벡터장

우리가 궁극적으로 다루고 싶은 것은 일반적인 함수 \(\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n\)의 미적분학이다. 우리는 우선 §곡선과 벡터함수에서는 공역의 차원을, §다변수함수와 편미분 이후에서는 정의역의 차원을 올려 이를 준비했다. 이제 두 방향을 하나로 합쳐 정의역과 공역이 모두 여러 차원인 일반적인 경우를 시작한다. 특히 우리가 관심있는 경우는 정의역과 공역의 차원이 같은 \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\)이 가장 자연스러운 대상으로, 그럼 이 함수는 \(n\)차원 벡터를 받아 \(n\)차원 벡터를 내놓는 함수이다.

벡터장

다만, 실질적으로는 우리가 사용할 수 있는 강력한 연산 중 하나인 외적이 \(3\)차원에서만 정의되므로, 우리는 대부분 \(3\)차원, 그리고 그 부분공간인 \(2\)차원에서 논의를 펼치게 된다. 어쨌든 다음의 정의들은 일반적인 차원에서도 말이 되는 것들이다.

정의 1 영역 \(D \subseteq \mathbb{R}^n\)의 각 점 \(\mathbf{x}\)에 벡터 \(\mathbf{F}(\mathbf{x}) \in \mathbb{R}^n\)을 대응시키는 함수 \(\mathbf{F}\colon D \to \mathbb{R}^n\)을 벡터장_{vector field}이라 한다. 평면에서는 \(\mathbf{F}(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))\), 공간에서는 \(\mathbf{F}(x,y,z) = (P, Q, R)\)로 적고, 각 성분 \(P, Q, R\)가 \(C^1\)이면 \(\mathbf{F}\)를 \(C^1\) 벡터장이라 한다.

벡터장은 각 점에 그 점에서 출발하는 화살표를 꽂은 그림으로 이해하는 것이 가장 직관적이다. 가령, 유체의 흐름이라면 각 점에서의 유속을 표현한 것은 벡터장을 이룬다. 우리는 이미 이런 대상을 하나 알고 있다. (§다변수함수와 편미분, ⁋정의 2)

정의 2 \(C^1\) 스칼라함수 \(f\)의 기울기 \(\nabla f = (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)\)로 주어지는 벡터장을 \(f\)의 기울기장_{gradient field}이라 한다. 어떤 스칼라함수 \(f\)에 대해 \(\mathbf{F} = \nabla f\)로 쓸 수 있는 벡터장 \(\mathbf{F}\)를 보존장_{conservative field}이라 하고, 그 \(f\)를 \(\mathbf{F}\)의 퍼텐셜_potential이라 한다.

발산과 회전

한편, 모든 벡터장이 보존장은 아니므로, 주어진 \(\mathbf{F}\)가 어떤 \(f\)의 기울기인지를 판정하는 것이 중심 문제가 된다. 이러한 판정에 쓰이는 연산이 다음의 정의에 있는 연산들로, 특히 \(\curl\)을 정의하기 위해서는 외적이 필요하므로 우리는 별수없이 \(3\)차원으로 내려와야 한다.

정의 3 \(C^1\) 벡터장 \(\mathbf{F} = (P, Q, R)\)의 발산_divergence은 스칼라장

\[\divergence \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\]

이고, 회전_curl은 벡터장

\[\curl \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\]

이다.

위의 두 표기 \(\nabla\cdot \mathbf{F}\)와 \(\nabla \times \mathbf{F}\)는 형식적인 것으로, \(\nabla = (\partial_x, \partial_y, \partial_z)\)를 벡터로 보아 내적과 외적을 취한 것이다.

예시 4 지름 방향으로 뻗는 \(\mathbf{F}(x,y,z) = (x, y, z)\)는 \(\divergence \mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3\)으로 어디서나 양의 값을 갖는다. 이는 직관적으로 이 벡터장이 모든 점에서 나가는 방향임을 알려주는 계산이다. 한편 \(\curl \mathbf{F} = 0\)이다. 이는 \(\mathbf{F}\)가 회전하는 성분은 전혀 없이 순수하게 바깥으로 나가는 성분만으로 이루어졌다는 의미로 생각할 수 있다.

이와 대조되는 예시로, \(z\)축 둘레로 도는 \(\mathbf{G}(x,y,z) = (-y, x, 0)\)은 \(\divergence \mathbf{G} = 0\)이지만 \(\curl \mathbf{G} = (0, 0, 2)\)로 \(z\)축을 중심으로 도는 벡터장임을 알 수 있다.

이제 이들이 어떻게 주어진 벡터장이 보존장인지를 판별하는지 살펴보자. 이를 위해서는 우선 다음이 필요하다.

명제 5 \(C^2\) 함수 \(f\)와 \(C^2\) 벡터장 \(\mathbf{F}\)에 대해

\[\curl(\nabla f) = 0, \qquad \divergence(\curl \mathbf{F}) = 0\]

이다.

증명

\(\nabla f = (f_x, f_y, f_z)\)의 회전의 첫 성분은 \(\partial_y f_z - \partial_z f_y = f_{zy} - f_{yz}\)인데, 이는 §다변수함수와 편미분, ⁋정리 7 (Clairaut)에 의해 \(0\)이며 나머지 두 성분도 같은 이유로 \(0\)이다. 또 \(\curl \mathbf{F} = (R_y - Q_z,\ P_z - R_x,\ Q_x - P_y)\)의 발산은

\[\partial_x(R_y - Q_z) + \partial_y(P_z - R_x) + \partial_z(Q_x - P_y) = (R_{yx} - R_{xy}) + (P_{zy} - P_{yz}) + (Q_{xz} - Q_{zx})\]

로 묶이고, 각 괄호에 다시 §다변수함수와 편미분, ⁋정리 7 (Clairaut)를 적용하여 \(0\)임을 보일 수 있다.

첫 항등식은 보존장 판정의 필요조건을 준다. 만일 \(\mathbf{F} = \nabla f\)이면 \(\curl \mathbf{F} = \curl(\nabla f) = 0\)이므로, 회전이 \(0\)이 아닌 벡터장은 결코 보존장이 될 수 없기 때문이다. 즉 다음이 성립한다.

명제 6 보존장은 무회전이다. 즉 \(C^1\) 벡터장 \(\mathbf{F}\)가 보존장이면 \(\curl \mathbf{F} = 0\)이다. 평면벡터장 \(\mathbf{F} = (P, Q)\)의 경우 이는 \(\partial Q/\partial x = \partial P/\partial y\)와 같다.

단, 이 조건은 필요조건일 뿐이며, 그 역은 성립하지 않는다. 흥미로운 점은 이 역이 정의역의 모양에 달려 있다는 것으로, 만일 정의역에 “구멍”이 없으면 그 역도 성립하지만, 구멍이 있으면 무회전이면서도 보존장이 아닌 벡터장이 존재한다.

예시 7 \(\mathbf{F} = (2xy,\ x^2 + z,\ y)\)를 보자. 이것의 회전을 계산하면

\[\curl \mathbf{F} = (\partial_y y - \partial_z(x^2+z),\ \partial_z(2xy) - \partial_x y,\ \partial_x(x^2+z) - \partial_y(2xy)) = (1 - 1,\ 0,\ 2x - 2x) = 0\]

이라 보존장일 가능성이 있다. 따라서 \(\mathbf{F}=\nabla f\)를 만족하는 \(f\)를 찾을 수 있는지 살펴보자.

이러한 \(f\)는 우선 첫째 성분에 의해 \(f_x = 2xy\)를 만족해야 하므로, \(f = x^2 y + g(y, z)\)의 꼴이어야 한다. 이제 이를 \(y\)에 대해 미분하면 \(f_y = x^2 + g_y\)이고, 만일 \(\mathbf{F}\)가 보존장이었다면 이 값이 \(\mathbf{F}\)의 둘째 성분 \(x^2 + z\)와 맞아야 하므로 \(g_y = z\), 즉 \(g = yz + h(z)\)여야 한다. 이제 마지막으로 이를 다시 \(f\)에 넣고 \(z\)로 미분한 후 계수를 맞춰주면, \(f_z = y + h'(z) = y\)여야 하므로 \(h' = 0\)이다. 따라서 \(f = x^2 y + yz\)가 퍼텐셜이 될 수 있으며, 실제로 \(\mathbf{F} = \nabla f\)이 성립한다.