발산정리와 스토크스 정리

우리는 그린 정리를 소개하며 이것이 미적분학의 기본정리의 2차원 analogue라는 것을 보았다. 미적분학의 마지막은 이를 고차원으로 확대하는 것으로, 역시 이들이 공유하는 정신은 영역 내부의 적분과 경계의 적분이 이어진다는 것이다.

발산정리

우선 우리는 발산정리를 보인다. 이는 \(2\)차원 경계로 둘러싸인 \(3\)차원 공간의 적분에 대한 정리이다.

정리 1 (발산정리) \(E\)가 조각마다 매끄러운 닫힌 곡면 \(\partial E\)로 둘러싸인 공간의 입체이고 \(\mathbf{F}\)가 \(E\)를 포함하는 열린집합에서 \(C^1\) 벡터장이면, \(\partial E\)를 바깥 방향으로 잡을 때

\[\iint_{\partial E} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \divergence \mathbf{F}\mathop{dV}\]

이다.

증명

\(\mathbf{F} = (P, Q, R)\)로 적고 \(z\)성분에 대해

\[\iint_{\partial E} (0,0,R)\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \partial R/\partial z\mathop{dV}\]

를 보이면 \(P, Q\)도 대칭적으로 처리되어 셋을 더해 정리가 나온다.

\(E\)가 \(z\)방향으로 단순한 입체, 곧 \(E = \{(x,y) \in D,\ u_1(x,y) \leq z \leq u_2(x,y)\}\)라 하자. 오른쪽 삼중적분은 §다중적분, ⁋정리 2 (푸비니)로 \(z\)를 먼저 적분하면

\[\iiint_E \frac{\partial R}{\partial z}dV = \iint_D \bigl(R(x,y,u_2) - R(x,y,u_1)\bigr)\mathop{dA}\]

이다. 한편 \(\partial E\)는 윗면 \(z = u_2\), 아랫면 \(z = u_1\), 옆면으로 이루어지는데, 옆면에서는 바깥 법선이 수평이라 \((0,0,R)\cdot \mathbf{n} = 0\)이라 기여가 없다. 윗면은 바깥 법선이 위를 향해 선속이 \(+\iint_D R(x,y,u_2)\mathop{dA}\), 아랫면은 아래를 향해 \(-\iint_D R(x,y,u_1)\mathop{dA}\)를 주므로, 합이 위 이중적분과 같다. 일반 입체는 이런 조각들로 잘라 합치면 내부 경계면의 선속이 방향이 반대인 두 번으로 상쇄되어 정리가 성립한다.

발산정리는 닫힌 곡면을 통해 흘러나가는 양이 내부에서 솟아나는 양 \(\divergence \mathbf{F}\)을 모두 모은 것과 같음을 말한다. 이로써 발산이 “단위부피당 흘러나가는 양”이라는 직관이 정리로 확정된다. 닫힌 곡면 위의 선속을, 곡면을 직접 적분하는 대신 부피적분으로 바꾸어 계산할 수 있다는 점에서 실용적이기도 하다.

예시 2 (선속의 부피적분 환원) §면적분과 선속, ⁋예시 6에서 반지름 \(R\)인 구를 통한 \(\mathbf{F} = (x,y,z)\)의 선속을 곡면적분으로 직접 계산해 \(4\pi R^3\)을 얻었다. 발산정리로는 \(\divergence \mathbf{F} = 3\)이라

\[\iint_{\partial E} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E 3\mathop{dV} = 3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3\]

으로 같은 값이 나온다.

스토크스 정리

스토크스 정리는 거의 그린 정리와 같은 것으로, 이는 사실 본질적으로는 \(1\)차원 경계로 둘러싸인 \(2\)차원 영역의 적분에 대한 정리이므로 그린 정리의 적분 영역이 \(3\)차원 안에서 휘어져서 들어있을 때에도 작동하도록 바꾼 것에 불과하다.

정리 3 (스토크스) \(S\)가 조각마다 매끄러운 경계곡선 \(\partial S\)를 갖는 방향지어진 곡면이고 \(\mathbf{F}\)가 \(S\)를 포함하는 열린집합에서 \(C^1\)이면, \(\partial S\)를 \(S\)의 방향과 맞게 (곡면을 왼쪽에 두고) 잡을 때

\[\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \curl \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\]

이다.

증명

\(S\)가 위로 방향지어진 그래프 \(z = g(x,y)\)인 경우를 보이면, 일반 곡면은 그런 조각들로 잘라 합쳐 내부 경계가 상쇄되는 것을 확인하면 된다. 따라서 이 특정 경우만 보자. 우선 경계 위에서 \(z = g(x,y)\)이라 \(dz = g_x\mathop{dx} + g_y\mathop{dy}\)이므로

\[\oint_{\partial S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \oint_{\partial D} P\mathop{dx} + Q\mathop{dy} + R\mathop{dz} = \oint_{\partial D} (P + R g_x)\mathop{dx} + (Q + R g_y)\mathop{dy}\]

이고, 평면 영역 \(D\)에 §그린 정리, ⁋정리 1 (그린)을 적용하면 이는

\[\iint_D \bigl[\partial_x(Q + R g_y) - \partial_y(P + R g_x)\bigr]\mathop{dA}\]

와 같다. \(P, Q, R\)가 \((x, y, g(x,y))\)에서 계산된다는 것만 주의하며 연쇄법칙으로 미분하면, \(R g_{xy}\)와 \(R g_{yx}\) 항이 §다변수함수와 편미분, ⁋정리 7 (Clairaut)로 상쇄되고, 이를 사용하여 정리하면 피적분함수가

\[(Q_x - P_y) + (Q_z - R_y)g_x + (R_x - P_z)g_y\]

가 된다. 한편 그래프의 위쪽 법선은 \(\mathbf{N} = (-g_x, -g_y, 1)\)이고 \(\curl \mathbf{F} = (R_y - Q_z,\ P_z - R_x,\ Q_x - P_y)\)이므로 \(\curl \mathbf{F} \cdot \mathbf{N}\)이 정확히 이와 같은 식이다. 따라서 위 이중적분은

\[\iint_D \curl \mathbf{F}\cdot \mathbf{N}\mathop{dA} = \iint_S \curl \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}\]

이다.

평면에서와 마찬가지로 다음도 성립한다.

따름정리 4 단순연결 열린 영역 \(D \subseteq \mathbb{R}^3\)에서 \(C^1\) 벡터장 \(\mathbf{F}\)가 무회전(\(\curl \mathbf{F} = 0\))이면 \(\mathbf{F}\)는 보존장이다.

증명

\(D\)가 단순연결이므로 \(D\) 안의 임의의 닫힌 곡선 \(C\)는 \(D\) 안에 놓인 곡면 \(S\)의 경계로 채울 수 있다. 스토크스 정리로

\[\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S \curl \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 0\]

이고, 모든 닫힌 곡선에서 적분이 \(0\)이므로 §선적분, ⁋정리 4에 의해 \(\mathbf{F}\)는 보존장이다.

예시 5 벡터장 \(\mathbf{F} = (-y, x, z)\)의 단위원

\[C\colon \mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, 0)\]

위에서의 순환을 구하자. \(\curl \mathbf{F} = (0, 0, 2)\)이고, \(C\)를 경계로 갖는 곡면으로 \(xy\)평면의 단위원판 \(S\) (위 방향 법선 \(\mathbf{k}\)) 를 택하면 스토크스 정리로

\[\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S \curl \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S 2\mathop{dA} = 2\pi\]

이다.

스토크스 정리를 사용하지 않고 직접 계산해도

\[\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) = (-\sin t, \cos t, 0)\cdot(-\sin t, \cos t, 0) = 1\]

이므로 적분값이 \(\oint_C = \int_0^{2\pi} dt = 2\pi\)로 일치하며, 경계를 공유하는 다른 곡면, 가령 반구를 택하여 계산해도 적분값은 변하지 않는다는 것을 확인할 수 있다.