \(L > 1\)이면 충분히 큰 \(n\)에서 \(a_n > 1\)이 되어 항이 \(0\)으로 가지 않으므로, 발산판정 (명제 4 (일반항 판정))에 의해 발산한다.

일반적으로, 비교판정법이 수열에 적용하기는 더 편해보이지만, 수렴여부를 판정할 수 있는 경우는 근판정법이 더 많다. 다만 근판정법 또한 비판정법과 마찬가지로 \(L=1\)인 경우에는 결론을 주지 않으므로, 이 경우 다른 방식을 시도해야 한다.

예시 10 (근판정의 적용) 급수

\[\sum \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n\]

에 근판정을 적용하면

\[\sqrt[n]{a_n} = \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2 + \frac{1}{n}} \to \frac{1}{2} < 1\]

이므로 수렴한다.

절대수렴과 교대급수

모든 항이 양수인 수열은, 위에서 살펴봤듯, 단조증가수열이므로 §수열의 극한, ⁋명제 8 (단조수렴)를 적용하여 그 수렴성을 (정리 6 혹은 그 이후의 도구를 통해) 판별하는 것이 쉽지만, 동시에 모든 항이 양수인 수열은 직관적으로는 음수가 섞여있는 수열보다는 수렴하기가 어려울 것이다. 이번 절에서 우리는 음수와 양수가 번갈아가며 나오는 수열을 살펴본다.

정의 11 \(\sum \lvert a_n\rvert\)이 수렴하면 \(\sum a_n\)이 절대수렴_{absolutely convergent}한다고 한다.

절대수렴하는 급수는 항상 수렴한다. \(0 \leq a_n + \lvert a_n\rvert \leq 2\lvert a_n\rvert\)이므로 비교판정에 의해 \(\sum (a_n + \lvert a_n\rvert)\)이 수렴하고, 따라서 \(\sum a_n = \sum (a_n + \lvert a_n\rvert) - \sum \lvert a_n\rvert\)도 수렴하기 때문이다. 그러나 그 역은 참이 아닌데, 모든 수렴하는 수열이 절대수렴하는 것은 아니기 때문이다. 앞서 이 절을 시작하며 직관적으로 설명했듯, 수열의 항에 양수와 음수가 섞여있으면 수열이 수렴하기는 더욱 쉬워질 것이므로 수렴을 위한 조건은 훨씬 약화될 것으로 보는 것이 자연스럽다.

명제 12 (교대급수판정) 양의 수열 \(b_n \geq 0\)이 단조감소하며 \(b_n \to 0\)이면, 이로부터 만들어진 교대급수 \(\sum (-1)^{n+1} b_n\)은 수렴한다. 나아가 그 합 \(S\)와 부분합 \(s_N\)의 오차는 \(\lvert S - s_N\rvert \leq b_{N+1}\)로 통제된다.

증명

짝수 번째 부분합

\[s_{2m} = (b_1 - b_2) + \cdots + (b_{2m-1} - b_{2m})\]

은 각 괄호가 음이 아니므로 증가하고,

\[s_{2m} = b_1 - (b_2 - b_3) - \cdots - b_{2m} \leq b_1\]

이므로 위로 유계이다. 따라서 \(s_{2m}\)이 수렴하고, \(s_{2m+1} = s_{2m} + b_{2m+1}\)에서 \(b_{2m+1} \to 0\)이므로 홀수 번째도 같은 극한 \(S\)로 수렴한다. 부분합이 \(S\)를 사이에 두고 번갈아 놓이므로 오차에 대한 주장도 얻어진다.

절대수렴은 아니면서 수렴하는 경우를 조건수렴이라 한다. 가령 교대조화급수 \(\sum (-1)^{n+1}/n = \ln 2\)는 교대급수판정으로 수렴하지만 절댓값을 취하면 조화급수가 되어 발산하므로 조건수렴이다.