적분

우리는 지금까지 함수의 극한을 정의하고, 평균변화율의 극한을 이용해 미분을 정의하였다. 이번 글에서 우리는 그 과정의 역연산인 적분을 정리하고 여러가지 성질을 살펴본다.

원시함수

정의 1 구간 \(I\)에서 정의된 함수 \(f\)에 대하여, \(I\)의 모든 점에서 \(F'(x) = f(x)\)를 만족하는 미분가능한 함수 \(F\)를 \(f\)의 원시함수_{antiderivative}라 한다.

예를 들어 \(F(x) = x^2\)은 \(f(x) = 2x\)의 원시함수이다. 그런데 \(x^2 + 1\), \(x^2 - 5\)도 모두 도함수가 \(2x\)이므로 원시함수이다. 즉 한 원시함수에 상수를 더해도 여전히 원시함수이다. 기하학적으로는 같은 모양의 곡선을 위아래로 평행이동한 무리가 모두 같은 도함수(같은 기울기 분포)를 가지는 셈이다. 원시함수는 이처럼 유일하지 않지만, 이는 정확히 상수항의 차이만큼만 달라질 수 있다.

명제 2 \(F\)가 구간 \(I\)에서 \(f\)의 원시함수이면, \(f\)의 모든 원시함수는 상수 \(C\)에 대해 \(F(x) + C\)의 꼴이다.

증명

\(G\)도 \(f\)의 원시함수라 하면 \((G - F)' = f - f = 0\)이다. §평균값 정리, ⁋따름정리 5에 의해 구간에서 도함수가 항등적으로 \(0\)인 함수는 상수이므로, \(G - F = C\)인 상수 \(C\)가 있어 \(G = F + C\)이다.

이 명제에 따라 \(f\)의 원시함수 전체를 하나의 표현으로 묶어

\[\int f(x)\dd{x} = F(x) + C\]

로 적고, 이를 \(f\)의 부정적분_{indefinite integral}이라 한다. 여기서 \(C\)를 적분상수, \(f\)를 피적분함수, 기호 \(\dd{x}\)를 적분변수의 표시로 본다. 명제 2가 보장하는 “상수 차이뿐”이라는 사실 덕분에 적분상수 \(C\) 하나로 모든 원시함수를 한꺼번에 나타낼 수 있다.

우리가 암묵적으로 가정하는 것, 즉 구간이 연결되어 있다는 가정은 본질적인 것까지는 아니지만, 위의 명제는 오직 구간이 연결되어있을 때만 성립한다. 정의역이 끊겨 있으면 각 조각마다 상수가 달라질 수 있기 때문이다. 가령 \(1/x\)는 \(x > 0\)과 \(x < 0\)에서 따로 정의되는데, \(F(x) = \ln\lvert x\rvert\)에 두 조각에서 서로 다른 상수를 더한 것도 모두 \(1/x\)의 원시함수이므로, 정의역 전체에서는 “상수 차이뿐”이라는 명제가 문자 그대로 적용되지는 않는다.

구간이 연결되어 있다는 가정 아래, 적분상수 \(C\)는 초기조건이 주어지면 정확하게 하나로 결정된다. 이것이 부정적분으로 미분방정식을 푸는 기본 방식이다. 가령 \(F'(x) = 3x^2 + 1\)이고 \(F(1) = 5\)이면, 부정적분 \(F(x) = x^3 + x + C\)에 초기조건을 넣어 \(1 + 1 + C = 5\), 곧 \(C = 3\)이 되어 \(F(x) = x^3 + x + 3\)으로 유일하게 정해진다.

부정적분의 성질과 예시

한편, 우리는 §미분법에서 여러 함수의 미분을 살펴보았고, 부정적분은 미분의 반대이므로 이를 통해 적분공식들을 유도할 수 있다. 우선 그 전에 부정적분의 선형성을 보이자.

명제 3 (부정적분의 선형성) \(f, g\)가 원시함수를 가지고 \(a, b\)가 상수이면

\[\int \bigl(a f(x) + b g(x)\bigr)\dd{x} = a\int f(x)\dd{x} + b\int g(x)\dd{x}\]

이다.

증명

\(F, G\)를 각각 \(f, g\)의 원시함수라 하면, §미분과 도함수, ⁋명제 4에 의해

\[(aF + bG)' = aF' + bG' = af + bg\]

이므로 \(aF + bG\)가 \(af + bg\)의 원시함수이다.

이제 §미분법에서의 여러 함수들의 도함수 공식을 뒤집으면 다음의 기본 공식들을 얻는다. 즉, 각 공식의 우변을 미분하면 피적분함수가 된다.

\[\int x^r\dd{x} = \frac{x^{r+1}}{r+1} + C\ (r \neq -1), \qquad \int \frac{1}{x}\dd{x} = \ln\lvert x\rvert + C,\] \[\int e^x\dd{x} = e^x + C, \qquad \int \cos x\dd{x} = \sin x + C, \qquad \int \sin x\dd{x} = -\cos x + C,\qquad \int \sec^2 x\dd{x} = \tan x + C,\] \[\int \frac{\dd{x}}{1 + x^2} = \arctan x + C, \qquad \int \frac{\dd{x}}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C.\]

선형성과 이 공식들을 결합하면 기본 함수들의 임의의 합 또한 항별로 적분할 수 있다. 피적분함수가 표준형이 아니면 먼저 다른 도구들로 변형하는데, 가령 삼각함수 관계식

\[\tan^2 x = \sec^2 x - 1\]

로 바꾸거나 분수 \((x^2+1)/x\)를 \(x + 1/x\)로 나누어 각 항을 위 공식에 맞추는 식이다.

특히 유용하게 쓰이는 치환적분과 부분적분은 각각 §미분법, ⁋정리 4 (연쇄법칙)와 §미분법, ⁋명제 3 (곱의 미분법)을 거꾸로 읽은 것이다.

정리 4 (치환적분) \(f\)가 구간 \(I\)에서 원시함수를 가지고, \(g\)가 미분가능하며 모든 \(x\)에 대해 \(g(x) \in I\)이면

\[\int f(g(x)) g'(x) \dd{x} = \int f(u) \dd{u} \quad (u = g(x))\]

이다.

증명

\(F\)를 \(f\)의 원시함수라 하면 §미분법, ⁋정리 4 (연쇄법칙)에 의해

\[\frac{d}{\dd{x}}F(g(x)) = F'(g(x))g'(x) = f(g(x))g'(x)\]

이므로, \(F(g(x))\)가 좌변 피적분함수의 원시함수이다. 따라서 \(\int f(g(x))g'(x)\dd{x} = F(g(x)) + C = F(u) + C = \int f(u)\dd{u}\)이다.

실용적으로는 \(u = g(x)\), \(\dd{u} = g'(x) \dd{x}\)로 두고 식을 \(u\)만으로 바꾸어 적분한 뒤 되돌리면 된다. 가령 \(u = \cos x\)로 두면

\[\int \tan x \dd{x} = -\int \frac{\dd{u}}{u} = -\ln\lvert\cos x\rvert + C\]

이고, 같은 요령으로

\[\int \frac{x}{x^2+1} \dd{x} = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C\]

를 얻는다.

정리 5 (부분적분) \(u, v\)가 미분가능하고 그 도함수가 연속이면

\[\int u v' \dd{x} = uv - \int u' v \dd{x}\]

이다.

증명

§미분법, ⁋명제 3 (곱의 미분법)으로 \((uv)' = u'v + uv'\)이므로 \(uv' = (uv)' - u'v\)이고, 양변을 적분하면 \(\int (uv)' \dd{x} = uv\)에서 주장이 따른다.

핵심은 \(u\)를 미분하면 단순해지는 쪽, \(v'\)을 적분할 수 있는 쪽으로 고르는 것이다. 가령 \(\int x e^x \dd{x}\)는 \(u = x\)로 두어 \(xe^x - e^x + C\)가 되고, 로그·역삼각함수처럼 미분이 도리어 간단해지는 함수는 \(v' = 1\)로 보아 \(u\) 자리에 놓는다 (\(\int \ln x \dd{x} = x\ln x - x + C\)). 부분적분이 피적분함수를 단순화하지 않고 자기 자신으로 되돌아오는 경우도 있는데, 이때는 원래 적분을 미지수로 보고 대수적으로 푼다.

예시 6 \(I = \int e^x\cos x \dd{x}\)는 부분적분을 두 번 하면 자기 자신이 돌아온다. \(u = e^x\), \(v' = \cos x\)로 두면

\[I = e^x\sin x - \int e^x\sin x \dd{x} = e^x\sin x - \Bigl(-e^x\cos x + \int e^x\cos x \dd{x}\Bigr) = e^x(\sin x + \cos x) - I\]

이므로 \(2I = e^x(\sin x + \cos x)\), 곧

\[I = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C\]

이다.

분모가 인수분해되는 유리함수는 부분분수로 분해하면 각 조각이 로그·역탄젠트로 적분된다. 예컨대

\[\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)\]

로 가르면

\[\int \frac{\dd{x}}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x-1}{x+1}\right\rvert + C\]

이고, 분모에 기약 이차식이 있으면 완전제곱으로 묶어

\[\int \frac{\dd{x}}{x^2 + 2x + 5} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2} + C\]

처럼 역탄젠트를 활용하면 된다.

\(\sqrt{a^2 - x^2}\), \(\sqrt{a^2 + x^2}\) 같은 무리식은 삼각함수로 치환하면 무리식이 사라진다. 가령 \(\int \sqrt{1 - x^2} \dd{x}\)에서 \(x = \sin\theta\)로 두면

\[\int \cos^2\theta \dd{\theta} = \frac{1}{2}(\arcsin x + x\sqrt{1-x^2}) + C\]

를 얻는다. 삼각함수 자체의 거듭제곱은 항등식으로 degree를 낮추거나 치환한다. 홀수 거듭제곱은 하나를 떼어 치환하여

\[\int \sin^3 x \dd{x} = -\cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x + C\]

처럼 적분하고, 짝수 거듭제곱은 배각공식으로 degree를 낮추어

\[\int \sin^2 x \dd{x} = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\]

를 얻는다.

부분적분을 반복하면 degree를 한 단계씩 낮추는 점화식을 얻어, 거듭제곱이 섞인 적분을 체계적으로 처리한다.

예시 7 (점화식) \(I_n = \int x^n e^x \dd{x}\)에 \(u = x^n\), \(v' = e^x\)로 부분적분하면

\[I_n = x^n e^x - n I_{n-1}\]

이다. \(I_0 = e^x\)에서 시작하면

\[I_1 = (x-1)e^x, \quad I_2 = (x^2 - 2x + 2)e^x\]

로 degree를 내려가며 구해진다. 같은 방식으로

\[\int \sin^n x \dd{x} = -\frac{1}{n} \sin^{n-1}x\cos x + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x \dd{x}\]

라는 점화식도 얻는다.

이러한 기법으로도 초등함수로 표현되지 않는 적분, 가령 \(\int e^{-x^2} \dd{x}\)나 \(\int (\sin x)/x \dd{x}\)가 있다. 이런 함수도 정적분으로는 잘 정의되며, 그 자체로 새로운 함수를 정의함은 미적분의 기본정리에서 보게 된다.

분할과 리만 합

위에서 살펴본 적분은 미분의 역연산으로 정의되지만, 역사적으로 적분은 다른 방식, 즉 어떠한 양이 누적되었을 때 그 총량을 구하는 문제에서 시작되었다. 예를 들어 곡선 \(y = f(x)\) 아래, 구간 \([a,b]\) 위의 넓이를 재는 문제가 이에 해당한다. 이 구간의 넓이를 직사각형으로 잘게 쪼개어 근사하고, 쪼갬을 한없이 세밀하게 하는 것이 다음 정의의 아이디어다.

정의 8 닫힌구간 \([a, b]\)의 분할_partition \(P\)는 유한개의 점 \(a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\)이다. 각 부분구간 \([x_{i-1}, x_i]\)의 길이를 \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\), 가장 긴 부분구간의 길이를 분할의 mesh_너비 \(\lVert P\rVert = \max_i \Delta x_i\)라 한다. 각 부분구간에서 표본점 \(c_i \in [x_{i-1}, x_i]\)을 택했을 때

\[S(P, f) = \sum_{i=1}^{n} f(c_i)\Delta x_i\]

를 함수 \(f\)의 리만 합_{Riemann sum}이라 한다.

리만 합은 곡선 아래 영역을 폭이 \(\Delta x_i\), 높이가 \(f(c_i)\)인 직사각형들로 근사한 넓이이다. 표본점 \(c_i\)를 각 부분구간의 왼쪽 끝, 오른쪽 끝, 또는 함수의 최솟·최댓값을 주는 점으로 잡으면 각각 좌·우 리만 합, 하합·상합이 된다. 직관적으로, 우리는 분할을 한없이 잘게 하면 이 근사가 표본점 선택과 무관하게 한 값으로 수렴하기를 기대한다.

정의 9 어떤 실수 \(S\)가 존재하여, 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대해 \(\delta > 0\)이 있어 \(\lVert P\rVert < \delta\)인 모든 분할과 표본점의 선택에 대해 \(\lvert S(P, f) - S\rvert < \epsilon\)이 성립하면, \(f\)가 \([a,b]\)에서 적분가능_integrable하다고 하고 \(S\)를 정적분이라 하여

\[\int_a^b f(x)\dd{x} = S\]

로 적는다. \(a\)와 \(b\)를 각각 적분의 아래끝·위끝이라 한다.

이 정의를 직접 적용해 정적분을 계산할 수 있다. \([0,1]\)을 \(n\)등분하고 오른쪽 끝점 \(c_i = i/n\)을 택하면,

\[\int_0^1 x\dd{x}\]

의 리만 합은

\[\sum_{i=1}^n \frac{i}{n}\cdot\frac1n = \frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2n} \rightarrow \frac12\]

이고, 같은 방식으로

\[\int_0^1 x^2\dd{x} = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n \frac{i^2}{n^3} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac13\]

이다. 특히 첫째 결과의 경우 삼각형의 넓이공식으로부터 자명하게 검산 또한 가능하다.

정리 10 \([a, b]\)에서 연속인 함수는 적분가능하다.

이 정리의 증명 또한 현재 우리의 범위를 벗어나므로 받아들이고 넘어가야만 한다. 적분가능성에 관한 다음의 세 사실도 같은 수준의 것이므로 이후의 논증에서 함께 인정하고 쓴다.

• \([a,b]\)에서 적분가능한 함수는 임의의 부분구간에서도 적분가능하다.
• \(f\)가 적분가능하면 \(\lvert f\rvert\)도 적분가능하다.
• 적분가능한 두 함수의 곱 또한 적분가능하다.

정적분의 성질

한편, 리만 합이 합과 극한으로 정의되므로, 정적분은 다음 성질들을 물려받는다.

명제 11 \(f, g\)가 \([a,b]\)에서 적분가능하면 다음이 성립한다.

1. 상수 \(\alpha, \beta\)에 대해 \(\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x))\dd{x} = \alpha\int_a^b f(x)\dd{x} + \beta\int_a^b g(x)\dd{x}\).
2. \(a < c < b\)에 대해 \(\int_a^b f(x)\dd{x} = \int_a^c f(x)\dd{x} + \int_c^b f(x)\dd{x}\).
3. 모든 \(x\)에서 \(f(x) \leq g(x)\)이면 \(\int_a^b f(x)\dd{x} \leq \int_a^b g(x)\dd{x}\).

증명

세 성질 모두 리만 합 수준에서 성립하고 극한으로 보존된다. 선형성은 \(S(P, \alpha f + \beta g) = \alpha S(P, f) + \beta S(P, g)\)에서, 단조성은 \(f(c_i) \leq g(c_i)\)이면 \(S(P, f) \leq S(P, g)\)에서 따른다. 둘째 결과는 \(c\)를 분할의 한 점으로 포함하는 분할들만 생각하면 리만 합이 두 구간의 리만 합으로 갈라짐에서 얻는다.

관례적으로 \(\int_a^a f(x)\dd{x} = 0\), 그리고 \(\int_b^a f(x)\dd{x} = -\int_a^b f(x)\dd{x}\)로 두면 둘째 결과는 \(a, b, c\)의 대소에 무관하게 성립한다. 셋째 결과로부터 두 가지 유용한 계산이 따라온다. 첫째, \(m \leq f \leq M\)이면

\[m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\dd{x} \leq M(b-a)\]

이다. 둘째, \(-\lvert f\rvert \leq f \leq \lvert f\rvert\)에 적용하면 삼각부등식의 적분판

\[\left\lvert \int_a^b f(x)\dd{x}\right\rvert \leq \int_a^b \lvert f(x)\rvert \dd{x}\]

을 얻는다. 첫 부등식을 연속함수에 적용하면, 적분값이 어떤 점에서의 함숫값에 의해 정확히 달성됨을 보일 수 있다.

명제 12 (적분의 평균값 정리) \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이면

\[\int_a^b f(x)\dd{x} = f(c)(b-a)\]

를 만족하는 \(c \in [a,b]\)가 존재한다.

증명

§연속함수, ⁋정리 4 (최대·최소 정리)로 \(f\)는 \([a,b]\)에서 최솟값 \(m\)과 최댓값 \(M\)을 가진다. 위 계산에서 평균값

\[\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\dd{x}\]

가 \([m, M]\)에 속한다. 이 값이 \(m\)이거나 \(M\)이면 최솟값 또는 최댓값을 주는 점을 \(c\)로 택하면 되고 (\(f\)가 상수라 \(m = M\)인 경우도 여기에 포함된다), 그렇지 않으면 최솟값과 최댓값을 주는 두 점 사이의 구간에 §연속함수, ⁋정리 5 (중간값 정리)를 적용하여 그 값을 취하는 \(c\), 즉 \(f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\dd{x}\)인 \(c\)를 얻는다.

여기서

\[\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\dd{x}\]

를 \(f\)의 \([a,b]\)에서의 평균값이라 하며, 명제 12 (적분의 평균값 정리)는 연속함수가 자신의 평균값을 적어도 한 점에서 실제로 취함을 말한다.

넓이와 응용

정적분은 부호가 있는 넓이로 이해하는 것이 가장 직관적이다. 가령 \(f < 0\)인 구간에서는 리만 합의 항 \(f(c_i)\Delta x_i\)가 음수이므로, \(\int_a^b f(x)\dd{x}\)는 \(x\)축과 \(f\)로 둘러싸인 영역에 마이너스 부호를 붙여준 것이다. 이 관점은 적분 구간 위에서 함수의 부호가 바뀔 때 특히 분명해지며, 한 적분이 양·음의 넓이를 상쇄하여 \(0\)이 되는 경우와 실제 넓이가 절댓값을 요구하는 경우를 가르는 데서 위에서 살펴본 삼각부등식의 적분판이 진부등호로 나타난다.

예시 13 \(\int_{-1}^{1} x\dd{x} = 0\)인 까닭은 \([-1,0]\)에서의 음의 넓이와 \([0,1]\)에서의 양의 넓이가 정확히 상쇄되기 때문이다. 각 조각은 밑변과 높이가 \(1\)인 직각삼각형이라 넓이가 \(\frac{1}{2}\)이고, 명제 11의 둘째 결과를 사용해 갈라 쓰면

\[\int_{-1}^{1} x\dd{x} = \int_{-1}^{0} x\dd{x} + \int_{0}^{1} x\dd{x} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\]

이다. 곡선과 \(x\)축이 둘러싼 실제 넓이를 원한다면 부호를 지운 \(\lvert x\rvert\)를 적분해야 하며,

\[\int_{-1}^{1} \lvert x\rvert \dd{x} = \int_{-1}^{0} (-x)\dd{x} + \int_{0}^{1} x\dd{x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\]

이 된다. 이는 삼각부등식의 적분판 \(\bigl\lvert\int_a^b f(x) \dd{x}\bigr\rvert \leq \int_a^b \lvert f(x)\rvert \dd{x}\)이 등호가 아니라 부등호 \(0 < 1\)로 성립하는 구체적 사례이며, 각 조각의 값은 삼각형 넓이로 곧바로 확인된다. 이 계산은 앞서 리만 합으로 삼각형의 넓이를 구한 것과도 일치한다.

평균값 정리는 적분을 한 점에서의 함숫값으로 바꾸어 주므로, 부등식을 다루거나 평균적 성질을 추론할 때 자주 쓰인다. 가중치를 곱한 적분에 대해서도, 가중치의 부호가 일정하기만 하면 같은 정리가 성립한다.

명제 14 (가중 평균값 정리) \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \(\mu\)가 \([a,b]\)에서 적분가능하며 \(\mu \geq 0\)이라면, 어떤 \(c \in [a,b]\)가 존재하여

\[\int_a^b f(x)\mu(x)\dd{x} = f(c)\int_a^b \mu(x)\dd{x}\]

이다.

증명

§연속함수, ⁋정리 4 (최대·최소 정리)로 \(f\)는 최솟값 \(m\)과 최댓값 \(M\)을 가진다. \(\mu \geq 0\)이므로 \(m\mu(x) \leq f(x)\mu(x) \leq M\mu(x)\)이고, 단조성과 선형성으로 적분하면

\[m\int_a^b \mu(x)\dd{x} \leq \int_a^b f(x)\mu(x) \dd{x}\leq M\int_a^b \mu(x) \dd{x}\]

를 얻는다. 만약 \(\int_a^b \mu(x)\dd{x} = 0\)이면 가운데 적분도 \(0\)이라 임의의 \(c\)로 등식이 성립한다. \(\int_a^b \mu(x)\dd{x} > 0\)이면 위 부등식을 그 값으로 나누어

\[\frac{\int_a^b f(x)\mu(x) \dd{x}}{\int_a^b \mu(x)\dd{x}} \in [m, M]\]

임을 얻는다. 이 값이 \(m\)이거나 \(M\)이면 최솟값 또는 최댓값을 주는 점을 \(c\)로 택하면 되고, 그렇지 않으면 최솟값과 최댓값을 주는 두 점 사이의 구간에 §연속함수, ⁋정리 5 (중간값 정리)를 적용하여 이 값을 취하는 \(c\)를 얻는다. 따라서 양변에 \(\int_a^b \mu(x)\dd{x}\)를 곱하면 주장하는 등식을 얻는다.

만일 \(\mu \equiv 1\)로 두면 가중 평균값 정리는 명제 12 (적분의 평균값 정리)로 환원되므로, 명제 14 (가중 평균값 정리)는 평균값 정리의 일반화로, 일종의 밀도를 추가하는 것으로 생각할 수 있다.

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참고문헌

[Ste] J. Stewart, Calculus, 8th ed., Cengage Learning, 2016.
[Kim] 김홍종, 미적분학 1·2, 제3개정판, 서울대학교출판문화원, 2020.