미적분학
이상적분
무한구간 이상적분, 특이적분, 비교판정, 절대수렴
우리가 지금까지 살펴본 적분은 유한한 구간에서 유계인 함수에 대해 정의되었다. 그러나 구간이 무한히 뻗거나, 피적분함수가 한 점에서 무한히 커지는 경우에도 그 넓이를 논하고 싶을 때가 많다. 이번 글에서는 이를 유한 구간 적분의 극한을 통해 정의한다.
이상적분의 정의
우선 다음을 정의한다.
정의 1 \(f\)가 모든 \(t > a\)에서 \([a, t]\)에서 적분가능할 때, 무한구간 이상적분improper integral을
\[\int_a^{\infty} f(x) dx = \lim_{t \to \infty}\int_a^t f(x) dx\]으로 정의하고, 이 극한이 유한한 값으로 존재하면 이상적분이 수렴한다고 한다. 마찬가지로, 만일 \(f\)가 모든 \(t<b\)에서 \([t,a]\)에서 적분가능할 때, 다음의 식
\[\int_{-\infty}^b f(x)dx=\lim_{t \to -\infty}\int_t^b f(x) dx\]이 유한한 값으로 존재하면 이상적분이 수렴한다고 한다. 만일 어떠한 \(c\)에 대하여 두 이상적분
\[\int_{-\infty}^c f(x) dx,\qquad \int_c^{\infty} f(x) dx\]이 각각 수렴할 경우 이들의 합
\[\int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^{\infty} f(x) dx\]을 간략하게 다음의 식
\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx\]으로 나타낸다.
위의 정의에서 두 이상적분
\[\int_a^\infty f(x)dx,\qquad \int_{-\infty}^b f(x)dx\]의 정의는 비교적 명확하다. 다소 애매할 수 있는 부분은 양쪽이 모두 무한대인 이상적분으로, 우선 우리는 이 적분이 정의된다면, 그 값은 분할점 \(c\)의 선택에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있다. 이는 만일 다른 \(c'\)를 택하더라도,
\[\begin{aligned}\int_{-\infty}^c f(x)dx+\int_c^\infty f(x)dx&=\lim_{s\rightarrow-\infty}\int_s^c f(x)dx+\lim_{t\rightarrow \infty}\int_c^t f(x)dx\\&=\lim_{s\rightarrow-\infty}\left(\int_s^c f(x)dx+\int_c^{c'} f(x)dx\right)+\lim_{t\rightarrow \infty}\left(\int_c^t f(x)dx-\int_c^{c'} f(x)dx\right)\\&=\lim_{s\rightarrow-\infty}\int_s^{c'} f(x)dx+\lim_{t\rightarrow \infty}\int_{c'}^t f(x)dx\\&=\int_{-\infty}^{c'} f(x)dx+\int_{c'}^\infty f(x)dx\end{aligned}\]가 되어 이 값이 같기 때문이다. 보다 주의를 기울일만한 곳은 이 양쪽 극한을
로 정의하면, 고정된 \(t>0\)에 대하여 이 함수를 \(-t\)부터 \(t\)까지 적분한 값은 \(0\)이고, 따라서
\[\lim_{t\rightarrow\infty}\int_{-t}^t \sgn(x)dx=0\]이지만, 위의 정의에 따르면 \(\sgn\)의 이상적분은 정의되지 않는다. 가령 만일 우리가 \(-t\)에서 \(2t\)까지를 적분구간으로 둔 후 \(t\rightarrow\infty\)인 극한을 취했다면 이 극한이 발산했을 것이므로 이는 필수적인 제약이다.
비슷하게 우리는 한 점에서 발산하는 함수의 적분 또한 극한값으로 정의한다.
정의 2 \(f\)가 \(c\)에서 무한히 커지지만 모든 \(t < c\)에서 \([a, t]\)에서 적분가능할 때, 특이적분을
\[\int_a^c f(x) dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x) dx\]으로 정의한다. 비슷하게 만일 \(f\)가 \(c\)에서 무한히 커지지만 모든 \(c<t\)에서 \([t, b]\)에서 적분가능할 때, 그 특이적분을
\[\int_c^b f(x) dx = \lim_{t \to c^+}\int_t^b f(x) dx\]으로 정의한다. 만일 \([a,b]\) 내부의 점 \(c\)에서 \(f\)가 무한히 커지는 경우, 이 특이적분을
\[\int_a^b f(x)dx=\lim_{t\rightarrow c^-}\int_a^t f(x)dx+\lim_{s\rightarrow c^+} \int_s^b f(x)dx\]으로 정의한다.
역시 \(c\)가 구간 내부에 있는 경우 위의 정의 1과 같은 미묘함이 여전히 존재한다. 가령
\[\lim_{t\rightarrow 0^-}\int_{-1}^t \frac{dx}{x}+\lim_{s\rightarrow 0^+}\int_s^1\frac{dx}{x}\]은 각각이 정의되지 않지만, 만일
\[\lim_{t\rightarrow 0^+}\left(\int_{-1}^{-t} \frac{dx}{x}+\int_t^1\frac{dx}{x}\right)\]와 같은 식으로 묶었다면 이 값이 \(0\)이 되는 문제가 생겼을 것이다.
이상적분의 수렴 판정
많은 이상적분은 원시함수를 명시적으로 구할 수 없어 그 값을 직접 계산하기 어렵다. 그러나 수렴 여부만이라면 더 다루기 쉬운 함수와 비교하여 판정할 수 있다. 피적분함수가 음이 아니면 적분값이 적분구간에 대해 단조증가하므로, 급수에서와 같은 비교판정이 성립한다.
명제 3 (비교판정) \(x \geq a\)에서 \(0 \leq f(x) \leq g(x)\)라 하자. \(\int_a^\infty g(x) dx\)가 수렴하면 \(\int_a^\infty f(x) dx\)도 수렴하고, \(\int_a^\infty f(x) dx\)가 발산하면 \(\int_a^\infty g(x) dx\)도 발산한다.
증명
\(F(t) = \int_a^t f(x) dx\)는 \(f \geq 0\)이므로 \(t\)에 대해 증가하고, §적분, ⁋명제 11의 단조성에 의해
\[F(t) \leq \int_a^t g(x) dx \leq \int_a^\infty g(x) dx\]로 위로 유계이다. 위로 유계인 증가함수는 \(t \to \infty\)에서 극한을 가지므로 \(\int_a^\infty f(x) dx\)가 수렴한다. 둘째 주장은 대우이다.
직접 부등식 \(0 \leq f \leq g\)를 세우기 어려울 때는 급수에서처럼 극한비교를 쓴다. 즉, 두 양함수가 \(f(x)/g(x) \to c\) (\(0 < c < \infty\)) 를 만족하면 §무한급수, ⁋명제 7 (극한비교판정)과 같은 논증으로 두 적분이 함께 수렴·발산하므로, 피적분함수가 \(x \to \infty\)에서 어떤 함수처럼 행동하는지만 알면 판정이 끝난다.
부호가 바뀌는 피적분함수는 절댓값을 취해 양항으로 환원한다.
명제 4 (절대수렴) \(\int_a^\infty \lvert f(x)\rvert dx\)이 수렴하면 \(\int_a^\infty f(x) dx\)도 수렴한다.
증명
\(0 \leq f + \lvert f\rvert \leq 2\lvert f\rvert\)이므로 명제 3 (비교판정)으로 \(\int_a^\infty (f(x) + \lvert f(x)\rvert) dx\)이 수렴하고, \(\int_a^\infty f(x) dx = \int_a^\infty (f(x) + \lvert f(x)\rvert) dx - \int_a^\infty \lvert f(x)\rvert dx\)도 수렴한다.
역은 성립하지 않는다. \(\int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx = \frac\pi2\)는 수렴하지만 \(\int_0^\infty \lvert \sin x/x\rvert dx\)는 발산하므로 조건수렴이며, 이는 급수의 조건수렴에 대응한다.
위의 두 판정은 무한구간 적분에 대해 서술했지만, 치환을 거치면 끝점에서 발산하는 특이적분에도 그대로 적용된다. \(f\)가 좌측 끝점 \(c\)에서 특이한 \(\int_c^b f(x) dx\)에서 \(u = 1/(x - c)\)로 두면 \(x \to c^+\)가 \(u \to \infty\)에 대응하고, 적분구간의 방향까지 맞추면
\[\int_c^b f(x) dx = \int_{1/(b-c)}^\infty \frac{f(c + 1/u)}{u^2} du\]로 무한구간 적분이 된다. 곱해진 \(u^{-2} > 0\)은 부등식과 절댓값을 보존하므로 명제 3 (비교판정)과 명제 4 (절대수렴)가 특이적분의 수렴 판정에도 그대로 성립한다.
이 판정들이 실제로 쓰이려면 비교할 표준 함수가 있어야 하는데, 그 역할은 거의 항상 거듭제곱함수나 지수함수 \(e^{-x}\)가 맡는다. 그중 거듭제곱함수의 적분은 수렴과 발산을 가르는 (거의) sharp한 경계를 보여 준다.
예시 5 (p-적분) 거듭제곱의 이상적분은 무한구간과 특이점에서 정확히 반대의 경계를 보인다. 무한구간 \(\int_1^{\infty} x^{-p} dx\)는 \(p > 1\)에서 수렴하고 \(p \leq 1\)에서 발산하는 반면, 특이점을 포함하는 \(\int_0^1 x^{-p} dx\)는 거꾸로 \(p < 1\)에서 수렴하고 \(p \geq 1\)에서 발산한다. 이 계산은 둘 다 같은 원시함수에서 나오는데, \(p \neq 1\)이면
\[\int_1^t x^{-p} dx = \frac{t^{1-p} - 1}{1 - p}, \qquad \int_t^1 x^{-p} dx = \frac{1 - t^{1-p}}{1 - p}\]이고, 좌측 이상적분의 경우 \(t \to \infty\)에서 \(p > 1\)일 때 \(t^{1-p}\)가 \(0\)으로 가고, 우측 특이적분의 경우 \(t \to 0^+\)에서 \(p < 1\)일 때 \(t^{1-p}\)가 \(0\)으로 수렴해 적분이 유한해진다. 이 때 각각의 수렴값은
\[\int_1^\infty x^{-p} dx = \frac{1}{p - 1} \quad (p > 1), \qquad \int_0^1 x^{-p} dx = \frac{1}{1 - p} \quad (p < 1)\]이다. 직관적으로 이는 무한구간에서는 큰 \(p\)가 빨리 감소해 수렴을 돕지만, 특이점 근처에서는 큰 \(p\)가 더 빨리 증가해 발산이 일어나는 것으로 볼 수 있으며, 이는 \(1/x\)와 \(1/x^2\)를 그린 다음의 그림에서 명확하게 눈으로 볼 수 있다.
단 이 경계 \(p = 1\)은 약간 미묘한 것이다. 치환적분은 이상적분에도 그대로 쓸 수 있으므로, \(u = \ln x\)로 두면
\[\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^p} = \int_{\ln 2}^\infty u^{-p} du\]가 되어 이 값은 \(p > 1\)일 때 수렴하게 된다. 즉 \(p = 1\)인 \(1/x\) 자체는 발산하지만 로그를 한 제곱 이상 붙이면 경계가 다시 수렴 쪽으로 옮겨 간다. 즉, 거듭제곱만 놓고 보면 \(p = 1\)이 정확한 경계이지만 로그 인자를 끼우면 더 미세하게 갈라지며, 이 때문에 우리는 앞에서 이 경계가
한편, 수렴하는 이상적분은 새로운 함수를 정의하는 데 쓰인다.
예시 6 (감마함수) 이상적분으로 정의된 다음의 함수
\[\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}e^{-x} dx\]는 \(s > 0\)에서 수렴한다. \(0\) 근처는 \(x^{s-1}\)의 특이적분이 \(s > 0\)에서 수렴하고 (예시 5 (p-적분)), \(\infty\) 근처는 \(e^{-x}\)가 거듭제곱을 압도하기 때문이다. 부분적분으로
\[\Gamma(s+1) = \bigl[-x^s e^{-x}\bigr]_0^\infty + s\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x} dx = s \Gamma(s)\]이고 \(\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x} dx = 1\)이므로 \(\Gamma(n) = (n-1)!\)이다. 즉 감마함수는 팩토리얼을 실수로 확장한다.
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