미적분학
테일러 정리
테일러 다항식, 라그랑주 나머지, 매클로린 전개, 근사와 극한
§미분과 도함수에서 우리는 함수를 한번 미분하여 얻어진 미분계수가 함수의 접선
\[f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)\]을 주는 것을 확인하였다. 관점을 바꿔서 보면 이것은 주어진 함수를 1차식으로 근사하는 것으로, 미분을 여러 차례 적용하면 이를 더 정교한 근사로 바꿀 수 있다.
테일러 다항식
함수 \(f\)가 점 \(a\)에서 \(n\)번 미분가능하면, \(a\)에서 함숫값과 처음 \(n\)개의 도함수 값을 \(f\)와 똑같이 갖는 차수 \(n\)의 다항식을 만들 수 있다.
정의 1 \(f\)가 점 \(a\)에서 \(n\)번 미분가능할 때, \(f\)의 \(a\)에서의 \(n\)차 테일러 다항식Taylor polynomial은
\[P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\]이다. 중심이 \(a = 0\)인 경우를 특히 매클로린 다항식Maclaurin polynomial이라 한다.
실질적으로 사용할 때에는 어차피 모든 함수를 원점으로 옮겨놓고 계산한 후 원래대로 평행이동 시키면 되므로, \(a=0\)인 경우를 정의로 취급해도 큰 문제는 없다.
테일러 정리
위에서 주장한 것과 같이, 테일러 전개는 주어진 함수를, \(n\)차다항식으로 근사하는 방식이다. 다음 그래프를 보자.
이 그래프는 sin함수의 처음 몇 개의 테일러 전개를 그린 것으로, 위의 그림을 보면 실제로 이 근사가 점점 \(\sin\) 함수에 가까워지는 것을 확인할 수 있다. 그러나 이것이 실제로 오차를 줄여나간다는 것을 수학적으로 증명하기 위해서는 다음 정리가 필요하다.
정리 2 (테일러 정리, 라그랑주 나머지) \(f\)가 \(a\)와 \(x\)를 포함하는 구간에서 \(n+1\)번 미분가능하면, \(a\)와 \(x\) 사이의 어떤 \(c\)에 대하여
\[f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x), \qquad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}\]이 성립한다.
증명
\(x \neq a\)를 고정하고, \(a\)와 \(x\) 사이의 변수 \(t\)에 대해 두 보조함수
\[g(t) = f(x) - \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k, \qquad h(t) = (x - t)^{n+1}\]을 둔다. 끝값은 \(g(x) = 0\), \(g(a) = f(x) - P_n(x) = R_n(x)\)이고 \(h(x) = 0\), \(h(a) = (x-a)^{n+1}\)이다. \(g\)를 미분하면 인접한 항들이 서로 상쇄되어
\[g'(t) = -\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x - t)^n\]만 남고, \(h'(t) = -(n+1)(x-t)^n\)이다. §평균값 정리, ⁋정리 6 (Cauchy)를 \(a\)와 \(x\) 사이에 적용하면
\[\bigl(g(x) - g(a)\bigr)h'(c) = \bigl(h(x) - h(a)\bigr)g'(c)\]인 \(c\)가 존재한다. 값을 대입하면
\[(-R_n(x))\bigl(-(n+1)(x-c)^n\bigr) = \bigl(-(x-a)^{n+1}\bigr)\left(-\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n\right)\]이고, 양변의 \((x-c)^n\)을 소거하여 정리하면 \(R_n(x) = f^{(n+1)}(c)(x-a)^{n+1}/(n+1)!\)을 얻는다.
따라서, 이제 위 정리의 나머지항을 계산하여 \(n \to \infty\)에서 \(R_n(x) \to 0\)임을 보이면, 함수가 무한급수와 일치한다는 것을 안다. 이렇게 얻어지는 무한급수를 \(f\)의 테일러 급수 (중심이 \(0\)이면 매클로린 급수) 라 한다.
실제 몇몇 예시에서 이들 계산을 따라가보자.
예시 3 \(f(x) = e^x\)의 임의의 미분은 자기 자신인 것을 확인하였으므로, 임의의 \(k\)에 대하여 \(f^{(k)}(0) = 1\)이다. 따라서 테일러 다항식은
\[P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\]이다. 나머지는 \(0\)과 \(x\) 사이의 어떤 \(c\)에 대해
\[R_n(x) = \frac{e^c x^{n+1}}{(n+1)!}\]으로 주어지고, 고정된 \(x\)에서
\[\lvert R_n(x)\rvert \leq \frac{e^{\lvert x\rvert}\lvert x\rvert^{n+1}}{(n+1)!} \to 0 \qquad (n \to \infty)\]이므로 (§수열의 극한, ⁋예시 6) 모든 실수 \(x\)에서
\[e^x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\]이 성립한다. 특히 \(x = 1\)이면 \(e = \sum_{k=0}^\infty 1/k!\)이다.
비슷하게, 우리가 알고 있는 삼각함수에서도 다음이 성립한다.
예시 4 (삼각함수) \(\sin x\)는 도함수가 \(\cos x, -\sin x, -\cos x, \sin x\)로 주기적이므로, \(f^{(k)}(0)\)이 \(0, 1, 0, -1\)을 반복한다. 모든 미분이 \(\lvert f^{(n+1)}\rvert \leq 1\)로 유계이므로, 위의 예시 3과 같은 논법으로 나머지가 \(0\)으로 간다는 것을 보일 수 있고, 따라서 모든 \(x\)에서
\[\sin x = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}, \qquad \cos x = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}\]이다.
다음은 수렴반경이 무한대가 아닌 예시이다.
예시 5 (로그함수) \(\ln(1+x)\)는 \(f^{(k)}(0) = (-1)^{k-1}(k-1)!\)이므로
\[\ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k \qquad (-1 < x \leq 1)\]으로, 이를 미분해보면 무한급수의 식
\[\frac{1}{1+x}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k}x^k\]을 얻는다. 이는 더 일반적으로, 실수 \(\alpha\)에 대해 정의된 다음의 일반화된 이항급수
\[(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k} x^k, \qquad \binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!} \qquad (\lvert x\rvert < 1)\]의 \(\alpha = -1\)인 경우이다. 또 다른 예시로 \(\alpha = 1/2\)은
\[\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \cdots\]를 준다.
위의 예시들은 특히 도함수가 유계인 경우 그 테일러 급수가 자기자신과 같다는 것을 보여준다. 이를 정식으로 적으면 다음과 같다.
명제 6 \(f\)가 \(a\)를 포함하는 구간 \(I\)에서 무한히 미분가능하고, 어떤 상수 \(M\)에 대해 모든 \(n\)과 모든 \(x \in I\)에서 \(\lvert f^{(n)}(x)\rvert \leq M\)이면, \(f\)는 \(I\)에서 자신의 테일러 급수와 일치한다.
증명
테일러 정리의 나머지는
\[\lvert R_n(x)\rvert = \frac{\lvert f^{(n+1)}(c)\rvert}{(n+1)!}\lvert x-a\rvert^{n+1} \leq \frac{M\,\lvert x-a\rvert^{n+1}}{(n+1)!}\]이다. 우변은 고정된 \(x\)에서 \(n \to \infty\)일 때 \(0\)으로 가므로 (§수열의 극한, ⁋예시 6의 \(r^n/n! \to 0\)), \(R_n(x) \to 0\)이고 부분합이 \(f(x)\)로 수렴한다.
한편, 정리 2 (테일러 정리, 라그랑주 나머지)는 본질적으로 수치적인 것으로, 이를 사용하면 근삿값이 얼마나 정확한지를 손으로 평가할 수 있다. 가령 \(\sin(0.1)\)을 \(P_3(x) = x - x^3/6\)로 근사하면, 4차 나머지가 \(\lvert R_3(0.1)\rvert \leq (0.1)^4/4! \approx 4.2\times 10^{-6}\)이라 소수점 다섯째 자리까지 정확하다는 것을 확인할 수 있으며, \(e = \sum_k 1/k!\)를 처음 \(n+1\)항에서 끊은 오차는 \(\lvert R_n(1)\rvert \leq 3/(n+1)!\) (\(e^c < 3\)) 임을 알 수 있다.
또 다른 예시로, 테일러 전개는 단순히 최고차항 혹은 최저차항만 기억하는 것이 아니므로, \(0/0\) 꼴의 극한을 계산할 때 강력하게 사용할 수 있다.
예시 7 (극한) 극한 \(\lim_{x\to 0}(e^x - 1 - x)/x^2\)를 구하자. 예시 3에서 \(e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + \cdots\)이므로
\[\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{x^2/2 + x^3/6 + \cdots}{x^2} = \frac12 + \frac{x}{6} + \cdots \to \frac12\]이다. 이는 로피탈 정리를 두 번 적용하여도 확인할 수 있는 결과로, 테일러 전개가 고차식의 정보까지 기억하고 있으므로 이를 분모와 분자 양쪽에서 약분해도 여전히 정보가 남아있기 때문이다.
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