스펙트럼

이 글은 현재 수정 중입니다. 아래 본문은 2026-08-13 시점의 판본이라 틀린 서술이 남아 있을 수 있고, 이 글을 가리키는 다른 글의 참조가 어긋나 있을 수 있습니다.

참고 이 category의 모든 글들에서 ring은 commutative ring (with unity)를 의미한다.

이번 글에서 우리는 algebraic geometry의 가장 기본적인 대상인 spectrum을 정의한다. Spectrum은 적당한 structure sheaf가 주어져 있는 위상공간으로, 우리는 우선 이번 글에서 이를 집합으로서 정의하고, 그 위에 위상을 정의할 것이다. 그 후, 다음 글에서는 $\Spec A$ 위에 structure sheaf를 정의하게 된다.

집합으로서의 $\Spec A$

정의 1 Ring $A$에 대하여, $\Spec A$는 $A$의 모든 prime ideal들의 모임이고, 이를 $A$의 spectrum_스펙트럼이라 부른다.

이제 ring homomorphism $\phi: A \rightarrow B$가 주어졌다 하자. 그럼 [대수적 구조] §분수체, ⁋명제 9에 의하여, 다음의 함수

\[\Spec\phi: \Spec B \rightarrow \Spec A;\qquad \mathfrak{q}\mapsto \phi^{-1}(\mathfrak{q})\]

가 잘 정의된다.

명제 2 위에서 정의한 $\Spec: \cRing^\op \rightarrow \Set$은 functor이다.

즉, $\Spec(\phi\circ\psi)=(\Spec\psi)\circ(\Spec\phi)$이고 $\Spec(\id_A)=\id_{\Spec A}$이며, 그 증명 또한 어렵지 않다.

위상공간으로서의 $\Spec A$

이제 우리는 $\Spec A$ 위에 적절한 위상구조를 정의하자.

정의 3 Ring $A$와 그 spectrum $\Spec A$를 고정하자. $A$의 임의의 부분집합 $S$에 대하여, $\Spec A$의 부분집합 $Z(S)$을 다음 식

\[Z(S)=\{\mathfrak{p}\in\Spec A\mid S\subseteq \mathfrak{p}\}\]

으로 정의한다.

그럼 몇 가지 사실을 쉽게 증명할 수 있다. 우선, $Z$는 inclusion-reversing이다. 즉, 만일 $A$의 두 부분집합 $S_1\subseteq S_2$가 주어졌다면,

\[Z(S_1)=\{\mathfrak{p}\in\Spec A\mid S_1\subseteq \mathfrak{p}\}\supseteq \{\mathfrak{p}\in\Spec A\mid S_2\subseteq \mathfrak{p}\}=Z(S_2)\]

이다. 그러나 위의 포함관계는 strict가 아닐 수도 있다.

명제 4 Ring $A$와 그 spectrum $\Spec A$를 고정하자. $A$의 임의의 부분집합 $S$, 그리고 $S$에 의해 생성되는 $A$의 ideal $(S)$에 대하여, $Z(S)=Z((S))$이다.

증명

자명하게 $S\subseteq (S)$이므로, 포함관계 $Z((S))\subseteq Z(S)$는 위의 논의로부터 자명하다. 따라서 반대방향을 증명하면 충분하다. $Z(S)$의 임의의 원소 $\mathfrak{p}$가 주어졌다 하자. 즉 $S\subseteq \mathfrak{p}$이다. 그런데 $A$의 부분집합 $\mathfrak{p}$에 의해 생성되는 ideal은 자기 자신이므로, 이로부터 $(S)\subseteq (\mathfrak{p})=\mathfrak{p}$임을 안다.

뿐만 아니라, $A$의 두 ideal $\mathfrak{a}_1\subseteq \mathfrak{a}_2$에 대해서도, 포함관계 $Z(\mathfrak{a}_1)\supseteq Z(\mathfrak{a}_2)$는 일반적으로 등호가 될 수도 있다.

명제 5 Ring $A$와 그 spectrum $\Spec A$를 고정하자. $A$의 임의의 ideal $\mathfrak{a}$와 그 radical $\sqrt{\mathfrak{a}}$에 대하여, $Z(\mathfrak{a})=Z(\sqrt{\mathfrak{a}})$이 성립한다.

증명

역시 마찬가지로 포함관계 $\mathfrak{a}\subseteq \sqrt{\mathfrak{a}}$로부터 $Z(\sqrt{\mathfrak{a}})\subseteq Z(\mathfrak{a})$임은 자명하다. 거꾸로 임의의 $\mathfrak{p}\in Z(\mathfrak{a})$에 대하여, [가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋따름정리 8를 사용하면

\[\sqrt{\mathfrak{a}}=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{q}$ a prime containing $\mathfrak{a}$}\mathfrak{q}\subseteq \mathfrak{p}\]

이므로 $\mathfrak{p}\in Z(\sqrt{\mathfrak{a}})$임을 안다.

$\Spec A$ 위에 위상구조를 정의할 때 가장 중요한 것은 다음의 보조정리다.

보조정리 6 다음이 성립한다.

$A$의 임의의 ideal $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$에 대하여, $Z(\mathfrak{ab})=Z(\mathfrak{a})\cup Z(\mathfrak{b})$가 성립한다.
$A$의 ideal들의 모임 $\{\mathfrak{a}_i\}$에 대하여, $Z(\sum \mathfrak{a}_i)=\bigcap Z(\mathfrak{a}_i)$가 성립한다.
$A$의 임의의 ideal $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$에 대하여, $Z(\mathfrak{a})\subseteq Z(\mathfrak{b})\iff \sqrt{\mathfrak{a}}\supseteq \sqrt{\mathfrak{b}}$이 성립한다.

증명

$\mathfrak{a}$ 혹은 $\mathfrak{b}$를 포함하는 prime ideal $\mathfrak{p}$는 그보다 작은 ideal $\mathfrak{ab}$ 또한 포함하는 것이 자명하므로, 반대방향 포함관계만 보이면 충분하다. $\mathfrak{p}\supseteq \mathfrak{ab}$라 가정하자. 만일 $\mathfrak{p}\not\supseteq \mathfrak{b}$라 하면, $b\not\in \mathfrak{p}$인 $\mathfrak{b}$의 원소 $b$를 찾을 수 있다. 한편, 임의의 $a\in \mathfrak{a}$에 대하여, $ab\in \mathfrak{ab}\subseteq \mathfrak{p}$이고, 앞선 가정에 의해 $b\not\in \mathfrak{p}$이므로 반드시 $a\in \mathfrak{p}$이고 따라서 $\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}$가 성립한다.
이는 $\sum \mathfrak{a}_i$가 ideal들 $\mathfrak{a}_i$ 각각을 모두 포함하는 ideal 중 가장 작은 것으로 정의되므로 자명하다.
[가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋따름정리 8.

그럼 [위상수학] §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 2에 의하여, $Z(\mathfrak{a})$들을 닫힌집합으로 갖는 유일한 위상 $\mathcal{T}$가 존재하여 $\Spec A$를 위상공간으로 만들어준다.

정의 7 위와 같이 정의된 $\Spec A$의 위상을 Zariski topology_{자리스키 위상}이라 부른다.

Zariski topology는 일반적으로 우리가 좋다고 생각했던 위상이 아니다. 가령 임의의 integral domain $A$에 대하여, $(0)$은 그 자체로 prime ideal이며, 여기에 포함된 $A$의 공집합이 아닌 부분집합도 $(0)$ 뿐이다. 즉, $(0)\in\Spec A$를 포함하는 닫힌집합은 오직 $Z(0)=\Spec A$ 뿐이며, 따라서 $A$가 field가 아닌 이상 한점집합 $\{(0)\}$은 닫힌집합이 아니다. 특히 Zariski topology는 일반적으로 Hausdorff space가 아니다. 그러나 이 category의 글들에서 논의를 진행해 나갈수록 우리는 이 구조에서 친숙한 기하학적인 개념들을 발견하게 될 것이다.

앞서 우리는 명제 2에서 $\Spec$을 functor $\Spec: \cRing^\op \rightarrow \Set$으로 취급할 수 있음을 살펴보았다. 뿐만 아니라, $\Spec$은 $\cRing^\op$에서 $\Top$으로의 functor이기도 하다.

명제 8 Ring $A$의 spectrum $\Spec A$ 위에 정의 7의 위상구조를 주면, 명제 2의 functor $\Spec: \cRing^\op \rightarrow \Top$은 functor이다.

증명

명제 2에서 추가로 보여야 할 것은 임의의 ring homomorphism $\phi: A \rightarrow B$가 주어졌을 때, $\Spec \phi: \Spec B \rightarrow \Spec A$가 연속함수라는 것이다. 따라서 $\Spec A$의 임의의 닫힌집합을 가져왔을 때, 이 닫힌집합의 $\Spec\phi$에 의한 preimage도 $\Spec B$에서의 닫힌집합임을 보이면 충분하다. ([위상수학] §연속함수, ⁋정리 4의 셋째 조건)

한편 $\Spec A$의 임의의 닫힌집합은 모두 $Z(\mathfrak{a})$의 꼴이고, $\Spec B$의 닫힌집합은 모두 $Z(\mathfrak{b})$의 꼴이므로 이를 보이기 위해서는 임의의 $A$의 ideal $\mathfrak{a}$가 주어질 때마다 다음의 식

\[(\Spec\phi)^{-1}(Z(\mathfrak{a}))=Z(\mathfrak{b})\]

을 만족하는 $B$의 ideal $\mathfrak{b}$가 존재함을 보이면 충분하다. 우리의 주장은 다음의 식

\[(\Spec\phi)^{-1}(Z(\mathfrak{a}))=Z(\phi(\mathfrak{a}))\]

이 성립한다는 것이다. 그럼 $\phi(\mathfrak{a})$로 생성되는 ideal이 위의 식을 만족하므로 증명이 완료된다.

우선 $\mathfrak{q}\in\Spec B$가 좌변에 속한다 하자. 즉 $(\Spec\phi)(\mathfrak{q})=\phi^{-1}(\mathfrak{q})\in Z(\mathfrak{a})$가 성립한다. 그럼 $\mathfrak{a}\subseteq \phi^{-1}(\mathfrak{q})$인 것으로부터 $\phi(\mathfrak{a})\subseteq \mathfrak{q}$이므로 $\mathfrak{q}\in Z(\phi(\mathfrak{a}))$이 성립한다.

거꾸로 $\mathfrak{q}\in\Spec B$가 우변에 속한다 하자. 그럼 $\phi(\mathfrak{a})\subseteq \mathfrak{q}$인 것으로부터, 다음의 포함관계

\[\mathfrak{a}\subseteq \phi^{-1}(\phi(\mathfrak{a}))\subseteq\phi^{-1}(\mathfrak{q})=(\Spec\phi)(\mathfrak{q})\]

를 얻고 이것이 곧 $(\Spec\phi)(\mathfrak{q})\in Z(\mathfrak{a})$, 즉 $\mathfrak{q}\in (\Spec\phi)^{-1}(Z(\mathfrak{a}))$임을 증명한다.

우리가 앞으로 사용할 두 가지의 중요한 ring homomorphism은 quotient $\pi:A \rightarrow A/\mathfrak{a}$와 localization $\epsilon: A \rightarrow S^{-1}A$이다. ([가환대수학] §기본 개념들, ⁋명제 11 그리고 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 8)

명제 9 위에서 정의한 $\pi:A \rightarrow A/\mathfrak{a}$와 $\epsilon: A \rightarrow S^{-1}A$에 대해 다음이 성립한다.

$\Spec\pi$와 $\Spec\epsilon$은 모두 injective이며, 이들은 각자의 image로의 homeomorphism을 정의한다.
$\Spec\pi$의 $\Spec A$에서의 image는 닫힌집합이다.
만일 어떠한 $f\in A$에 대하여 $S=\{1,f,f^2,\ldots\}$라면, $\Spec \epsilon$의 $\Spec A$에서의 image는 열린집합이다.

증명

첫 번째 결과에서 $\Spec\pi$와 $\Spec\epsilon$이 injective인 것은 앞서 언급한 두 명제 [가환대수학] §기본 개념들, ⁋명제 11 그리고 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 8의 결과이다. 두 사상은 명제 8에 의하여 연속이므로, 남은 것은 이들의 역함수가 연속이라는 것, 즉 두 사상이 각자의 image 위로 닫힌집합을 닫힌집합으로 옮긴다는 것이다. 이는 임의의 ideal $\mathfrak{b}\supseteq \mathfrak{a}$와 $S^{-1}A$의 임의의 ideal $J$에 대한 다음의 두 식

\[(\Spec\pi)\left(Z_{A/\mathfrak{a}}(\mathfrak{b}/\mathfrak{a})\right)=Z_A(\mathfrak{b}),\qquad (\Spec\epsilon)\left(Z_{S^{-1}A}(J)\right)=Z_A(\epsilon^{-1}J)\cap \im(\Spec\epsilon)\]

으로부터 얻어지는데, 첫째 식은 $\mathfrak{q}\supseteq \mathfrak{b}/\mathfrak{a}$와 $\pi^{-1}(\mathfrak{q})\supseteq \mathfrak{b}$가 동치인 것에서, 둘째 식은 $S^{-1}A$의 모든 ideal이 $J=\epsilon(\epsilon^{-1}J)\cdot S^{-1}A$를 만족하는 것에서 따라온다. 두 번째 결과의 경우, $\Spec\pi$의 $\Spec A$에서의 image는 정확히 $Z(\mathfrak{a})$이다. 마지막으로 셋째 결과의 경우, $\Spec\epsilon$의 image의 원소들은 $f$를 포함하지 않는 prime ideal들의 모임이고 이들은 $\Spec A\setminus Z(f)$으로 쓸 수 있다.

위상공간으로서 $\Spec A$의 base가 존재하는 것은 당연하지만, 우리는 이 base 또한 $A$의 대수적인 구조와 모종의 관계가 있기를 바란다. 다음을 정의하자.

정의 10 Ring $A$의 임의의 원소 $f\in A$에 대하여, $Z(f)$의 $\Spec A$에서의 complement $\Spec A\setminus Z(f)$를 $D(f)$라 적는다. 이러한 꼴의 열린집합을 principal open set이라 부른다.

이제 임의의 $f\in A$에 대하여, $S_f=\{1,f,f^2,\ldots\}$라 하고 $A_f=S_f^{-1}A$로 정의하자. 그럼 명제 9에 의하여 $\Spec A_f$의 $\Spec \epsilon$에 의한 $\Spec A$에서의 image는 열린집합이다. 그럼 이 열린집합이 정확히 $D(f)$와 집합으로서 같은 것은

\[\mathfrak{p}\not\in Z(f)\iff (f)\not\subseteq \mathfrak{p} \iff f\not\in \mathfrak{p}\iff f^k\not\in \mathfrak{p}\text{ for all $k\geq 0$}\iff S_f\cap \mathfrak{p}=\emptyset\]

와 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 8에 의해 자명하다. 뿐만 아니라, $D(f)$가 $\Spec A_f$와 같은 위상구조를 갖는다는 것 또한 명제 9의 첫 번째 결과로부터 얻어진다.

보조정리 11 Principal open set들의 모임은 $\Spec A$의 base를 이룬다. ([위상수학] §위상공간의 기저, ⁋정의 1)

증명

임의의 열린집합 $\Spec A \setminus Z(S)$에 대하여, 보조정리 6의 둘째 결과를 활용하면 다음의 계산

\[\Spec A\setminus Z(S)=\Spec A\setminus Z\left(\sum_{f\in S} (f)\right)=\Spec A\setminus\left(\bigcap_{f\in S}Z(f)\right)=\bigcup_{f\in S} (\Spec A\setminus Z(f))=\bigcup_{f\in S} D(f)\]

이 성립한다.

그럼 이 보조정리와 유사한 계산을 통해 $D(fg)=D(f)\cap D(g)$임을 확인할 수 있다. 다만, 이 계산은 보조정리 6의 첫째 결과를 사용하므로, 일반적으로 무한한 index에 대해 확장할 수는 없다.

이와 별개로, 우리는 $\Spec A$가 항상 [위상수학] §옹골공간, ⁋정의 1의 조건을 만족한다는 것을 보일 수 있다. 그러나 일반적으로 우리가 compact space에 기대하는 많은 성질들은 Hausdorff 조건 또한 요구하는 경우가 많고 ([위상수학] §옹골공간, §§옹골 하우스도르프 공간) Zariski topology는 일반적으로 Hausdorff space가 되지 않으므로, 우리는 이를 quasi-compact_준옹골라 부르기로 한다.

보조정리 12 $\Spec A$는 위상공간으로서 quasi-compact space이다.

증명

보조정리 11로부터 우리는 $\Spec A$를 덮는 principal open set들의 모임 $\{D(f_i)\}_{i\in I}$이 주어질 때마다, $I$의 유한한 부분집합 $J$가 존재하여 여전히 $\Spec A=\bigcup_{j\in J} D(f_j)$임을 보이면 된다.

주어진 가정 $\Spec A=\bigcup_{i\in I} D(f_i)$로부터 우리는

\[\emptyset=\Spec A\setminus\bigcup_{i\in I} D(f_i)=\bigcap_{i\in I}(\Spec A\setminus D(f_i))=\bigcap_{i\in I} Z(f_i)\]

임을 안다. 한편, 보조정리 6으로부터

\[\emptyset=\bigcap_{i\in I} Z(f_i)=Z\left(\sum_{i\in I}(f_i)\right)\]

이고, 만일 $\sum (f_i)$가 $A$의 proper ideal이라면 이를 포함하는 maximal ideal이 $\bigcap_{i\in I} Z(f_i)$의 원소가 될 것이므로, 위의 식은 $\sum(f_i)=(1)$과 동치이다. 이제 $1\in\sum(f_i)$이므로, 적당한 유한집합 $J\subseteq I$와 $A$의 원소들의 family $(a_j)_{j\in J}$가 존재하여 $\sum_{j\in J} a_jf_j=1$이도록 할 수 있다. 즉

\[Z\left(\sum_{j\in J} (f_j)\right)=\emptyset\]

이고, 이로부터 위의 계산들을 거꾸로 뒤집으면 원하는 결과를 얻는다.

갈루아 대응

정의에 의해 $Z$는 $A$의 ideal을 받아 $\Spec A$의 닫힌집합을 내놓는 함수이다. 거꾸로 다음을 정의한다.

정의 13 임의의 부분집합 $T\subseteq \Spec A$에 대하여,

\[I(T)=\{f\in A\mid\text{$f\in \mathfrak{p}$ for all $\mathfrak{p}\in T$}\}=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}$ a prime in $T$} \mathfrak{p}\]

으로 정의한다.

그럼 $I(T)$는 ideal들의 교집합이므로 ideal이다. 뿐만 아니라, 만일 $T_1\subseteq T_2$라면 $I(T_2)\subseteq I(T_1)$임이 자명하다.

이제 정의 3과 정의 13을 종합하면, 우리는 두 ordered set $\mathcal{P}(A)$, $\mathcal{P}(\Spec A)$ 사이의 두 함수

\[Z: \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(\Spec A);\quad S\mapsto Z(S),\qquad I: \mathcal{P}(\Spec A) \rightarrow \mathcal{P}(A);\quad T\mapsto I(T)\]

을 정의했다. 그럼 임의의 $S\in \mathcal{P}(A)$와 임의의 $T\in \mathcal{P}(\Spec A)$에 대하여,

\[T\subseteq Z(S)\iff\text{$\mathfrak{p}\in Z(S)$ for all $\mathfrak{p}\in T$}\iff\text{$f\in \mathfrak{p}$ for all $f\in S$ and all $\mathfrak{p}\in T$}\iff S\subseteq I(T)\]

이므로, $(Z, I)$는 $\mathcal{P}(A)$와 $\mathcal{P}(\Spec A)$ 사이의 antitone Galois connection을 정의한다. ([집합론] §필터와 아이디얼, 갈루아 대응, ⁋정의 6) 따라서, 다음의 두 식

\[Z(I(Z(S)))=Z(S),\qquad I(Z(I(T)))=I(T)\]

이 모든 $S\in \mathcal{P}(A)$와 임의의 $T\in \mathcal{P}(\Spec A)$에 대해 성립한다.

이제 두 closure operator $IZ: \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$, $ZI: \mathcal{P}(\Spec A) \rightarrow \mathcal{P}(\Spec A)$를 생각하자.

명제 14 Closure operator $IZ: \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$, $ZI: \mathcal{P}(\Spec A) \rightarrow \mathcal{P}(\Spec A)$에 대하여, 다음이 성립한다.

$IZ(S)=\sqrt{(S)}$
$ZI(T)=\cl(T)$

증명

이는 다음의 식
\[I(Z(S))=I(Z((S)))=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}$ a prime in $Z((S))$} \mathfrak{p}=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}$ a prime containing $(S)$} \mathfrak{p}=\sqrt{(S)}\]
으로부터 자명하다.
이는 다음의 식
\[\cl(T) =\bigcap_\text{\scriptsize $Z(S)\supseteq T$} Z(S) =\bigcap_\text{\scriptsize $S\subseteq I(T)$} Z(S) =Z\left(\sum_\text{\scriptsize $S\subseteq I(T)$}(S)\right) =Z(I(T))\]
으로부터 자명하다.

즉, 다음을 얻는다.

정리 15 Ring $A$의 radical ideal들과, $\Spec A$의 닫힌집합들 사이의 Galois correspondence가 존재한다.

이 대응에서 다소 헷갈릴 수 있는 것은 $A$의 임의의 prime ideal은 항상 radical ideal이므로, ring $A$의 radical ideal들의 모임은 항상 (집합으로서) $\Spec A$를 포함한다.

명제 16 Ring $A$의 prime ideal들과, $\Spec A$의 irreducible closed subset들 사이의 Galois correspondence가 존재한다.

증명

즉 임의의 prime ideal $\mathfrak{p}$에 대하여 $Z(\mathfrak{p})$가 irreducible인 것과, 임의의 irreducible closed subset $Y$에 대하여 $I(Y)$가 prime ideal인 것을 보여야 한다.

우선 $I(\{\mathfrak{p}\})=\mathfrak{p}$이므로 명제 14의 둘째 결과는 다음의 식

\[Z(\mathfrak{p})=Z(I(\{\mathfrak{p}\}))=\cl(\{\mathfrak{p}\})\]

을 준다. 그런데 한점집합은 항상 irreducible이고 irreducible subset의 closure 또한 irreducible이므로, $Z(\mathfrak{p})$는 irreducible이다. 즉 $\mathfrak{p}$는 $Z(\mathfrak{p})$의 generic point이다.

거꾸로 임의의 irreducible closed subset $Y$에 대하여, $I(Y)$가 prime ideal이라는 것을 보여야 한다. 우선 $Y$가 닫힌집합이므로 정리 15와 명제 5에 의하여 $Y=Z(\mathfrak{a})$이도록 하는 radical ideal $\mathfrak{a}$가 존재한다. 그럼 $\mathfrak{a}=IZ(\mathfrak{a})=I(Y)$가 prime인 것을 보이면 충분하다. 이 때 $Y$는 irreducible이므로 공집합이 아니고, 따라서 $\mathfrak{a}=I(Y)$는 $Y$의 원소인 prime ideal에 포함되어 proper ideal이다. ([위상수학] §차원, ⁋정의 6)

이를 위해 $fg\in \mathfrak{a}$라 하고, $\Spec A$의 두 열린집합 $D(f), D(g)$를 생각하면

\[(D(f)\cap Y)\cap (D(g)\cap Y)=D(f)\cap D(g)\cap Y=D(fg)\cap Y\]

가 공집합이어야 함을 안다. 그런데 $D(f)\cap Y$와 $D(g)\cap Y$는 irreducible closed set $Y$의 두 열린집합이므로, 이것이 성립하기 위해서는 둘 중 하나가 공집합이어야 한다. ([위상수학] §차원, ⁋명제 7) 한편 임의의 $h\in A$에 대하여 $D(h)\cap Y=\emptyset$인 것은 $Y$의 모든 원소가 $h$를 포함한다는 것, 즉 $h\in I(Y)=\mathfrak{a}$인 것과 동치이다. 이로부터 $f\in \mathfrak{a}$ 혹은 $g\in \mathfrak{a}$가 성립해야 함을 알고, 따라서 $\mathfrak{a}$는 prime ideal이다.

특히, prime ideal $\mathfrak{p}$에 대하여 $\mathfrak{q}\subsetneq \mathfrak{p}$를 만족하는 prime ideal이 없다면, 즉 $\mathfrak{p}$가 minimal prime ideal이라면 $Z(\mathfrak{p})$는 irreducible closed subset들 가운데 포함관계에 대해 maximal인 것, 즉 irreducible component가 된다. 이로부터 다음을 얻는다.

따름정리 17 Ring $A$의 minimal prime ideal들과 $\Spec A$의 irreducible component 사이의 Galois correspondence가 존재한다.

증명

명제 14에 의하여 임의의 prime ideal $\mathfrak{p}$에 대해서는 $IZ(\mathfrak{p})=\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$이고, $\Spec A$의 임의의 닫힌집합 $Y$에 대해서는 $ZI(Y)=\cl(Y)=Y$이므로, $Z$와 $I$는 서로 역이 되는 대응이다. 따라서 명제 16에 의하여 $\mathfrak{p}\mapsto Z(\mathfrak{p})$는 $A$의 prime ideal들과 $\Spec A$의 irreducible closed subset들 사이의 전단사이며, 그 역은 $Y\mapsto I(Y)$이다. 뿐만 아니라 두 prime ideal $\mathfrak{p},\mathfrak{q}$에 보조정리 6의 셋째 결과를 적용하면

\[Z(\mathfrak{q})\subseteq Z(\mathfrak{p})\iff \sqrt{\mathfrak{q}}\supseteq \sqrt{\mathfrak{p}}\iff \mathfrak{q}\supseteq \mathfrak{p}\]

이므로 이 전단사는 포함관계를 뒤집는다.

한편 [위상수학] §차원, ⁋정의 9에 의하여 $\Spec A$의 irreducible component는 irreducible subset들 가운데 maximal인 것이고, irreducible set의 closure는 다시 irreducible이므로 이들은 항상 닫힌집합이다. 거꾸로 irreducible closed subset들 가운데 maximal인 $Y$가 주어졌다 하고, $Y$를 포함하는 임의의 irreducible subset $S$를 생각하자. 그럼 $\cl(S)$는 $Y$를 포함하는 irreducible closed subset이므로 $Y$의 maximality에 의하여 $\cl(S)=Y$이고, 따라서 $S\subseteq Y$, 즉 $S=Y$이다. 이상에서 $\Spec A$의 irreducible component들은 정확히 irreducible closed subset들 가운데 포함관계에 대해 maximal인 것들이다.

이제 위의 전단사가 포함관계를 뒤집으므로, 이는 prime ideal들 가운데 minimal인 것들, 즉 minimal prime ideal들과, irreducible closed subset들 가운데 maximal인 것들, 즉 $\Spec A$의 irreducible component들을 서로 대응시킨다.

참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.

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집합으로서의 \(\Spec A\)

위상공간으로서의 \(\Spec A\)

갈루아 대응

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