복소내적공간

복소내적과 노름

§내적공간에서 우리는 \(\mathbb{R}\)-벡터공간 위의 내적을 정의하였다. 내적의 핵심 조건은 \(\langle v,v\rangle\geq 0\)이라는 positive-definiteness이며, 이는 \(\mathbb{K}\)에 대소관계가 있어야 하므로 일반적인 field에서는 곧바로 옮겨지지 않는다. 특히 \(\mathbb{C}\) 위에서 \(\langle v,w\rangle=\sum_i v_iw_i\)를 그대로 쓰면 \(\langle v,v\rangle=\sum_i v_i^2\)이 복소수가 되어 부호를 말할 수 없다. 해결책은 한쪽 변수에 켤레복소수를 취하는 것이다. \(\sum_i\bar v_iv_i=\sum_i\lvert v_i\rvert^2\)은 언제나 음이 아닌 실수이기 때문이다. 이렇게 한 변수에 대해 conjugate-linear가 되도록 수정한 내적을 Hermitian inner product이라 부르며, 이 글에서는 이를 갖춘 \(\mathbb{C}\)-벡터공간 위에서 §내적공간의 이론이 어떻게 옮겨지는지를 살펴본다.

정의 1 \(\mathbb{C}\)-벡터공간 \(V\) 위의 함수 \(\langle-,-\rangle:V\times V\rightarrow\mathbb{C}\)가 Hermitian inner product_{Hermitian 내적}라는 것은 다음을 만족하는 것이다.

1. (Conjugate-symmetry) 임의의 \(v,w\in V\)에 대하여 \(\langle w,v\rangle=\overline{\langle v,w\rangle}\);
2. (Linearity on second argument) 임의의 \(v,w,w'\in V\)와 \(\alpha\in\mathbb{C}\)에 대하여 \(\langle v,w+w'\rangle=\langle v,w\rangle+\langle v,w'\rangle\)이고 \(\langle v,\alpha w\rangle=\alpha\langle v,w\rangle\);
3. (Positive-definiteness) 임의의 \(v\in V\)에 대하여 \(\langle v,v\rangle\geq 0\)이고, 등호는 오직 \(v=0\)일 때만 성립한다.

이러한 \(\langle-,-\rangle\)이 주어진 \(V\)를 복소내적공간_{complex inner product space}이라 부른다.

조건 1에서 \(v=w\)로 두면 \(\langle v,v\rangle=\overline{\langle v,v\rangle}\)이므로 \(\langle v,v\rangle\)은 항상 실수이고, 따라서 셋째 조건의 부등호가 말이 된다. 둘째 조건의 경우, 정의에 의해 이 내적은 둘째 변수에 대해서는 linear이지만 첫째 변수에 대해서는 conjugate-linear인데, 실제로 조건 1과 2를 결합하면

\[\langle \alpha v,w\rangle=\overline{\langle w,\alpha v\rangle}=\overline{\alpha\langle w,v\rangle}=\bar\alpha\overline{\langle w,v\rangle}=\bar\alpha\langle v,w\rangle\]

이 되어 첫째 변수에서 스칼라가 켤레와 함께 빠져나온다. 이렇게 한 변수에 linear, 다른 변수에 conjugate-linear인 형식을 sesquilinear form라 부른다. 둘째 변수를 linear로 두는 것은 약속의 문제로, 물리학에서는 첫째 변수를 linear로 두는 관례가 흔하다.

가장 기본적인 예시는 \(\mathbb{C}^n\) 위의 standard Hermitian inner product

\[\langle v,w\rangle=\sum_{i=1}^n\bar v_iw_i=\bar v^tw\]

이다. 여기서 conjugate-symmetry는 \(\overline{\bar v^tw}=v^t\bar w=\overline{w}^{\,t}v\)로부터, 둘째 변수의 linearity는 행렬곱의 성질로부터 곧바로 따라오며, \(\langle v,v\rangle=\sum_i\lvert v_i\rvert^2\)이 \(v\neq 0\)일 때 양수이므로 positive-definite이다.

한편, 셋째 조건에 의해 \(\langle v,v\rangle\)이 음이 아닌 실수이므로, 실수의 경우와 똑같이 벡터의 크기를 정의할 수 있다.

정의 2 복소내적공간 \(V\) 위의 norm_노름 \(\lVert-\rVert:V\rightarrow\mathbb{R}\)을 다음의 식

\[\lVert v\rVert=\sqrt{\langle v,v\rangle}\]

으로 정의한다.

그러나, 실수의 경우와 달리 내적 자체는 복소수 값을 가지므로, 노름의 성질을 확인할 때 켤레가 끼어든다. 우선 임의의 \(v,w\in V\)에 대하여 \(\langle v,w\rangle\)과 \(\langle w,v\rangle=\overline{\langle v,w\rangle}\)의 합은 실수부의 두 배, 즉 \(\langle v,w\rangle+\langle w,v\rangle=2\Real\langle v,w\rangle\)이다. 이를 이용하면

\[\lVert v+w\rVert^2=\langle v+w,v+w\rangle=\lVert v\rVert^2+2\Real\langle v,w\rangle+\lVert w\rVert^2\]

을 얻는다. 코시-슈바르츠 부등식은 이 전개의 핵심 도구이다.

명제 3 (Cauchy-Schwarz) 복소내적공간 \(V\)의 임의의 벡터 \(v,w\)에 대하여

\[\lvert\langle v,w\rangle\rvert\leq\lVert v\rVert\lVert w\rVert\]

이 성립한다. 등호는 \(v,w\)가 일차종속일 때, 그리고 그 때에만 성립한다.

증명

\(w=0\)이면 양변이 모두 \(0\)이므로 성립한다. \(w\neq 0\)이라 하고

\[\lambda=\frac{\langle w,v\rangle}{\langle w,w\rangle}\]

으로 두자. 그럼 \(\langle w,v-\lambda w\rangle=\langle w,v\rangle-\lambda\langle w,w\rangle=0\)이므로 \(v-\lambda w\)는 \(w\)와 직교한다. 따라서 \(v=\lambda w+(v-\lambda w)\)를 대입하면

\[0\leq\lVert v-\lambda w\rVert^2=\langle v-\lambda w,v-\lambda w\rangle=\lVert v\rVert^2-\bar\lambda\langle w,v\rangle=\lVert v\rVert^2-\frac{\lvert\langle v,w\rangle\rvert^2}{\lVert w\rVert^2}\]

을 얻는다. 마지막 등호는

\[\bar\lambda\langle w,v\rangle=\frac{\overline{\langle w,v\rangle}\langle w,v\rangle}{\lVert w\rVert^2}=\frac{\lvert\langle w,v\rangle\rvert^2}{\lVert w\rVert^2}\]

이고 \(\lvert\langle w,v\rangle\rvert=\lvert\langle v,w\rangle\rvert\)인 것으로부터 따라온다. 양변을 정리하면 \(\lvert\langle v,w\rangle\rvert^2\leq\lVert v\rVert^2\lVert w\rVert^2\)이고, 등호는 정확히 \(v-\lambda w=0\), 즉 \(v,w\)가 일차종속일 때 성립한다.

이로부터 삼각부등식이 따라온다. 위에서 구한 \(\lVert v+w\rVert^2=\lVert v\rVert^2+2\Real\langle v,w\rangle+\lVert w\rVert^2\)에서 \(\Real\langle v,w\rangle\leq\lvert\langle v,w\rangle\rvert\leq\lVert v\rVert\lVert w\rVert\)을 적용하면

\[\lVert v+w\rVert^2\leq\lVert v\rVert^2+2\lVert v\rVert\lVert w\rVert+\lVert w\rVert^2=(\lVert v\rVert+\lVert w\rVert)^2\]

이 되어 \(\lVert v+w\rVert\leq\lVert v\rVert+\lVert w\rVert\)을 얻는다. \(\lVert\alpha v\rVert=\lvert\alpha\rvert\lVert v\rVert\)은 \(\langle\alpha v,\alpha v\rangle=\bar\alpha\alpha\langle v,v\rangle=\lvert\alpha\rvert^2\lVert v\rVert^2\)로부터 자명하므로, \(\lVert-\rVert\)은 실제로 노름이다. (§내적공간, ⁋정의 2)

orthonormal basis

실수의 경우와 마찬가지로, 복소내적공간에서도 두 벡터 \(v,w\)가 \(\langle v,w\rangle=0\)을 만족할 때 서로 직교한다고 하며, 크기가 모두 \(1\)이고 서로 직교하는 기저를 orthonormal basis라 부른다. 이 때도 실수의 경우와 마찬가지로 Gram-Schmidt 과정이 그대로 작동하는데, 실제로 기저 \(\{x_1,\ldots,x_n\}\)이 주어졌을 때 \(\hat x_1=x_1\)로 두고

\[\hat x_k=x_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle\hat x_i,x_k\rangle}{\langle\hat x_i,\hat x_i\rangle}\hat x_i\]

로 정의하면, \(\langle\hat x_j,\hat x_k\rangle=0\) (\(j<k\))이 귀납적으로 확인되어 \(\{\hat x_1,\ldots,\hat x_n\}\)이 orthogonal basis가 된다. 다소 신경써야 할 것은 분자가 \(\langle\hat x_i,x_k\rangle\)이고 \(\langle x_k,\hat x_i\rangle\)이 아니라는 것으로, 사영이 올바른 방향으로 빠지려면 \(\hat x_i\)를 첫째 변수, 즉 conjugate-linear한 쪽에 두어야 한다.

\(\mathcal{B}=\{x_1,\ldots,x_n\}\)이 orthonormal basis이면, 임의의 \(v=\sum_iv_ix_i\)의 계수는 \(\langle x_i,-\rangle\)을 취하여

\[\langle x_i,v\rangle=\sum_jv_j\langle x_i,x_j\rangle=v_i\]

로 얻어진다. 즉

\[v=\sum_{i=1}^n\langle x_i,v\rangle x_i\]

이다. 둘째 변수가 linear이므로 계수를 뽑을 때 \(\langle x_i,v\rangle\)의 순서가 중요하며, \(\langle v,x_i\rangle\)을 쓰면 그 켤레가 나온다.

부분공간으로의 직교분해 또한 그대로 성립한다. 복소내적공간 \(V\)의 부분공간 \(U\leq V\)에 대하여, 내적을 \(U\)로 제한한 것이 다시 Hermitian 내적이므로 \(U\)는 orthonormal basis \(\{x_1,\ldots,x_k\}\)를 가지며, 이를 포함하는 \(V\)의 orthonormal basis로 확장할 수 있다. \(U^\perp=\{v\in V:\langle u,v\rangle=0\text{ for all }u\in U\}\)로 두면

\[V=U\oplus U^\perp,\qquad\dim U^\perp=\dim V-\dim U\]

가 성립한다.

수반작용소와 unitary matrix

복소내적공간 \(V\) 위의 linear operator \(L:V\rightarrow V\)에 대하여, 실수의 경우와 마찬가지로 그 adjoint \(L^\ast\)를

\[\langle Lv,w\rangle=\langle v,L^\ast w\rangle\qquad\text{for all }v,w\in V\]

를 만족하는 유일한 operator로 정의한다. orthonormal basis에 대한 행렬표현을 통해 \(L^\ast\)의 정체를 알 수 있다.

명제 4 \(\mathcal{B}=\{e_1,\ldots,e_n\}\)이 복소내적공간 \(V\)의 orthonormal basis이고 \(A=[L]_\mathcal{B}^\mathcal{B}\)라 하면, \(L^\ast\)의 행렬표현은 \(A\)의 conjugate transpose_켤레전치 \(A^\ast=\bar A^t\)이다.

증명

\(Le_i=\sum_kA_{ki}e_k\)이므로 \(\langle e_j,Le_i\rangle=\sum_kA_{ki}\langle e_j,e_k\rangle=A_{ji}\)이다. 그럼 adjoint의 정의와 conjugate-symmetry로부터

\[[L^\ast]_{ij}=\langle e_i,L^\ast e_j\rangle=\langle Le_i,e_j\rangle=\overline{\langle e_j,Le_i\rangle}=\overline{A_{ji}}\]

이 되어, \(L^\ast\)의 행렬표현의 \((i,j)\)성분은 \(\overline{A_{ji}}\), 즉 \(A^\ast=\bar A^t\)이다.

즉, 실수내적공간에서 adjoint가 transpose로 주어졌던 것이 복소내적공간에서는 켤레전치로 바뀌는 것이다.

한편 내적을 보존하는 operator는 실수의 경우 orthogonal matrix로 표현되었다. 복소의 경우 이에 대응하는 것이 unitary matrix이다.

정의 5 행렬 \(U\in\Mat_n(\mathbb{C})\)가 unitary matrix_{unitary matrix}라는 것은

\[U^\ast U=UU^\ast=I\]

가 성립하는 것이다. 복소내적공간 위의 operator \(L\)이 \(L^\ast L=I\)를 만족할 때 unitary operator_{unitary operator}라 부른다.

§동형사상, ⁋정리 7 (Rank-nullity theorem)로부터 \(U^\ast U=I\)이면 자동으로 \(UU^\ast=I\)임을 알 수 있으므로, 한쪽 조건만으로 충분하다. unitary operator는 정확히 내적을 보존하는 operator이다. 실제로 \(L\)이 내적을 보존하면 임의의 \(v,w\)에 대하여 \(\langle v,w\rangle=\langle Lv,Lw\rangle=\langle v,L^\ast Lw\rangle\)이 모든 \(v\)에 대해 성립하므로 \(L^\ast L=I\)이고, 거꾸로 \(L^\ast L=I\)이면

\[\langle Lv,Lw\rangle=\langle v,L^\ast Lw\rangle=\langle v,w\rangle\]

이 되어 내적을 보존한다. 두 orthonormal basis 사이의 기저변환행렬이 항상 unitary matrix가 된다는 것도 실수의 경우와 똑같은 계산으로 확인되며, 다만 conjugate-symmetry 때문에 한쪽 기저변환행렬이 다른 쪽의 켤레전치가 된다. 이 unitary matrix와 켤레전치 adjoint가 self-adjoint operator를 일반화한 normal operator의 스펙트럼 정리를 전개하는 토대가 된다.

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참고문헌

[Goc] M.S. Gockenbach, Finite-dimensional linear algebra, Discrete Mathematics and its applications, Taylor&Francis, 2011.
[Lee] 이인석, 선형대수와 군, 서울대학교 출판문화원, 2005.

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