차원

이번 글에서 우리는 위상공간의 차원을 정의한다. 우선 우리는 일반적으로 사용하는 차원을 정의한 후, 대수다양체에서 사용할 차원의 개념을 따로 정의한다.

Covering dimension

편의상 [Mun]을 따라 이 절에서는 compact space의 차원만 정의한다. 기본적인 아이디어는 \(X\)의 점이 열린집합들로 몇 번 덮이는지를 재는 것인데, 물론 \(X\)는 하나의 열린집합 \(X\)로만 덮이므로, 이를 임의의 open covering을 이용해서 정의해야 할 것이며, open covering을 아무렇게나 주면 점 하나를 원하는만큼 많은 열린집합들로 덮을 수 있으므로 어떠한 종류의 최소성을 담보해야 할 것이다.

우선 다음을 정의한다.

정의 1 \(X\)의 부분집합들의 family \((U_i)_{i\in I}\)가 \(m+1\)의 order를 갖는다는 것은 \(X\)의 어떠한 점도 \(m+1\)개보다 많은 \(U_i\)에 속하지 않으며, \(X\)의 어떠한 점 하나는 정확히 \(m+1\)개의 \(U_i\)들에 속하는 것이다.

그럼 공간 \(X\)의 차원을 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의 2 공간 \(X\)가 유한차원_{finite dimensional}이라는 것은 적당한 \(m\)이 존재하여, 임의의 open covering \((U_i)_{i\in I}\)가 주어질 때마다, order \(m+1\) 이하짜리 \((U_i)\)의 open refinement \((V_j)_{j\in J}\)가 항상 존재하는 것이다. 이것이 가능하도록 하는 최소의 \(m\)을 \(X\)의 차원_dimension으로 정의하고 \(\dim X\)로 적는다.

다소 주의할만한 것은 위상공간은 다음 그림과 같이 상당히 웃기게 생길 수 있으며, 이 때 우리는 이 위상공간의 차원을 두 성분의 차원 중 큰 것이 되도록 정의했다는 것이다.

img

한편 우리가 차원에 기대함직한 성질이 몇 가지 있는데, 그들 중 일부는 다음과 같다.

명제 3 \(X\)가 유한차원 위상공간이고 \(Y\)가 \(X\)의 closed subspace라면, \(Y\)도 유한차원이고 \(\dim Y\leq\dim X\)이다.

증명

\(X\)가 \(d\)차원 위상공간이라 하고, \(Y\)의 임의의 open covering \(\{V_j\}\)이 주어졌다 하자. 그럼 각각의 \(V_j\)마다 \(V_j=U_j\cap Y\)이도록 하는 \(X\)의 open subset \(U_j\)가 존재한다. 이제 \(X\)는 \(U_j\)들과, \(X\setminus Y\)로 덮을 수 있다. 그럼 이 covering의 order\(\leq d+1\)짜리 refinement가 존재하며, 이를 다시 \(Y\)와 교집합하면 \(\{V_j\}\)의 order\(\leq d+1\)짜리 refinement를 얻는다.

다음 명제는 정의 2 이후에 언급한 주의점을 더 수학적으로 다듬은 것이다.

명제 4 만일 compact space \(X\)의 두 유한차원 closed subspace \(Y,Z\)가 존재하여 \(X=Y\cup Z\)라면, \(\dim X=\max(\dim Y,\dim Z)\)이다.

증명

\(Y,Z\)가 closed subspace이므로 명제 3에 의해 \(\max(\dim Y,\dim Z)\leq \dim X\)이다. 따라서 \(m=\max(\dim Y,\dim Z)\)라 할 때 \(\dim X\leq m\)임을 보이면 충분하다.

우선 다음을 관찰하자. 위상공간 \(T\)가 \(\dim T\leq m\)을 만족하고 \(T\)의 유한한 open covering \((V_1,\ldots,V_k)\)이 주어졌다면, 각각의 \(i\)마다 \(W_i\subseteq V_i\)이고 order가 \(m+1\) 이하인 open covering \((W_1,\ldots,W_k)\)이 존재한다. 여기서 일부 \(W_i\)는 공집합일 수 있다. 실제로 차원의 정의에 의해 \((V_i)\)의 order \(\leq m+1\)짜리 open refinement \((O_j)_{j\in J}\)가 존재하고, 각각의 \(j\)마다 \(O_j\subseteq V_{i(j)}\)이도록 하는 index \(i(j)\)를 하나씩 택한 후

\[W_i=\bigcup_{i(j)=i}O_j\]

로 정의하면 된다. \((W_i)\)가 \((V_i)\)의 shrinking인 open covering임은 자명하고, 만일 점 \(x\)가 서로 다른 \(W_{i_1},\ldots,W_{i_r}\)들에 속한다면 \(x\)는 \(i(j_1)=i_1,\ldots,i(j_r)=i_r\)이도록 하는 서로 다른 \(O_{j_1},\ldots,O_{j_r}\)들에 속해야 하므로 \(r\leq m+1\)이다.

이제 \(X\)의 임의의 open covering이 주어졌다 하자. \(X\)가 compact이므로 유한한 subcovering \((U_1,\ldots,U_k)\)을 택할 수 있고, 이것의 order \(\leq m+1\)짜리 open refinement를 찾으면 충분하다.

첫 번째 단계로 \(Y\)를 처리하자. \((U_i\cap Y)\)는 \(Y\)의 유한한 open covering이고 \(\dim Y\leq m\)이므로, 위의 관찰에 의하여 \(B_i\subseteq U_i\cap Y\)이고 order \(\leq m+1\)이며 \(Y\)를 덮는, \(Y\)에서 열린 집합들 \((B_i)\)가 존재한다. 각각의 \(i\)마다 \(\tilde{B}_i\cap Y=B_i\)이도록 하는 \(X\)의 열린집합 \(\tilde{B}_i\)를 택하고, 필요하다면 \(U_i\)와 교집합하여 \(\tilde{B}_i\subseteq U_i\)라 가정하자. 이제

\[W_i=\tilde{B}_i\cup (U_i\setminus Y)\]

로 정의하면, \(Y\)가 닫힌집합이므로 \(W_i\)들은 열린집합이고 \(W_i\subseteq U_i\)이다. \(Y\)의 점들은 어떤 \(B_i\)에 속하고 \(Y\) 바깥의 점들은 어떤 \(U_i\setminus Y\)에 속하므로 \((W_i)\)는 \(X\)의 open covering이다. 마지막으로 \(y\in Y\)에 대하여 \(W_i\cap Y=\tilde{B}_i\cap Y=B_i\)이므로, \(y\)가 속하는 \(W_i\)들의 개수는 \(y\)가 속하는 \(B_i\)들의 개수와 같아 \(m+1\) 이하이다.

두 번째 단계로 같은 구성을 \(Z\)와 covering \((W_i)\)에 적용하자. 즉 \((W_i\cap Z)\)에 위의 관찰을 적용하여 \(C_i\subseteq W_i\cap Z\)이고 order \(\leq m+1\)이며 \(Z\)를 덮는, \(Z\)에서 열린 집합들 \((C_i)\)를 얻고, \(\tilde{C}_i\subseteq W_i\), \(\tilde{C}_i\cap Z=C_i\)이도록 하는 \(X\)의 열린집합들 \(\tilde{C}_i\)를 택한 후

\[V_i=\tilde{C}_i\cup(W_i\setminus Z)\]

로 정의한다. 그럼 첫 번째 단계에서와 마찬가지로 \((V_i)\)는 \(X\)의 open covering이고 \(V_i\subseteq W_i\subseteq U_i\)이며, \(Z\)의 점들은 많아야 \(m+1\)개의 \(V_i\)들에 속한다. 한편 \(Y\)의 점 \(y\)에 대해서는 \(y\in V_i\)일 때마다 \(y\in W_i\)이므로, \(y\)가 속하는 \(V_i\)들의 개수는 첫 번째 단계에서 통제한 \(W_i\)들의 개수 이하, 즉 \(m+1\) 이하이다. \(X=Y\cup Z\)이므로 \((V_i)\)는 주어진 covering의 order \(\leq m+1\)짜리 open refinement이고, 따라서 \(\dim X\leq m\)이다.

그리고 물론 우리는 \(\mathbb{R}^n\)의 차원이 \(n\)차원이기를 바란다. 그러나 이를 보이는 것은 쉽지는 않은데, 이는 기본적으로 현재 우리가 \(\mathbb{R}^n\)과 \(\mathbb{R}^m\)이 homeomorphic하지 않다는 것조차 보이기가 힘들기 때문이다. 그 대신 이보다 약한 다음의 명제는 정의로부터 쉽게 보일 수 있다.

명제 5 \(\mathbb{R}^n\)의 임의의 compact subspace는 항상 \(n\)차원 이하이다.

증명

\(A\subseteq\mathbb{R}^n\)이 compact subspace라 하고, \(A\)의 임의의 open covering이 주어졌다 하자. Compact함에 의해 유한한 subcovering \((U_1,\ldots,U_k)\)을 택할 수 있다.

우선 적당한 \(\delta>0\)이 존재하여, diameter가 \(\delta\) 미만인 \(A\)의 임의의 부분집합이 어떤 \(U_i\)에 포함된다는 것을 보이자. 각각의 \(x\in A\)마다 \(x\in U_{i(x)}\)이도록 하는 index \(i(x)\)를 택하고, \(A\) 안에서의 열린 공이 \(B(x,2r_x)\subseteq U_{i(x)}\)를 만족하도록 하는 \(r_x>0\)을 택하자. 그럼 \((B(x,r_x))_{x\in A}\)는 \(A\)의 open covering이므로 유한 개의 \(B(x_1,r_{x_1}),\ldots,B(x_l,r_{x_l})\)이 \(A\)를 덮고, \(\delta=\min(r_{x_1},\ldots,r_{x_l})\)로 두면 된다. 실제로 diameter \(<\delta\)인 집합 \(S\)의 한 점 \(y\)가 \(B(x_j,r_{x_j})\)에 속한다면, 삼각부등식에 의해 \(S\subseteq B(x_j,2r_{x_j})\subseteq U_{i(x_j)}\)이기 때문이다.

이제 \(\mathbb{R}^n\) 전체의 open covering으로서, order가 \(n+1\) 이하이고 모든 원소의 diameter가 일정한 상수 이하인 것을 만든다. 정수점들을 꼭짓점으로 하는 단위격자를 생각하자. 여기서 face란 각각의 성분이 단위구간 \([k_i,k_i+1]\) 혹은 한 점 \(\{k_i\}\) (\(k_i\in\mathbb{Z}\))인 곱집합을 뜻하고, face의 차원은 성분 중 구간이 사용된 개수이다. \(d\)차원 face들의 모임을 \(\mathcal{F}_d\)라 하고, \(d\)차원 이하의 face들의 합집합을 \(\sk_d\)라 하자. 그럼 \(\sk_n=\mathbb{R}^n\)이다. 각각의 \(d=0,1,\ldots,n\)에 대하여 \(r_d=8^{-(d+1)}\)로 두고, 각각의 \(F\in\mathcal{F}_d\)마다

\[U_F=\left\{x\in\mathbb{R}^n\;\middle\vert\; \operatorname{dist}(x,F)<2r_d,\quad \operatorname{dist}(x,\sk_{d-1})>r_{d-1}\right\}\]

으로 정의하자. \(d=0\)일 때는 둘째 조건을 생략한다. 거리함수들이 연속이므로 \(U_F\)들은 열린집합이다.

이들이 \(\mathbb{R}^n\)을 덮는 것을 보이자. 임의의 \(x\)에 대하여 \(\operatorname{dist}(x,\sk_d)\leq r_d\)를 만족하는 가장 작은 \(d\)를 택하자. \(\operatorname{dist}(x,\sk_n)=0\leq r_n\)이므로 이러한 \(d\)가 존재한다. 그럼 \(d\)의 최소성에 의하여 \(d>0\)인 경우 \(\operatorname{dist}(x,\sk_{d-1})>r_{d-1}\)이고, \(\operatorname{dist}(x,\sk_d)\leq r_d<2r_d\)이므로 \(\operatorname{dist}(x,F)<2r_d\)이도록 하는 \(F\in\mathcal{F}_d\)가 존재한다. 즉 \(x\in U_F\)이다.

다음으로 같은 차원의 서로 다른 두 face \(F\neq F'\in\mathcal{F}_d\)에 대하여 \(U_F\cap U_{F'}=\emptyset\)임을 보이자. \(x\in U_F\cap U_{F'}\)가 존재한다면 \(\lvert x-y\rvert<2r_d\), \(\lvert x-y'\rvert<2r_d\)이도록 하는 \(y\in F\), \(y'\in F'\)이 존재하고, 특히 \(\lvert y-y'\rvert<4r_d\leq 1/2\)이다. 우선 \(F\cap F'\neq\emptyset\)인데, 그렇지 않다면 어느 한 성분에서 두 face의 구간들이 서로소이고, 정수 끝점을 갖는 서로소인 구간들 사이의 거리는 \(1\) 이상이므로 \(\lvert y-y'\rvert\geq 1\)이 되어 모순이기 때문이다. 특히 \(d=0\)인 경우는 이미 모순이 얻어졌으므로, \(d>0\)이라 하자. \(F\cap F'\)는 성분별 교집합으로 주어지는 face이고, 만일 그 차원이 \(d\)라면 구간이 사용된 \(d\)개의 성분에서 두 face의 단위구간이 일치하고 나머지 성분에서도 두 점이 일치하여 \(F=F'\)이 되므로, \(F\cap F'\)의 차원은 \(d-1\) 이하이다. 즉 \(F\cap F'\subseteq\sk_{d-1}\)이다.

이제 각 성분에서 \(y_i\)에 가장 가까운 \(F_i'\)의 점을 \(z_i\)라 하자. \(y_i\in F_i'\)라면 \(z_i=y_i\in F_i\cap F_i'\)이고, 그렇지 않다면 \(z_i\)는 \(F_i'\)의 끝점인데 \(F_i\cap F_i'\)의 임의의 점이 \(y_i\)와 \(z_i\)를 기준으로 \(z_i\) 너머에 있으므로 구간 \(F_i\)가 \(y_i\)와 그 점을 모두 포함한다는 것으로부터 \(z_i\in F_i\cap F_i'\)이다. 또 \(y_i'\in F_i'\)이므로 \(\lvert z_i-y_i\rvert=\operatorname{dist}(y_i,F_i')\leq\lvert y_i-y_i'\rvert\)이다. 따라서 \(z=(z_i)\in F\cap F'\subseteq \sk_{d-1}\)이고 \(\lvert y-z\rvert\leq\lvert y-y'\rvert\)이므로

\[\operatorname{dist}(x,\sk_{d-1})\leq \lvert x-y\rvert+\lvert y-z\rvert\leq \lvert x-y\rvert+\lvert y-y'\rvert<2r_d+4r_d=6r_d<8r_d=r_{d-1}\]

이 되어 \(x\in U_F\)의 둘째 조건에 모순이다.

따라서 각각의 점은 차원 \(d\)마다 많아야 하나의 \(U_F\) (\(F\in\mathcal{F}_d\))에 속하고, 차원은 \(0\)부터 \(n\)까지이므로 \((U_F)\)의 order는 \(n+1\) 이하이다. 또 각각의 \(U_F\)는 \(F\)로부터 거리 \(2r_d\) 미만의 점들로 이루어져 있으므로 그 diameter는 \(\operatorname{diam}F+4r_d\leq\sqrt{n}+1/2\) 이하이다.

마지막으로 scaling을 적용하자. \(\lambda=\delta/(\sqrt{n}+1)\)로 두고 위에서 만든 covering을 homeomorphism \(x\mapsto\lambda x\)로 옮기면, order \(\leq n+1\)이고 모든 원소의 diameter가 \(\lambda(\sqrt{n}+1/2)<\delta\)인 \(\mathbb{R}^n\)의 open covering \(\mathcal{W}\)를 얻는다. 그럼 \((W\cap A)_{W\in\mathcal{W}}\)는 \(A\)의 open covering이고 그 order는 여전히 \(n+1\) 이하이며, 각각의 원소가 diameter \(<\delta\)를 가지므로 첫 단계에서 찾은 Lebesgue number의 성질에 의해 어떤 \(U_i\)에 포함된다. 즉 이는 주어진 covering의 order \(\leq n+1\)짜리 open refinement이고, 따라서 \(\dim A\leq n\)이다.

Krull dimension

한편 우리는 algebraic geometry에서 사용하는 차원의 개념을 정의할 것인데, algebraic geometry에서 관심을 갖는 공간은 일반적으로 생각하는 위상구조와는 다른 위상구조가 주어져 있어서 이 정의는 다소 비직관적이다. 특히, 일상적인 위상구조가 주어진 \(\mathbb{R}^n\)은 항상 \(0\)차원이다. 그러나 어쨌든 이 정의를 위상수학의 언어로 할 수 있는 것은 사실이므로 이 페이지에 같이 적어두기로 한다.

정의 6 위상공간 \(X\)가 irreducible_기약이라는 것은 \(X\)가 공집합이 아니고, \(X=A\cup B\)이도록 하는 \(X\)의 진부분 닫힌집합 \(A,B\)가 존재하지 않는 것이다.

그럼 다음이 모두 동치이다.

명제 7 공집합이 아닌 위상공간 \(X\)에 대하여 다음이 모두 동치이다.

1. \(X\)가 irreducible이다.
2. 공집합이 아닌 \(X\)의 임의의 열린집합 \(U,V\)에 대하여, \(U\cap V\neq\emptyset\)이다.
3. 공집합이 아닌 \(X\)의 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여, \(\cl U=X\)이다.
4. \(X\)의 임의의 열린집합이 connected이다.

증명

첫째 조건과 둘째 조건은 여집합을 생각하면 동치인 것이 자명하며, 둘째 조건과 셋째 조건이 동치인 것은 \(X\setminus \cl U\)와 \(U\)를 생각하면 자명하다. 마지막으로 둘째 조건과 넷째 조건이 정의에 의해 동치이다.

특히 irreducible space는 Hausdorff가 아니다. 위의 명제의 마지막 동치 때문에 irreducible space는 hyperconnected space라 부르기도 한다. 비슷한 맥락에서 다음이 성립한다. (참고: §연결공간, ⁋명제 3)

명제 8 만일 공집합이 아닌 \(X\)가 irreducible open subset들의 합집합

\[X=\bigcup_{i\in I} U_i\]

이고 \(U_i\cap U_j\neq \emptyset\)이 모든 \(i,j\)에 대해 성립한다 하자. 그럼 \(X\)는 irreducible이다.

증명

임의의 두 열린집합 \(V, W\)가 주어졌다 하고, \(V\cap W\neq\emptyset\)임을 보이자. 그럼 주어진 가정으로부터 우선 \(U_i\cap V\neq\emptyset\) 그리고 \(U_j\cap W\neq\emptyset\)을 만족하는 \(i,j\)가 존재한다. 이제 \(U_i\)가 irreducible이므로, \(U_i\)의 두 nonempty subset \(U_i\cap V\)와 \(U_i\cap U_j\)도 반드시 공집합이 아닌 교집합을 가져야 한다. 즉

\[(U_i\cap V)\cap (U_i\cap U_j)=U_i\cap U_j\cap V\neq\emptyset\]

이고, \(U_i\cap U_j\cap V\)를 \(U_j\)의 nonempty subset으로 보면 마찬가지로 \(U_j\)의 irreducibility로부터 다음의 식

\[(U_i\cap U_j\cap V)\cap (U_j\cap W)=U_i\cap U_j\cap V\cap W\neq\emptyset\]

을 얻고 특히 \(V\cap W\neq\emptyset\)이다.

Connected component와 비슷하게 다음을 정의할 수 있다.

정의 9 위상공간 \(X\)의 부분집합 \(A\)에 대하여, \(A\)를 포함하는 irreducible component_기약성분는 \(A\)를 포함하는 irreducible subset들 가운데 포함관계에 대하여 maximal인 것을 의미한다.

\(A\)를 포함하는 irreducible subset들의 공집합이 아닌 totally ordered subset이 주어졌다면 그 합집합 \(Y\)도 irreducible인데, \(Y\)의 공집합이 아닌 두 열린집합이 각각 그 모임의 원소 \(Y_1, Y_2\)와 만난다 하고 \(Y_1\subseteq Y_2\)라 하면, 두 열린집합과 \(Y_2\)의 교집합이 \(Y_2\)의 공집합이 아닌 열린집합이므로 명제 7의 둘째 조건에 의하여 서로 만나기 때문이다. 따라서 \(A\)가 irreducible이라면 공집합인 totally ordered subset은 \(A\) 자신을 upper bound로 가지므로, [집합론] §선택공리, ⁋정리 4 (Zorn’s lemma)에 의하여 \(A\)를 포함하는 irreducible component가 존재한다. 다만 connected component와 달리 maximal인 것이 유일할 이유가 없으므로, \(A\)를 포함하는 irreducible component는 여럿일 수 있다. 한편 §연결공간, ⁋명제 2과 비슷한 논증에 의하여, irreducible set의 closure는 irreducible인 것을 보일 수 있으므로 irreducible component는 반드시 closed subset이다.

정의 10 위상공간 \(X\)에 대하여, \(X\)의 irreducible closed subset들의 strictly descending chain

\[A_n\supsetneq\cdots\supsetneq A_0\]

의 length_길이를 \(n\)으로 정의한다. 그럼 \(X\)의 Krull dimension_{크룰 차원}을 다음의 식

\[\dim X=\sup\{\text{length of strictly descending chains of irreducible closed subsets}\}\]

으로 정의한다. 만일 무한한 길이의 strictly descending chain이 존재한다면 \(\dim X=\infty\)로 정의하고, \(X=\emptyset\)인 경우 \(\dim X=-\infty\)로 정의한다.

Hausdorff space에서는 오직 singleton만이 irreducible subset이므로, 공집합이 아닌 Hausdorff space의 Krull dimension은 항상 \(0\)이다. 한편 algebraic geometry에서 다루는 공간들은 다음의 유한성 조건을 만족하는 경우가 많다.

정의 11 위상공간 \(X\)가 Noetherian_{뇌터 공간}이라는 것은 임의의 닫힌집합들의 chain

\[A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots\]

이 주어질 때마다, 적당한 \(n\)이 존재하여 \(A_n=A_{n+1}=\cdots\)이도록 할 수 있는 것이다.

이 조건이 Krull dimension의 유한성까지 주지는 않는다. 가령 \(X=\mathbb{N}\)에 \(\emptyset\)과 \(X\), 그리고 유한한 initial segment \(\{1,\ldots,n\}\)들을 닫힌집합으로 하는 위상을 주면, 닫힌집합들의 strictly descending chain에서는 \(n\)이 감소해야 하므로 \(X\)는 Noetherian이다. 그러나 각각의 \(\{1,\ldots,n\}\)은 \(\{n\}\)의 closure이므로 irreducible이고, 따라서 \(\{1\}\subsetneq\{1,2\}\subsetneq\cdots\)가 임의로 긴 chain을 주어 \(\dim X=\infty\)이다.

또한 \(X\)가 Noetherian이라면, \(X\)의 닫힌집합들로 이루어진 공집합이 아닌 임의의 모임 \(\mathcal{S}\)는 포함관계에 대하여 minimal element를 갖는다. 그렇지 않다면 각각의 \(A\in\mathcal{S}\)마다 \(A\supsetneq A'\)인 \(A'\in\mathcal{S}\)를 택할 수 있고, 이를 반복하여 안정화하지 않는 닫힌집합들의 descending chain을 얻기 때문이다.

Noetherian 조건은 강력한 유한성의 조건을 준다. 가령 다음이 성립한다.

명제 12 Noetherian space는 compact이다.

증명

Noetherian space \(X\)와 \(X\)의 open covering \(\{U_i\}_{i\in I}\)가 주어졌다 가정하자. 그럼

\[\mathcal{C}=\left\{\bigcup_{j\in J} U_j\mid\text{$J$ finite subset of $I$}\right\}\]

라 정의할 수 있다. 이제 \(\mathcal{C}\)의 임의의 totally ordered subset \(\mathcal{D}\)가 주어졌다 하자. \(\mathcal{D}\)가 공집합이라면 \(J=\emptyset\)에 대응하는 \(\emptyset\in\mathcal{C}\)가 \(\mathcal{D}\)의 upper bound이고, 그렇지 않다면 \(\mathcal{D}\)의 원소들의 여집합들이 \(X\)의 닫힌집합들로 이루어진 공집합이 아닌 모임이므로 위에서 본 것과 같이 minimal element를 가지며, \(\mathcal{D}\)가 totally ordered이므로 그 여집합은 \(\mathcal{D}\)에서 가장 큰 원소, 특히 \(\mathcal{D}\)의 upper bound이다. 즉 \(\mathcal{C}\)의 임의의 totally ordered subset이 upper bound를 가지므로, [집합론] §선택공리, ⁋정리 4 (Zorn’s lemma)에 의하여 \(\mathcal{C}\)는 maximal element \(U\in \mathcal{C}\)를 갖는다. 만일 \(X\neq U\)라면, \(x\in X\setminus U\)를 포함하는 \(U_j\)를 택할 수 있고 그럼 \(U\cup U_j\)는 \(U\)를 strict하게 포함하는 \(\mathcal{C}\)의 원소이므로 \(U\)의 maximality에 모순이다. 따라서 \(U=X\)이고 우리는 원하는 결과를 얻는다.

추가적으로 Noetherian space에 대해 다음이 성립한다.

명제 13 Noetherian topological space \(X\)에 대하여, 다음이 성립한다.

1. \(X\)의 임의의 부분공간은 Noetherian이다.
2. \(X\)는 유한히 많은 irreducible component를 가진다.
3. \(X\)의 각각의 irreducible component는 공집합이 아닌 \(X\)의 열린집합을 포함한다.

증명

1. \(X\)의 임의의 부분공간 \(Y\)가 주어졌다 하고 \(Y\)의 임의의 닫힌집합들의 descending chain

   \[A_1\supseteq A_2\supseteq \cdots\]

   가 주어졌다 하자. 그럼 \(A_i=A_i' \cap Y\)를 만족하는 \(X\)의 닫힌집합 \(A_i'\)들이 존재한다. 이제 \(B_i=A_1'\cap\cdots\cap A_i'\)라 하면, \(B_i\cap Y=A_i\)이고 \(B_i\)는 \(X\)의 닫힌집합들의 descending chain이다.

2. \(\mathcal{C}\)를 \(X\)의 닫힌집합 중, 유한히 많은 irreducible closed subset들의 합집합으로 나타낼 수 없는 집합들의 모임이라 하자. 그럼 \(\mathcal{C}=\emptyset\)임을 보이면 된다. 결론에 반하여 \(\mathcal{C}\)가 공집합이 아니라 하면, 위에서 본 minimal element의 존재로부터 \(\mathcal{C}\)는 minimal element \(A\)를 갖는다. 공집합은 공집합인 모임의 합집합이므로 \(A\neq\emptyset\)이고, \(A\)가 irreducible이라면 \(A\) 자기 자신이 하나짜리 합집합이 되므로 \(A\)는 irreducible이 아니다. 따라서 정의 6에 의하여 \(A=B_1\cup B_2\)이도록 하는 \(A\)의 진부분 닫힌집합 \(B_1,B_2\)가 존재하고, \(A\)의 minimality로부터 \(B_1,B_2\not\in\mathcal{C}\)이므로 이들 각각은 유한히 많은 irreducible closed subset의 합집합이며, 이 둘을 합치면 \(A\) 또한 그러한 합집합이 되어 모순이다. 즉 \(\mathcal{C}=\emptyset\)이고, 특히 \(X=A_1\cup\cdots\cup A_n\)이도록 하는 \(X\)의 irreducible closed subset들 \(A_1,\ldots,A_n\)이 존재한다. 어떤 \(A_i\)가 다른 \(A_j\)에 포함된다면 그것을 지워도 되므로 처음부터 \(A_i\)들 사이에 포함관계가 없다고 가정하면, \(X\)의 임의의 irreducible closed subset \(B\)에 대하여 \(B=\bigcup_i (B\cap A_i)\)는 \(B\)의 닫힌집합들의 유한한 합집합이므로 정의 6을 반복 적용하여 \(B\subseteq A_i\)인 \(i\)가 존재한다. 그럼 \(X\)의 irreducible component는 정의 9에 의하여 maximal인 irreducible subset이고 앞서 보았듯 닫힌집합이므로 어떤 \(A_i\)에 포함되며, \(A_i\) 자신이 irreducible이므로 maximality로부터 \(A_i\)와 같다. 따라서 \(X\)의 irreducible component는 많아야 \(n\)개이다.
3. (2)에서 얻은 \(X=A_1\cup\cdots\cup A_n\)을 \(A_i\)들 사이에 포함관계가 없도록 택하자. 만일 \(A_1\subseteq A_2\cup\cdots\cup A_n\)이라면 \(A_1=\bigcup_{j\geq 2}(A_1\cap A_j)\)이므로 위와 같이 \(A_1\subseteq A_j\)인 \(j\geq 2\)가 존재하여 포함관계가 없다는 것에 모순이고, 따라서 \(X\setminus (A_2\cup\cdots\cup A_n)\)은 \(A_1\)에 포함되는 공집합이 아닌 \(X\)의 열린집합이다. 각각의 irreducible component가 어떤 \(A_i\)와 같으므로, 같은 논증을 모든 \(i\)에 적용하면 된다.

그럼 만일 \(X\)가 Noetherian이라면, \(X\)의 irreducible decomposition

\[X=\bigcup_{i=1}^r X_i\]

이 존재하며, \(X_i\)들은 모두 닫힌집합이다. 그러나 서로 다른 irreducible component들은 서로 만날 수 있어 \(X\setminus X_i\)가 \(\bigcup_{j\neq i}X_j\)보다 작을 수 있으므로, \(X_i\)가 열린집합일 이유는 없다. 실제로 \(X_i\)가 열린집합이면서 다른 component \(X_j\)와 만난다면 \(X_i\cap X_j\)는 \(X_j\)의 공집합이 아닌 열린집합이므로 명제 7의 셋째 조건에 의하여 \(X_j\)에서 dense이고, \(X_i\)가 닫힌집합이므로 \(X_j\subseteq X_i\)가 되어 \(X_j\)의 maximality로부터 \(X_i=X_j\)이다. 즉 \(X_i\)가 열린집합인 것은 \(X_i\)가 다른 component와 만나지 않는 경우뿐이다.

닫힌집합들의 공집합이 아닌 모임이 언제나 minimal element를 가진다는 위의 사실을 하나의 귀납 원리로 정리하면, Noetherian space 위에서 닫힌집합에 대한 성질을 증명하는 표준적인 도구를 얻는다.

명제 14 (Noetherian induction) Noetherian topological space \(X\)와, \(X\)의 닫힌집합에 대한 성질 \(P\)가 주어졌다 하자. 만일 임의의 닫힌집합 \(Z\subseteq X\)에 대하여, 모든 진부분 닫힌집합 \(Z'\subsetneq Z\)에서 \(P(Z')\)가 성립할 때마다 \(P(Z)\) 또한 성립한다면, \(P\)는 \(X\)의 모든 닫힌집합에서 성립한다.

증명

\(P\)가 성립하지 않는 닫힌집합들의 모임을 \(\mathcal{S}\)라 하고, 결론에 반하여 \(\mathcal{S}\neq\emptyset\)이라 하자. 위에서 본 것과 같이 \(\mathcal{S}\)는 minimal element \(Z_0\)을 가진다. 그럼 \(Z_0\)이 minimal이므로 임의의 진부분 닫힌집합 \(Z'\subsetneq Z_0\)은 \(\mathcal{S}\)에 속하지 않아 \(P(Z')\)가 성립하고, 따라서 가정에 의하여 \(P(Z_0)\)이 성립한다. 이는 \(Z_0\in\mathcal{S}\)에 모순이므로 \(\mathcal{S}=\emptyset\)이며, 곧 \(P\)는 \(X\)의 모든 닫힌집합에서 성립한다.

이는 자연수에 대한 강한 귀납법의 위상적 유비로, 닫힌집합들이 descending chain condition을 만족한다는 Noetherian 조건이 귀납을 가능하게 한다. 실제 사용에서는 임의의 닫힌집합 \(Z\)에 대해 그 진부분 닫힌집합들에서 성질이 성립한다고 가정하고 \(Z\)에서 성립함을 보이며, 특히 \(Z=X\)의 경우가 결론에 포함된다.

명제 15 위상공간 \(X\)와 열린집합 \(U\)에 대하여, \(U\)와 만나는 \(X\)의 irreducible closed subset과, \(U\)의 irreducible closed subset 사이의 일대일대응이 존재한다.

증명

우선 \(U\cap Z\neq\emptyset\)을 만족하는 \(X\)의 irreducible subspace \(Z\)가 주어졌다 하고, \(Z\cap U\)의 공집합이 아닌 임의의 두 열린집합이 서로소가 아님을 보여야 한다. \(Z\cap U\)의 임의의 열린집합은 \(Z\)의 열린집합 \(V_1, V_2\)에 대하여 \(V_1\cap U\), \(V_2\cap U\)의 꼴이므로, 다음의 식

\[(V_1\cap U)\cap (V_2\cap U)=(V_1\cap V_2)\cap U\]

으로부터 만일 \((V_1\cap U)\cap(V_2\cap U)\neq\emptyset\)이라면 \(V_1\cap V_2\neq\emptyset\)이 되어 \(Z\)가 irreducible이라는 가정에 모순이다.

거꾸로 \(U\)의 irreducible closed subset \(Y\subseteq U\)가 주어졌다 하면 \(Y\)의 closure 또한 irreducible이므로 \(X\)의 irreducible \(\cl_X(Y)\)가 \(U\)와 만나는 \(X\)의 irreducible subset이 된다. 즉 이로부터 두 함수

\[\{\text{irreducible closed subset of $X$ meeting $U$}\}\rightarrow \{\text{irreducible closed subset of $U$}\};\qquad Z\mapsto Z\cap U\]

그리고

\[\{\text{irreducible closed subset of $U$}\} \rightarrow \{\text{irreducible closed subset of $X$ meeting $U$}\};\qquad Y\mapsto \cl_X(Y)\]

를 얻으며, 이들이 서로의 bijection임을 확인할 수 있다.

뿐만 아니라, 위의 증명에서의 두 함수는 inclusion-preserving이므로, \(U\)와 만나는 \(X\)의 irreducible component와 \(U\)의 irreducible component 사이의 일대일대응이 존재한다.

이제 다음 명제를 보이자.

명제 16 만일 위상공간 \(X\)의 두 유한차원 closed subspace \(Y,Z\)가 존재하여 \(X=Y\cup Z\)라면, 이들의 Krull dimension 또한 식 \(\dim X=\max(\dim Y,\dim Z)\)을 만족한다.

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참고문헌

[Bou] N. Bourbaki, General Topology. Elements of mathematics. Springer, 1995.