국소 옹골공간과 일점 옹골화

국소적 옹골공간

Compactness는 위상공간이 지닐 수 있는 성질 가운데 가장 강력한 것에 속하지만, 정작 우리가 다루는 많은 공간은 compact가 아니다. Euclidean space \(\mathbb{R}^n\)은 유계가 아니어서 compact가 아니고, 뒤에서 다룰 topological manifold 역시 국소적으로만 Euclidean space를 닮았을 뿐 전체로는 compact일 이유가 없다. 그럼에도 이러한 공간들은 각 점 주위에서만큼은 compact 공간처럼 행동한다. 우리는 이 국소적인 성질을 분리해 내어, 전역적 compactness가 없는 공간에서도 compact 공간의 논증을 국소적으로 되살리고자 한다. 더 나아가 이러한 공간에 단 하나의 점을 더하는 것만으로 compact 공간을 얻을 수 있음을 보게 될 것이다.

우리는 각 점 주위의 옹골성이라는 이 국소적 조건을 다음과 같이 정식화한다.

정의 1 위상공간 \(X\)가 점 \(x\in X\)에서 locally compact_{국소적으로 옹골}라는 것은 \(x\)를 포함하는 \(X\)의 compact neighborhood가 존재하는 것이다. \(X\)가 모든 점에서 locally compact일 때 \(X\)를 locally compact space_{국소적 옹골공간}이라 부른다. Locally compact이며 Hausdorff인 공간을 줄여 LCH space라 적기로 한다.

여기에서 \(x\)의 neighborhood란 \(x\)를 포함하는 열린집합을 다시 품는 부분집합을 뜻하므로, compact neighborhood는 반드시 열린집합일 필요가 없다. 예컨대 \(\mathbb{R}\)에서 닫힌구간 \([-1,1]\)은 \(0\)의 compact neighborhood이지만 열린집합은 아니다. 이처럼 정의는 compact인 근방 하나의 존재만을 요구하는 약한 형태이지만, 공간이 Hausdorff이면 이 조건이 훨씬 다루기 쉬운 형태로 다시 서술된다.

명제 2 Hausdorff space \(X\)의 점 \(x\)에 대하여 다음 두 조건은 동치이다.

1. \(X\)는 \(x\)에서 locally compact이다.
2. \(x\)의 임의의 열린근방 \(V\)에 대하여, 열린집합 \(W\)가 존재하여 \(x\in W\), \(\cl(W)\subseteq V\)이며 \(\cl(W)\)가 compact이다.

증명

둘째 조건에서 \(V=X\)로 두면 \(\cl(W)\)가 \(x\)를 품는 열린집합 \(W\)를 포함하는 compact 집합이 되어 \(x\)의 compact neighborhood를 이루므로, 둘째 조건은 첫째 조건을 함의한다.

거꾸로 \(X\)가 \(x\)에서 locally compact라 하고 \(x\)의 열린근방 \(V\)가 주어졌다 하자. \(x\)의 compact neighborhood \(K\)를 잡고 \(U=\interior(K)\)라 두면 \(U\)는 \(x\)를 품는 열린집합이며 \(U\subseteq K\)이다. 이제 \(V\)를 \(V\cap U\)로 바꾸어 처음부터 \(V\subseteq U\subseteq K\)라 가정하여도 무방하다. 더 작은 \(V\)에 대해 결론을 얻으면 원래의 \(V\)에 대해서도 결론이 성립하기 때문이다.

\(K\)는 compact Hausdorff space이므로 regular space이다. (§옹골공간, ⁋보조정리 6) 한편 \(V\subseteq K\)는 \(X\)의 열린집합이므로 부분공간 \(K\)에서도 열린집합이고, 따라서 \(K\setminus V\)는 \(K\)의 닫힌집합으로서 \(x\)를 포함하지 않는다. \(K\)의 regularity를 점 \(x\)와 닫힌집합 \(K\setminus V\)에 적용하면, \(K\)에서 열린 서로소인 두 집합 \(P\ni x\)와 \(Q\supseteq K\setminus V\)를 얻는다. \(P\subseteq K\setminus Q\subseteq V\)이고 \(K\setminus Q\)는 \(K\)의 닫힌집합이므로 \(\cl_K(P)\subseteq K\setminus Q\subseteq V\)이다.

이제 \(W=P\cap U\)라 두자. \(P\)는 \(K\)에서 열린집합이고 \(U\)는 \(X\)의 열린집합이며 \(U\subseteq K\)이므로 \(W\)는 \(X\)에서 열린집합이고 \(x\in W\)이다. \(W\subseteq U\subseteq K\)이고 \(K\)는 \(X\)의 닫힌집합이므로 (§옹골공간, ⁋따름정리 5) \(\cl(W)\subseteq K\)이다. 따라서 \(\cl(W)=\cl(W)\cap K=\cl_K(W)\subseteq\cl_K(P)\subseteq V\)이다. 끝으로 \(\cl(W)\)는 compact 집합 \(K\)의 닫힌 부분집합이므로 compact이다. (§옹골공간, ⁋보조정리 3) 이로써 둘째 조건이 성립한다.

명제 2의 둘째 조건은 LCH space에서 각 점이 compact closure를 갖는 열린집합들로 이루어진 neighborhood basis를 가진다는 것으로 읽을 수 있다. 이는 앞으로 국소적 논증을 펼칠 때마다 반복적으로 사용되며, one-point compactification의 Hausdorff성을 판정할 때에도 핵심적인 역할을 한다. 또한 이 성질로부터 임의의 LCH space가 regular임이 곧바로 따르는데, 점 \(x\)와 이를 포함하지 않는 닫힌집합 \(C\)가 주어지면 \(V=X\setminus C\)에 둘째 조건을 적용하여 얻은 \(W\)와 \(X\setminus\cl(W)\)가 \(x\)와 \(C\)를 분리하기 때문이다.

가장 기본적인 예로 Euclidean space \(\mathbb{R}^n\)이 LCH임을 들 수 있다. 임의의 점 \(x\)에 대하여 닫힌 공 \(\{y:\lVert y-x\rVert\leq 1\}\)은 Heine–Borel 정리에 의해 compact이고 열린 공을 품으므로 \(x\)의 compact neighborhood를 이루며, \(\mathbb{R}^n\)이 Hausdorff임은 이미 알고 있다. 마찬가지로 임의의 discrete space도 LCH인데, 각 점 \(x\)에 대하여 한원소집합 \(\{x\}\)이 열린 유한집합으로서 compact neighborhood가 되고 discrete space는 Hausdorff이기 때문이다. 조금 덜 자명한 예는 topological manifold이다.

예시 3 각 점이 \(\mathbb{R}^n\)의 열린집합과 homeomorphic한 열린근방을 갖는 Hausdorff 공간은 LCH space이다. 뒤에서 정의할 topological manifold가 바로 이러한 공간이다. 실제로 그러한 공간 \(M\)의 각 점 \(x\)에 대하여 \(\mathbb{R}^n\)의 열린집합과 homeomorphic한 열린근방 \(U\)를 잡으면, 그 homeomorphism 아래에서 \(x\)에 대응하는 점이 \(\mathbb{R}^n\)에서 compact neighborhood를 가지므로 (\(\mathbb{R}^n\)이 LCH이기 때문이다) 이를 \(U\)로 되끌어 오면 \(x\)의 compact neighborhood를 얻는다.

Locally compact이라는 조건은 얼핏 매우 약해 보이지만 결코 자동으로 주어지는 것은 아니다. 다음은 locally compact space가 아닌 대표적인 예이다.

예시 4 유리수 공간 \(\mathbb{Q}\)는 \(\mathbb{R}\)의 부분공간으로서 어떤 점에서도 locally compact가 아니다. 대칭성에 의해 \(0\)에서 그렇지 않음을 보이면 충분하다. 결론에 반하여 \(0\)의 compact neighborhood \(K\subseteq\mathbb{Q}\)가 존재한다 하자. 그럼 \(K\)는 \(0\)을 품는 열린집합을 포함하므로 어떤 \(\delta>0\)에 대하여 \(\mathbb{Q}\cap(-\delta,\delta)\subseteq K\)이고, \(0<r<\delta\)를 하나 고정하면 \(\mathbb{Q}\cap[-r,r]\subseteq K\)이다.

Compactness는 부분공간이 놓인 주변 공간과 무관한 내재적 성질이므로 \(K\)는 \(\mathbb{R}\)의 부분공간으로서도 compact이고, \(\mathbb{R}\)이 Hausdorff이므로 \(K\)는 \(\mathbb{R}\)의 닫힌집합이다. (§옹골공간, ⁋따름정리 5) 그런데 \(\mathbb{R}\)에서 \(\mathbb{Q}\cap[-r,r]\)의 closure는 \([-r,r]\) 전체이므로, \(K\)가 닫힌집합이면서 \(\mathbb{Q}\cap[-r,r]\)을 포함한다는 사실로부터 \([-r,r]\subseteq K\)를 얻는다. 이는 \(K\subseteq\mathbb{Q}\)이면서 \([-r,r]\)이 무리수를 포함한다는 사실에 모순이다.

국소적 옹골성은 적당한 부분공간으로 유전된다. 다만 임의의 부분공간이 아니라 열린집합이거나 닫힌집합인 부분공간에 한하여 그러하다.

명제 5 LCH space \(X\)의 열린 부분공간과 닫힌 부분공간은 모두 LCH space이다.

증명

Hausdorff space의 부분공간은 다시 Hausdorff이므로 국소적 옹골성만 확인하면 된다.

먼저 \(A\subseteq X\)가 열린집합이라 하고 \(x\in A\)가 주어졌다 하자. \(A\)는 \(x\)의 \(X\)에서의 열린근방이므로 명제 2의 둘째 조건에 의하여 \(X\)의 열린집합 \(W\)가 존재하여 \(x\in W\)이고 \(\cl_X(W)\subseteq A\)이며 \(\cl_X(W)\)가 compact이다. \(\cl_X(W)\subseteq A\)이므로 \(A\)에서의 closure \(\cl_A(W)\)는 \(\cl_X(W)\)와 같고, 이는 compact이면서 \(A\)에서 열린 \(W\)를 포함하므로 \(x\)의 \(A\)에서의 compact neighborhood이다.

이제 \(A\subseteq X\)가 닫힌집합이라 하고 \(x\in A\)가 주어졌다 하자. \(X\)에서 \(x\)의 compact neighborhood \(K\)를 잡고, \(x\)를 품는 \(X\)의 열린집합 \(U\subseteq K\)를 택한다. 그럼 \(K\cap A\)는 compact 집합 \(K\)의 닫힌 부분집합이므로 compact이고 (§옹골공간, ⁋보조정리 3), \(U\cap A\)는 \(A\)에서 열린집합으로서 \(x\)를 품고 \(K\cap A\)에 포함되므로 \(K\cap A\)는 \(x\)의 \(A\)에서의 compact neighborhood이다.

일점 옹골화의 구성

Compact가 아닌 공간을 compact로 만드는 가장 경제적인 방법은 부족한 부분을 단 하나의 점으로 메우는 것이다. 직관적으로는 \(\mathbb{R}\)의 양끝으로 달아나는 점들을 하나의 무한원점으로 모아 원을 만드는 것과 같다. 우리는 이 옹골화를 임의의 위상공간에 대해 명시적으로 정식화하고, 그것이 compact 공간을 낳음을 보인 뒤, 그 구성이 언제 Hausdorff 공간을 낳는지까지 규명한다.

정의 6 위상공간 \(X\)가 주어졌다 하자. \(X\)에 속하지 않는 새로운 점 하나를 \(\infty\)라 적고 집합 \(X^+=X\cup\{\infty\}\)을 생각한다. \(X^+\)의 부분집합 가운데 다음 두 종류를 열린집합으로 선언한다. 첫째로 \(X\)의 열린집합 \(U\), 둘째로 \(X\)에서 compact이며 닫힌 부분집합 \(C\)에 대한 \(X^+\setminus C\)이다. 이렇게 얻은 위상공간 \(X^+\)를 \(X\)의 one-point compactification_{일점 옹골화}, 또는 Alexandroff compactification_{알렉산드로프 콤팩트화}이라 부른다.

이 선언이 실제로 §열린집합, ⁋정의 1의 위상 공리를 만족함을 확인해야 한다. 공집합은 \(X\)의 열린집합이므로 첫째 종류에 속하고, 공집합은 compact이며 닫힌집합이므로 \(X^+=X^+\setminus\emptyset\)은 둘째 종류에 속한다. 두 열린집합의 교집합에 대해서는 세 경우를 따진다. 첫째 종류 둘의 교집합은 \(X\)의 열린집합이다. 둘째 종류 둘의 교집합은 \((X^+\setminus C)\cap(X^+\setminus D)=X^+\setminus(C\cup D)\)이고 \(C\cup D\)가 compact인 닫힌집합이므로 다시 둘째 종류이다. 서로 다른 종류의 교집합은 \(U\cap(X^+\setminus C)=U\cap(X\setminus C)\)이며 \(C\)가 닫힌집합이므로 \(X\setminus C\)가 열린집합이 되어 \(X\)의 열린집합, 곧 첫째 종류이다. 임의의 합집합에 대해서도 마찬가지로, 첫째 종류들의 합집합은 열린집합이고, 둘째 종류들의 합집합 \(\bigcup_\alpha(X^+\setminus C_\alpha)=X^+\setminus\bigcap_\alpha C_\alpha\)은 \(\bigcap_\alpha C_\alpha\)가 어떤 \(C_\alpha\)의 닫힌 부분집합으로서 compact이므로 (§옹골공간, ⁋보조정리 3) 둘째 종류이며, 두 종류가 섞인 합집합은 \(U\cup(X^+\setminus C)=X^+\setminus(C\cap(X\setminus U))\)인데 \(C\cap(X\setminus U)\)가 compact인 닫힌집합이므로 둘째 종류이다.

이 위상에서 \(X\)가 \(X^+\)에 어떻게 놓이는지를 먼저 정리한다.

명제 7 포함사상 \(X\hookrightarrow X^+\)는 open embedding, 곧 \(X\)를 \(X^+\)의 열린 부분공간으로 놓는 homeomorphism이다. 또한 \(X\)가 \(X^+\)에서 조밀할 필요충분조건은 \(X\)가 compact가 아닌 것이다.

증명

\(X\)는 \(X\)의 열린집합이므로 정의 6의 첫째 종류로서 \(X^+\)의 열린집합이다. \(X^+\)의 열린집합을 \(X\)와 교차시키면, 첫째 종류 \(U\)에 대해서는 \(U\cap X=U\)이고 둘째 종류 \(X^+\setminus C\)에 대해서는 \((X^+\setminus C)\cap X=X\setminus C\)인데 둘 다 \(X\)의 열린집합이며, 거꾸로 \(X\)의 임의의 열린집합은 첫째 종류로서 \(X^+\)에서 열린집합이다. 따라서 \(X\) 위의 부분공간 위상은 원래의 위상과 일치하고, 포함사상은 열린 부분공간 위로의 homeomorphism이다.

\(\{\infty\}=X^+\setminus X\)는 열린집합 \(X\)의 여집합이므로 닫힌집합이다. \(X\)가 조밀하다는 것은 \(\infty\in\cl(X)\)인 것, 곧 \(\infty\)의 임의의 열린근방이 \(X\)와 만나는 것과 같다. \(\infty\)를 품는 열린집합은 반드시 둘째 종류 \(X^+\setminus C\)이며, 이것이 \(X\)와 만나는 것은 \(X\setminus C\neq\emptyset\), 곧 \(C\neq X\)인 것과 같다. 따라서 \(X\)가 조밀하지 않을 필요충분조건은 어떤 compact인 닫힌집합 \(C\)에 대해 \(C=X\)인 것, 곧 \(X\) 자신이 compact인 것이다.

\(X\)가 compact인 경우에는 \(X\) 자체가 compact이며 닫힌집합이므로 \(\{\infty\}=X^+\setminus X\)가 열린집합이 되어 \(\infty\)가 isolated point가 된다. 이 경우 \(X^+\)는 \(X\)에 isolated point 하나를 덧붙인 것에 지나지 않아 흥미롭지 않다. One-point compactification이 본래 의도한 역할을 하는 것은 \(X\)가 compact가 아닐 때이며, 이때 \(\infty\)는 \(X\) 바깥으로 달아나는 모든 방향의 limit point 노릇을 한다.

정리 8 임의의 위상공간 \(X\)에 대하여 \(X^+\)는 compact이다.

증명

\(X^+\)의 임의의 open covering \((O_i)_{i\in I}\)이 주어졌다 하자. \(\infty\)를 덮는 열린집합 \(O_j\)가 적어도 하나 존재하며, 이는 반드시 둘째 종류이므로 \(X\)의 compact인 닫힌집합 \(C\)에 대해 \(O_j=X^+\setminus C\)로 적을 수 있다. 나머지 \((O_i)_{i\neq j}\)은 \(C\subseteq X^+\setminus O_j\)을 덮어야 하며, 각 \(O_i\cap X\)는 \(X\)의 열린집합이므로 \((O_i\cap X)_{i\neq j}\)은 \(C\)의 \(X\)에서의 open covering이다. \(C\)가 compact이므로 유한한 \(J\subseteq I\setminus\{j\}\)을 택하여 \(C\subseteq\bigcup_{i\in J}(O_i\cap X)\subseteq\bigcup_{i\in J}O_i\)이도록 할 수 있다. (§옹골공간, ⁋명제 2) 그럼 \((O_i)_{i\in J\cup\{j\}}\)이 \(X^+\)를 덮는 finite subcover이다.

Hausdorff 판정과 보편성

One-point compactification은 어떤 공간에 대해서도 compact 공간을 낳지만, 그 결과가 다시 Hausdorff가 되는지는 별개의 문제이다. 예컨대 \(\mathbb{Q}^+\)은 compact이지만 Hausdorff가 아니다. 다음 정리는 \(X^+\)가 Hausdorff가 되는 조건이 정확히 앞서 정의한 국소적 옹골성임을 밝힌다.

정리 9 위상공간 \(X\)에 대하여 \(X^+\)가 Hausdorff space일 필요충분조건은 \(X\)가 LCH space인 것이다.

증명

먼저 \(X^+\)가 Hausdorff라 하자. 부분공간 \(X\)는 Hausdorff space의 부분공간이므로 Hausdorff이다. 국소적 옹골성을 보이기 위해 \(x\in X\)를 고정하면, \(X^+\)의 Hausdorff성에 의해 \(x\)와 \(\infty\)를 분리하는 서로소인 열린집합 \(U\ni x\)와 \(W\ni\infty\)가 존재한다. \(W\)는 \(\infty\)를 품으므로 둘째 종류이고, 따라서 \(X\)의 compact인 닫힌집합 \(C\)에 대해 \(W=X^+\setminus C\)이다. \(U\cap W=\emptyset\)으로부터 \(U\subseteq C\)이고, \(U\)는 \(\infty\)를 품지 않으므로 \(X\)에 포함되는 열린집합이다. 따라서 \(C\)는 \(x\)를 품는 열린집합 \(U\)를 포함하는 compact 집합, 곧 \(x\)의 compact neighborhood이며 \(X\)는 \(x\)에서 locally compact이다.

거꾸로 \(X\)가 LCH라 하자. \(X^+\)의 서로 다른 두 점을 분리해야 한다. 두 점이 모두 \(X\)에 속하면 \(X\)가 Hausdorff이므로 이들을 \(X\)에서 분리하는 서로소인 열린집합을 얻고, 이들은 정의 6의 첫째 종류로서 \(X^+\)에서도 열린집합이다. 남은 경우는 한 점이 \(x\in X\)이고 다른 한 점이 \(\infty\)인 경우이다. \(X\)가 LCH이므로 명제 2에 의하여 \(x\)의 열린근방 \(U\)가 존재하여 \(K=\cl(U)\)가 compact이다. \(X\)가 Hausdorff이므로 \(K\)는 닫힌집합이고 (§옹골공간, ⁋따름정리 5), 따라서 \(X^+\setminus K\)는 \(\infty\)를 품는 둘째 종류의 열린집합이다. \(U\subseteq K\)이므로 \(U\)와 \(X^+\setminus K\)는 서로소이며 각각 \(x\)와 \(\infty\)를 분리한다.

정리 8과 정리 9를 합치면, \(X\)가 LCH space일 때 \(X^+\)는 compact Hausdorff space가 되고 명제 7에 의해 \(X\)는 그 안에 열린 부분공간으로 매장된다. 특히 \(X\)가 compact가 아니라면 이 embedding은 조밀하다. 이것이 Alexandroff 정리의 존재 부분, 곧 임의의 LCH space가 어떤 compact Hausdorff space에 조밀한 열린 부분공간으로 매장된다는 사실이다. 남은 것은 이러한 옹골화가 본질적으로 유일하다는 사실이며, 이는 다음의 보편성으로 정식화된다.

정리 10 LCH space \(X\)가 주어졌다 하자. Compact Hausdorff space \(Y\)와 점 \(p\in Y\), 그리고 homeomorphism \(\varphi:X\rightarrow Y\setminus\{p\}\)이 주어졌다 하면, 유일한 homeomorphism \(h:X^+\rightarrow Y\)가 존재하여 \(X\) 위에서 \(h=\varphi\)이고 \(h(\infty)=p\)이다.

증명

\(\varphi\)를 통해 \(X\)와 \(Y\setminus\{p\}\)을 동일시하고, \(X\)를 \(Y\)의 부분집합으로 본다. \(Y\)가 Hausdorff이므로 \(\{p\}\)는 \(Y\)의 닫힌집합이고, 따라서 \(X=Y\setminus\{p\}\)는 \(Y\)의 열린 부분공간이다. 즉 \(X\)의 위상은 \(Y\)로부터 유도된 부분공간 위상과 일치한다.

이제 \(Y\)의 열린집합이 정확히 \(X^+\)의 열린집합과 대응함을 보인다. \(Y\)의 열린집합 \(O\)가 \(p\)를 포함하지 않으면 \(O\subseteq X\)이고 \(X\)가 \(Y\)의 열린 부분공간이므로 \(O\)는 \(X\)의 열린집합, 곧 정의 6의 첫째 종류이다. 거꾸로 \(X\)의 열린집합은 \(X\)가 \(Y\)에서 열린집합이므로 \(Y\)의 열린집합이다. 한편 \(Y\)의 열린집합 \(O\)가 \(p\)를 포함하면 \(Y\setminus O\)는 compact 공간 \(Y\)의 닫힌집합이므로 compact이고 (§옹골공간, ⁋보조정리 3), \(Y\setminus O\subseteq X\)이며 \(Y\)에서 닫힌집합이므로 \(X\)에서도 닫힌집합이다. 따라서 \(O=X^+\setminus(Y\setminus O)\)은 \(X\)의 compact인 닫힌집합의 여집합, 곧 둘째 종류이다. 거꾸로 \(X\)의 compact인 닫힌집합 \(C\)에 대하여 \(C\)는 \(Y\)에서도 compact이고 \(Y\)가 Hausdorff이므로 닫힌집합이어서 (§옹골공간, ⁋따름정리 5) \(Y\setminus C\)는 \(p\)를 품는 \(Y\)의 열린집합이다.

그러므로 \(p\)를 \(\infty\)와 동일시하는 집합 사이의 대응 \(h:X^+\rightarrow Y\)는 열린집합을 열린집합으로, 그 역도 마찬가지로 대응시키는 전단사이며, 따라서 homeomorphism이다. \(h\)는 \(X\) 위에서 \(\varphi\)와 일치하고 \(\infty\)를 \(p\)로 보내야 하므로 유일하다.

정리 10은 LCH space \(X\)에 한 점을 더해 compact Hausdorff space를 만드는 방법이 homeomorphism을 무시하면 오직 하나뿐임을 말한다. 이것이 Alexandroff 정리의 유일성 부분을 보편성의 언어로 서술한 것이다. 이 유일성 덕분에 우리는 이후 \(X^+\)를 그 구체적 구성과 무관하게 다룰 수 있고, 실제 계산에서는 임의의 편리한 compact Hausdorff model을 골라 \(X^+\)와 동일시하면 된다.

참고 11 One-point compactification은 Hausdorff 옹골화 가운데 가장 작은 것으로 특징지어진다. Compact가 아닌 LCH space \(X\)의 Hausdorff 옹골화란 \(X\)를 조밀한 부분공간으로 품는 compact Hausdorff space를 말하는데, 이러한 임의의 옹골화에서 출발하여 \(X\) 바깥의 점들을 모두 하나로 뭉개면 \(X^+\)로 향하는 연속인 전사가 유일하게 얻어진다. 이 사실의 증명에는 LCH space가 Hausdorff space에 조밀하게 매장되면 항상 열린 부분공간이 된다는 관찰이 필요하며, 자세한 논증은 표준적인 문헌을 따른다. [Mun] 반대편 극단에는 완전정칙 공간이 가질 수 있는 가장 큰 Hausdorff 옹골화인 Stone–Čech compactification이 있으나, 이는 별도의 구성을 요구하므로 여기에서는 이름만 언급한다.

일점 옹골화의 예

가장 익숙한 예는 Euclidean space의 one-point compactification이 구면이 된다는 사실이다.

예시 12 \(n\)-구면 \(S^n=\{x\in\mathbb{R}^{n+1}:\lVert x\rVert=1\}\)의 북극 \(N=(0,\ldots,0,1)\)을 생각하자. Stereographic projection

\[\sigma:S^n\setminus\{N\}\rightarrow\mathbb{R}^n,\qquad \sigma(x_1,\ldots,x_{n+1})=\frac{1}{1-x_{n+1}}(x_1,\ldots,x_n)\]

은 \(S^n\setminus\{N\}\)과 \(\mathbb{R}^n\) 사이의 homeomorphism임이 잘 알려져 있다. \(S^n\)은 \(\mathbb{R}^{n+1}\)의 닫힌 유계 부분집합이므로 Heine–Borel 정리에 의해 compact이고, 부분공간으로서 Hausdorff이다. 따라서 \(S^n\)은 compact Hausdorff space이고 \(N\)이라는 한 점을 제거한 것이 \(\mathbb{R}^n\)과 homeomorphic하므로, 정리 10에 의하여 유일한 homeomorphism

\[(\mathbb{R}^n)^+\cong S^n\]

이 성립하며 무한원점 \(\infty\)가 북극 \(N\)에 대응한다. 특히 \((\mathbb{R})^+\)은 원 \(S^1\)이다.

Discrete space의 one-point compactification은 수렴하는 점열이라는 매우 구체적인 그림을 준다.

예시 13 자연수 집합 \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\)에 discrete topology를 주자. 이는 discrete space로서 LCH이므로 정리 9에 의하여 \(\mathbb{N}^+\)은 compact Hausdorff space이다. Discrete space에서 compact인 부분집합은 유한집합뿐이므로, \(\mathbb{N}^+\)에서 \(\infty\)의 열린근방은 유한집합의 여집합, 곧 \(\infty\)를 품는 cofinite set이다. 이는 정확히 \(\mathbb{N}\)의 점열이 \(\infty\)로 수렴한다는 것이 그 점열이 임의의 유한집합을 결국 벗어난다는 것과 같음을 뜻한다.

이 공간은 실수 안의 익숙한 집합으로 실현된다. 함수

\[f:\mathbb{N}^+\rightarrow\mathbb{R},\qquad f(n)=\frac1n\quad(n\in\mathbb{N}),\qquad f(\infty)=0\]

을 생각하면, \(f\)는 \(\mathbb{N}^+\)과 \(\{0\}\cup\{1/n\mid n\geq 1\}\) 사이의 전단사이다. 각 \(n\in\mathbb{N}\)은 \(\mathbb{N}^+\)에서 isolated point이고 그 상 \(1/n\)도 \(\{0\}\cup\{1/n\}\)에서 isolated point이며, \(\infty\)의 cofinite 근방이 \(0\)의 근방으로 옮겨지므로 \(f\)는 연속이다. 정의역이 compact이고 공역이 Hausdorff이므로 §옹골공간, ⁋명제 9에 의하여 \(f\)는 homeomorphism이다. 즉 \(\mathbb{N}^+\)은 하나의 limit point를 지닌 수렴하는 점열과 homeomorphic이다.

완전정칙성

One-point compactification은 존재론적 도구에 그치지 않고 LCH space의 내적 성질을 규명하는 데에도 쓰인다. Compact Hausdorff space는 normal이므로 (§옹골공간, ⁋명제 7) Urysohn 보조정리를 통해 풍부한 연속함수를 지니는데, 이 성질이 열린 부분공간을 거쳐 LCH space로 유전됨을 보인다.

따름정리 14 임의의 LCH space는 completely regular이다. 따라서 임의의 LCH space는 Tychonoff space이다. (§하우스도르프 공간, ⁋정의 3)

증명

먼저 임의의 compact Hausdorff space \(Y\)가 completely regular임을 보인다. 점 \(p\in Y\)와 이를 포함하지 않는 닫힌집합 \(C\subseteq Y\)가 주어졌다 하자. \(Y\)는 Hausdorff이므로 \(T_1\)이고 따라서 \(\{p\}\)는 닫힌집합이며, \(\{p\}\)와 \(C\)는 서로소인 두 닫힌집합이다. \(Y\)는 normal이므로 (§옹골공간, ⁋명제 7) Urysohn 보조정리에 의하여 연속함수 \(g:Y\rightarrow[0,1]\)이 존재하여 \(\{p\}\)에서 \(0\), \(C\)에서 \(1\)의 값을 갖는다. (§Urysohn 보조정리와 Tietze 확장정리, ⁋정리 2) 이는 곧 \(p\)와 \(C\)가 연속함수로 분리가능함을 뜻하므로 \(Y\)는 completely regular이다.

이제 \(X\)가 LCH라 하자. 정리 8과 정리 9에 의하여 \(X^+\)는 compact Hausdorff space이므로 위에서 본 대로 completely regular이다. \(X\)는 명제 7에 의해 \(X^+\)의 부분공간이다. 완전정칙성은 부분공간으로 유전됨을 보이자. \(x\in X\)와 이를 포함하지 않는 \(X\)의 닫힌집합 \(C\)가 주어지면, 부분공간의 닫힌집합의 성질에 의해 \(X^+\)의 닫힌집합 \(C'\)이 존재하여 \(C=C'\cap X\)이다. \(x\in X\)이고 \(x\notin C\)이므로 \(x\notin C'\)이며, \(X^+\)가 completely regular이므로 연속함수 \(g:X^+\rightarrow[0,1]\)이 존재하여 \(g(x)=0\)이고 \(C'\)에서 \(1\)의 값을 갖는다. \(g\)를 \(X\)로 제한한 \(g\vert_X\)는 연속함수로서 \(x\)와 \(C\subseteq C'\)을 분리하므로 \(X\)는 completely regular이다. 끝으로 \(X\)는 Hausdorff이므로 \(T_0\)이고, 따라서 \(X\)는 Tychonoff space이다.

따름정리 14는 LCH space 위에서 서로 다른 점을 가르거나 점과 닫힌집합을 가르는 연속함수를 언제나 얻을 수 있음을 보장한다. 이는 locally compact space가 해석학적 대상으로서 얼마나 잘 행동하는지를 말해 주는 기본적인 사실이며, 국소적으로 정의된 자료를 연속함수의 도움으로 전역적으로 이어 붙이는 여러 구성의 출발점이 된다.

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참고문헌

[Mun] J. R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000.

[Wil] S. Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970.

[Kel] J. L. Kelley, General Topology, Springer, 1975.