곱공간

edit_note

이 글은 현재 수정 중입니다. 아래 본문은 2026-08-13 시점의 판본이라 틀린 서술이 남아 있을 수 있고, 이 글을 가리키는 다른 글의 참조가 어긋나 있을 수 있습니다.

곱공간의 정의와 성질들

정의 1 위상공간들의 family \((X_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. 이들의 곱_product은 곱집합 \(X=\prod_{i\in I}X_i\) 위에 함수들 \(\pr_i:X\rightarrow X_i\)에 대한 initial topology가 주어진 위상공간이다.

그럼 §Initial topology와 final topology, ⁋명제 2에 의하여 \(X\) 위에 주어진 product topology는 다음의 집합

\[\mathcal{S}=\{\pr_i^{-1}(U_i)\mid U_i\text{ open in }X_i\}\]

을 subbase로 하여 생성된 공간이다. 이 때, \(\mathcal{S}\)에 의하여 생성되는 base \(\mathcal{B}\)는

\[\prod_{i\in I} U_i,\qquad \text{$U_i$ open in $X_i$, $U_i=X_i$ for all but finitely many $i$}\]

들의 모임이다.

[집합론] §곱집합의 성질, ⁋명제 3과 마찬가지 이유에 의하여 공간들의 곱을 취하는 것은 associative하다는 것을 알 수 있으며, 비슷하게 교환법칙에 대한 명제 또한 존재한다. 이들은 꽤나 자명한 명제이므로 별도로 언급하고 넘어가지 않는다.

한편 §Initial topology와 final topology, ⁋명제 3을 적용하면 다음을 얻는다.

명제 2 곱공간 \(X=\prod_{i\in I}X_i\)와 위상공간 \(Y\)가 주어졌다 하고, 함수들 \(f_i:Y\rightarrow X_i\)이 주어졌다 하자. 그럼 함수 \(f=(f_i): Y\rightarrow X\)가 연속인 것은 각각의 \(f_i\)가 연속인 것과 동치이다.

이로부터 다음 두 개의 따름정리를 얻는다.

따름정리 3 Index set \(I\)를 공유하는 두 곱공간 \(X=\prod_{i\in I}X_i\), \(Y=\prod_{i\in I}Y_i\)이 주어졌다 하고, \(f_i:X_i\rightarrow Y_i\)들이 주어졌다 하자. 또한 각각의 \(X_i\)는 공집합이 아니라 하자. 그럼 \(f:(x_i)\mapsto (f_i(x_i))\)이 연속인 것은 각각의 \(f_i\)가 연속인 것과 동치이다.

임의의 집합 \(X, Y\)와 함수 \(f:X \rightarrow Y\)에 대하여, \(f\)의 graph \(\graph(f)\)는 \(X\times Y\)의 부분집합

\[\graph(f)=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subseteq X\times Y\]

으로 주어진다. 만일 \(X, Y\)가 모두 위상공간이었다면 \(\graph(f)\)는 product space \(X\times Y\)로부터 subspace topology를 물려받는다.

따름정리 4 위상공간 \(X,Y\)와 함수 \(f:X\rightarrow Y\)에 대하여, \(f\)가 연속인 것은 함수 \(g:x\mapsto (x,f(x))\)가 \(X\)에서 \(\graph(f)\)로의 homeomorphism인 것과 동치이다.

뿐만 아니라, 위의 함수 \(g\)의 자명한 역함수

\[\pr_X\vert_{\graph(f)}:\graph(f) \rightarrow X\]

또한 알고 있다.

특히 \(X\)의 모든 점을 \(y_0\in Y\)로 보내는 상수함수는 연속이므로, 위의 따름정리에 의하여 homeomorphism

\[X\rightarrow X\times\{y_0\}\]

을 얻는다. 한편 \(X\times Y\)의 임의의 집합 \(A\)를 생각하자. 그럼

\[A\cap (X\times \{y_0\})=\{(x,y)\mid (x,y)\in A,\quad y=y_0\}=\{(x,y_0)\mid (x,y_0)\in A\}\]

이다. 이제 \(X\times\{y_0\}\)는 \(X\times Y\)의 subspace topology가 주어져 있으므로, 위의 집합은 \(A\)가 \(X\times Y\)의 열린집합이라면 \(X\times\{y_0\}\)의 열린집합이 되고, \(A\)가 \(X\times Y\)의 닫힌집합이라면 \(X\times\{y_0\}\)의 닫힌집합이 된다. 따라서 다시 따름정리 4를 적용하여 위의 집합을 \(X\)로 보내면 해당하는 집합 또한 열린집합 혹은 닫힌집합이 된다. 이 집합을 \(A(y_0)\subseteq X\)로 적자. 물론 비슷한 논증을 \(X\)와 \(Y\)의 역할을 바꾸어 \(Y\)의 부분집합 \(A(x_0)\)을 얻을 수도 있다.

명제 5 \(X\times Y\)의 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여, \(\pr_X(U)\)와 \(\pr_Y(U)\)는 \(X,Y\)의 열린집합이 된다.

증명

위의 논증에 의하여 각각의 \(U(y)\)는 \(X\)의 열린집합이고 각각의 \(U(x)\)는 \(Y\)의 열린집합이다. 따라서 다음 식

\[\pr_X(U)=\bigcup_{y\in Y} U(y),\qquad \pr_Y(U)=\bigcup_{x\in X} U(x)\]

과, 열린집합들의 임의의 합집합이 열린집합이라는 것에 의하여 \(\pr_X(U)\)와 \(\pr_Y(U)\)는 열린집합이다.

그러나 닫힌집합들의 임의의 합집합은 닫힌집합일 필요가 없으므로, 위의 명제에서 \(U\)를 닫힌집합으로 바꾼 주장은 성립하지 않는다. 한편, 따름정리 4에 의하여 다음의 명제 또한 얻는다.

명제 6 함수 \(f:X_1\times X_2 \rightarrow Y\)가 \((a_1,a_2)\in X_1\times X_2\)에서 연속이라면, 다음의 식

\[x_1\mapsto f(x_1, a_2),\qquad x_2\mapsto f(a_1,x_2)\]

으로 정의된 \(X_1\)에서 \(Y\), \(X_2\)에서 \(Y\)로의 함수들은 각각 점 \(x_1=a_1\), \(x_2=a_2\)에서 연속이다.

그러나 이 명제의 역은 성립하지 않는다.

내부와 폐포

이제 우리는 곱집합과 interior, closure의 관계를 알아본다. 우선 closure를 취하는 것은 곱집합에 대해 잘 행동한다. 즉 다음이 성립한다.

명제 7 Product space \(X=\prod_{i\in I} X_i\)와, \(X_i\)의 임의의 부분집합 \(A_i\)들이 주어졌다 하자. 그럼 다음 식

\[\prod_{i\in I} \cl A_i=\cl\left(\prod_{i\in I} A_i\right)\]

이 성립한다.

증명

우선 \(\prod_{i\in I}\cl A_i\)는 닫힌집합이다. 이는 다음의 식

\[\prod_{i\in I}\cl A_i=\bigcap_{i\in I}\pr_i^{-1}(\cl A_i)\]

과, projection들이 연속이므로 각각의 \(\pr_i^{-1}(\cl A_i)\)가 닫힌집합이라는 것, 그리고 닫힌집합들의 임의의 교집합이 닫힌집합이라는 것에 따른 것이다. 그럼 \(\prod A_i\subseteq \prod\cl A_i\)이므로 closure의 최소성에 의하여

\[\cl\left(\prod_{i\in I}A_i\right)\subseteq \prod_{i\in I}\cl A_i\]

이다.

거꾸로 \(x=(x_i)\in\prod_{i\in I}\cl A_i\)가 주어졌다 하고, \(x\)의 임의의 근방 \(V\)를 생각하자. 그럼 product topology의 base를 생각하면, \(x\in\prod U_i\subseteq V\)이고 유한 개의 \(i\)를 제외하면 \(U_i=X_i\)이도록 하는 열린집합들 \(U_i\)가 존재한다. 각각의 \(i\)에 대하여 \(x_i\in \cl A_i\)이고 \(U_i\)가 \(x_i\)의 근방이므로, §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 6에 의하여 \(U_i\cap A_i\neq\emptyset\)이고, 원소 \(a_i\in U_i\cap A_i\)를 택할 수 있다. 그럼 \(a=(a_i)\)는 \(V\cap \prod A_i\)의 원소이므로 \(x\)의 임의의 근방이 \(\prod A_i\)와 만나고, 다시 §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 6에 의하여 \(x\in \cl\left(\prod A_i\right)\)이다.

그러나 위의 명제는 interior에 대해서는 항상 성립하는 것은 아니며, \(I\)가 유한집합일 때만 성립한다.

명제 8 Index set \(I\)가 유한집합인 product space \(\prod_{i\in I} X_i\)와, \(X_i\)의 임의의 부분집합 \(A_i\)들이 주어졌다 하자. 그럼 다음 식

\[\prod_{i\in I} \interior A_i=\interior\left(\prod_{i\in I} A_i\right)\]

이 성립한다.

증명

\(I\)가 유한집합이므로 \(\prod_{i\in I}\interior A_i\)는 위에서 살펴본 product topology의 base에 속하는 열린집합이고, \(\prod A_i\)에 포함된다. 따라서 interior의 최대성에 의하여

\[\prod_{i\in I}\interior A_i\subseteq \interior\left(\prod_{i\in I}A_i\right)\]

이다.

거꾸로 \(x=(x_i)\in\interior\left(\prod A_i\right)\)라 하자. 그럼 base를 생각하면 \(x\in \prod U_i\subseteq \prod A_i\)이도록 하는 열린집합들 \(U_i\)가 존재한다. 각각의 \(j\in I\)를 고정하면, 임의의 \(y_j\in U_j\)에 대하여 \(x\)의 \(j\)번째 성분만 \(y_j\)로 바꾼 원소는 여전히 \(\prod U_i\)에 속하고 (다른 성분들은 \(x_i\in U_i\)), 따라서 \(\prod A_i\)에 속한다. 이 원소의 \(j\)번째 성분을 읽으면 \(y_j\in A_j\)이다. 즉 \(U_j\subseteq A_j\)이고, \(U_j\)가 열린집합이므로 \(x_j\in U_j\subseteq \interior A_j\)이다. 이것이 모든 \(j\)에 대해 성립하므로 \(x\in\prod_{i\in I}\interior A_i\)이다.

---

참고문헌

[Bou] N. Bourbaki, General Topology. Elements of mathematics. Springer, 1995.