곱집합의 성질

부분곱과 결합법칙

집합의 곱이 결합법칙을 만족한다는 이야기를 하기 위해서는 우선 부분곱을 정의해야 한다.

정의 1 Family \((A_i)_{i\in I}\)와 그 product \(\prod_{i\in I} A_i\)가 주어졌다고 하자. 그럼 index set의 부분집합 \(J\subseteq I\)에 대하여, \(\prod_{j\in J} A_j\)를 부분곱_{partial product}이라 부른다.

\(\prod_{i\in I}A_i\)의 부분곱 \(\prod_{j\in J}A_j\)가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 \(F\in\prod_{i\in I}A_i\)에 대하여,

\[f\circ\id_J=\biggl(F\circ\Delta_J, J, \bigcup_{j\in J} A_j\biggr)\]

은 새로운 함수이며, 각각의 \(j\)에 대하여 \((f\circ\id_J)(j)=f(j)\in A_j\)를 만족한다. 즉 \(F\circ\Delta_J\)는 \(\prod_{j\in J}A_j\)의 원소이다.

위의 문단에 의하여, \(F\mapsto F\circ\Delta_J\)는 \(\prod_{i\in I}A_i\)에서 \(\prod_{j\in J}A_j\)로의 함수를 정의한다. 이를 성분함수의 표기를 빌려 \(\pr_J\)로 적는다. 그럼 \(K\subseteq J\subseteq I\)에 대하여, 곱집합 \(\prod_{i\in I}A_i\)에서 부분곱 \(\prod_{j\in J}A_j\)로의 \(J\)번째 성분함수와, 곱집합 \(\prod_{j\in J}A_j\)에서 이 곱집합의 부분곱 \(\prod_{k\in K}A_k\)로의 \(K\)번째 성분함수

\[\prod_{i\in I}A_i\longrightarrow \prod_{j\in J}A_j\longrightarrow \prod_{k\in K}A_k\]

의 합성은 간단히 곱집합 \(\prod_{i\in I}A_i\)에서 이 곱집합의 부분곱 \(\prod_{k\in K}A_k\)로의 \(K\)번째 성분함수 \(\pr_K\)와 같다. \(\Delta_K=\Delta_J\circ\Delta_K\)이기 때문이다.

명제 2 모든 성분들이 공집합이 아닌 family \((A_i)_{i\in I}\)를 생각하고, \(J\subseteq I\)라 하자. 만일 \(g:J\rightarrow\bigcup_{i\in I} A_i\)가 \(g(j)\in A_j\)를 만족한다면, \(g\)의 extension \(f:I\rightarrow\bigcup_{i\in I} A_i\)가 존재하여 \(f(i)\in A_i\)가 성립한다.

증명

\(g=(G,J,\bigcup A_i)\)라 하자. 각각의 \(i\in I\setminus J\)에 대하여, \(A_i\)가 공집합이 아니므로 \(x_i\in A_i\)를 하나씩 뽑을 수 있다. 이제

\[F=G\cup\biggl(\bigcup_{i\in I\setminus J}\{(i, x_i)\}\biggr)\]

으로 정의하고 \(f=(F,I,\bigcup A_i)\)라 하면 원하는 결과를 얻는다.

명제 3 공집합이 아닌 index set \(I\)를 갖는 family \((A_i)_{i\in I}\)가 \(I\neq\emptyset\)가 주어졌다 하자. 만일 \((J_k)_{k\in K}\)이 \(I\)의 분할이라면, \(\prod_{i\in I}A_i\)에서 \(\prod_{k\in K}\left(\prod_{j\in J_k}A_j\right)\)로의 함수 \(f\mapsto (\pr_{J_k}(f))_{k\in K}\) 또한 전단사함수이다.

증명

\((J_k)_{k\in K}\)이 분할이므로, \(f_k:J_k\rightarrow \bigcup_{i\in I} A_i\)는 쌍마다 서로소인 정의역을 갖는 함수들의 family이고, 따라서 §집합의 합, ⁋명제 2를 적용하면 전단사함수를 얻는다.

위의 증명도 간결하지만, universal property를 이용하는 다음의 증명 또한 아름답다.

명제 3의 증명

표기법 상의 깔끔함을 위해 일괄적으로

• Index set \(K\)에 대한 곱집합 \(\prod_{k\in K}\left(\prod_{j\in J_k}A_j\right)\)의 \(k\)번째 성분함수

  \[\prod_{k\in K}\left(\prod_{j\in J_k}A_j\right)\rightarrow\prod_{j\in J_k}A_j\]

  을 \(\pr_k\),

• Index set \(J_k\)에 대한 곱집합 \(\prod_{j\in J_k}A_j\)의 \(j\)번째 성분함수

  \[\prod_{j\in J_k}A_j\rightarrow A_j\]

  도 \(\pr_j\),

• Index set \(I\)에 대한 곱집합 \(\prod_{i\in I}A_i\)의 \(i\)번째 성분함수

  \[\prod_{i\in I}A_i\rightarrow A_i\]

  도 \(\pr_i\)

으로 표기하자. 글자로 보았을 때는 약간의 혼동이 있을 수 있지만, diagram 상에서는 source와 target이 모두 명시되므로 혼동의 여지가 없다.

\((J_k)_{k\in K}\)는 \(I\)의 분할이므로, 각각의 \(i\in I\)마다 유일한 \(k\in K\)가 존재하여 \(i\in J_k\)이다. 이제 함수 \(\pr_{ik}\)를 다음의 합성

\[\pr_{ik}:\prod_{k\in K}\left(\prod_{j\in J_k}A_j\right)\overset{\pr_k}{\longrightarrow}\prod_{j\in J_k}A_j\overset{\pr_i}{\longrightarrow}A_i\]

으로 정의하자. 그럼 곱집합 \(\prod_{i\in I}A_i\)의 universal property로부터, 다음의 diagram을 commute하도록 하는 \(\phi:\prod_{k\in K}\left(\prod_{j\in J_k}A_j\right)\rightarrow\prod_{i\in I}A_i\)가 존재함을 안다.

비슷하게 index set \(K\)에 대한 곱집합 \(\prod_{k\in K}\left(\prod_{j\in J_k}A_j\right)\)의 universal property로부터, 다음의 diagram을 commute하게 하는 \(\psi:\prod_{i\in I}A_i\rightarrow\prod_{k\in K}\left(\prod_{j\in J_k}A_j\right)\)가 존재함을 안다.

그럼 \(\phi\circ\psi\)와 \(\psi\circ\phi\)가 각각 항등함수이고, 따라서 이들이 원하는 전단사함수가 된다.

예를 들어 \(\phi\circ\psi\)가 \(\prod_{i\in I}A_i\)에서 자기자신으로의 항등함수임을 보이자. 이를 위해서는 모든 \(i\in I\)에 대하여 다음의 diagram이 commute함을 보이면 충분하다.

곱집합의 universal property는 위의 diagram을 commute하게 하는 유일한 함수 \(\prod_{i\in I}A_i\rightarrow \prod_{i\in I}A_i\)가 존재한다는 것을 의미하는데, 당연하게 \(\prod_{i\in I}A_i\)에서 자기자신으로의 항등함수 또한 위의 diagram을 commute하게 하고 따라서 유일성에 의해 이 함수는 \(\phi\circ\psi\)와 같아야 한다.

이제

\[{\pr_i}\circ(\phi\circ\psi)=({\pr_i}\circ\phi)\circ\psi={\pr_{ik}}\circ\psi={\pr_i}\circ({\pr_k}\circ\psi)={\pr_j}\circ{\pr_{J_k}}=\pr_j\]

에서 원하는 결론을 얻는다. (마지막 등식은 \(\pr_j\)를 \(\{j\}\subseteq I\)로의 성분함수로 보았다.) 이 식은 복잡해보이지만, 그냥 다음의 diagram이 commute한다는 것을 식으로 쓴 것에 불과하다.

\((A_i)_{i\in I}\), \((B_i)_{i\in I}\)가 같은 index를 갖는 family이고, 함수들의 family \((g_i:A_i\rightarrow B_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. \(u_f:I\rightarrow\bigcup_{i\in I}B_i\)를 \(i\mapsto g_i(f(i))\)로 정의하면 \(u_f(i)\in B_i\)이고, 따라서 \(u_f\in\prod_{i\in I}B_i\)이다.

정의 4 위에서 정의한 함수 \(f\mapsto u_f\)를 \((g_i)\)들의 곱_product이라 하고, \(\prod_{i\in I}g_i\)으로 적는다.

명제 5 \((A_i)_{i\in I}\), \((B_i)_{i\in I}\), \((C_i)_{i\in I}\)가 세 family라 하고, \((f_i)_{i\in I}\), \((g_i)_{i\in I}\)가 각각 \(A_i\)에서 \(B_i\), \(B_i\)에서 \(C_i\)로의 함수들의 family라 하자. 그럼

\[\prod_{i\in I} (g_i\circ f_i)=\left(\prod_{i\in I} g_i\right)\circ\left(\prod_{i\in I}f_i\right)\]

이 성립한다.

증명

다음 두 개의 commutative diagram 이외에는 특별히 설명할 것이 없다.

그리고

\(\id_{A_i}\)들의 곱이 \(\id_{\prod A_i}\)라는 것은 자명하므로, 위의 명제에 의해 단사함수들의 곱은 단사함수이고 전사함수들의 곱은 전사함수라는 것 또한 명확하다.

연산들 사이의 분배법칙

한편, 둘 이상의 연산이 정의되어 있다면 분배법칙이 성립하는지가 중요한 관심사다.

명제 6 \(((A_{k,i})_{i\in J_k})_{k\in K}\)가 집합들의 family들의 family라 하자. 추가로 \(K\neq\emptyset\)이고, \(J_k\neq\emptyset\)가 모든 \(k\in K\)에 대해 성립한다고 하자. 그럼 \(I=\prod_{k\in K} J_k\neq\emptyset\)에 대하여,

\[\bigcup_{k\in K}\left(\bigcap_{i\in J_k}A_{k,i}\right)=\bigcap_{f\in I}\left(\bigcup_{k\in K}A_{k,f(k)}\right),\quad\bigcap_{k\in K}\left(\bigcup_{i\in J}A_{k,i}\right)=\bigcup_{f\in I}\left(\bigcap_{k\in K}A_{k,f(k)}\right)\]

이 성립한다.

증명

우선 \(x\in \bigcup_{k\in K}\left(\bigcap_{i\in J_k}A_{k,i}\right)\)라 하자. 우리는 \(x\in \bigcap_{f\in I}\left(\bigcup_{k\in K}A_{k,f(k)}\right)\), 즉 모든 \(f\in I\)에 대하여 \(x\in \bigcup_{k\in K}A_{k,f(k)}\)임을 보여야 한다. 어떤 \(k\in K\)에 대하여 \(x\in \bigcap_{i\in J_k}A_{k,i}\)이므로, \(x\in A_{k,f(k)}\)이다. 따라서 \(x\in \bigcup_{k\in K}A_{k,f(k)}\)가 모든 \(f\)에 대하여 성립하고, 따라서 포함관계가 성립한다.

반대쪽 포함관계를 보이기 위해 대우명제를 사용하자. 즉 \(x\not\in \bigcup_{k\in K}\left(\bigcap_{i\in J_k}A_{k,i}\right)\)라 하자. 그럼 모든 \(k\in K\)에 대하여, \(x\not\in \bigcap_{i\in J_k}A_{k,i}\)이다. 따라서 어떤 \(i\)가 존재하여, 모든 \(k\)에 대해 \(x\not\in A_{k,i}\)이다. 이제 \(f(k)\)가 그러한 \(i\)가 되도록 하는 \(f\in I\)를 잡으면, \(x\not\in\bigcup_{k\in K}A_{k,f(k)}\)이고 , 따라서 우변에 속하지 않는다. 두 번째 식도 이와 비슷하게 보이면 된다.

Product와 union, 그리고 product와 intersection 사이에도 다음과 같이 분배법칙이 성립하며, 이에 대한 증명은 위와 거의 같으므로 생략한다.

명제 7 \(((A_{k,i})_{i\in J_k})_{k\in K}\)가 집합들의 family들의 family이고, \(I\)를 위의 명제와 동일하게 정의하자. 그럼

\[\prod_{k\in K}\left(\bigcup_{i\in J_k}A_{k,i}\right)=\bigcup_{f\in I}\left(\prod_{k\in K}A_{k,f(k)}\right),\quad\prod_{k\in K}\left(\bigcap_{i\in J}A_{k,i}\right)=\bigcap_{f\in I}\left(\prod_{k\in K}A_{k,f(k)}\right)\]

가 성립한다.

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참고문헌

[Bou] N. Bourbaki, Theory of Sets. Elements of mathematics. Springer Berlin-Heidelberg, 2013.

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