미적분학
그린 정리
그린 정리, 넓이 공식, 회전형과 발산형, 단순연결과 보존장
미적분의 기본정리와 선적분의 기본정리가 공통적으로 갖고 있는 정신은 영역 interior에서 일어나는 일이 boundary의 적분으로 나타난다는 것이다. 이는 나중에 발산정리와 스토크스 정리 등의 원형으로 볼 수 있으며, 이번 글에서 살펴볼 그린 정리는 이 정신의 \(2\)차원 버전이라 할 수 있다.
그린 정리
우선 우리는 평면 영역 \(D\)의 경계곡선 \(\partial D\)에는 두 방향 중, 영역을 왼쪽에 두고 도는 방향, 곧 바깥 boundary는 반시계방향으로 도는 것을 양의 방향positive orientation이라 정의한다. 그럼 다음이 성립한다.
정리 1 (그린) \(D\)가 조각마다 smooth한 simple closed curve \(C = \partial D\)로 둘러싸인 평면 영역이고 \(P, Q\)가 \(D\)를 포함하는 열린집합에서 \(C^1\)이면, \(C\)를 양의 방향으로 잡을 때
\[\oint_C P\dd{x} + Q\dd{y} = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\dd{A}\]이다.
증명
먼저 \(D\)가 \(y\)에 대해 단순한 영역, 곧
\[D = \{(x,y) \mid a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}\]인 경우에 다음의 식
\[\oint_C P\dd{x} = -\iint_D \partial P/\partial y\dd{A}\]를 보인다. 이중적분 쪽은 §다중적분, §§푸비니 정리의 반복적분 공식으로 안쪽을 먼저 적분하면
\[\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\dd{A} = \int_a^b \bigl(P(x, g_2(x)) - P(x, g_1(x))\bigr)\dd{x}\]이다. 한편 boundary \(C\)는 아래 곡선 \(y = g_1(x)\)를 \(x\colon a \rightarrow b\)로, 위 곡선 \(y = g_2(x)\)를 \(x\colon b \rightarrow a\)로 도는 두 조각으로 이루어지고, 양 옆 수직변에서는 \(x\)가 상수라 \(\dd{x} = 0\)이다. 따라서
\[\oint_C P\dd{x} = \int_a^b P(x, g_1(x))\dd{x} + \int_b^a P(x, g_2(x))\dd{x} = -\int_a^b \bigl(P(x,g_2) - P(x,g_1)\bigr)\dd{x}\]이라 두 식을 비교하면
\[\oint_C P\dd{x} = -\iint_D \partial P/\partial y\dd{A}\]이다. Symmetric하게, \(D\)가 \(x\)에 대해 단순한 영역이면
\[\oint_C Q\dd{y} = \iint_D \partial Q/\partial x\dd{A}\]이다. 일반 영역은 이러한 조각들로 잘라 합치면 내부 boundary들의 적분이 방향이 반대인 두 번의 적분으로 상쇄되어 정리가 성립한다.
특히 이중적분의 피적분함수가 \(1\)이 되도록 \(P, Q\)를 고르면, 영역의 넓이를 boundary에서의 선적분으로 계산할 수 있다.
따름정리 2 \(D\)의 넓이는 boundary 적분으로
\[\area(D) = \oint_C x\dd{y} = -\oint_C y\dd{x} = \frac{1}{2}\oint_C (x\dd{y} - y\dd{x})\]로 주어진다.
증명
정리 1 (그린)에서 \((P, Q) = (0, x)\)로 두면 \(Q_x - P_y = 1\)이라
\[\oint_C x\dd{y} = \iint_D 1\dd{A} = \area(D)\]이고, \((P, Q) = (-y, 0)\)으로 두면
\[\oint_C -y\dd{x} = \area(D)\]이다. 셋째 식은 이 둘을 평균낸 것이다.
한편, 그린 정리는 평면벡터장 \(\mathbf{F} = (P, Q)\)의 두 미분량을 각각 boundary 적분으로 해석하는 두 형태로 다시 적힌다. 이때 평면벡터장의 발산은 회전의 경우와 마찬가지로 \(\mathbf{F}\)를 \(z\)에 무관한 \((P, Q, 0)\)으로 보아 얻는 \(\divergence \mathbf{F} = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y\)이다. (§벡터장, ⁋정의 3)
명제 3 \(D\)의 boundary \(C\)가 양의 방향이고 \(\mathbf{F} = (P, Q)\)가 \(C^1\)이면, 단위접선 \(\mathbf{T}\)와 바깥 단위법선 \(\mathbf{n}\)에 대해
\[\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T}\dd{s} = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\dd{A}, \qquad \oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\dd{s} = \iint_D \divergence \mathbf{F}\dd{A}\]이다.
증명
첫째 등식은
\[\oint_C \mathbf{F}\cdot \mathbf{T}\dd{s} = \oint_C P\dd{x} + Q\dd{y}\]가 바로 정리 1 (그린)의 좌변이고, 우변의 피적분함수 \(Q_x - P_y\)가 평면벡터장의 회전이다. (§벡터장, ⁋정의 3)
둘째 등식의 경우, 양의 방향 boundary에서 바깥 단위법선 \(\mathbf{n}\)에 대해 \(\mathbf{n}\dd{s} = (\dd{y}, -\dd{x})\)임을 쓰면
\[\oint_C \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\dd{s} = \oint_C P\dd{y} - Q\dd{x}\]인데, 정리 1 (그린)을 \((P, Q) \mapsto (-Q, P)\)에 적용하면 이것이
\[\iint_D (P_x + Q_y)\dd{A} = \iint_D \divergence \mathbf{F}\dd{A}\]와 같다.
첫째 등식은 그린 정리와 정확히 동일한 것이며, 오직 둘째 등식만이 새로운 것이나 이 또한 직관적 의미가 명확하다. 즉, 함수 \(\mathbf{F}\)를 boundary에서
영역이 단순연결simply connected이라는 것은 그 안의 임의의 closed 곡선을 영역 밖으로 나가지 않고 한 점까지 연속적으로 수축시킬 수 있다는 뜻으로, 직관적으로는 구멍이 없는 영역이라 생각하면 된다. 가령 원반은 단순연결이지만 중심을 뺀 원반은 그렇지 않은데, 중심을 감싸는 원을 한 점으로 줄이려면 반드시 빠진 중심을 지나야 하기 때문이다.
따름정리 4 단순연결 열린 영역에서 \(C^1\) 벡터장 \(\mathbf{F} = (P, Q)\)가 \(\partial Q/\partial x = \partial P/\partial y\)을 만족하면 \(\mathbf{F}\)는 보존장이다.
증명
영역이 단순연결이므로 그 안의 임의의 simple closed curve \(C\)가 둘러싸는 영역 \(D\) 전체가 다시 영역 안에 들어간다. 이제
\[\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_D (Q_x - P_y)\dd{A} = 0\]이고, 모든 closed 곡선에서 적분이 \(0\)이므로 §선적분, ⁋정리 4에 의해 \(\mathbf{F}\)는 보존장이다.
예시 5 (단순연결성) §선적분, ⁋예시 6의
\[\mathbf{F} = (-y, x)/(x^2+y^2)\]은 무회전이지만 원점을 도는 단위원에서 적분이 \(2\pi\)였다. 따름정리 4에 의하면 이는 오직 이 벡터장이 정의된 영역이 단순연결이 아니어야만 말이 되며, 실제로 정의역 \(\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\)이 단순연결이 아니다. 뿐만 아니라, 원점을 품지 않는 closed 곡선에서는 \(\mathbf{F}\)의 적분이 모두 \(0\)이므로, 문제가 되는 것은 오직 벡터장이 정의되지 않는 원점 뿐인 것도 확인할 수 있다.
참고문헌
[Ste] J. Stewart, Calculus, 8th ed., Cengage Learning, 2016.
[Kim] 김홍종, 미적분학 1·2, 제3개정판, 서울대학교출판문화원, 2020.
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