곱공간

곱공간의 정의와 성질들

정의 1 위상공간들의 family \((X_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. 이들의 곱_product은 곱집합 \(X=\prod_{i\in I}X_i\) 위에 함수들 \(\pr_i:X\rightarrow X_i\)에 대한 initial topology가 주어진 위상공간이다.

그럼 §Initial topology와 final topology, ⁋명제 2에 의하여 \(X\) 위에 주어진 product topology는 다음의 집합

\[\mathcal{S}=\{\pr_i^{-1}(U_i)\mid U_i\text{ open in }X_i\}\]

을 subbase로 하여 생성된 공간이다. 이 때, \(\mathcal{S}\)에 의하여 생성되는 base \(\mathcal{B}\)는

\[\prod_{i\in I} U_i,\qquad \text{$U_i$ open in $X_i$, $U_i=X_i$ for all but finitely many $i$}\]

들의 모임이다.

§곱집합의 성질, ⁋명제 3과 마찬가지 이유에 의하여 공간들의 곱을 취하는 것은 결합법칙을 만족한다는 것을 알 수 있으며, 비슷하게 교환법칙에 대한 명제 또한 존재한다. 이들은 꽤나 자명한 명제이므로 별도로 언급하고 넘어가지 않는다.

한편 §Initial topology와 final topology, ⁋명제 3을 적용하면 다음을 얻는다.

명제 2 곱공간 \(X=\prod_{i\in I}X_i\)와 위상공간 \(Y\)가 주어졌다 하고, 함수들 \(f_i:Y\rightarrow X_i\)이 주어졌다 하자. 그럼 함수 \(f=(f_i): Y\rightarrow X\)가 연속인 것은 각각의 \(f_i\)가 연속인 것과 동치이다.

이로부터 다음 두 개의 따름정리를 얻는다.

따름정리 3 Index set \(I\)를 공유하는 두 곱공간 \(X=\prod_{i\in I}X_i\), \(Y=\prod_{i\in I}Y_i\)이 주어졌다 하고, \(f_i:X_i\rightarrow Y_i\)들이 주어졌다 하자. 그럼 \(f:(x_i)\mapsto (f_i(x_i))\)이 연속인 것은 각각의 \(f_i\)가 연속인 것과 동치이다.

임의의 집합 \(X, Y\)와 함수 \(f:X \rightarrow Y\)에 대하여, \(f\)의 graph \(\Gamma(f)\)는 \(X\times Y\)의 부분집합

\[\Gamma(f)=\{(x,f(x)\mid x\in X\}\subseteq X\times Y\]

으로 주어진다. 만일 \(X, Y\)가 모두 위상공간이었다면 \(\Gamma(f)\)는 product space \(X\times Y\)로부터 subspace topology를 물려받는다.

따름정리 4 위상공간 \(X,Y\)와 함수 \(f:X\rightarrow Y\)에 대하여, \(f\)가 연속인 것은 함수 \(g:x\mapsto (x,f(x))\)가 \(X\)에서 \(\Gamma(f)\)로의 homeomorphism인 것과 동치이다.

뿐만 아니라, 위의 함수 \(g\)의 자명한 역함수

\[\pr_X\vert_{\Gamma(f)}:\Gamma(f) \rightarrow X\]

또한 알고 있다.

특히 \(X\)의 모든 점을 \(y_0\in Y\)로 보내는 상수함수는 연속이므로, 위의 따름정리에 의하여 homeomorphism

\[X\rightarrow X\times\{y_0\}\]

을 얻는다. 한편 \(X\times Y\)의 임의의 집합 \(A\)를 생각하자. 그럼

\[A\cap (X\times \{y_0\})=\{(x,y)\mid (x,y)\in A,\quad y=y_0\}=\{(x,y_0)\mid (x,y_0)\in A\}\]

이다. 이제 \(\Gamma(f)\)는 \(X\times Y\)의 subspace topology가 주어져 있으므로, 위의 집합은 \(A\)가 \(X\times Y\)의 열린집합이라면 \(\Gamma(f)\)의 열린집합이 되고, \(A\)가 \(X\times Y\)의 닫힌집합이라면 \(\Gamma(f)\)의 닫힌집합이 된다. 따라서 다시 따름정리 4를 적용하여 위의 집합을 \(X\)로 보내면 해당하는 집합 또한 열린집합 혹은 닫힌집합이 된다. 이 집합을 \(A(y_0)\subseteq X\)로 적자. 물론 비슷한 논증을 \(X\)와 \(Y\)의 역할을 바꾸어 \(Y\)의 부분집합 \(A(x_0)\)을 얻을 수도 있다.

명제 5 \(X\times Y\)의 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여, \(\pr_X(U)\)와 \(\pr_Y(U)\)는 \(X,Y\)의 열린집합이 된다.

증명

위의 논증과 다음 식

\[\pr_X(U)=\bigcup_{y\in Y} U(y),\qquad \pr_Y(U)=\bigcup_{x\in X} U(x)\]

으로부터 자명하다.

그러나 닫힌집합들의 임의의 합집합은 닫힌집합일 필요가 없으므로, 위의 명제에서 \(A\)를 닫힌집합으로 바꾼 주장은 성립하지 않는다. 한편, 따름정리 4에 의하여 다음의 명제 또한 얻는다.

명제 6 함수 \(f:X_1\times X_2 \rightarrow Y\)가 \((a_1,a_2)\in X_1\times X_2\)에서 연속이라면, 다음의 식

\[x_1\mapsto f(x_1, a_2),\qquad x_2\mapsto f(a_1,x_2)\]

으로 정의된 \(X_1\)에서 \(Y\), \(X_2\)에서 \(Y\)로의 함수들은 각각 점 \(x_1=a_1\), \(x_2=a_2\)에서 연속이다.

그러나 이 명제의 역은 성립하지 않는다.

내부와 폐포

이제 우리는 곱집합과 내부, 폐포의 관계를 알아본다. 우선 폐포를 취하는 것은 곱집합에 대해 잘 행동한다. 즉 다음이 성립한다.

명제 7 Product space \(X=\prod_{i\in I} X_i\)와, \(X_i\)의 임의의 부분집합 \(A_i\)들이 주어졌다 하자. 그럼 다음 식

\[\prod_{i\in I} \cl A_i=\cl\left(\prod_{i\in I} A_i\right)\]

이 성립한다.

증명

우선 \(\prod_{i\in I}\cl A_i\)는 닫힌집합이다. 이는 다음의 식

\[\prod_{i\in I}\cl A_i=\bigcap_{i\in I}\pr_i^{-1}(\cl A_i)\]

과, projection들이 연속이므로 각각의 \(\pr_i^{-1}(\cl A_i)\)가 닫힌집합이라는 것, 그리고 닫힌집합들의 임의의 교집합이 닫힌집합이라는 것에 따른 것이다. 그럼 \(\prod A_i\subseteq \prod\cl A_i\)이므로 closure의 최소성에 의하여

\[\cl\left(\prod_{i\in I}A_i\right)\subseteq \prod_{i\in I}\cl A_i\]

이다.

거꾸로 \(x=(x_i)\in\prod_{i\in I}\cl A_i\)가 주어졌다 하고, \(x\)의 임의의 근방 \(V\)를 생각하자. 그럼 product topology의 base를 생각하면, \(x\in\prod U_i\subseteq V\)이고 유한 개의 \(i\)를 제외하면 \(U_i=X_i\)이도록 하는 열린집합들 \(U_i\)가 존재한다. 각각의 \(i\)에 대하여 \(x_i\in \cl A_i\)이고 \(U_i\)가 \(x_i\)의 근방이므로, §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 6에 의하여 \(U_i\cap A_i\neq\emptyset\)이고, 원소 \(a_i\in U_i\cap A_i\)를 택할 수 있다. 그럼 \(a=(a_i)\)는 \(V\cap \prod A_i\)의 원소이므로 \(x\)의 임의의 근방이 \(\prod A_i\)와 만나고, 다시 §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 6에 의하여 \(x\in \cl\left(\prod A_i\right)\)이다.

그러나 위의 명제는 interior에 대해서는 항상 성립하는 것은 아니며, \(I\)가 유한집합일 때만 성립한다.

명제 8 Index set \(I\)가 유한집합인 product space \(\prod_{i\in I} X_i\)와, \(X_i\)의 임의의 부분집합 \(A_i\)들이 주어졌다 하자. 그럼 다음 식

\[\prod_{i\in I} \interior A_i=\interior\left(\prod_{i\in I} A_i\right)\]

이 성립한다.

증명

\(I\)가 유한집합이므로 \(\prod_{i\in I}\interior A_i\)는 위에서 살펴본 product topology의 base에 속하는 열린집합이고, \(\prod A_i\)에 포함된다. 따라서 interior의 최대성에 의하여

\[\prod_{i\in I}\interior A_i\subseteq \interior\left(\prod_{i\in I}A_i\right)\]

이다.

거꾸로 \(x=(x_i)\in\interior\left(\prod A_i\right)\)라 하자. 그럼 base를 생각하면 \(x\in \prod U_i\subseteq \prod A_i\)이도록 하는 열린집합들 \(U_i\)가 존재한다. 각각의 \(j\in I\)를 고정하면, 임의의 \(y_j\in U_j\)에 대하여 \(x\)의 \(j\)번째 성분만 \(y_j\)로 바꾼 원소는 여전히 \(\prod U_i\)에 속하고 (다른 성분들은 \(x_i\in U_i\)), 따라서 \(\prod A_i\)에 속한다. 이 원소의 \(j\)번째 성분을 읽으면 \(y_j\in A_j\)이다. 즉 \(U_j\subseteq A_j\)이고, \(U_j\)가 열린집합이므로 \(x_j\in U_j\subseteq \interior A_j\)이다. 이것이 모든 \(j\)에 대해 성립하므로 \(x\in\prod_{i\in I}\interior A_i\)이다.