인자와 선형계

§준연접층에서 quasi-coherent sheaf와 invertible sheaf를 정의하였으므로, 우리는 variety 위에서 하던 divisor와 line bundle의 계산을 이제 scheme 위에서 시작할 수 있다. 이 글의 목적은 §인자, §선다발과 벡터다발와 §선형계에서 다루었던 내용들을 scheme의 언어로 올려주는 것이다.

카르티에 인자

§인자에서는 Weil divisor를 먼저 정의하고 Cartier divisor를 그 후에 살펴보았다. 이는 Cartier divisor가 국소적으로 하나의 방정식으로 잘린다는 조건을 더함으로써 그 대상이 정의되는 공간을 일반화한 것이기 때문이었는데, 덕분에 우리는 singular variety에서 작동하는 divisor theory를 사용할 수 있었다. Scheme은 variety보다 여러 방면으로 일반적인 무대이므로, 우리는 처음부터 Weil divisor를 다루기보다 우리가 주로 사용할 Cartier divisor를 사용하기로 한다.

정의 1 Closed embedding $\iota: Z \hookrightarrow X$가 effective Cartier divisor_{유효 카르티에 인자}라는 것은 $X$의 affine open cover $\{U_i=\Spec A_i\}$가 존재하여, 각각의 closed embedding들

\[\iota\vert^{U_i}:\iota^{-1}(U_i) \rightarrow U_i\]

마다 적당한 non-zerodivisor $s_i\in A_i=\Gamma(U_i, \mathcal{O}_X)$가 존재하여 두 closed embedding $\iota\vert^{U_i}$와 $s_i$의 vanishing scheme $Z(s_i)\hookrightarrow U_i$가 isomorphic한 것이다. (§닫힌 부분스킴, ⁋정의 7)

정의가 $s_i$에 요구하는 것은 non-zerodivisor라는 것뿐이므로 $Z$는 non-reduced일 수 있다. Algebraic variety에서는 closed subvariety가 언제나 reduced이므로, multiplicity를 담기 위해서는 §인자, ⁋정의 1과 같이 formal sum을 사용하여 형식적으로 정수계수를 붙여주었어야 했다. 이제 $Z$ 자체가 multiplicity를 가지므로 effective인 경우에는 그러한 계수가 필요하지 않다. 가령 $X=\Spec \mathbb{K}[\x]$와 $s=\x^2$에 대하여 $\x^2$이 non-zerodivisor이므로 $Z(s)=\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x^2)$은 effective Cartier divisor이며, 이는 원점 하나에 얹힌 non-reduced scheme으로서 multiplicity $2$를 갖는다.

위의 정의는 본질적으로 열린집합마다 정의되는 조건으로, cover에 의존하지만 이를 간단히 closed subscheme을 정의하는 ideal sheaf의 성질로 바꿔줄 수 있다. (§닫힌 부분스킴, ⁋정의 5)

명제 2 Closed embedding $\iota: Z\hookrightarrow X$가 effective Cartier divisor인 것은, 그 ideal sheaf $\mathcal{I}_{Z/X}$가 invertible sheaf인 것과 동치이다. (§준연접층, ⁋정의 12)

증명

Affine open subset $U=\Spec A$ 위에서 $\iota$를 공역에 대해 제한한 것은 ideal $\mathfrak{a}=\mathcal{I}_{Z/X}(U)$가 정의하는 closed embedding $Z(\mathfrak{a})\hookrightarrow U$이며, 서로 다른 두 ideal은 서로 다른 closed subscheme을 정의한다. (§닫힌 부분스킴, ⁋명제 3) 따라서 $\iota\vert^U$가 $Z(s)\hookrightarrow U$와 isomorphic한 것은 $\mathfrak{a}=(s)$인 것과 같다.

이제 $s\in A$에 대하여 $A \rightarrow (s)$, $a\mapsto as$를 생각하자. 이는 언제나 surjective이고 그 kernel이 $\ann(s)$이므로, 이것이 isomorphism인 것과 $s$가 non-zerodivisor인 것은 동치이다. 이제 $\iota$가 effective Cartier divisor라 하고 정의 1의 affine open cover $\{U_i=\Spec A_i\}$를 택하자. 그럼 $\mathcal{I}_{Z/X}(U_i)=(s_i)\cong A_i$이다. 한편 $\mathcal{I}_{Z/X}$는 quasi-coherent sheaf이고 (§준연접층, ⁋명제 17) quasi-coherence는 affine-local이므로, §준연접층, ⁋정리 10에 의하여 $\mathcal{I}_{Z/X}\vert_{U_i}\cong \widetilde{\mathcal{I}_{Z/X}(U_i)}$이다. 따라서 위의 동형은

\[\mathcal{I}_{Z/X}\vert_{U_i}\cong \widetilde{(s_i)}\cong \widetilde{A_i}=\mathcal{O}_{U_i}\]

를 준다. 즉 $\mathcal{I}_{Z/X}$는 rank $1$의 locally free sheaf이다.

거꾸로 $\mathcal{I}_{Z/X}$가 invertible sheaf라 하자. 임의의 점 $x$에 대하여 $\mathcal{I}_{Z/X}\vert_V\cong \mathcal{O}_V$인 열린근방 $V$를 택하고, $V$ 안에서 $x$를 담는 affine open subset $U=\Spec A$를 택하면 $\mathcal{I}_{Z/X}(U)\cong A$이다. 이 동형에서 $1\in A$의 image를 $s$라 하면 $\mathcal{I}_{Z/X}(U)=(s)$이고 $\ann(s)=0$이므로 $s$는 non-zerodivisor이다. 이러한 $U$들이 $X$를 덮으므로 정의 1의 조건이 충족된다.

증명에서 사용한 사상 $A\rightarrow \mathcal{I}_{Z/X}(U)$가 정의 1의 두 요구를 명확하게 나눠준다. 이 사상이 surjective라는 것은 ideal $\mathcal{I}_{Z/X}(U)$가 $s$ 하나로 생성된다는 것, 곧 $Z$가 $U$ 위에서 방정식 하나로 잘린다는 것을 요구한다. 이 때, 위의 non-zerodivisor 조건은 $\ann(s)=0$가 되며, 이 때 이 사상이 injective가 되어 $\mathcal{I}_{Z/X}\vert_U\cong \mathcal{O}_U$를 얻는다. 만일 이 non-zerodivisor 조건을 뺀다면 각각의 $s_i$는 $A_i$의 임의의 원소로 택할 수 있으며, 이렇게 얻어지는 조건을 locally principal이라 부른다. 곧 effective Cartier divisor란 locally principal인 것 가운데 그 국소적인 방정식을 non-zerodivisor로 잡을 수 있는 것이다.

Effective Cartier divisor의 가장 기본적인 성질은 그 codimension이 언제나 $1$이라는 것이다.

명제 3 Locally Noetherian scheme $X$ 위의 effective Cartier divisor $\iota:Z\hookrightarrow X$에 대하여, $Z$의 모든 irreducible component는 $X$에서 codimension $1$을 갖는다.

증명

Codimension은 국소적으로 계산되므로, 정의 1의 affine open cover $\{U_i=\Spec A_i\}$ 가운데 하나를 택하여 $Z\cap U_i=Z(s_i)$이고 $s_i\in A_i$가 non-zerodivisor인 경우만 보면 충분하다. $Z$의 irreducible component $W$가 $U_i$와 만난다면 $W\cap U_i$는 $Z(s_i)$의 irreducible component이다. §차원, ⁋명제 12에 의하여 $Z(s_i)$의 component는 $U_i$에서 codimension $0$이거나 $1$인데, codimension $0$인 component는 $U_i$ 자신의 irreducible component, 즉 $A_i$의 minimal prime ideal $\mathfrak{p}$에 대응된다. 만일 $W\cap U_i$가 그러한 component라면 $s_i$가 그 위에서 소멸하므로 $s_i\in \mathfrak{p}$이다. 그런데 Noetherian ring에서 non-zerodivisor는 어떠한 minimal prime ideal에도 속하지 않으므로 (§동반소아이디얼, ⁋정리 7) 이는 $s_i$가 non-zerodivisor라는 가정에 모순이다. 따라서 $W\cap U_i$의 codimension은 $1$이고, §차원, ⁋명제 8에 의하여 $W$의 $X$에서의 codimension 또한 $1$이다.

증명에서 $s_i$가 non-zerodivisor라는 요구가 쓰인 곳은 $s_i$가 $A_i$의 어떠한 minimal prime ideal에도 속하지 않는다는 것뿐이었다. 기하적으로 이는 $s_i$가 $X$의 irreducible component 위에서 통째로 소멸하지 않는다는 것이다. 정의 1에서 이 요구를 덜어내면 방정식 $s_i$가 component 하나를 자르는 대신 그것을 통째로 삼킬 수 있고, 그러면 $Z$는 codimension $1$이 아니라 $X$의 component 자체가 된다. 다음 예시에서 이러한 상황을 확인하자.

예시 4 $X=\Spec \mathbb{K}[\x,\y]/(\x\y)$를 평면의 두 좌표축의 합집합이라 하고, $Z=Z(\x)$라 하자. 이는 global section $\x$ 하나의 vanishing scheme이므로, $X$ 자신을 cover로 택하면 $Z\hookrightarrow X$가 locally principal임을 안다.

그러나 이는 effective Cartier divisor가 아니다. $\mathbb{K}[\x,\y]/(\x\y,\x)\cong\mathbb{K}[\y]$이므로 $Z$는 $\y$-축이고, 이는 $X$의 두 irreducible component 가운데 하나이므로 $X$에서 codimension $0$을 갖는다. 그런데 명제 3에 의하여 effective Cartier divisor의 irreducible component는 codimension $1$이어야 한다.

대수적으로는 명제 2가 같은 것을 말해준다. 원점을 담는 affine open subset $U=\Spec A$를 어떻게 택하더라도 $U$는 두 좌표축과 모두 만나므로 $A$ 안에서 $\y$는 $0$이 아니고, $\mathcal{I}_{Z/X}(U)$를 생성하는 $\x$는 이를 죽이는 zerodivisor이다. 곧 이 ideal은 결코 free module이 될 수 없다.

위의 예시에서 codimension이 예상대로 행동하지 않은 것은 $\x$가 minimal prime ideal에 포함되어 있었기 때문이다. 원소가 non-zerodivisor임을 요구함으로써 우리는 이와 같은 minimal prime ideal 뿐만 아니라 associated prime ideal 전체를 피할 수 있도록 해 주며, 예를 들어 다음의 scheme

\[A=\mathbb{K}[\x,\y]/(\x^2,\x\y)\]

에서 $(\x^2,\x\y)=(\x)\cap(\x^2,\y)$이므로 $\Ass(A)=\{(\x),(\x,\y)\}$인데, 이는 $\y$-축에 원점이 embedded point로 얹혀 있는 scheme이다. 여기에서 $\y$는 유일한 minimal prime ideal $(\x)$에 속하지 않으므로 $Z(\y)$는 어떠한 component도 삼키지 않고 codimension $1$을 가지지만, $\x\y=0$이고 $\x\neq 0$이므로 $\y$는 zerodivisor이고 $\ann(\y)=(\x)$이다. 따라서 $Z(\y)\hookrightarrow \Spec A$는 codimension $1$이면서도 effective Cartier divisor가 아니며, 이는 명제 3의 역이 일반적으로 성립하지 않는다는 뜻이기도 하다.

두 예시 모두에서 문제가 된 것은 해당하는 점에서의 local ring이 domain조차 아니었다는 것이다. 이러한 상황을 배제하면 명제 3의 역이 성립한다.

명제 5 Locally Noetherian integral scheme $X$가 factorial이라 하자. (§스킴의 대수구조, ⁋정의 7) 그럼 codimension $1$인 임의의 integral closed subscheme $\iota:Z\hookrightarrow X$는 effective Cartier divisor이다.

증명

$X$가 integral이므로 임의의 affine open subset $U=\Spec A$에 대하여 $A$는 Noetherian domain이고, 특히 $A$의 $0$이 아닌 원소는 모두 non-zerodivisor이다.

$Z$와 만나지 않는 점에 대해서는 볼 것이 없다. $Z$가 닫힌집합이므로 그러한 점은 $Z$와 만나지 않는 affine open neighborhood를 가지며, 그 위에서 $Z$는 $Z(1)=\emptyset$이어서 정의 1의 조건이 $s=1$로 충족되기 때문이다.

이제 $z\in Z$를 택하고 $z$를 담는 affine open subset $U=\Spec A$를 잡자. $Z$가 integral이므로 $\mathfrak{p}=\mathcal{I}_{Z/X}(U)$는 prime ideal이며, §차원, ⁋명제 8에 의하여 $Z$가 codimension $1$이라는 것은 $\mathfrak{p}$가 codimension $1$이라는 것이다. $z$에 대응하는 prime ideal을 $\mathfrak{q}\supseteq \mathfrak{p}$라 하면 $X$가 factorial이라는 가정에 의하여 $A_\mathfrak{q}=\mathcal{O}_{X,z}$는 Noetherian local UFD이고, $\mathfrak{p}A_\mathfrak{q}$는 codimension $1$인 prime ideal이다. 그럼 [가환대수학] §정칙성의 호몰로지 판정, ⁋보조정리 8의 1번에 의하여 $\mathfrak{p}A_\mathfrak{q}$는 principal이다.

$\mathfrak{p}A_\mathfrak{q}=(t)$라 하고, $\mathfrak{q}$ 바깥의 원소는 $A_\mathfrak{q}$에서 unit이므로 $t=f/1$이 되도록 $f\in A$를 택하자. $\mathfrak{p}A_\mathfrak{q}\cap A=\mathfrak{p}$이므로 $f\in \mathfrak{p}$이다. 한편 $A$가 Noetherian이므로 $\mathfrak{p}$는 유한개의 원소 $p_1,\ldots, p_n$이 생성하고, 각각의 $p_i/1$이 $(f)A_\mathfrak{q}$에 속하므로 $g_i\notin \mathfrak{q}$가 존재하여 $g_ip_i\in (f)$이다. $g=g_1\cdots g_n$으로 두면 $\mathfrak{q}$가 prime이므로 $g\notin\mathfrak{q}$이고, $A_g$에서 $\mathfrak{p}A_g=(f)$이다.

그럼 $D(g)$는 $z$의 affine open neighborhood로서 그 위에서 $Z$는 $Z(f)$이며, $A_g$가 domain이고 $f\neq 0$이므로 $f$는 non-zerodivisor이다. 이렇게 얻은 열린집합들이 $X$를 덮으므로 정의 1에 의하여 $\iota$는 effective Cartier divisor이다.

즉, 위의 가정에 대해서는 codimension $1$이라는 위상적인 조건만으로 방정식 하나를 되찾을 수 있으며, 일반적으로 모든 local ring이 regular local ring인 scheme은 factorial이라는 것이 알려져 있으므로 특히 regular한 대상에서 이러한 결과가 성립한다. 일반적으로는 그러한 회복을 기대할 수 없으므로, 우리는 국소적인 방정식 자료 자체를 대상으로 삼아 이들을 한데 모은다. 이 때 각각의 방정식은 $U_i$ 위의 함수일 필요가 없고 겹침 위에서 그 비율만이 통제되며, 아래에서 $K(U)$는 §스킴의 대수구조, ⁋정의 12의 total quotient ring이다.

정의 6 Locally Noetherian scheme $X$ 위의 Cartier divisor_{카르티에 인자}란 $X$의 affine open cover $\{U_i\}$와 각각의 $f_i\in K(U_i)^\times$가 이루는 데이터 $\{(U_i,f_i)\}$로, 임의의 $i,j$에 대하여 $f_i/f_j$가 $U_i\cap U_j$ 위에서 $\mathcal{O}_X^\times$의 section인 것이다. 이 때, 두 데이터 $\{(U_i,f_i)\}$와 $\{(V_j,g_j)\}$는 임의의 $i,j$에 대하여 $f_i/g_j$가 $U_i\cap V_j$ 위에서 $\mathcal{O}_X^\times$의 section일 때 같은 Cartier divisor로 본다. 이들은 덧셈

\[\{(U_i,f_i)\}+\{(V_j,g_j)\}=\{(W, (f_ig_j)\vert_W)\}\]

을 연산으로 하여 group을 이루며, 여기에서 $W$는 각각의 $U_i\cap V_j$에 포함되는 affine open subset들을 훑는다. 이 group을 $\CaDiv(X)$로 적는다.

이는 §인자, ⁋정의 12에서 살펴본 것과 같은 정의로, 각각의 $f_i$가 하나의 function field가 아니라 $U_i$마다의 $K(U_i)^\times$에서 온다는 것만이 다르다. 열린집합 $W\subseteq U$의 associated point들은 $U$의 associated point들 가운데 $W$에 속하는 것들이므로 (§스킴의 대수구조, ⁋정의 8) restriction $K(U)^\times\rightarrow K(W)^\times$가 있으며, 이를 통해 자료를 세분할 수 있으므로 아래에서는 affine이 아닌 cover 위에 적은 자료도 같은 방식으로 읽는다.

각각의 $f_i$가 모두 $\Gamma(U_i,\mathcal{O}_X)$에 속하는 Cartier divisor를 effective라 부르며, 이것이 위의 동치관계와 호환되는 것을 쉽게 확인할 수 있다. $f_i$가 $\Gamma(U_i,\mathcal{O}_X)$에 속하고 $f_i/g_j$가 $U_i\cap V_j$ 위에서 invertible section이라면 $g_j=f_i\cdot(f_i/g_j)^{-1}$ 또한 그 위에서 $\mathcal{O}_X$의 section이고, 이러한 $U_i\cap V_j$들이 $V_j$를 덮으므로 $g_j$ 역시 $\Gamma(V_j,\mathcal{O}_X)$에 속하기 때문이다. 이렇게 대수적으로 정의한 개념이 정의 1의 것과 일치한다는 것이 $\CaDiv(X)$에 관한 첫 번째 결과이다.

명제 7 Locally Noetherian scheme $X$에 대하여, effective Cartier divisor $\iota:Z\hookrightarrow X$들과 $\CaDiv(X)$의 effective한 원소들은 서로 일대일로 대응한다.

증명

Effective한 $D=\{(U_i,f_i)\}$가 주어졌다 하자. $f_i\in \Gamma(U_i,\mathcal{O}_X)$가 $K(U_i)^\times$의 원소라는 것은 $f_i$가 non-zerodivisor라는 것이다. 각 $U_i$ 위에서 ideal $(f_i)$를 생각하면, $f_i/f_j$가 겹침 위에서 unit이므로 이들은 겹침 위에서 같은 ideal sheaf를 정의하고, 따라서 §닫힌 부분스킴, ⁋명제 6에 의하여 $X$의 closed subscheme $Z$ 하나로 붙는다. 이 $Z$는 구성에 의하여 정의 1의 조건을 만족한다.

거꾸로 effective Cartier divisor $\iota:Z\hookrightarrow X$와 정의 1의 자료 $\{(U_i,s_i)\}$가 주어졌다 하자. $s_i$가 non-zerodivisor이므로 $s_i\in K(U_i)^\times$이다. 겹침 위에서는 $\mathcal{I}_{Z/X}$가 $s_i$로도 $s_j$로도 생성되므로 각 점에서 $s_i=us_j$인 local unit $u$가 존재하며, 이러한 $u$는 $s_i$와 $s_j$가 non-zerodivisor라는 것에서 유일하게 결정되어 겹침 전체의 section으로 붙는다. 곧 $\{(U_i,s_i)\}$는 effective한 Cartier divisor이다. 두 구성이 서로 역이라는 것은 어느 쪽이든 $\mathcal{I}_{Z/X}$를 국소적으로 생성하는 원소를 주고받는 것이므로 곧바로 확인된다.

이로부터 우리는 effective Cartier divisor와 $\CaDiv(X)$의 effective한 원소를 구별하지 않는다. 일반적인 Cartier divisor는 각각의 $U_i$ 위에서 $f_i$를 두 non-zerodivisor의 비로 적을 수 있으므로 국소적으로는 두 effective Cartier divisor의 차이며, 이런 뜻에서 $\CaDiv(X)$는 국소적으로 정의 1의 closed subscheme들로 생성된다.

우리는 $f\in K(X)^\times$ 하나가 정의하는 $\{(X,f)\}$ 꼴의 Cartier divisor를 $\divisor(f)$로 적고 principal divisor_주인자라 부른다. Cartier divisor는 정의에 의해 언제나 국소적으로 함수 하나로 주어지므로, 여기에서 문제가 되는 것은 그 국소적인 자료를 하나의 전역적인 함수로 묶을 수 있는지의 여부이다. 이들이 이루는 subgroup을 $\Prin(X)$라 하면, quotient group

\[\CaCl(X)=\CaDiv(X)/\Prin(X)\]

가 정의되며, 두 Cartier divisor의 차가 principal일 때 이 둘을 linearly equivalent라 부른다.

$\mathcal{O}_X(D)$와 Picard group

Cartier divisor의 데이터 $\{(U_i,f_i)\}$는 각 조각 위에서 하나의 함수를 지정하고 겹침 위에서 그 비율만을 통제한다. 이는 정확히 invertible sheaf를 local trivialization과 transition function으로 기술하는 방식이므로, 인자에 invertible sheaf를 대응시킬 수 있다. 이 절에서 $X$는 integral Noetherian scheme으로 두자. 그럼 generic point에서의 local ring인 $K(X)$가 field이고 임의의 공집합이 아닌 열린집합에 대하여 $\Gamma(V,\mathcal{O}_X)$가 그 subring이므로, 아래에서 우리는 rational function들을 하나의 $K(X)$ 안에서 다룰 수 있다.

정의 8 Integral Noetherian scheme $X$와 Cartier divisor $D=\{(U_i,f_i)\}$에 대하여, $X$ 위의 $\mathcal{O}_X$-module $\mathcal{O}_X(D)$를 각각의 공집합이 아닌 열린집합 $V$마다

\[\Gamma(V,\mathcal{O}_X(D))=\{g\in K(X)\mid gf_i\in \Gamma(V\cap U_i,\mathcal{O}_X)\text{ for all $i$}\}\]

로 정의하고, $\Gamma(\emptyset,\mathcal{O}_X(D))=0$으로 둔다. 여기에서 공집합이 아닌 열린집합들 사이의 restriction map은 $K(X)$의 원소를 그대로 보내는 것이다.

이는 우리가 이미 §선다발과 벡터다발, ⁋정의 17에서 다룬 것으로, 우리는 $f_i/f_j$를 transition function으로 삼아 line bundle을 만들고, 그 section들이 $\divisor(g)+D\geq 0$을 만족하는 rational function들임을 뒤이어 확인하였다. 정의 8도 이 정의와 마찬가지로 sheaf $\mathcal{O}_X(D)$를 정의하는 것으로, 이 때 $\Gamma(V,\mathcal{O}_X(D))$는 $D$가 지정하는 만큼의 pole만을 허용하는 rational function들의 모임이다.

정의의 조건은 각 점의 근방에서 확인되는 조건이므로 $\mathcal{O}_X(D)$는 실제로 $\mathcal{O}_X$의 곱셈에 대해 닫힌 sheaf이다. 또 이 sheaf는 $D$를 나타내는 데이터의 선택에 무관하다. 다른 자료 $\{(V_j,g_j)\}$가 같은 Cartier divisor를 준다면 겹침 위에서 $f_i/g_j$가 invertible section이므로, $gf_i$가 $\mathcal{O}_X$의 section인 것과 $gg_j$가 그러한 것이 각각의 $V\cap U_i\cap V_j$ 위에서 같은 조건이기 때문이다. $D$가 effective이면 $\mathcal{O}_X\subseteq \mathcal{O}_X(D)$이고 $-D$에 대해서는 거꾸로 $D$ 위에서 소멸하는 함수들의 sheaf, 곧 명제 7이 주는 closed subscheme의 ideal sheaf가 된다.

명제 9 Integral Noetherian scheme $X$와 Cartier divisor $D,D'$에 대하여 다음이 성립한다.

$\mathcal{O}_X(D)$는 invertible sheaf이며, $\mathcal{O}_X(D)\vert_{U_i}$는 $f_i^{-1}$이 생성한다.
$K(X)$ 안에서의 곱셈이 isomorphism $\mathcal{O}_X(D)\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{O}_X(D')\cong \mathcal{O}_X(D+D')$를 준다.
$\mathcal{O}_X(D)\cong \mathcal{O}_X$인 것은 $D$가 principal인 것과 동치이다.

증명

1번의 경우, $V\subseteq U_i$인 열린집합에 대하여 $f_j=f_i\cdot(f_j/f_i)$이고 $f_j/f_i$가 $U_i\cap U_j$ 위의 invertible section이므로, $gf_i\in \Gamma(V,\mathcal{O}_X)$이면 자동으로 $gf_j\in\Gamma(V\cap U_j,\mathcal{O}_X)$이다. 따라서

\[\Gamma(V,\mathcal{O}_X(D))=f_i^{-1}\Gamma(V,\mathcal{O}_X)\]

이고, $f_i\in K(X)^\times$이므로 $g\mapsto gf_i$는 $\mathcal{O}_X(D)\vert_{U_i} \rightarrow \mathcal{O}_{U_i}$의 isomorphism이다. 즉 $\mathcal{O}_X(D)$는 rank $1$의 locally free sheaf이다.

2번의 경우, $D'=\{(V_j,g_j)\}$라 하고 $D+D'$을 $\{(U_i\cap V_j, f_ig_j)\}$로 계산하면 1번에 의하여 세 sheaf는 $U_i\cap V_j$ 위에서 각각 $f_i^{-1}$, $g_j^{-1}$, $(f_ig_j)^{-1}$이 생성하는 자유 module이다. 곱셈 $\mathcal{O}_X(D)\otimes \mathcal{O}_X(D') \rightarrow \mathcal{O}_X(D+D')$은 generator를 generator로 보내므로 각 조각 위에서 isomorphism이고, 따라서 전체에서 isomorphism이다.

3번의 경우, $D=\divisor(h)$라면 $\mathcal{O}_X(D)=h^{-1}\mathcal{O}_X\cong \mathcal{O}_X$이다. 거꾸로 isomorphism $\psi:\mathcal{O}_X \rightarrow \mathcal{O}_X(D)$가 주어졌다 하고 $h=\psi(1)\in \Gamma(X,\mathcal{O}_X(D))\subseteq K(X)$라 하자. 그럼 $h$는 각각의 $U_i$ 위에서 $\mathcal{O}_X(D)$를 생성하므로 1번과 비교하면 $h$와 $f_i^{-1}$은 $\mathcal{O}_X^\times$의 section만큼 차이나며, 곧 $f_i/h^{-1}=hf_i$가 $U_i$ 위의 invertible section이다. 따라서 정의 6의 동치관계에 의하여 $\{(U_i,f_i)\}$와 $\{(X,h^{-1})\}$은 같은 Cartier divisor를 정의하여 $D=\divisor(h^{-1})$이다.

위 명제에 의해 대응 $D\mapsto \mathcal{O}_X(D)$는 group homomorphism $\CaDiv(X)\rightarrow\Pic(X)$를 주며, 그 kernel이 곧 $\Prin(X)$가 된다. 따라서 우리는 이 대응의 image가 $\CaCl(X)=\CaDiv(X)/\Prin(X)$와 isomorphic하다는 것을 안다. 다음 정리는 이 결과를 매듭짓는 것으로, 이 대응이 전사이고 따라서 canonical isomorphism $\CaCl(X)\cong \Pic(X)$를 준다는 것을 보여준다.

정리 10 Integral Noetherian scheme $X$에 대하여, $D\mapsto \mathcal{O}_X(D)$는 isomorphism $\CaCl(X)\cong\Pic(X)$를 유도한다.

증명

명제 9에 의하여 유도된 homomorphism이 injective이므로 surjectivity만 보이면 된다. Invertible sheaf $\mathcal{L}$과 그 trivialization $\psi_i:\mathcal{O}_{U_i} \rightarrow \mathcal{L}\vert_{U_i}$가 주어졌다 하자. Trivialization은 열린부분집합으로의 제한에서 유지되므로 각각의 $U_i$를 affine open subset들로 덮어 세분하면, 처음부터 $\{U_i\}$가 affine open cover라 가정하여도 된다. 이제 $t_i=\psi_i(1)$을 $\mathcal{L}$의 $U_i$ 위의 generating section이라 하자. 그럼 겹침 위에서 $t_j=g_{ij}t_i$인 $g_{ij}\in \Gamma(U_i\cap U_j,\mathcal{O}_X)^\times$가 유일하게 결정되고, 이들은 $g_{ij}g_{jk}=g_{ik}$를 만족한다.

우선 $g_{ii}=1$이고 $g_{ji}=g_{ij}^{-1}$임을 관찰하고, 공집합이 아닌 $U_{i_0}$ 하나를 고정하여 $f_i=g_{ii_0}\in \Gamma(U_i\cap U_{i_0},\mathcal{O}_X)^\times$로 두자. $X$가 integral이므로 이는 $K(X)^\times$의 원소이고, cocycle 조건에서 $U_i\cap U_j\cap U_{i_0}$ 위에서 $f_i/f_j=g_{ii_0}g_{i_0j}=g_{ij}$이다. 그런데 $X$가 irreducible이므로 이 열린집합은 $U_i\cap U_j$의 조밀한 열린부분집합이고, $\Gamma(U_i\cap U_j,\mathcal{O}_X)$가 $K(X)$에 embed되므로 이 등식은 $U_i\cap U_j$ 전체에서 성립한다. 특히 $f_i/f_j$는 겹침 위에서 invertible section이므로 $D=\{(U_i,f_i)\}$는 Cartier divisor이다.

이제 $\mathcal{O}_X(D)\cong \mathcal{L}$임을 보인다. 명제 9에 의하여 $\mathcal{O}_X(D)\vert_{U_i}$는 $f_i^{-1}$이 생성하므로, $V\subseteq U_i$ 위에서 $gf_i\in \Gamma(V,\mathcal{O}_X)$이고

\[\varphi_i:\mathcal{O}_X(D)\vert_{U_i} \rightarrow \mathcal{L}\vert_{U_i};\qquad g\mapsto (gf_i)\cdot t_i\]

는 isomorphism이다. 겹침 위에서 $t_i=g_{ji}t_j$이고 $g_{ji}=f_j/f_i$이므로

\[\varphi_i(g)=(gf_i)\cdot\frac{f_j}{f_i}t_j=(gf_j)\cdot t_j=\varphi_j(g)\]

가 되어 이들은 하나의 isomorphism $\mathcal{O}_X(D)\cong\mathcal{L}$로 붙는다.

따라서 integral Noetherian scheme 위에서 invertible sheaf를 다루는 것은 Cartier divisor를 linear equivalence까지만 기억하며 다루는 것과 같으며, variety 수준에서의 같은 대응이 §선다발과 벡터다발, ⁋명제 19이다.

베유 인자

이제 우리는 linear system을 살펴보기 전에 Weil divisor를 간략하게 살펴본다. 위에서 간략하게 언급했듯, Weil divisor는 Cartier divisor보다 좋은 공간에서만 정의되었었는데, 이를 scheme의 언어에서 어떻게 가져올지가 우리의 첫 번째 논의의 대상이다. 우선 Weil divisor가 정의되기 위해서는 rational function이 각각의 codimension $1$ 부분에서 갖는 zero와 pole의 order를 정의할 수 있어야 하고, 그러려면 그 점에서의 local ring이 discrete valuation ring이어야 한다. 그러나 이 조건이 실제로 어떤 조건인지는 다소 불명확하므로, 우리는 normality를 가정한다. (§스킴의 대수구조, ⁋정의 6) 그럼 보조정리 11에서 이 가정이 codimension $1$ 부분에서 local ring을 DVR로 만들어준다는 것을 확인할 것이다.

따라서 normal, integral Noetherian scheme $X$를 생각하자. $X$가 integral이므로 임의의 affine open subset은 domain의 spectrum이고, 따라서 $X$의 유일한 associated point는 generic point $\xi$이다. 그럼 §스킴의 대수구조, ⁋정의 12의 total quotient ring은 §스킴 사상의 성질들, §§유리사상에서 정의한 function field

\[K(X)=\mathcal{O}_{X,\xi}\]

가 되며, 임의의 공집합이 아닌 열린집합 $V$에 대하여 $\Gamma(V,\mathcal{O}_X)$는 $K(X)$의 subring으로 볼 수 있다. 특히 임의의 점 $x$에서의 local ring $\mathcal{O}_{X,x}$ 또한 $K(X)$의 subring이며 그 fraction field는 $K(X)$이다. 또한 이 embedding들이 restriction 및 germ을 취하는 것과 맞아떨어지므로, 등식

\[\Gamma(V,\mathcal{O}_X)=\bigcap_{x\in V}\mathcal{O}_{X,x}\]

이 $K(X)$ 안에서 성립함을 쉽게 확인할 수 있다. 즉, rational function이 열린집합 위에서 regular인지를 각 점의 local ring으로 판정할 수 있다.

보조정리 11 Normal integral Noetherian scheme $X$에 대하여 다음이 성립한다.

$X$의 codimension $1$ irreducible closed subset $Y$와 그 generic point $\eta$에 대하여, $\mathcal{O}_{X,\eta}$는 discrete valuation ring이다.
임의의 $f\in K(X)^\times$에 대하여, $f$의 $\mathcal{O}_{X,\eta}$에서의 valuation이 $0$이 아닌 codimension $1$ irreducible closed subset $Y$는 유한히 많다.

증명

1번의 경우, $X$가 normal이므로 $R=\mathcal{O}_{X,\eta}$는 normal domain이고 $X$가 locally Noetherian이므로 Noetherian이다. 또한 §차원, ⁋명제 8에 의하여 $\dim R=\codim_X Y=1$이므로 $R$의 maximal ideal은 codimension $1$의 prime ideal이다. 한편 §정칙국소환, ⁋정리 11 (Serre)을 normal domain $R$ 자신에 적용하면 (R1) 조건, 곧 codimension $1$ prime ideal에서의 localization이 discrete valuation ring이라는 것이 성립한다. 이를 $R$의 maximal ideal에 적용하고 $R$이 local ring이라는 것을 쓰면 $R$ 자신이 discrete valuation ring이다.

2번을 보이기 위해, $X$의 Noetherian 가정을 사용해 유한히 많은 affine open subset $U_1,\ldots, U_r$이 $X$를 덮는다 하자. 각각의 $Y$는 어떤 $U_k$와 만나며, 그럼 $Y\cap U_k$는 $U_k$의 codimension $1$ irreducible closed subset으로서 같은 generic point $\eta$를 가지므로, 하나의 $U=\Spec A$를 고정하고 그 위에서 유한성을 보이면 충분하다. 여기에서 $A$는 Noetherian domain이고 $\Frac(A)=K(X)$이므로 $f=a/b$인 $a,b\in A\setminus\{0\}$를 택할 수 있다. $Y\cap U$에 대응하는 codimension $1$ prime ideal을 $\mathfrak{p}$라 하면 $\mathcal{O}_{X,\eta}=A_\mathfrak{p}$이고, 만일 $a,b\notin \mathfrak{p}$라면 $a$와 $b$가 모두 $A_\mathfrak{p}$의 unit이므로 $f$의 valuation은 $0$이다. 따라서 valuation이 $0$이 아닌 $\mathfrak{p}$는 $(a)$ 또는 $(b)$를 포함하며, codimension $1$이라는 조건에서 이들은 $(a)$ 또는 $(b)$를 포함하는 minimal prime ideal이다. 그런데 Noetherian ring $A$의 ideal $\mathfrak{a}$에 대하여 $\mathfrak{a}=\ann(A/\mathfrak{a})$이므로, $\mathfrak{a}$를 포함하는 minimal prime ideal은 모두 $\Ass(A/\mathfrak{a})$에 속하고 이 집합은 유한하다. (§동반소아이디얼, ⁋정리 7의 1번) 따라서 그러한 $\mathfrak{p}$ 또한 유한히 많다.

보조정리 11의 1번을 만족하는 $Y$와 그 generic point $\eta$에 대하여, DVR $\mathcal{O}_{X, \eta}$의 uniformizer $\pi$를 택하면 임의의 $f\in K(X)^\times$는

\[f=\pi^nu,\qquad u\in \mathcal{O}_{X,\eta}^\times\]

꼴로 유일하게 적히며, 이 정수 $n$은 $\pi$의 선택에 무관하다. 이를 $\ord_Y(f)$로 적는다. 두 원소의 곱에서 지수가 더해지므로 $\ord_Y:K(X)^\times \rightarrow \mathbb{Z}$는 group homomorphism이며, 이는 정확히 $\mathcal{O}_{X,\eta}$의 discrete valuation이다.

정의 12 Normal integral Noetherian scheme $X$의 codimension $1$ irreducible closed subset을 prime divisor라 부르고, prime divisor들로 생성되는 free abelian group $\Div(X)$의 원소를 $X$의 Weil divisor_{베유 인자}라 부른다. Weil divisor $D=\sum_Y n_YY$가 effective라는 것은 모든 $n_Y$가 음이 아닌 것이며, 이를 $D\geq 0$으로 적는다.

곧 Weil divisor는 codimension $1$짜리 닫힌집합들의 정수계수의 formal sum이며, 각각의 계수는 해당 prime divisor에서 함수가 갖는 zero 또는 pole의 order를 기록한다. 이는 §인자, ⁋정의 1의 Weil divisor를 scheme의 언어로 옮긴 것이며, 이 기록을 실제로 수행하는 것이 다음의 정의이다.

정의 13 Normal integral Noetherian scheme $X$와 $f\in K(X)^\times$에 대하여,

\[\divisor(f)=\sum_Y \ord_Y(f)\cdot Y\in \Div(X)\]

를 다시 $f$의 principal divisor라 부른다. 두 Weil divisor $D_1,D_2$가 linearly equivalent라는 것은 적당한 $f\in K(X)^\times$에 대하여 $D_1-D_2=\divisor(f)$인 것이며, quotient group

\[\Cl(X)=\Div(X)/\{\divisor(f)\mid f\in K(X)^\times\}\]

를 $X$의 divisor class group_인자류군이라 부른다.

보조정리 11의 둘째 결과가 이 합의 유한성을 보장한다. 또, 각각의 $\ord_Y$가 group homomorphism이므로 $\divisor:K(X)^\times \rightarrow \Div(X)$ 또한 group homomorphism이며, 따라서 principal divisor들은 $\Div(X)$의 subgroup을 이루고 $\Cl(X)$가 잘 정의된다.

이 글의 서두에서 언급하였듯, §인자에서 우리는 Weil divisor와 Cartier divisor가 기본적으로는 같은 것이며, Cartier divisor가 Weil divisor보다 조금 더 강한 조건으로 정의되었고, 따라서 더 나쁜 공간에서 정의된다는 점에서만 달랐다. 이 때 이 두 개념이 기본적으로 같다는 것은 §인자, ⁋명제 14의 결과로, 이 명제의 scheme 버전은 다음과 같다.

명제 14 Normal integral Noetherian scheme $X$가 주어졌다 하고, Cartier divisor $\{(U_i, f_i)\}$와 prime divisor $Y$가 주어질 때마다 $Y\cap U_i\neq\emptyset$이도록 하는 $i$를 택하자. 그럼 다음의 식

\[\{(U_i,f_i)\}\mapsto \sum_Y \ord_Y(f_i)\cdot Y\]

은 injective group homomorphism $\CaDiv(X) \rightarrow \Div(X)$를 정의하며, principal divisor를 principal divisor로 보낸다. 만일 $X$가 factorial이라면 이는 isomorphism이고, 따라서 $\CaCl(X)\cong \Cl(X)$이다.

증명

우선 위의 식이 $i$의 선택에 무관하다. $Y$가 $U_i$와 $U_j$를 모두 만난다면 $Y\cap U_i$와 $Y\cap U_j$는 irreducible space $Y$의 공집합이 아닌 두 열린부분집합이므로 서로 만나며, generic point $\eta$는 $Y$의 공집합이 아닌 모든 열린부분집합에 속하므로 $\eta\in U_i\cap U_j$이다. 그 위에서 $f_i/f_j$가 $\mathcal{O}_X^\times$의 section이므로 $f_i/f_j$는 $\mathcal{O}_{X,\eta}$의 unit이 되어 $\ord_Y(f_i)=\ord_Y(f_j)$이기 때문이다. 또 이 합이 유한합인 것은 보조정리 11의 2번과 $X$가 유한히 많은 $U_i$로 덮인다는 것에서 따라온다. Cartier divisor의 덧셈이 $f_i$들의 곱이고 각각의 $\ord_Y$가 group homomorphism이므로 이 대응은 group homomorphism이며, $\divisor(f)=\{(X,f)\}$의 image가 정의 13의 $\divisor(f)$인 것은 정의 그대로이다.

Injectivity를 보이자. $D=\{(U_i,f_i)\}$의 image가 $0$이라 하면, 각각의 $i$에 대하여 $U_i$와 만나는 모든 prime divisor $Y$에서 $\ord_Y(f_i)=0$이다. 우리는 $f_i$가 $U_i$ 위의 invertible section임을 보인다. 이 절의 처음에서 본 등식 $\Gamma(V,\mathcal{O}_X)=\bigcap_{x\in V}\mathcal{O}_{X,x}$를 $f_i$와 $f_i^{-1}$에 적용하면, 각각의 $x\in U_i$에 대하여 $f_i\in \mathcal{O}_{X,x}^\times$임을 보이면 충분하다.

$R=\mathcal{O}_{X,x}$는 Noetherian normal local domain이고, $R$의 codimension $1$ prime ideal $\mathfrak{p}$는 $x$를 지나면서 $U_i$와 만나는 prime divisor $Y$에 대응하며 $R_\mathfrak{p}=\mathcal{O}_{X,\eta_Y}$이다. 그럼 §정칙국소환, ⁋정리 11 (Serre)의 (S2) 조건에 의하여 $R$의 non-zerodivisor가 생성하는 principal ideal의 associated prime은 모두 codimension $1$이므로, §정칙국소환, ⁋명제 8이 주는 등식

\[R=\bigcap_{\text{\scriptsize $\mathfrak{p}$ associated to a non-zerodivisor}}R_\mathfrak{p}\]

의 우변은 codimension $1$인 $\mathfrak{p}$들에 대한 교집합을 포함한다. 가정에 의하여 $\ord_Y(f_i)=0$이므로 $f_i$와 $f_i^{-1}$은 모든 codimension $1$ prime ideal에서의 localization에 속하고, 따라서 둘 다 $R$의 원소이므로 $f_i\in R^\times$이다. 곧 모든 $f_i$가 $U_i$ 위의 invertible section이므로, 정의 6의 동치관계에 의하여 $D$는 $\{(U_i,1)\}$과 같은 Cartier divisor, 즉 $\CaDiv(X)$의 항등원이다.

이제 $X$가 factorial이라 하고 surjectivity를 보인다. Weil divisor $D=\sum_Y n_YY$가 주어졌다 하고 점 $x\in X$를 고정하자. $D$가 유한합이므로 $x$를 지나는 $Y$ 가운데 $n_Y\neq0$인 것은 유한히 많으며, 각각에 대하여 $\mathcal{O}_{X,x}$의 codimension $1$ prime ideal $\mathfrak{p}_Y$가 대응된다. $X$가 factorial이므로 $\mathcal{O}_{X,x}$는 UFD이고, [가환대수학] §정칙성의 호몰로지 판정, ⁋보조정리 8의 1번에 의하여 $\mathfrak{p}_Y=(g_Y)$는 principal이다.

$f_x=\prod_Y g_Y^{n_Y}\in K(X)^\times$로 두자. 곱은 $x$를 지나는 유한히 많은 $Y$에 대한 것이다. 그럼 $E=\divisor(f_x)-D$는 유한히 많은 prime divisor들의 합이고, 구성에 의하여 $x$를 지나는 어떤 prime divisor도 $E$에 나타나지 않는다. 실제로 $x$를 지나는 prime divisor $Y'$에 대하여 $\ord_{Y'}(g_Y)$는 $Y'=Y$일 때 $1$이고 그렇지 않으면 $0$인데, 이는 $g_Y$가 $\mathcal{O}_{X,x}$의 prime element로서 $\mathfrak{p}_{Y'}$에 속하는 것이 $\mathfrak{p}_{Y'}=\mathfrak{p}_Y$인 것과 동치이기 때문이다. 따라서 $E$에 나타나는 prime divisor들의 합집합은 $x$를 담지 않는 닫힌집합이며, 그 여집합 $U_x$ 위에서 $\divisor(f_x)$와 $D$는 일치한다.

이렇게 얻은 열린집합들을 affine으로 줄여 $X$의 affine open cover $\{U_x\}$를 얻자. 그럼 $\divisor(f_x)$와 $\divisor(f_{x'})$이 모두 $U_x\cap U_{x'}$ 위에서 $D$와 일치하므로 $f_x/f_{x'}$는 겹침과 만나는 모든 prime divisor에서 $\ord$가 $0$이며, 위의 injectivity 논증을 열린집합 $U_x\cap U_{x'}$에 적용하면 이는 $\mathcal{O}_X^\times$의 section이다. 곧 $\{(U_x,f_x)\}$는 Cartier divisor이고 그 image가 $D$이다. 마지막으로 principal divisor들이 서로 대응되므로 quotient 사이의 동형 $\CaCl(X)\cong\Cl(X)$이 유도된다.

명제 14의 마지막 주장은 factorial scheme 위에서 두 인자 이론이 일치한다는 것이며, 이는 effective인 경우에 적용되던 명제 5를 임의의 계수로 확장한 것이다. 여기에 정리 10을 합치면 factorial인 경우 $\Cl(X)\cong\CaCl(X)\cong\Pic(X)$를 얻는다. 일반적인 normal scheme 위에서는 $\CaDiv(X)$의 image가 $\Div(X)$의 proper subgroup일 수 있고, 그 차이는 $X$의 singularity가 codimension $1$ 부분을 국소적으로 하나의 방정식으로 자르지 못하는 정도를 잰다.

선형계

이제 우리는 §선형계의 내용을 빠르게 되짚는다. Divisor $D$가 주어졌을 때 자연스러운 물음은 그 linear equivalence class 안에 어떠한 effective divisor가 들어 있는지이며, 정의 8은 이 물음을 $\mathcal{O}_X(D)$의 global section에 대한 물음으로 바꾸어 준다.

명제 15 Integral Noetherian scheme $X$와 Cartier divisor $D$에 대하여, $0\neq s\in \Gamma(X,\mathcal{O}_X(D))$마다 $D+\divisor(s)$는 effective Cartier divisor이며, 이 대응은 $D$와 linearly equivalent한 effective Cartier divisor 전체로의 surjection이다. 또, 두 section $s,s'$이 같은 divisor를 주는 것은 $s'/s\in \Gamma(X,\mathcal{O}_X)^\times$인 것과 동치이다.

증명

$D=\{(U_i,f_i)\}$라 하자. $s\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X(D))$라는 것은 모든 $i$에 대하여 $sf_i\in \Gamma(U_i,\mathcal{O}_X)$라는 것이고, $D+\divisor(s)=\{(U_i,sf_i)\}$이므로 이는 정확히 $D+\divisor(s)$가 effective라는 것이다. 거꾸로 $D'$이 effective이고 $D'-D=\divisor(h)$라면 $D'=\{(U_i,hf_i)\}$이므로 $hf_i\in\Gamma(U_i,\mathcal{O}_X)$이고, 곧 $h\in \Gamma(X,\mathcal{O}_X(D))$이며 그 image가 $D'$이다.

마지막으로 $D+\divisor(s)=D+\divisor(s')$은 $\divisor(s'/s)=0$과 같고, 정의 6의 동치관계에 의하여 이는 $s'/s$가 각각의 $U_i$ 위에서 $\mathcal{O}_X^\times$의 section인 것, 곧 $s'/s\in \Gamma(X,\mathcal{O}_X)^\times$인 것이다.

따라서 $D$와 linearly equivalent한 effective divisor들은 $\Gamma(X,\mathcal{O}_X(D))$의 $0$이 아닌 section들을 $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)^\times$의 작용으로 나눈 것과 일대일로 대응한다. $X$가 field $\mathbb{K}$ 위의 scheme이고 $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=\mathbb{K}$인 경우 이 quotient는 벡터공간의 projectivization이 되므로, §선형계, ⁋정의 2를 복원한다.

정의 16 Field $\mathbb{K}$ 위의 integral scheme $X$가 $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=\mathbb{K}$를 만족한다 하자. Invertible sheaf $\mathcal{L}$에 대하여 그 complete linear system_{완비 선형계}은

\[\lvert \mathcal{L}\rvert=\mathbb{P}(\Gamma(X,\mathcal{L}))\]

이고, $\mathcal{L}$의 linear system_선형계이란 부분공간 $V\subseteq \Gamma(X,\mathcal{L})$이 정의하는 $\mathbb{P}(V)\subseteq \lvert\mathcal{L}\rvert$이다.

명제 15에 의하여 $\mathcal{L}=\mathcal{O}_X(D)$인 경우 $\lvert\mathcal{L}\rvert$은 $D$와 linearly equivalent한 effective divisor들의 집합과 동일시되며, 이 때 이를 $\lvert D\rvert$로도 적는다. Linear system $\mathbb{P}(V)$에 대하여 $V$의 모든 section이 소멸하는 점들의 집합을 그 base locus라 부르며, base locus가 공집합인 linear system은 projective space로의 morphism을 주었다. (§선형계, ⁋정의 5) 우리의 마지막 섹션은 이에 대한 것이다.

Ample invertible sheaf

$\mathcal{O}_X$-module $\mathcal{F}$가 globally generated라는 것은 각 점 $x$에서 stalk $\mathcal{F}_x$가 global section들의 germ으로 $\mathcal{O}_{X,x}$-module로서 생성되는 것이다. 이는 §사영공간의 코호몰로지, ⁋정의 6의 evaluation map이 surjective라는 조건을 scheme 위로 옮긴 것이며, invertible sheaf $\mathcal{L}$의 경우 linear system $\mathbb{P}(V)$의 base locus가 공집합인 것과 $V$의 section들이 $\mathcal{L}$을 globally generate하는 것이 같은 조건이다.

Generating section들은 projective space로의 morphism을 결정한다. Ring $A$ 위의 scheme $X$와 invertible sheaf $\mathcal{L}$, 그리고 이를 globally generate하는 section $s_0,\ldots, s_n\in \Gamma(X,\mathcal{L})$이 주어졌다 하자. 각각의 $i$에 대하여

\[X_{s_i}=\{x\in X\mid \text{$(s_i)_x$ generates $\mathcal{L}_x$}\}\]

는 열린집합이다. 이는 $\mathcal{L}$의 trivializing open set 위에서 $s_i$는 하나의 함수에 대응되고, 그 함수가 unit이 되는 점들의 모임은 열린집합이기 때문이다. 또 $s_i$들이 $\mathcal{L}$을 globally generate하므로 $\{X_{s_i}\}$는 $X$의 open cover이며, $X_{s_i}$ 위에서는 $s_i$가 $\mathcal{L}$의 trivialization을 주므로 각각의 $j$에 대하여 $s_j/s_i\in \Gamma(X_{s_i},\mathcal{O}_X)$가 잘 정의된다. 이제 $D_+(\x_i)$는 $\Spec A[\x_0,\ldots,\x_n]_{(\x_i)}$와 isomorphic하므로 (§사영공간과 Proj 구성, ⁋정리 10), ring homomorphism

\[A[\x_0,\ldots, \x_n]_{(\x_i)} \rightarrow \Gamma(X_{s_i},\mathcal{O}_X);\qquad \frac{\x_j}{\x_i}\mapsto \frac{s_j}{s_i}\]

는 §아핀스킴, ⁋정리 13에 의하여 morphism $X_{s_i} \rightarrow D_+(\x_i)$를 준다. 교집합 위에서 이 morphism들은 $s_k/s_i=(s_k/s_j)(s_j/s_i)$에 의해 서로 일치하므로, 각각의 $X_{s_i}$를 affine open subset들로 덮어 얻은 $X$의 affine open cover에 §스킴 사이의 사상, ⁋명제 1을 적용하면 이들은 하나의 morphism

\[\varphi:X \rightarrow \mathbb{P}^n_A\]

을 정의한다. 즉, $\mathcal{L}$의 generating section을 택하는 것은 $X$를 projective space 안에서 나타내는 방법을 택하는 것이다.

정의 17 Noetherian ring $A$와 finite type $A$-scheme $X$ 위의 invertible sheaf $\mathcal{L}$이 very ample이라는 것은, $\mathcal{L}$을 globally generate하는 유한 개의 section $s_0,\ldots, s_n\in \Gamma(X,\mathcal{L})$이 존재하여 이들이 정의하는 morphism $\varphi:X \rightarrow \mathbb{P}^n_A$가 locally closed embedding인 것이다. (§닫힌 부분스킴, ⁋정의 8)

따라서, very ample invertible sheaf는 $X$를 projective space의 subspace로 실현하는 정보로, $X$가 그 자체로 projective space 안에 놓여 있지 않더라도 이를 통해 좌표를 부여할 수 있다.

그러나 일반적으로 $\mathcal{L}$이 globally generated인 것은 강한 조건이다. 예를 들어 section들이 $\mathcal{L}$을 globally generate하지 못하면 $\varphi$ 자체가 정의되지 않는다. 이러한 문제를 해결하기 위해 우리가 사용하던 것은 $\mathcal{L}$을 여러 번 tensor하는 것이다. 곱셈 $\Gamma(X,\mathcal{L})^{\otimes m} \rightarrow \Gamma(X,\mathcal{L}^{\otimes m})$이 $\mathcal{L}$의 section들로부터 $\mathcal{L}^{\otimes m}$의 section을 만들어 주며, 일반적으로 그 image 바깥에도 section이 존재하므로 $m$이 커질수록 다룰 수 있는 section이 많아진다. 가령 $\mathbb{P}^n$ 위에서 $\Gamma(\mathcal{O}(1))$은 일차식들이 이루는 $n+1$차원 공간인 반면 $\Gamma(\mathcal{O}(m))$은 degree $m$ homogeneous polynomial들이 이루는 $\binom{n+m}{n}$차원 공간이다.

그렇다면 $\mathcal{L}^{\otimes m}$이 very ample이 되는 $m>0$이 존재하는지를 물을 수 있고, §선형계, ⁋정의 10은 실제로 이를 ample의 정의로 삼았다. 그러나 이 서술은 ambient projective space를 경유하므로 $X$가 Noetherian ring 위의 finite type scheme이라는 가정 없이는 쓸 수 없다. 우리는 대신 twist가 sheaf를 얼마나 잘 펴는지만을 조건으로 삼아 임의의 Noetherian scheme에서 통하는 정의를 택한다.

정의 18 Noetherian scheme $X$ 위의 invertible sheaf $\mathcal{L}$이 ample이라는 것은, 임의의 coherent sheaf $\mathcal{F}$에 대하여 (§준연접층, ⁋정의 11) 적당한 $n_0$가 존재하여 모든 $n\geq n_0$에 대해 $\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{L}^{\otimes n}$이 globally generated인 것이다.

이 정의는 section의 존재만을 요구하며 projective space로의 morphism을 직접 언급하지 않는다. 여기에서 조건을 모든 coherent sheaf에 대하여 요구하는 것이 본질적으로, 만일 $\mathcal{F}=\mathcal{O}_X$만 요구한다면, 즉 $\mathcal{L}^{\otimes n}$이 globally generated라는 조건을 요구한다면 이는 $X$에 대한 정보를 전혀 담지 못한다. 반면 임의의 $\mathcal{F}$들에 대해 이 조건을 요구하면 $\mathcal{L}$의 twist가 $X$ 위의 모든 국소적인 자료를 global section으로 끌어올리는지를 묻게 되며, 이것이 embedding의 존재를 대신할 만큼 강한 조건이 된다. 다음은 이 정의로부터 곧바로 얻어지는 성질들이다.

명제 19 Noetherian scheme $X$ 위의 invertible sheaf $\mathcal{L}$에 대하여 다음이 성립한다.

$X$가 affine이면 $\mathcal{L}$은 언제나 ample이다.
$m\geq 1$에 대하여, $\mathcal{L}$이 ample인 것과 $\mathcal{L}^{\otimes m}$이 ample인 것은 동치이다.
$\mathcal{L}$이 ample이고 invertible sheaf $\mathcal{M}$이 globally generated이면 $\mathcal{L}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{M}$ 또한 ample이다.

증명

1번의 경우, $X=\Spec A$라 하고 coherent sheaf $\mathcal{F}$를 택하자. $\mathcal{L}$이 invertible sheaf이므로 $\mathcal{L}^{\otimes n}$은 각 점의 열린근방 위에서 $\mathcal{O}_X$와 동형이고, 따라서 $\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{\otimes n}$은 그 근방 위에서 $\mathcal{F}$와 동형이다. quasi-coherence는 국소적인 조건이므로 이로부터 $\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{\otimes n}$은 quasi-coherent sheaf이고, 곧 적당한 $A$-module $M$의 associated sheaf $\widetilde M$이다. (§준연접층, ⁋정리 10) 그런데 $\widetilde M$의 stalk은 $M_\mathfrak{p}$이고 (§준연접층, ⁋명제 5) 이는 global section module $M$의 image로 생성되므로 $\widetilde M$은 globally generated이다. 따라서 $n_0=0$으로 두면 된다.

2번에서 $\mathcal{L}$이 ample이면, coherent sheaf $\mathcal{F}$에 대해 $n_0$를 택하여 $n\geq n_0$마다 $\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{\otimes n}$이 globally generated이도록 하자. 그럼 $k\geq n_0$에 대하여 $mk\geq n_0$이므로 $\mathcal{F}\otimes(\mathcal{L}^{\otimes m})^{\otimes k}$은 globally generated이다. 거꾸로 $\mathcal{L}^{\otimes m}$이 ample이라 하자. 각각의 $j=0,1,\ldots, m-1$에 대하여 $\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{\otimes j}$ 또한 coherent sheaf이므로 $k_j$가 존재하여 $k\geq k_j$마다 $\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{\otimes j}\otimes(\mathcal{L}^{\otimes m})^{\otimes k}$이 globally generated이다. $k_\ast=\max_jk_j$로 두면 $n\geq mk_\ast$인 임의의 $n$은 $n=mk+j$ ($k\geq k_\ast$, $0\leq j<m$)로 적히므로 $\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{\otimes n}$은 globally generated이다.

3번을 위해 우선 두 globally generated $\mathcal{O}_X$-module $\mathcal{F},\mathcal{G}$의 tensor product가 다시 globally generated임을 관찰한다. Stalk $(\mathcal{F}\otimes\mathcal{G})_x\cong \mathcal{F}_x\otimes_{\mathcal{O}_{X,x}}\mathcal{G}_x$는 $\mathcal{F}_x$와 $\mathcal{G}_x$의 generator들의 tensor로 생성되고, 이들은 global section들의 germ의 tensor이기 때문이다. 이제 coherent sheaf $\mathcal{F}$에 대하여 $\mathcal{L}$의 ampleness가 주는 $n_0$를 택하면, $n\geq n_0$에 대하여

\[\mathcal{F}\otimes(\mathcal{L}\otimes\mathcal{M})^{\otimes n}\cong(\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{\otimes n})\otimes\mathcal{M}^{\otimes n}\]

에서 첫째 인자는 globally generated이고 둘째 인자는 globally generated인 sheaf의 tensor power이므로 globally generated이다. 따라서 좌변 또한 globally generated이다.

명제 19의 1번에 의하면 affine scheme 위에서는 어떠한 invertible sheaf도 ample이므로, 이 조건은 $X$가 affine일 때 아무런 대상도 걸러내지 못한다. Ampleness가 실제로 대상을 구별하는 것은 $X$가 affine이 아닐 때이며, 특히 $X$가 Noetherian ring $A$ 위에서 projective인 경우 $\mathcal{L}$이 ample인 것과 적당한 $m>0$에 대하여 $\mathcal{L}^{\otimes m}$이 very ample인 것이 동치가 된다.

참고문헌

[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundations of algebraic geometry. Available online.

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K

인자와 선형계

카르티에 인자

\(\mathcal{O}_X(D)\)와 Picard group

베유 인자

선형계

Ample invertible sheaf

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