선적분

이제 우리는 벡터함수의 적분을 살펴본다. 이를 위한 첫째 단계는 선적분으로, 이는 벡터장이 정의된 공간 \(\mathbb{R}^n\) 안에서 정의된 곡선을 따라가며, 각각의 점에서의 벡터가 기여하는 힘들을 모두 더해 누적시키는 것이다. 흥미로운 것은 벡터장이 보존장이었다면 이 적분이 경로에 무관해져서 오직 끝점에만 의존한다는 것으로, 이는 §미적분의 기본정리의 고차원 버전이라 할 수 있다.

선적분

정의 1 \(C^1\) 곡선 \(\mathbf{r}\colon [a, b] \to \mathbb{R}^n\) 위에서 연속인 스칼라장 \(f\)의 선적분_{line integral}은

\[\int_C f\mathop{ds} = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\lvert \mathbf{r}'(t)\rvert \mathop{dt}\]

이다. 여기서 \(ds = \lvert \mathbf{r}'(t)\rvert \mathop{dt}\)는 호의 길이 원소이다.

정의에 의해 위의 적분은 arc-length parametrization을 사용한 적분값이므로 이는 곡선의 매개화에 의존하지 않는다. 특수한 경우로 \(f \equiv 1\)이면 \(\int_C \mathop{ds}\)가 곡선의 길이를 줄 것이다.

이제 이를 벡터함수의 적분으로 올려주기 위해서는 곡선의 방향을 고려하여 다음과 같이 정의해야 한다.

정의 2 \(C^1\) 곡선 \(\mathbf{r}\colon [a, b] \to \mathbb{R}^n\) 위의 연속 벡터장 \(\mathbf{F}\)의 선적분은

\[\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\mathop{dt}\]

이다.

이를 단위접선벡터를 활용하여 \(\mathbf{T} = \mathbf{r}'/\lvert \mathbf{r}'\rvert\)로 쓰면

\[\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_C (\mathbf{F}\cdot \mathbf{T})\mathop{ds}\]

이 되는 것을 확인할 수 있다. 특별히 평면에서 \(\mathbf{F} = (P, Q)\)이고 \(\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))\)이면

\[\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_C P\mathop{dx} + Q\mathop{dy}\]

로 쓰는 표기도 흔히 쓰인다. 또, 닫힌곡선을 따라 적분한 결과를 나타내기 위해 \(\oint\)를 사용하기도 하지만, 이는 기호의 문제이고 본질적으로 새로운 내용이 더해지는 것은 없다.

선적분의 기본정리

우리의 핵심 정리는 위에서 예고했듯 보존장의 선적분이 끝점에서의 함숫값 차이로 환원된다는 것이다.

정리 3 (선적분의 기본정리) \(f\)가 \(C^1\)이고 \(C\)가 \(\mathbf{r}(a) = \mathbf{A}\)에서 \(\mathbf{r}(b) = \mathbf{B}\)로 가는 \(C^1\) 곡선이면

\[\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(\mathbf{B}) - f(\mathbf{A})\]

이다. 특히 보존장의 선적분은 양 끝점에만 의존한다.

증명

다변수 연쇄법칙 (§다변수함수와 편미분, ⁋정리 6 (다변수 연쇄법칙))으로 \(\frac{d}{dt} f(\mathbf{r}(t)) = \nabla f(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\)이다. 따라서 §미적분의 기본정리, ⁋정리 4를 적용하면

\[\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \nabla f(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\mathop{dt} = \int_a^b \frac{d}{dt} f(\mathbf{r}(t))\mathop{dt} = f(\mathbf{r}(b)) - f(\mathbf{r}(a))\]

를 얻는다.

정리 3 (선적분의 기본정리)은 보존장의 선적분이 경로에 무관함을 말한다. 놀랍게도 그 역도 성립한다.

정리 4 \(\mathbf{F}\)가 연결된 열린 영역 \(D\)에서 연속일 때, 다음은 동치이다.

1. \(\mathbf{F}\)는 \(D\)에서 보존장이다.
2. \(D\) 안의 모든 닫힌 곡선 \(C\)에 대해 \(\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0\)이다.
3. \(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\)는 \(C\)의 양 끝점에만 의존하고 경로에는 무관하다.

증명

\((1 \Rightarrow 3)\)은 정리 3 (선적분의 기본정리)이다. \((3 \Leftrightarrow 2)\)는 닫힌 곡선을 한 점에서 끊어 두 경로로 보고, 한 경로를 거꾸로 이으면 닫힌 곡선이 되므로 자명하다.

따라서 핵심 주장은 \((3 \Rightarrow 1)\)이다. 이를 위해 퍼텐셜을 직접 만들어야 한다. 기준점 \(\mathbf{x}_0 \in D\)를 고정하고, 임의의 \(\mathbf{x}\in D\)에 대해서 \(f(\mathbf{x})\)를 \(\mathbf{x}_0\)에서 \(\mathbf{x}\)를 따라 \(\mathbf{F}\)를 선적분한 값으로 두자. 이는 원래대로라면 \(\mathbf{x}_0\)과 \(\mathbf{x}\)를 잇는 곡선 \(\mathbf{r}\)의 선택에 의존하지만, 우리는 셋째 조건을 가정하고 있으므로 이 정의가 정당하다. 이제 한 좌표방향 \(\mathbf{e}_i\)로의 평균변화율

\[\frac{f(\mathbf{x} + h \mathbf{e}_i) - f(\mathbf{x})}{h}\]

은 \(\mathbf{x}\)에서 \(\mathbf{x} + h \mathbf{e}_i\)로 가는 직선 선분 위의 적분을 \(h\)로 나눈 것이므로, \(h \to 0\)일 때 \(F_i(\mathbf{x})\)로 수렴하며, 따라서 \(\partial f/\partial x_i = F_i\), 곧 \(\nabla f = \mathbf{F}\)이다.

가령 다음 예시에서 이를 확인해보자.

예시 5 (보존장의 예시) \(\mathbf{F} = (y, x)\)를 점 \((0,0)\)에서 \((1,1)\)로 가는 포물선 \(\mathbf{r}(t) = (t, t^2)\) (\(0 \leq t \leq 1\))을 따라 적분해보자.

\[\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = (t^2, t),\qquad \mathbf{r}'(t) = (1, 2t)\]

이므로

\[\mathbf{F}\cdot \mathbf{r}' = t^2 + 2t^2 = 3t^2\]

이고 따라서 이를 적분하면

\[\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 3t^2\mathop{dt} = 1\]

이다. 실제로, \(\mathbf{F} = \nabla(xy)\)이므로 정리 3 (선적분의 기본정리)으로 \(xy\)의 양 끝 값 차이 \(1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1\)를 계산해보면 위의 계산을 복원할 수 있다. 이는 오직 끝점에만 의존하는 것으로, 가령 \(\mathbf{r}(t)=(t,t)\) (\(0 \leq t \leq 1\))로 주면

\[\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(t,t),\qquad \mathbf{r}'(t)=(1,1)\]

이므로 \(\mathbf{F}\cdot \mathbf{r}'=2t\)가 되어

\[\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 2t\mathop{dt} = 1\]

임을 확인할 수 있다.

한편 §벡터장, ⁋명제 6에서 보존장은 무회전이라는 필요조건을 가짐을 보았다. 정리 4는 이것이 충분조건이 못 되는 까닭을 경로독립성의 언어로 드러낸다. 보존장은 모든 닫힌 곡선에서의 적분이 \(0\)이라는 것과 동치이므로, 무회전이라도 닫힌 곡선 적분이 \(0\)이 아닌 예가 하나라도 있으면 보존장이 아니다. 그런 예는 정의역에 구멍이 있을 때 실제로 생기는데, 바로 다음 예시가 그것이다.

예시 6 원점을 뺀 평면 \(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}\)에서 정의된 벡터장

\[\mathbf{F} = \left(\frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}\right)\]

를 보자. 이를 직접 미분하면

\[\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}\]

이므로, 이 벡터장은 무회전이다. 그런데 단위원 \(\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t)\)를 따라 한 바퀴 돌면 \(\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = (-\sin t, \cos t) = \mathbf{r}'(t)\)라

\[\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} (\sin^2 t + \cos^2 t)\mathop{dt} = 2\pi \neq 0\]

이다. 정리 4에 의해 \(\mathbf{F}\)는 이 영역에서 보존장이 아니다. 이는 국소적으로는 이 벡터장이 편각 \(\theta = \arctan(y/x)\)의 기울기로 나타낼 수 있지만, 편각이 원점을 돌 때 \(2\pi\)만큼 불어나 한 값으로 정의되지 못하는 것이 그 원인이다.