적분

우리는 지금까지 함수의 극한을 정의하고, 평균변화율의 극한을 이용해 미분을 정의하였다. 이번 글에서 우리는 그 과정의 역연산인 적군을 정리하고 여러가지 성질을 살펴본다.

원시함수

정의 1 구간 \(I\)에서 정의된 함수 \(f\)에 대하여, \(I\)의 모든 점에서 \(F'(x) = f(x)\)를 만족하는 미분가능한 함수 \(F\)를 \(f\)의 원시함수_{antiderivative}라 한다.

예를 들어 \(F(x) = x^2\)은 \(f(x) = 2x\)의 원시함수이다. 그런데 \(x^2 + 1\), \(x^2 - 5\)도 모두 도함수가 \(2x\)이므로 원시함수이다. 즉 한 원시함수에 상수를 더해도 여전히 원시함수이다. 기하학적으로는 같은 모양의 곡선을 위아래로 평행이동한 무리가 모두 같은 도함수(같은 기울기 분포)를 가지는 셈이다. 원시함수는 이처럼 유일하지 않지만, 이는 정확히 상수항의 차이만큼만 달라질 수 있다.

명제 2 \(F\)가 구간 \(I\)에서 \(f\)의 원시함수이면, \(f\)의 모든 원시함수는 상수 \(C\)에 대해 \(F(x) + C\)의 꼴이다.

증명

\(G\)도 \(f\)의 원시함수라 하면 \((G - F)' = f - f = 0\)이다. §평균값 정리, ⁋따름정리 5에 의해 구간에서 도함수가 항등적으로 \(0\)인 함수는 상수이므로, \(G - F = C\)인 상수 \(C\)가 있어 \(G = F + C\)이다.

이 명제에 따라 \(f\)의 원시함수 전체를 하나의 표현으로 묶어

\[\int f(x)dx = F(x) + C\]

로 적고, 이를 \(f\)의 부정적분_{indefinite integral}이라 한다. 여기서 \(C\)를 적분상수, \(f\)를 피적분함수, 기호 \(dx\)를 적분변수의 표시로 본다. 명제 2가 보장하는 “상수 차이뿐”이라는 사실 덕분에 적분상수 \(C\) 하나로 모든 원시함수를 한꺼번에 나타낼 수 있다.

우리가 암묵적으로 가정하는 것, 즉 구간이 연결되어 있다는 가정은 본질적인 것까지는 아니지만, 위의 명제는 오직 구간이 연결되어있을 때만 성립한다. 정의역이 끊겨 있으면 각 조각마다 상수가 달라질 수 있기 때문이다. 가령 \(1/x\)는 \(x > 0\)과 \(x < 0\)에서 따로 정의되는데, \(F(x) = \ln\lvert x\rvert\)에 두 조각에서 서로 다른 상수를 더한 것도 모두 \(1/x\)의 원시함수이므로, 정의역 전체에서는 “상수 차이뿐”이라는 명제가 문자 그대로 적용되지는 않는다.

구간이 연결되어 있다는 가정 아래, 적분상수 \(C\)는 초기조건이 주어지면 정확하게 하나로 결정된다. 이것이 부정적분으로 미분방정식을 푸는 기본 방식이다. 가령 \(F'(x) = 3x^2 + 1\)이고 \(F(1) = 5\)이면, 부정적분 \(F(x) = x^3 + x + C\)에 초기조건을 넣어 \(1 + 1 + C = 5\), 곧 \(C = 3\)이 되어 \(F(x) = x^3 + x + 3\)으로 유일하게 정해진다.

부정적분의 성질과 예시

한편, 우리는 §미분법에서 여러 함수의 미분을 살펴보았고, 부정적분은 미분의 반대이므로 이를 통해 적분공식들을 유도할 수 있다. 우선 그 전에 부정적분의 선형성을 보이자.

명제 3 (부정적분의 선형성) \(f, g\)가 원시함수를 가지고 \(a, b\)가 상수이면

\[\int \bigl(a f(x) + b g(x)\bigr)dx = a\int f(x)dx + b\int g(x)dx\]

이다.

증명

\(F, G\)를 각각 \(f, g\)의 원시함수라 하면, §미분과 도함수, ⁋명제 4에 의해

\[(aF + bG)' = aF' + bG' = af + bg\]

이므로 \(aF + bG\)가 \(af + bg\)의 원시함수이다.

이제 §미분법에서의 여러 함수들의 도함수 공식을 뒤집으면 다음의 기본 공식들을 얻는다. 즉, 각 공식의 우변을 미분하면 피적분함수가 된다.

\[\int x^rdx = \frac{x^{r+1}}{r+1} + C\ (r \neq -1), \qquad \int \frac{1}{x}dx = \ln\lvert x\rvert + C,\] \[\int e^xdx = e^x + C, \qquad \int \cos xdx = \sin x + C, \qquad \int \sin xdx = -\cos x + C,\qquad \int \sec^2 xdx = \tan x + C,\] \[\int \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x + C, \qquad \int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C.\]

선형성과 이 공식들을 결합하면 기본 함수들의 임의의 합 또한 항별로 적분할 수 있다. 피적분함수가 표준형이 아니면 먼저 다른 도구들로 변형하는데, 가령 삼각함수 관계식

\[\tan^2 x = \sec^2 x - 1\]

로 바꾸거나 분수 \((x^2+1)/x\)를 \(x + 1/x\)로 나누어 각 항을 위 공식에 맞추는 식이다.

특히 유용하게 쓰이는 치환적분과 부분적분은 각각 §미분법, ⁋정리 4 (연쇄법칙)와 §미분법, ⁋명제 3 (곱의 미분법)을 거꾸로 읽은 것이다.

정리 4 (치환적분) \(g\)가 미분가능하고 \(f\)가 연속이면

\[\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du \quad (u = g(x))\]

이다.

증명

\(F\)를 \(f\)의 원시함수라 하면 §미분법, ⁋정리 4 (연쇄법칙)에 의해

\[\frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))g'(x) = f(g(x))g'(x)\]

이므로, \(F(g(x))\)가 좌변 피적분함수의 원시함수이다. 따라서 \(\int f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C = F(u) + C = \int f(u)du\)이다.

실용에서는 \(u = g(x)\), \(du = g'(x) dx\)로 두고 식을 \(u\)만으로 바꾸어 적분한 뒤 되돌린다. 가령 \(u = \cos x\)로 두면 \(\int \tan x dx = -\int du/u = -\ln\lvert\cos x\rvert + C\)이고, 같은 요령으로 \(\int x/(x^2+1) dx = \ln(x^2+1)/2 + C\)를 얻는다.

정리 5 (부분적분) \(u, v\)가 미분가능하고 그 도함수가 연속이면

\[\int u v' dx = uv - \int u' v dx\]

이다.

증명

§미분법, ⁋명제 3 (곱의 미분법)으로 \((uv)' = u'v + uv'\)이므로 \(uv' = (uv)' - u'v\)이고, 양변을 적분하면 \(\int (uv)' dx = uv\)에서 주장이 따른다.

핵심은 \(u\)를 미분하면 단순해지는 쪽, \(v'\)을 적분할 수 있는 쪽으로 고르는 것이다. 가령 \(\int x e^x dx\)는 \(u = x\)로 두어 \(xe^x - e^x + C\)가 되고, 로그·역삼각함수처럼 미분이 도리어 간단해지는 함수는 \(v' = 1\)로 보아 \(u\) 자리에 놓는다 (\(\int \ln x dx = x\ln x - x + C\)). 부분적분이 피적분함수를 단순화하지 않고 자기 자신으로 되돌아오는 경우도 있는데, 이때는 원래 적분을 미지수로 보고 대수적으로 푼다.

예시 6 \(I = \int e^x\cos x dx\)는 부분적분을 두 번 하면 자기 자신이 돌아온다. \(u = e^x\), \(v' = \cos x\)로 두면

\[I = e^x\sin x - \int e^x\sin x dx = e^x\sin x - \Bigl(-e^x\cos x + \int e^x\cos x dx\Bigr) = e^x(\sin x + \cos x) - I\]

이므로 \(2I = e^x(\sin x + \cos x)\), 곧

\[I = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C\]

이다.

분모가 인수분해되는 유리함수는 부분분수로 분해하면 각 조각이 로그·역탄젠트로 적분된다. 예컨대

\[\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)\]

로 가르면

\[\int \frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x-1}{x+1}\right\rvert + C\]

이고, 분모에 기약 이차식이 있으면 완전제곱으로 묶어

\[\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2} + C\]

처럼 역탄젠트를 활용하면 된다.

\(\sqrt{a^2 - x^2}\), \(\sqrt{a^2 + x^2}\) 같은 무리식은 삼각함수로 치환하면 무리식이 사라진다. 가령 \(\int \sqrt{1 - x^2} dx\)에서 \(x = \sin\theta\)로 두면

\[\int \cos^2\theta d\theta = \frac{1}{2}(\arcsin x + x\sqrt{1-x^2}) + C\]

를 얻는다. 삼각함수 자체의 거듭제곱은 항등식으로 차수를 낮추거나 치환한다. 홀수 거듭제곱은 하나를 떼어 치환하여

\[\int \sin^3 x dx = -\cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x + C\]

처럼 적분하고, 짝수 거듭제곱은 배각공식으로 차수를 낮추어

\[\int \sin^2 x dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\]

를 얻는다.

부분적분을 반복하면 차수를 한 단계씩 낮추는 점화식을 얻어, 거듭제곱이 섞인 적분을 체계적으로 처리한다.

예시 7 (점화식) \(I_n = \int x^n e^x dx\)에 \(u = x^n\), \(v' = e^x\)로 부분적분하면

\[I_n = x^n e^x - n I_{n-1}\]

이다. \(I_0 = e^x\)에서 시작하면

\[I_1 = (x-1)e^x, \quad I_2 = (x^2 - 2x + 2)e^x\]

로 차수를 내려가며 구해진다. 같은 방식으로

\[\int \sin^n x dx = -\frac{1}{n} \sin^{n-1}x\cos x + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x dx\]

라는 점화식도 얻는다.

이러한 기법으로도 초등함수로 표현되지 않는 적분, 가령 \(\int e^{-x^2} dx\)나 \(\int (\sin x)/x dx\)가 있다. 이런 함수도 정적분으로는 잘 정의되며, 그 자체로 새로운 함수를 정의함은 미적분의 기본정리에서 보게 된다.

분할과 리만 합

위에서 살펴본 적분은 미분의 역연산으로 정의되지만, 역사적으로 적분은 다른 방식, 즉 어떠한 양이 누적되었을 때 그 총량을 구하는 문제에서 시작되었다. 예를 들어 곡선 \(y = f(x)\) 아래, 구간 \([a,b]\) 위의 넓이를 재는 문제가 이에 해당한다. 이 구간의 넓이를 직사각형으로 잘게 쪼개어 근사하고, 쪼갬을 한없이 세밀하게 하는 것이 다음 정의의 아이디어다.

정의 8 닫힌구간 \([a, b]\)의 분할_partition은 유한개의 점 \(a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\)이다. 각 부분구간 \([x_{i-1}, x_i]\)의 길이를 \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\), 가장 긴 부분구간의 길이를 분할의 너비_mesh \(\lVert P\rVert = \max_i \Delta x_i\)라 한다. 각 부분구간에서 표본점 \(c_i \in [x_{i-1}, x_i]\)을 택했을 때

\[S(P, f) = \sum_{i=1}^{n} f(c_i)\Delta x_i\]

를 함수 \(f\)의 리만 합_{Riemann sum}이라 한다.

리만 합은 곡선 아래 영역을 폭이 \(\Delta x_i\), 높이가 \(f(c_i)\)인 직사각형들로 근사한 넓이이다. 표본점 \(c_i\)를 각 부분구간의 왼쪽 끝, 오른쪽 끝, 또는 함수의 최솟·최댓값을 주는 점으로 잡으면 각각 좌·우 리만 합, 하합·상합이 된다. 직관적으로, 우리는 분할을 한없이 잘게 하면 이 근사가 표본점 선택과 무관하게 한 값으로 수렴하기를 기대한다.

정의 9 어떤 실수 \(S\)가 존재하여, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(\delta > 0\)이 있어 \(\lVert P\rVert < \delta\)인 모든 분할과 표본점의 선택에 대해 \(\lvert S(P, f) - S\rvert < \varepsilon\)이 성립하면, \(f\)가 \([a,b]\)에서 적분가능_integrable하다고 하고 \(S\)를 정적분이라 하여

\[\int_a^b f(x)dx = S\]

로 적는다. \(a\)와 \(b\)를 각각 적분의 아래끝·위끝이라 한다.

이 정의를 직접 적용해 정적분을 계산할 수 있다. \([0,1]\)을 \(n\)등분하고 오른쪽 끝점 \(c_i = i/n\)을 택하면,

\[\int_0^1 xdx\]

의 리만 합은

\[\sum_{i=1}^n \frac{i}{n}\cdot\frac1n = \frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2n} \to \frac12\]

이고, 같은 방식으로

\[\int_0^1 x^2dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \frac{i^2}{n^3} = \lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac13\]

이다. 특히 첫째 결과의 경우 삼각형의 넓이공식으로부터 자명하게 검산 또한 가능하다.

정리 10 \([a, b]\)에서 연속인 함수는 적분가능하다.

이 정리의 증명 또한 현재 우리의 범위를 벗어나므로 받아들이고 넘어가야만 한다.

정적분의 성질

한편, 리만 합이 합과 극한으로 정의되므로, 정적분은 다음 성질들을 물려받는다.

명제 11 \(f, g\)가 \([a,b]\)에서 적분가능하면 다음이 성립한다.

1. 상수 \(\alpha, \beta\)에 대해 \(\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha\int_a^b f(x)dx + \beta\int_a^b g(x)dx\).
2. \(a < c < b\)에 대해 \(\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx\).
3. 모든 \(x\)에서 \(f(x) \leq g(x)\)이면 \(\int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx\).

증명

세 성질 모두 리만 합 수준에서 성립하고 극한으로 보존된다. 선형성은 \(S(P, \alpha f + \beta g) = \alpha S(P, f) + \beta S(P, g)\)에서, 단조성은 \(f(c_i) \leq g(c_i)\)이면 \(S(P, f) \leq S(P, g)\)에서 따른다. 구간가법성은 \(c\)를 분점으로 포함하는 분할들만 생각하면 리만 합이 두 구간의 리만 합으로 갈라짐에서 얻는다.

관례적으로 \(\int_a^a f(x)dx = 0\), 그리고 \(\int_b^a f(x)dx = -\int_a^b f(x)dx\)로 두면 구간가법성은 \(a, b, c\)의 대소에 무관하게 성립한다. 단조성으로부터 두 가지 유용한 계산이 따라온다. 첫째, \(m \leq f \leq M\)이면

\[m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)\]

이다. 둘째, \(-\lvert f\rvert \leq f \leq \lvert f\rvert\)에 적용하면 삼각부등식의 적분판

\[\left\lvert \int_a^b f(x)dx\right\rvert \leq \int_a^b \lvert f(x)\rvert dx\]

을 얻는다. 첫 부등식을 연속함수에 적용하면, 적분값이 어떤 점에서의 함숫값에 의해 정확히 달성됨을 보일 수 있다.

명제 12 (적분의 평균값 정리) \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이면

\[\int_a^b f(x)dx = f(c)(b-a)\]

를 만족하는 \(c \in [a,b]\)가 존재한다.

증명

§연속함수, ⁋정리 4 (최대·최소 정리)로 \(f\)는 \([a,b]\)에서 최솟값 \(m\)과 최댓값 \(M\)을 가진다. 위 계산에서 평균값

\[\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\]

가 \([m, M]\)에 속하므로, §연속함수, ⁋정리 5 (중간값 정리)에 의해 그 값을 취하는 \(c\), 즉 \(f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\)인 \(c\)가 존재한다.

여기서

\[\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\]

를 \(f\)의 \([a,b]\)에서의 평균값이라 하며, 명제 12 (적분의 평균값 정리)은 연속함수가 자신의 평균값을 적어도 한 점에서 실제로 취함을 말한다.

넓이와 응용

정적분은 부호가 있는 넓이로 이해하는 것이 가장 직관적이다. 가령 \(f < 0\)인 구간에서는 리만 합의 항 \(f(c_i)\Delta x_i\)가 음수이므로, \(\int_a^b f(x)dx\)는 \(x\)축과 \(f\)로 둘러싸인 영역에 마이너스 부호를 붙여준 것이다. 이 관점은 적분 구간 위에서 함수의 부호가 바뀔 때 특히 분명해지며, 한 적분이 양·음의 넓이를 상쇄하여 \(0\)이 되는 경우와 실제 넓이가 절댓값을 요구하는 경우를 가르는 데서 위에서 살펴본 삼각부등식의 적분판이 진부등호로 나타난다.

예시 13 \(\int_{-1}^{1} xdx = 0\)인 까닭은 \([-1,0]\)에서의 음의 넓이와 \([0,1]\)에서의 양의 넓이가 정확히 상쇄되기 때문이다. 각 조각은 밑변과 높이가 \(1\)인 직각삼각형이라 넓이가 \(\frac{1}{2}\)이고, 명제 11의 둘째 결과를 사용해 갈라 쓰면

\[\int_{-1}^{1} xdx = \int_{-1}^{0} xdx + \int_{0}^{1} xdx = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\]

이다. 곡선과 \(x\)축이 둘러싼 실제 넓이를 원한다면 부호를 지운 \(\lvert x\rvert\)를 적분해야 하며,

\[\int_{-1}^{1} \lvert x\rvert dx = \int_{-1}^{0} (-x)dx + \int_{0}^{1} xdx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\]

이 된다. 이는 삼각부등식의 적분판 \(\bigl\lvert\int_a^b f(x) dx\bigr\rvert \leq \int_a^b \lvert f(x)\rvert dx\)이 등호가 아니라 부등호 \(0 < 1\)로 성립하는 구체적 사례이며, 각 조각의 값은 삼각형 넓이로 곧바로 확인된다. 이 계산은 앞서 리만 합으로 삼각형의 넓이를 구한 것과도 일치한다.

평균값 정리는 적분을 한 점에서의 함숫값으로 바꾸어 주므로, 부등식을 다루거나 평균적 거동을 추론할 때 자주 쓰인다. 가중치를 곱한 적분에 대해서도, 가중치의 부호가 일정하기만 하면 같은 정리가 성립한다.

명제 14 (가중 평균값 정리) \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \(\mu\)가 \([a,b]\)에서 적분가능하며 \(\mu \geq 0\)이라면, 어떤 \(c \in [a,b]\)가 존재하여

\[\int_a^b f(x)\mu(x)dx = f(c)\int_a^b \mu(x)dx\]

이다.

증명

§연속함수, ⁋정리 4 (최대·최소 정리)로 \(f\)는 최솟값 \(m\)과 최댓값 \(M\)을 가진다. \(\mu \geq 0\)이므로 \(m\mu(x) \leq f(x)\mu(x) \leq M\mu(x)\)이고, 단조성과 선형성으로 적분하면

\[m\int_a^b \mu(x)dx \leq \int_a^b f(x)\mu(x) dx\leq M\int_a^b \mu(x) dx\]

를 얻는다. 만약 \(\int_a^b \mu(x)dx = 0\)이면 가운데 적분도 \(0\)이라 임의의 \(c\)로 등식이 성립한다. \(\int_a^b \mu(x)dx > 0\)이면 위 부등식을 그 값으로 나누어

\[\frac{\int_a^b f(x)\mu(x) dx}{\int_a^b \mu(x)dx} \in [m, M]\]

임을 얻고, §연속함수, ⁋정리 5 (중간값 정리)로 이 값을 취하는 \(c\)가 존재한다. 따라서 여기에 \(\int_a^b \mu(x)dx\)를 곱하면 증명이 완료된다.

만일 \(\mu \equiv 1\)로 두면 가중 평균값 정리는 명제 12 (적분의 평균값 정리)로 환원되므로, 명제 14 (가중 평균값 정리)은 평균값 정리의 일반화로, 일종의 밀도를 추가하는 것으로 생각할 수 있다.