미적분학
연속함수
연속의 정의와 연속함수의 성질 — 최대·최소 정리와 중간값 정리
우리는 §함수의 극한에서 극한을 엄밀하게 정의하였으니, 그 위에서 연속성을 정의한다.
연속의 정의
직관적으로 연속함수는 “끊김 없이 이어진” 함수이지만, 이를 엄밀하게 옮기는 데 필요한 도구는 이미 극한이라는 형태로 갖추어져 있다.
정의 1 함수 \(f\)가 정의역의 점 \(a\)에서 연속continuous이라는 것은
\[\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)\]가 성립하는 것이다. \(f\)가 정의역의 모든 점에서 연속이면 \(f\)를 연속함수라 부른다.
이를 \(\epsilon\)-\(\delta\) 논법으로 풀어쓰면, 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 어떤 \(\delta > 0\)이 존재하여
\[\lvert x - a\rvert < \delta\implies\lvert f(x) - f(a)\rvert < \epsilon\]이 성립하는 것이다. 여기서 \(x = a\)를 제외하는 조건 \(0 < \lvert x-a\rvert\)가 사라졌는데, 이는 \(x = a\)일 때는 \(\lvert f(a)-f(a)\rvert = 0 < \epsilon\)이 자동으로 성립하므로 굳이 제외할 필요가 없기 때문이다.
이 정의를 뜯어 보면 연속이 성립하려면 세 가지가 모두 충족되어야 함을 알 수 있다.
- \(f(a)\)가 정의되어 있다.
- 극한 \(\lim_{x\rightarrow a} f(x)\)가 존재한다.
- 위의 두 값이 서로 같다.
이 조건들 중 어느 것이 성립하지 않는지에 따라 불연속의 종류가 갈리게 되는데, 이는 연속함수의 기본 성질들을 살펴본 후 다시 돌아오기로 한다.
연속함수의 연산
연속은 극한값이 함숫값과 일치한다는 진술이므로, §함수의 극한, ⁋명제 5 (극한법칙)이 그대로 연속함수의 연산으로 옮겨 온다.
명제 2 \(f\)와 \(g\)가 \(a\)에서 연속이면 \(f+g\), \(cf\) (\(c\)는 상수), \(fg\)도 \(a\)에서 연속이고, \(g(a) \neq 0\)이면 \(f/g\)도 \(a\)에서 연속이다. 또한 \(f\)가 \(a\)에서 연속이고 \(g\)가 \(f(a)\)에서 연속이면 합성함수 \(g \circ f\)는 \(a\)에서 연속이다.
증명
오직 합성함수만이 새로운 정리이다. 임의의 \(\epsilon > 0\)이 주어졌다 하자. 그럼 우선 \(g\)가 \(b := f(a)\)에서 연속이므로 어떤 \(\eta > 0\)이 존재하여
\[\lvert y - b\rvert < \eta\implies\lvert g(y) - g(b)\rvert < \epsilon\]이다. 다시 \(f\)가 \(a\)에서 연속이므로 이 \(\eta\)에 대응하는 \(\delta > 0\)이 존재하여
\[\lvert x-a\rvert < \delta\implies\lvert f(x) - b\rvert < \eta\]이다. 두 단계를 이으면, \(\lvert x-a\rvert < \delta\)일 때 \(y = f(x)\)가 \(\lvert y - b\rvert < \eta\)를 만족하므로 \(\lvert g(f(x)) - g(f(a))\rvert < \epsilon\)이다.
우리는 상수함수와 일차함수 \(f(x)=x\)가 연속임을 확인할 수 있다. 따라서, 이들의 합과 곱을 반복하면 임의의 다항함수가 연속이며, 여기에 몫을 취하면 임의의 유리함수는 분모가 \(0\)이 되는 점을 제외한 모든 곳에서 연속이다. 다음은 조금 덜 자명한 연속함수의 예시이다.
예시 3 삼각함수 \(\sin x\)가 정의역의 모든 점에서 연속임을 보이자. 삼각함수의 합차공식에서
\[\lvert \sin x - \sin a\rvert= \left\lvert 2\cos\frac{x+a}{2}\sin\frac{x-a}{2}\right\rvert \leq 2\left\lvert \sin\frac{x-a}{2}\right\rvert\]이 항상 성립하는 것을 안다. 이제 여기에 §함수의 극한, ⁋예시 10에서 얻은 부등식 \(\lvert \sin t\rvert \leq \lvert t\rvert\)를 적용하면, 임의의 \(a \in \mathbb{R}\)에 대해
\[\lvert \sin x - \sin a\rvert\leq\lvert x-a\rvert\]가 성립하므로 \(\delta = \epsilon\)으로 두면 된다.
이제 \(\cos\) 함수는 \(\sin\)함수를 평행이동하여 얻을 수 있으므로 명제 2에 의해 연속이며, 따라서 위에서 살펴본 논증에 의하여 \(\tan x\)도 분모가 \(0\)이 되는 지점을 제외한 곳에서는 모두 연속이다.
닫힌구간 위 연속함수의 성질
한편, 연속함수의 한 가지 유용한 성질은 \(f\)가 \(a\)에서 연속이고 \(f(a) > 0\)이면, \(\epsilon = f(a)/2\)에 대응하는 \(\delta\)를 잡을 수 있으므로 이 경우 \(a\)의 \(\delta\)-근방에서 \(f\)가 항상 양수라는 것이다. 이 단순한 사실은 그 자체로도 유용할 뿐만 아니라, 다음의 정리들로도 일반화된다.
정리 4 (최대·최소 정리) \(f\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이면, \(f\)는 \([a,b]\)에서 최댓값과 최솟값을 갖는다. 즉 어떤 \(c, d \in [a,b]\)가 존재하여 모든 \(x \in [a,b]\)에 대해 \(f(d) \leq f(x) \leq f(c)\)이다.
정리 5 (중간값 정리) \(f\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이고 \(f(a) \neq f(b)\)이면, \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이의 임의의 값 \(y\)에 대하여 \(f(c) = y\)를 만족하는 \(c \in (a,b)\)가 존재한다.
이 두 정리의 증명은 실수의 완비성을 본질적으로 필요로 한다.
마지막으로, 연속이 깨지는 방식을 분류해 두면 함수의 거동을 기술하는 데 편리하다.
정의 6 (불연속의 분류) 함수 \(f\)가 점 \(a\)에서 불연속일 때, 두 한쪽 극한 \(\lim_{x\rightarrow a^\pm} f(x)\)의 거동에 따라 다음 셋으로 나눈다.
- removable discontinuity제거가능 불연속: 극한 \(\lim_{x\rightarrow a} f(x)\)가 존재하나 \(f(a)\)와 다르거나 \(f(a)\)가 정의되지 않은 경우. \(f(a)\)를 극한값으로 (재)정의하면 연속이 된다. 예: \((x^2-1)/(x-1)\) (\(a=1\)).
- jump discontinuity도약 불연속: 두 한쪽 극한이 모두 존재하나 서로 다른 경우. 예: \(\lvert x\rvert/x\) (\(a=0\)).
- essential discontinuity본질적 불연속: 한쪽 극한 중 적어도 하나가 존재하지 않는 (진동하거나 발산하는) 경우. 예: \(\sin(1/x)\) (\(a=0\)).
단조함수와 역함수
중간값 정리의 중요한 응용 하나는 역함수의 연속성이다. 함수가 구간에서 순증가(또는 순감소)한다는 것은 \(x_1 < x_2\)이면 항상 \(f(x_1) < f(x_2)\) (또는 \(>\)) 인 것을 말하며, 이러한 함수를 통틀어 순단조strictly monotone라 한다. 순단조함수는 자명히 단사이므로 그 image 위에서 역함수를 가진다.
명제 7 \(f\)가 구간 \(I\)에서 연속이고 순단조이면, 그 image \(J = f(I)\)도 구간이고 역함수 \(f^{-1} : J \rightarrow I\) 역시 연속인 순단조함수이다.
증명
\(f\)가 순증가한다고 하자. \(J\)가 구간임은 중간값 정리에서 따른다: \(f\)의 두 값 사이의 임의의 값도 \(f\)가 취하므로 \(J\)에 빈틈이 없다. 역함수 \(f^{-1}\)이 순증가함은 \(f\)의 순증가성에서 즉시 나온다. 연속성을 보이려면, \(f^{-1}\)이 불연속인 점이 있으면 그곳에서 \(f^{-1}\)의 image에 jump가 생겨 \(I\)가 구간이 아니게 되는데, 이는 \(I\)가 구간이라는 데 모순이다. 따라서 \(f^{-1}\)은 연속이다.
예컨대 \(f(x) = x^n\) (\(x \geq 0\), \(n\)은 자연수) 은 연속이고 순증가하므로, 그 역함수인 \(n\)제곱근 \(\sqrt[n]{x}\)도 연속이다. 마찬가지로 삼각함수를 제한한 것의 역함수인 역삼각함수 등도 모두 연속이다. 이로써 연속함수의 기본 성질을 갖추었다.
참고문헌
[Ste] J. Stewart, Calculus, 8th ed., Cengage Learning, 2016.
[Kim] 김홍종, 미적분학 1·2, 제3개정판, 서울대학교출판문화원, 2020.
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