곡선과 벡터함수

지금까지 우리가 다룬 함수는 실수를 실수로 보내는 \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) 뿐으로, 냉정하게 말하면 극한의 개념이 \(\epsilon\)-\(\delta\)를 사용하여 엄밀하게 정의되었다는 것 외에는 고등학교에서 배운 내용과 큰 차이가 없었다. 우리는 이제 이를 일반화하여 실제로 새로운 내용을 살펴본다. 일반화의 방향은 차원을 늘리는 것으로, 여기에는 정의역의 차원을 올리는 방향과 공역의 차원을 올리는 방향이 있다. 이 글에서는 후자, 곧 한 실수를 여러 실수로 보내는 함수 \(\mathbf{r}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n\)을 먼저 다룬다. 이는 매개변수 하나로 공간 속의 곡선을 그리는 벡터값 함수로, 시간에 따라 움직이는 점의 자취로 볼 수 있어 미분이 속도와 가속도라는 물리적 의미를 얻고 적분이 곡선의 길이를 잰다.

벡터공간

곡선은 한 실수를 받아 여러 실수로 이루어진 점을 내어주는 함수, 곧 \(\mathbb{R}^n\) 안으로 들어가는 함수이므로, 그 공간의 구조를 먼저 간략히 정리한다. \(\mathbb{R}^n\)은 벡터공간_{vector space}이며, 이 공간의 원소를 벡터_vector라 부른다. 벡터는 순서쌍

\[\mathbf{a}=(a_1, \ldots, a_n)\qquad a_i\in\mathbb{R}\]

으로 쓰이며, 벡터들 사이에는 두 가지 기본 연산이 있다. 하나는 두 벡터 \(\mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_n)\)와 \(\mathbf{w}=(w_1,\ldots,w_n)\)를 더하는 덧셈

\[\mathbf{v}+\mathbf{w}=(v_1+w_1,\ldots,v_n+w_n)\]

이고, 다른 하나는 실수 \(c\)를 곱하는 스칼라곱

\[c\mathbf{v}=(cv_1,\ldots,cv_n)\]

이다. 이 연산들은 좌표평면에서 본 벡터 연산을 \(n\)차원으로 그대로 옮긴 것이며, 교환법칙과 결합법칙, 분배법칙 등이 자연스럽게 성립한다. 특별히 다음의 벡터들

\[\mathbf{e}_1=(1,0,\ldots, 0,0),\ldots, \mathbf{e}_n=(0,0,\ldots, 0,1)\]

은 표준기저벡터들이라 불리며, 이들을 사용하면 임의의 벡터는

\[\mathbf{v}=\sum_{i=1}^n v_i \mathbf{e}_i\]

으로 써줄 수 있다.

우리가 다루는 공간은 유클리드 공간이므로 여기에 내적과 노름도 함께 사용한다. 두 벡터 \(\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n\)의 내적_{inner product}은 좌표별 곱의 합

\[\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=v_1w_1+\cdots+v_nw_n\]

으로 정의되고, 이로부터 벡터의 norm_노름, 즉 크기는 \(\lVert \mathbf{v}\rVert=\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}\)로 주어진다. 내적은 두 벡터가 이루는 각도를 재는 데에도 쓰이며, 특히 \(\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=0\)일 때 두 벡터가 서로 직교_orthogonal한다고 한다.

한편, 세 차원 \(\mathbb{R}^3\)에서는 추가로 외적_{cross product}이 정의된다. 두 벡터 \(\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3\)에 대해 외적 \(\mathbf{v}\times \mathbf{w}\)는 \(\mathbf{v}\)와 \(\mathbf{w}\) 모두에 직교하면서 방향이 오른손 법칙을 따르고, 크기는 \(\mathbf{v}\)와 \(\mathbf{w}\)가 이루는 평행사변형의 넓이와 같은 벡터이다. 좌표로는

\[\mathbf{v}\times \mathbf{w}=(v_2w_3-v_3w_2,\ v_3w_1-v_1w_3,\ v_1w_2-v_2w_1)\]

로 계산한다. 이 글에서는 외적을 주로 직교하는 벡터를 만드는 도구로 쓴다.

벡터값 함수

그럼 우선 다음을 정의할 수 있다.

정의 1 구간 \(I \subseteq \mathbb{R}\)의 각 \(t\)에 점 \(\mathbf{r}(t) = (x_1(t), \ldots, x_n(t)) \in \mathbb{R}^n\)을 대응시키는 함수 \(\mathbf{r}\colon I \to \mathbb{R}^n\)을 벡터값 함수_{vector-valued function} 또는 매개곡선_{parametrized curve}이라 하고, 각 \(x_i\)를 그 성분함수라 한다.

직관적으로 이는 \(t\)가 변함에 따라 벡터공간의 다른 점이 대응되는 규칙으로, 시간에 따라 움직이는 점의 자취를 표현한 것으로 생각할 수 있다.

벡터값 함수의 극한은 일차원에서의 함수의 극한과 마찬가지로 정의된다. 즉, 임의의 \(\epsilon\)이 주어질 때마다, 항상 적당한 \(\delta>0\)이 존재하여

\[0<\lvert t-t_0\rvert<\delta\implies \lVert \mathbf{r}(t)-\mathbf{v}\rVert<\epsilon\]

를 만족하도록 할 수 있을 때 이 벡터함수 \(\mathbf{r}\)이 \(t\rightarrow t_0\)일 때 벡터 \(\mathbf{v}\)로 수렴한다고 말한다. 그럼 코시–슈바르츠 부등식

\[\lvert\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\rvert\leq\lVert\mathbf{a}\rVert\lVert\mathbf{b}\rVert\]

에 의하여,

\[\lvert x_i(t)-v_i\rvert=\lvert(\mathbf{r}(t)-\mathbf{v})\cdot\mathbf{e}_i\rvert\leq\lVert\mathbf{r}(t)-\mathbf{v}\rVert\]

이므로 만일 \(\mathbf{r}(t)\to\mathbf{v}\)이면 각 성분도 \(x_i(t)\to v_i\)로 수렴한다. 반대로 모든 성분이 수렴하면

\[\lVert\mathbf{r}(t)-\mathbf{v}\rVert^2=\sum_i(x_i(t)-v_i)^2\to 0\]

이므로 \(\mathbf{r}(t)\to\mathbf{v}\)이다. 즉, 벡터함수의 수렴은 각 성분함수의 수렴과 같은 것이며, 특히 벡터함수의 연속과 미분이 모두 성분별로 잘 정의된다.

명제 2 \(\mathbf{r}(t) = (x_1(t), \ldots, x_n(t))\)의 각 성분함수가 \(t\)에서 미분가능하면 \(\mathbf{r}\)도 \(t\)에서 미분가능하고 \(\mathbf{r}'(t) = (x_1'(t), \ldots, x_n'(t))\)이다.

증명

평균변화율 \((\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t))/h\)의 \(i\)번째 성분은 정확히 \((x_i(t+h) - x_i(t))/h\)이다. 각 성분의 극한이 \(x_i'(t)\)로 존재하므로, \(\mathbf{r}'(t) = (x_1'(t), \ldots, x_n'(t))\)이다.

또, 비슷한 논증으로 스칼라함수의 곱미분과 같은 규칙이 벡터의 곱셈들로 옮겨진다.

명제 3 (미분 법칙) \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\colon I \to \mathbb{R}^n\)이 미분가능하고 \(f\colon I \to \mathbb{R}\)가 미분가능하며 \(\varphi\colon J \to I\)가 미분가능한 실함수이면

\[(f \mathbf{u})' = f' \mathbf{u} + f \mathbf{u}', \qquad (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})' = \mathbf{u}' \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}', \qquad (\mathbf{u} \circ \varphi)'(t) = \varphi'(t) \mathbf{u}'(\varphi(t))\]

이고, \(n = 3\)일 때 교차곱에 대해 \((\mathbf{u} \times \mathbf{v})' = \mathbf{u}' \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{v}'\)이다.

증명

모두 성분별로 적으면 스칼라함수의 곱미분과 연쇄법칙으로 환원된다. 가령 내적은 \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_i u_i v_i\)이므로 \((\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})' = \sum_i (u_i' v_i + u_i v_i') = \mathbf{u}' \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}'\)이고, 외적과 스칼라곱도 각 성분이 \(u_i v_j\) 꼴의 곱들의 합이라 같은 방식으로 보일 수 있다. 합성은 §미분법, ⁋정리 4 (연쇄법칙)를 각 성분에 적용한 것이다.

이 명제의 유용한 따름정리 중 하나는 \(\lVert \mathbf{u}(t)\rVert\)가 상수이면 \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = \lVert \mathbf{u}\rVert^2\)도 상수이므로 \((\mathbf{u} \cdot \mathbf{u})' = 2 \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}' = 0\), 곧 \(\mathbf{u} \perp \mathbf{u}'\)라는 것이다. 즉, 길이가 일정한 벡터의 변화율은 항상 그 벡터에 수직이며, 원운동에서 위치벡터와 속도가 수직인 것이 이 사실의 특수한 경우이다.

속도와 가속도

위에서 살펴봤듯 벡터 함수는 물리적 현상을 나타내는데 좋은 도구이다. 이제 그 물리적 직관을 설명해 보기로 한다.

정의 4 곡선 \(\mathbf{r}(t)\)에 대해 \(\mathbf{r}'(t)\)를 속도_velocity, 그 크기 \(\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert\)를 속력_speed, \(\mathbf{r}''(t)\)를 가속도_acceleration라 한다. \(\mathbf{r}'(t) \neq 0\)인 점에서

\[\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert}\]

을 단위접선벡터_{unit tangent vector}라 한다.

속도는 곡선의 진행 방향을 가리키고 그 크기가 점이 움직이는 빠르기이며, 단위접선벡터는 속도의 방향만 남긴 것이다. 이것이 잘 정의되기 위한 조건은 매개곡선 \(\mathbf{r}\)이 일급정칙곡선_{$C^1$-regular curve}이라는 것으로, 이는 다음 두 조건을 모두 만족하는 곡선들이다.

1. \(\mathbf{r}\)이 일급_$C^1$이다. 즉, 속도벡터 \(\mathbf{r}'(t)\)가 연속적으로 존재한다.
2. \(\mathbf{r}\)이 정칙_regular이다. 즉, \(\mathbf{r}'(t)\)가 \(0\)이 되는 곳이 없다.

그럼 특히 둘째 조건에 의해 단위접선벡터 \(\mathbf{T}\)가 어디서나 잘 정의되며, 첫째 조건에 의해 \(\mathbf{T}(t)\)는 연속이다. 이 글에서는 특별한 언급이 없는 한 일급정칙 곡선을 기본으로 다룬다.

움직이는 대상이 주어졌을 때, 우리가 궁금한 것 중 하나는 시간동안 움직인 거리다. 이는 1차원에서와 마찬가지로, 속도 벡터를 적분하여 얻을 수 있으며, 엄밀하게는 곡선을 곡선 위의 점들을 잇는 다각형으로 근사하여, 분할

\[a = t_0 < \cdots < t_m = b\]

에 대해 선분 길이의 합

\[\sum_k \lVert \mathbf{r}(t_k) - \mathbf{r}(t_{k-1})\rVert\]

을 만들고 분할을 잘게 하여 이것이 \(\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert\)의 리만 합으로 수렴한다는 것을 보이는 것으로, 이 과정을 압축하면 다음의 정의를 얻는다.

정의 5 일급곡선 \(\mathbf{r}\colon [a, b] \to \mathbb{R}^n\)의 arc length_{호의 길이}는

\[L = \int_a^b \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert \mathop{dt}\]

이다.

피적분함수 \(\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert\)는 연속이므로 적분가능하다 (§적분, ⁋정리 10). 이제 시작점에서 잰 호의 길이

\[s(t) = \int_a^t \lVert \mathbf{r}'(\tau)\rVert \mathop{d\tau}\]

를 arc length_{호의 길이}라 하며, 미적분의 기본정리에 의해 \(s'(t) = \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert > 0\)이므로 \(s\)는 증가함수이고, \(t\)를 \(s\)로 풀어 곡선을 arc length로 다시 매개화할 수 있다.

명제 6 곡선을 arc length \(s\)로 매개화하면 단위속력이다. 즉 \(\lVert d\mathbf{r}/ds\rVert = 1\)이다.

증명

연쇄법칙으로 \(d\mathbf{r}/\mathop{dt} = (d\mathbf{r}/ds)(ds/\mathop{dt})\)이고 \(ds/\mathop{dt} = \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert = \lVert d\mathbf{r}/\mathop{dt}\rVert\)이므로, \(\lVert d\mathbf{r}/ds\rVert = \lVert d\mathbf{r}/\mathop{dt}\rVert / (ds/\mathop{dt}) = 1\)이다.

이렇게 얻어지는 parametrization을 arc length parametrization이라 부른다.

곡률

곡선이 얼마나 휘는지는 단위접선벡터의 방향이 진행에 따라 얼마나 빨리 바뀌는가로 잰다. 그러나 곡선이 빠르게 움직인다면 바뀌는 속도 또한 같이 빨라질 것이므로, 곡선의 모양이 얼마나 휘었는지를 살펴보기 위해서는 이 속도를 똑같이 맞춰줘야 한다. 또, 직관적으로 이는 원래의 곡선을 미분한 단위접선벡터를 한 번 더 미분하여 얻어진 것이므로, 우리는 이제 이급곡선을 생각해야 한다. 즉, 가속도벡터 \(\mathbf{r}''(t)\)까지 연속적으로 존재한다.

정의 7 이급정칙곡선의 곡률_curvature은 단위접선벡터가 arc length에 대해 변하는 비율의 크기

\[\kappa = \left\lVert \frac{d\mathbf{T}}{ds}\right\rVert\]

이다. \(d\mathbf{T}/ds \neq 0\)일 때 그 방향의 단위벡터

\[\mathbf{N} = \frac{d\mathbf{T}/ds}{\lVert d\mathbf{T}/ds\rVert}\]

를 단위법선벡터_{unit normal vector}라 한다.

명제 6에 의해 \(\mathbf{T} = d\mathbf{r}/ds\)는 단위벡터인 것에 주목하자. 그럼 명제 3 (미분 법칙) 직후에 살펴본, 길이가 일정한 벡터의 변화율은 그 벡터에 수직이라는 앞의 관찰에 의해 \(d\mathbf{T}/ds \perp \mathbf{T}\)이다. 즉, 단위법선벡터 \(\mathbf{N}\)은 항상 접선에 수직이며, 곡선이 휘어 들어가는 안쪽을 가리킨다.

위의 정의는 일반적인 \(n\)차원 공간 안에서의 곡선에 대한 것이지만, \(3\)차원 공간에서는 외적을 사용하면 이를 더 편하게 계산할 수 있다. 특히, 다음 공식은 arc length parametrization 없이 바로 적용 가능하므로 훨씬 편하다.

명제 8 (곡률 공식) \(3\)차원 공간 안의 이급정칙곡선 \(\mathbf{r}(t)\)의 곡률은

\[\kappa = \frac{\lVert \mathbf{r}' \times \mathbf{r}''\rVert}{\lVert \mathbf{r}'\rVert^3}\]

이고, 특히 평면곡선 \(y = f(x)\)의 곡률은

\[\kappa = \frac{\lvert f''\rvert}{(1 + f'^2)^{3/2}}\]

이다.

증명

\(v = \lVert \mathbf{r}'\rVert = ds/\mathop{dt}\)로 두면 \(\mathbf{r}' = v\mathbf{T}\)이다. 곱의 미분법에 의해

\[\mathbf{r}'' = v'\mathbf{T} + v\mathbf{T}'(t)\]

이고, 연쇄법칙 \(\mathbf{T}'(t) = (d\mathbf{T}/ds)v\)와 \(\lVert d\mathbf{T}/ds\rVert = \kappa\)에서 \(\mathbf{T}'(t) = \kappa v\mathbf{N}\)이다. 따라서

\[\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'' = (v\mathbf{T}) \times (v'\mathbf{T} + \kappa v^2\mathbf{N}) = v^3 \kappa(\mathbf{T} \times \mathbf{N})\]

이다. 여기서 둘째 등호는 \(\mathbf{T}\times \mathbf{T}=0\)으로부터 얻어진다. 이제 \(\mathbf{T} \perp \mathbf{N}\)이고 둘 다 단위벡터라 \(\lVert \mathbf{T} \times \mathbf{N}\rVert = 1\)이므로,

\[\lVert \mathbf{r}' \times \mathbf{r}''\rVert = v^3 \kappa = \lVert \mathbf{r}'\rVert^3 \kappa\]

가 되어 원하는 등식을 얻는다. 평면곡선 \(y = f(x)\)에 대한 공식은 \(\mathbf{r}(x) = (x, f(x),0)\)으로 두고 \(3\)차원에서의 공식을 그대로 적용하면 된다.

증명에 등장한 \(\mathbf{r}' = v\mathbf{T}\)를 한 번 더 미분한 \(\mathbf{r}'' = v'\mathbf{T} + \kappa v^2\mathbf{N}\)은 그 자체로 의미가 깊다. 가속도가 접선 방향 성분과 법선 방향 성분으로 갈라지는 것이다. 이를 다음과 같은 별도의 명제로 적어두자.

명제 9 (가속도의 분해) 이급정칙곡선의 가속도는

\[\mathbf{r}'' = \frac{dv}{\mathop{dt}}\mathbf{T} + \kappa v^2\mathbf{N}\]

으로 분해된다. 여기서 \(v = \lVert \mathbf{r}'\rVert\)는 속력이다.

접선 성분 \(dv/\mathop{dt}\)는 속력이 변하는 정도를 알려주고, 법선 성분 \(\kappa v^2\)은 방향이 휘는 정도를 알려준다. 등속운동이면 \(dv/\mathop{dt} = 0\)이라 가속도는 순전히 법선 방향, 곧 구심가속도뿐이고 그 크기는 \(\kappa v^2\)이다.

예시 10 (나선) 나선 \(\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, t)\)에 대해 \(\mathbf{r}'(t) = (-\sin t, \cos t, 1)\), \(\mathbf{r}''(t) = (-\cos t, -\sin t, 0)\)이다. 외적은

\[\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'' = (\sin t,\ -\cos t,\ 1), \qquad \lVert \mathbf{r}' \times \mathbf{r}''\rVert = \sqrt{2}\]

이고 \(\lVert \mathbf{r}'\rVert = \sqrt{2}\)이므로 곡률은 \(\kappa = \sqrt{2}/(\sqrt{2})^3 = 1/2\)로 일정하다. 속력 \(v = \sqrt{2}\)가 일정하므로 명제 9 (가속도의 분해)에서 가속도는 법선 성분뿐이고 그 크기는 \(\kappa v^2 = (1/2)\cdot 2 = 1\)인데, 실제로 \(\lVert \mathbf{r}''(t)\rVert = \lVert(-\cos t, -\sin t, 0)\rVert = 1\)로 일치한다.