미분법

우리는 §미분과 도함수에서 미분의 정의와 기본적인 성질들을 다루었다. 이번 글에서 우리는 구체적인 함수에 대한 미분들과, 일반적인 함수들에 대해 적용되는 미분규칙들을 다룬다.

멱급수의 항별 미분

우선 임의의 자연수 \(n\)에 대하여, \(x^n\)의 점 \(a\)에서의 미분은

\[\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(a+h)^n-a^n}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{na^{n-1}h+\ldots}{h}=na^{n-1}\]

으로 주어지는 것을 확인할 수 있으며, 비슷하게 음의 정수 \(n = -m\)에 대해서도 평균변화율을 통분하면

\[\frac{(a+h)^{-m} - a^{-m}}{h} = -\frac{(a+h)^m - a^m}{h}\cdot\frac{1}{(a+h)^ma^m}\]

이므로, 결국 모든 정수 \(n\)에 대해 \((x^n)' = n x^{n-1}\)이 성립한다.

한편, 선형성에 의해 다항식은 항별로 미분되므로 이는 임의의 다항함수에 대한 미분규칙 또한 준다. 그러나 일반적으로 무한합에서 미분을 항마다 분배하는 것은 자명하지 않은데, 다음 명제는 멱급수에 대해서는 이것이 허용됨을 보장한다.

명제 1 (멱급수의 항별 미분) 멱급수 \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n\)이 수렴반경 \(R > 0\)을 가지면, \(f\)는 \(\lvert x\rvert < R\)에서 미분가능하고

\[f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n\,c_n x^{n-1}\]

이며, 이 급수의 수렴반경도 \(R\)이다.

우변의 급수의 수렴반경이 \(R\)이 된다는 것 자체는 \(n\rightarrow \infty\)일 때 \(n^{1/n}\)이 \(1\)로 수렴한다는 것으로부터 얻어지지만, 이것이 실제로 \(f'(x)\)와 같다는 것을 엄밀히 정당화하기에는 우리의 도구가 부족하므로 이는 받아들이고 넘어가기로 한다.

삼각함수와 지수함수의 도함수

본격적으로 미분규칙들을 살펴보기 전에, 우리는 다양한 함수들의 도함수를 유도한다.

우선 지수함수는 §멱급수, ⁋예시 3 (지수함수)에서 \(e^x = \sum_{n\geq 0} x^n/n!\)로 정의하였다. 이제 명제 1 (멱급수의 항별 미분)을 적용하면 그 미분은 항별 미분의 합

\[(e^x)' = \sum_{n=1}^\infty n\,\frac{x^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = \sum_{m=0}^\infty \frac{x^m}{m!} = e^x\]

이므로, 지수함수는 미분에 대해 불변이다. 이는, 고등학교에서는 다음의 극한

\[\lim_{h\to 0}(e^h-1)/h = 1\]

로부터 얻어지는 결과였다.

삼각함수 또한 머지않아 멱급수의 형태로 쓸 것이지만, 우선은 고등학교때와 마찬가지로 두 극한

\[\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1, \qquad \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h} = 0\]

을 사용하여 얻어내기로 한다.

명제 2 (삼각함수의 도함수) 모든 점에서 \((\sin x)' = \cos x\)이고 \((\cos x)' = -\sin x\)이다.

증명

덧셈정리 \(\sin(x+h) = \sin x\cos h + \cos x \sin h\)로 평균변화율을 가르면

\[\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}\]

이고, \(h \to 0\)일 때 위 두 극한에 의해 \(\sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x\)로 수렴한다. \(\cos x\)의 도함수도 같은 방법으로 얻는다.

여러가지 미분법

이제 우리는 일반적인 형태에 적용되는 미분규칙들을 정의한다. §미분과 도함수, ⁋명제 4에서 우리는 미분이 상수곱과 덧셈에 대해서는 잘 행동하는 것을 보았지만, 곱에 대해서는 단순히 분배되지 않는다.

명제 3 (곱의 미분법) \(f, g\)가 \(a\)에서 미분가능하면 \(fg\)도 \(a\)에서 미분가능하고

\[(fg)'(a) = f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a)\]

이다.

증명

평균변화율에 같은 항을 더하고 빼면

\[\frac{f(a+h)g(a+h) - f(a)g(a)}{h} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\,g(a+h) + f(a)\,\frac{g(a+h)-g(a)}{h}\]

이다. \(h \to 0\)일 때 첫 항의 평균변화율은 \(f'(a)\)로, \(g(a+h)\)는 \(g\)의 연속성 (§미분과 도함수, ⁋명제 2)으로 \(g(a)\)로, 둘째 항의 평균변화율은 \(g'(a)\)로 수렴하므로, §함수의 극한, ⁋명제 5 (극한법칙)에 의해 합은 \(f'(a)g(a) + f(a)g'(a)\)로 수렴한다.

가장 널리 쓰이는 규칙은 합성함수의 미분이다.

정리 4 (연쇄법칙) \(f\)가 \(a\)에서 미분가능하고 \(g\)가 \(b = f(a)\)에서 미분가능하면, 합성 \(g \circ f\)도 \(a\)에서 미분가능하고

\[(g \circ f)'(a) = g'(f(a))\,f'(a)\]

이다.

증명

\(g\)의 미분가능성을 보조함수

\[\varphi(y) = \begin{cases} \frac{g(y) - g(b)}{y - b}, & y \neq b,\\[1mm] g'(b), & y = b \end{cases}\]

로 옮긴다. 미분가능성의 정의에 의해 \(\varphi\)는 \(b\)에서 연속이고, 모든 \(y\)에 대해 \(g(y) - g(b) = \varphi(y)(y - b)\)가 성립한다. \(y = f(a+h)\)를 대입하면

\[\frac{g(f(a+h)) - g(f(a))}{h} = \varphi(f(a+h))\,\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]

이고, \(h \to 0\)일 때 \(f\)의 연속성으로 \(\varphi(f(a+h)) \to \varphi(b) = g'(b)\)이며 둘째 인자는 \(f'(a)\)로 수렴하므로, 극한은 \(g'(f(a))f'(a)\)이다.

이제 몫의 미분법은 곱의 미분법과 연쇄법칙의 따름정리로 따라온다.

따름정리 5 (몫의 미분법) \(f, g\)가 \(a\)에서 미분가능하고 \(g(a) \neq 0\)이면 \(f/g\)도 \(a\)에서 미분가능하고

\[\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a)\,g(a) - f(a)\,g'(a)}{g(a)^2}\]

이다.

증명

함수 \(h(t)=1/t\)로 정의하면 \(1/g =h \circ g\)이고, 정수 거듭제곱의 미분으로 \(h'(t)=-1/t^2\)이므로, 정리 4 (연쇄법칙)에 의해 \((1/g)'(a) = -g(a)^{-2}g'(a)\)이다. 이제 \(f/g = f\cdot(1/g)\)에 곱의 미분법을 적용하면

\[\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a)}{g(a)} - \frac{f(a)g'(a)}{g(a)^2} = \frac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g(a)^2}\]

을 얻는다.

가령 \(\tan x = \sin x/\cos x\)에서 \((\tan x)' = (\cos^2 x + \sin^2 x)/\cos^2 x = \sec^2 x\)이고, 같은 방법으로 \((\cot x)' = -\csc^2 x\)이다.

마지막으로, 함수가 단조이면 그 역함수의 도함수도 따로 계산할 필요 없이 곧바로 얻어진다.

명제 6 (역함수의 미분) \(f\)가 한 구간에서 연속인 단조함수로 역함수 \(f^{-1}\)를 가지고, \(f\)가 \(a\)에서 미분가능하며 \(f'(a) \neq 0\)이라 하자. 그러면 \(f^{-1}\)은 \(b = f(a)\)에서 미분가능하고

\[(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}\]

이다.

증명

\(f^{-1}\)이 \(b\)에서 미분가능함을 받아들이면, 항등식 \(f(f^{-1}(y)) = y\)의 양변을 연쇄법칙으로 미분하여 \(f'(f^{-1}(b))\cdot(f^{-1})'(b) = 1\)을 얻고, \(f'(a) \neq 0\)이므로 증명이 완료된다.

이로써 우리는 앞에서 살펴본 함수들의 역함수에 대한 미분 또한 진행할 수 있다. 가령, \(e^x\)의 역함수 \(\ln\)에 대해 \((e^x)' = e^x\)이므로 \((\ln y)' = 1/e^{\ln y} = 1/y\)이고, \(\sin\)을 \((-\pi/2, \pi/2)\)로 제한한 역함수 \(\arcsin\)에 대해서는 \(f'(x) = \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} > 0\)이므로

\[(\arcsin y)' = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \qquad (\lvert y\rvert < 1)\]

이며, 같은 방식으로 \((\arctan y)' = 1/(1 + y^2)\)이다.

한편 지금까지의 규칙으로 도함수를 구하고 나면 그 도함수가 다시 연속인지 물을 수 있는데, 어디서나 미분가능한 함수조차 도함수가 불연속일 수 있다.

예시 7 (미분가능하지만 \(C^1\)급이 아닌 함수) 함수

\[f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}\]

는 모든 점에서 미분가능하다. \(x \neq 0\)에서는 곱의 미분법과 연쇄법칙으로 \(f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)\)이고, \(0\)에서는 평균변화율이 \(x\sin(1/x) \to 0\)이므로 \(f'(0) = 0\)이다. 그런데 \(x \to 0\)일 때 \(2x\sin(1/x) \to 0\)이지만 \(\cos(1/x)\)는 \([-1, 1]\) 사이를 무한히 진동하여 극한을 갖지 않으므로, \(f'\)은 \(0\)에서 불연속이다. 즉 \(f\)는 어디서나 미분가능하지만 도함수가 연속이 아니어서 (§미분과 도함수, ⁋정의 5의) \(C^1\)급이 아니다.

그럼에도 도함수가 아무 모양으로나 불연속일 수는 없다. 도함수는 연속이 아니더라도 임의의 중간값을 반드시 취하므로(Darboux 정리) 점프 불연속을 가질 수 없으며, 예시 7 (미분가능하지만 \(C^1\)급이 아닌 함수)에서 나타난 불연속도 점프가 아니라 진동에 의한 것이다.

미분법의 응용

마지막으로 지금까지 살펴본 규칙들을 적용하는 법을 살펴보며 이 글을 마친다. 먼저, 명제 1 (멱급수의 항별 미분)은, 우리가 멱급수를 도입한 이유와는 다소 주객이 전도된 방향이지만, 급수의 값을 구할 때 사용할 수 있다.

예시 8 (무한급수의 합) 기하급수 (§무한급수, ⁋예시 2)

\[\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n \qquad (\lvert x\rvert < 1)\]

의 양변을 미분하자. 좌변은 연쇄법칙으로

\[\left(\frac{1}{1-x}\right)' = 1/(1-x)^2\]

이고, 우변은 명제 1 (멱급수의 항별 미분)을 적용하면 \(\sum_{n\geq 1} n x^{n-1}\)이므로

\[\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2} \qquad (\lvert x\rvert < 1)\]

이고, 양변에 \(x\)를 곱하면

\[\sum_{n\geq 1} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}\]

를 얻는다. 가령 \(x = 1/2\)를 대입하면, 우리는 급수의 합 \(\sum_{n\geq 1} n/2^n = 2\)도 계산할 수 있다.

두 번째 응용은 미적분학이라는 이 카테고리에 조금 더 부합하는 결과로, 실제로 주어진 함수를 미분하는 규칙을 알려준다.

예시 9 (여러가지 미분법) 방정식이 \(y\)를 \(x\)의 함수로 정해진 경우, \(y'\)를 구하기 위해 \(y=...\) 형태로 명시적인 식을 구하는 것은 비효율적이거나, 그러한 형태를 취했을 때 깔끔한 미분이 나오지 않는 경우가 많다. 이런 상황에서 \(y\)를 \(x\)의 함수로 보고 양변을 미분한 뒤 \(y'\)에 대해 푸는 것을 음함수 미분법_{implicit differentiation}이라 한다. 가령, 단위원 \(x^2 + y^2 = 1\)에서 양변을 미분하면

\[2x + 2y\,y' = 0\]

이므로, \(y' = -x/y\)를 얻고, 따라서 주어진 점 \((x_0,y_0)\)에서의 접선의 기울기를 구할 수 있다.

지수에 변수가 있는 함수는 양변에 로그를 취한 뒤 미분하는 로그 미분법_{logarithmic differentiation}이 편하다. 예를 들어 \(y = x^x\) (\(x > 0\)) 에서 \(\ln y = x\ln x\)의 양변을 미분하면, \((\ln y)' = y'/y\)와 곱의 미분법으로

\[\frac{y'}{y} = \ln x + 1 \quad\Longrightarrow\quad y' = x^x(\ln x + 1)\]

이다.