K

Grad. student in mathematics

선형대수학

실수 symmetric 쌍선형형식의 분류

우리가 지금까지 살펴본 것은 내적에서 파생된 여러가지 정리들로, 이를 통해 우리는 내적, 더 나아가 일반적인 bilinear form이 유용하다는 것을 확인했다. 이제 우리는 약간 방향을 바꾸어, \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\)인 경우에 symmetric bilinear form이 적절한 기저 위에서 얼마나 단순한 형태로 표현되는지를 살펴본다. 이 글에서 다루는 모든 bilinear form은 symmetric인 것으로 가정한다.

이차형식

Symmetric bilinear form은 두 벡터를 입력받지만, 두 입력에 같은 벡터를 넣으면 한 벡터에 대한 함수를 얻는다.

정의 1 \(\mathbb{R}\)-벡터공간 \(V\) 위에 정의된 symmetric bilinear form \(\langle -,-\rangle\)에 대하여, 다음의 식

\[Q(v)=\langle v,v\rangle\]

으로 정의된 함수 \(Q:V\rightarrow\mathbb{R}\)을 \(\langle-,-\rangle\)에 대응되는 이차형식quadratic form이라 부른다.

이차형식은 원래의 bilinear form의 정보를 모두 담고 있다. 임의의 \(v,w\in V\)에 대하여

\[Q(v+w)=\langle v+w,v+w\rangle=\langle v,v\rangle+2\langle v,w\rangle+\langle w,w\rangle=Q(v)+2\langle v,w\rangle+Q(w)\]

이므로, 다음의 식

\[\langle v,w\rangle=\frac{1}{2}\bigl(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)\bigr)\tag{1}\]

이 성립하기 때문이다. 이 식을 polarization identity편극항등식이라 부른다. 즉 \(\mathbb{R}\) 위에서 symmetric bilinear form과 이차형식은 서로를 유일하게 결정하며, 우리는 둘을 자유롭게 오갈 수 있으므로 이들 둘은 본질적으로 같은 것이다. 식 (1)이 성립하는 데에는 \(2\)로 나눌 수 있다는 사실, 즉 \(\ch\mathbb{R}\neq 2\)이라는 사실이 본질적으로 쓰였으며, 이는 가령 §쌍선형형식, ⁋명제 7에서도 이미 일어났던 상황이다.

합동과 대각형

\(V\) 위에 symmetric bilinear form \(\langle -,-\rangle\)이 주어졌다 하고, \(V\)의 basis \(\mathcal{B}\)를 택하자. 그럼 §쌍선형형식, §§Gram matrix에서 살펴본 대로, \((i,j)\) 성분이 \(\langle x_i,x_j\rangle\)인 Gram matrix \(G_\mathcal{B}\)에 대하여 \(\langle v,w\rangle=[v]_\mathcal{B}^tG_\mathcal{B}[w]_\mathcal{B}\)이 성립하며, \(\langle-,-\rangle\)이 symmetric이므로 \(G_\mathcal{B}\)는 symmetric matrix이다. 또 다른 basis \(\mathcal{C}\)를 택하면, 기저변환행렬 \(P=[\id]_\mathcal{C}^\mathcal{B}\)에 대하여

\[G_\mathcal{C}=P^tG_\mathcal{B}P\]

이 성립함을 보았다. 이렇게 가역행렬 \(P\)에 대하여 \(G'=P^tGP\)의 관계로 이어지는 두 symmetric matrix \(G,G'\)을 서로 합동congruent이라 부른다. 즉 같은 bilinear form을 서로 다른 basis로 적은 Gram matrix들은 서로 합동이다. 우리의 목표는 합동인 행렬들 가운데 가장 단순한 대표를 찾는 것이다.

명제 2 \(\mathbb{R}\)-벡터공간 \(V\) 위에 정의된 임의의 symmetric bilinear form \(\langle-,-\rangle\)에 대하여, \(V\)의 적당한 basis \(\{e_1,\ldots, e_n\}\)이 존재하여 \(i\neq j\)일 때 \(\langle e_i,e_j\rangle=0\)이고, 각 \(\langle e_i,e_i\rangle\)은 \(1\), \(-1\), \(0\) 중 하나이다.

증명

우선 orthogonal basis의 존재성을 \(\dim V\)에 대한 귀납법으로 보인다. \(\dim V=0\)이거나 \(\langle-,-\rangle\)이 항등적으로 \(0\)인 경우, \(V\)의 임의의 basis가 조건을 만족하므로 보일 것이 없다. 그렇지 않다면 \(\langle u,v\rangle\neq 0\)인 \(u,v\)가 존재하고,

\[2\langle u,v\rangle=\langle u+v,u+v\rangle-\langle u,u\rangle-\langle v,v\rangle\]

에서 좌변이 \(0\)이 아니므로 우변의 세 항 중 적어도 하나는 \(0\)이 아니다. 즉 \(\langle w,w\rangle\neq 0\)인 \(w\in V\)가 존재한다. 이제 \(W=\span w\)라 하면 \(\langle w,w\rangle\neq 0\)으로부터 임의의 \(v\in V\)를

\[v=\frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}w+\left(v-\frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}w\right)\]

으로 적어 \(V=W\oplus w^\perp\)임을 알 수 있다. (§쌍선형형식, ⁋명제 7의 증명과 같다.) 여기서 \(w^\perp=\{v\mid\langle v,w\rangle=0\}\)이다. \(w^\perp\)로 제한한 bilinear form도 symmetric이므로 귀납적 가정에 의하여 \(w^\perp\)의 orthogonal basis가 존재하고, 여기에 \(w\)를 더하면 \(V\)의 orthogonal basis \(\{f_1,\ldots,f_n\}\)을 얻는다.

이제 각 \(f_i\)를 적절히 스칼라배하여 \(\langle f_i,f_i\rangle\)을 \(1\), \(-1\), \(0\) 중 하나로 만든다. 만일 \(\langle f_i,f_i\rangle=0\)이라면 \(e_i=f_i\)로 두고, 그렇지 않다면 \(c=\sqrt{\lvert\langle f_i,f_i\rangle\rvert}\)에 대하여 \(e_i=f_i/c\)로 두면

\[\langle e_i,e_i\rangle=\frac{\langle f_i,f_i\rangle}{\lvert\langle f_i,f_i\rangle\rvert}=\pm 1\]

이 된다. 스칼라배는 orthogonality를 보존하므로 \(\{e_1,\ldots,e_n\}\)은 원하는 조건을 모두 만족하는 basis이다.

명제 2의 basis에 대한 Gram matrix는 대각성분이 \(1\), \(-1\), \(0\)인 diagonal matrix이다. 기저를 적절히 재배열하면, 이 diagonal matrix를 \(1\)이 \(p\)개, \(-1\)이 \(q\)개, \(0\)이 \(r\)개 나타나는 다음의 꼴

\[\begin{pmatrix}I_p&&\\&-I_q&\\&&0_r\end{pmatrix}\]

로 만들 수 있다. 따라서 임의의 실수 대칭행렬은 이 꼴의 행렬과 합동이다. 이 때 이차형식은 이 basis에 대한 좌표 \(v=\sum a_ie_i\)로 적었을 때

\[Q(v)=a_1^2+\cdots+a_p^2-a_{p+1}^2-\cdots-a_{p+q}^2\]

으로 표현된다.

Sylvester’s law of inertia

명제 2는 적절한 basis를 택하면 이차형식이 부호 붙은 제곱들의 합으로 환원됨을 보여주지만, 그 과정에서 나타난 \(p,q,r\)이 basis의 선택에 따라 달라질 수 있는지는 아직 분명하지 않다. 다음 정리는 이 세 수가 사실은 bilinear form 자체의 불변량임을 보여준다.

정리 3 (Sylvester’s law of inertia) \(\mathbb{R}\)-벡터공간 \(V\) 위에 정의된 symmetric bilinear form \(\langle-,-\rangle\)에 대하여, 명제 2와 같은 basis에서 나타나는 \(\langle e_i,e_i\rangle\)의 값이 \(1\)인 것의 개수 \(p\), \(-1\)인 것의 개수 \(q\), 그리고 \(0\)인 것의 개수 \(r\)은 basis의 선택과 무관하게 결정된다.

증명

명제 2의 basis를 \(\{e_1,\ldots, e_n\}\)이라 하고, \(p\)개의 \(+1\), \(q\)개의 \(-1\), \(r\)개의 \(0\)이 나타나도록 재배열하였다 하자. Gram matrix의 rank는 합동변환에 대해 불변이고 (\(P\)가 가역이면 \(\rank(P^tGP)=\rank G\)이므로) 이 basis에서 rank는 \(p+q\)이므로, \(p+q\)는 basis의 선택과 무관하다. 따라서 \(r=n-(p+q)\) 또한 그러하다. 이제 \(p\)가 불변임을 보이면 \(q\)도 따라서 불변이다.

\(p\)를 다음의 식

\[p=\max\{\dim U\mid U\leq V,\ Q(v)>0\text{ for all nonzero }v\in U\}\]

으로 특징지을 수 있음을 보인다. 이 우변이 basis와 무관함은 정의상 자명하므로, 이를 보이면 충분하다.

우선 \(U_+=\span\{e_1,\ldots, e_p\}\)을 생각하면, 임의의 \(0\neq v=\sum_{i=1}^p a_ie_i\in U_+\)에 대하여

\[Q(v)=\sum_{i=1}^p a_i^2>0\]

이므로 \(\dim U_+=p\)인 부분공간 위에서 \(Q\)가 positive definite이다. 따라서 위 최댓값은 \(p\) 이상이다. 거꾸로 \(Q\)가 positive definite인 임의의 부분공간 \(U\)를 생각하고, \(U_-=\span\{e_{p+1},\ldots, e_n\}\)이라 하자. 임의의 \(v=\sum_{i=p+1}^n a_ie_i\in U_-\)에 대하여

\[Q(v)=-\sum_{i=p+1}^{p+q}a_i^2\leq 0\]

이므로, 만일 \(0\neq v\in U\cap U_-\)가 존재한다면 \(Q(v)>0\)과 \(Q(v)\leq 0\)이 동시에 성립하여 모순이다. 따라서 \(U\cap U_-=\{0\}\)이고, §벡터공간의 차원, ⁋예시 8에 의하여

\[\dim U+\dim U_-=\dim(U+U_-)\leq n\]

이다. \(\dim U_-=n-p\)이므로 \(\dim U\leq p\)이다. 즉 최댓값은 \(p\)이고, 이로써 \(p\)가 basis와 무관함을 보였다.

이로써 다음 정의가 말이 된다.

정의 4 \(\mathbb{R}\)-벡터공간 \(V\) 위에 정의된 symmetric bilinear form \(\langle-,-\rangle\)에 대하여, 정리 3 (Sylvester’s law of inertia)에서 결정되는 세 수 \((p,q,r)\)을 \(\langle-,-\rangle\)의 signature부호수라 부른다.

Signature에서 \(p+q\)는 Gram matrix의 rank이고, \(r\)은 \(\langle-,-\rangle\)이 퇴화하는 정도, 즉 모든 벡터와 직교하는 벡터들이 이루는 부분공간의 차원이다. 특히 \(\langle-,-\rangle\)이 non-degenerate인 것은 \(r=0\)인 것과 동치이다.

Sylvester’s law는 곧바로 실수 대칭행렬의 합동에 의한 완전한 분류를 준다.

따름정리 5 두 실수 대칭행렬이 서로 합동인 것은 이들이 정의하는 bilinear form의 signature가 같은 것과 동치이다.

증명

두 행렬 \(G,G'\)이 합동이라 하면 이들은 같은 bilinear form을 서로 다른 basis로 적은 것이므로 signature가 같다. 거꾸로 signature가 \((p,q,r)\)로 같다면, 명제 2에 의하여 \(G\)와 \(G'\)은 모두 \(1\)이 \(p\)개, \(-1\)이 \(q\)개, \(0\)이 \(r\)개인 같은 diagonal matrix와 합동이고, 합동은 동치관계이므로 \(G\)와 \(G'\)은 서로 합동이다.

positive definiteness

Signature가 \((n,0,0)\)인 경우, 즉 모든 \(0\neq v\in V\)에 대하여 \(\langle v,v\rangle>0\)인 경우가 특별히 중요하다. 이는 Gram matrix가 §스펙트럼 정리, ⁋정의 8의 의미에서 positive definite인 것과 같으며, 이때 \(\langle-,-\rangle\) 자체를 positive definite이라 한다.

명제 6 \(\mathbb{R}\)-벡터공간 \(V\) 위에 정의된 symmetric bilinear form \(\langle-,-\rangle\)에 대하여, 다음은 모두 동치이다.

  1. \(\langle-,-\rangle\)이 positive definite이다.
  2. \(\langle-,-\rangle\)의 signature가 \((n,0,0)\)이다.
  3. \(\langle-,-\rangle\)이 \(V\) 위의 내적이다.
증명

명제 2의 basis \(\{e_1,\ldots, e_n\}\)에 대하여 \(v=\sum a_ie_i\)이면 \(Q(v)=\sum_i\langle e_i,e_i\rangle a_i^2\)이다. 만일 어떤 \(\langle e_i,e_i\rangle\)이 \(-1\)이거나 \(0\)이라면 \(v=e_i\)에 대하여 \(Q(e_i)\leq 0\)이므로 positive definite가 아니다. 거꾸로 모든 \(\langle e_i,e_i\rangle\)이 \(1\)이라면, 즉 signature가 \((n,0,0)\)이라면 임의의 \(0\neq v\)에 대하여 \(Q(v)=\sum a_i^2>0\)이다. 따라서 1번과 2번이 동치이다.

한편 내적의 정의는 symmetric bilinear form이면서 모든 \(v\)에 대해 \(\langle v,v\rangle\geq 0\)이고 등호가 오직 \(v=0\)일 때만 성립하는 것이므로 (§내적공간, ⁋정의 1) 이는 정확히 positive definite라는 조건이다. 따라서 1번과 3번이 동치이다.

즉 내적이란 signature가 \((n,0,0)\)인 symmetric bilinear form에 불과하며, Sylvester’s law의 관점에서 내적공간은 가능한 signature들 가운데 가장 특별한 한 점에 해당한다.

참고문헌

[Lee] 이인석, 선형대수와 군, 서울대학교 출판문화원, 2005.
[Goc] M.S. Gockenbach, Finite-dimensional linear algebra, Discrete Mathematics and its applications, Taylor&Francis, 2011.

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