군 스킴

이제 우리는 \(\Sch_{/S}\)의 group object, 즉 group scheme을 정의한다.

군 스킴

고전적으로 algebraic group은 group 구조를 가진 variety로서, 곱셈과 역원이 morphism인 것으로 정의되었다. ([대수다양체] §대수적 군, ⁋정의 1) 이를 scheme의 세계로 옮기기 위하여 \(\Sch_{/S}\)의 categorical product와 terminal object를 사용한다. 곧 \(\Sch_{/S}\)를 cartesian monoidal category로 보고 그 안의 group object를 생각한다.

정의 1 Scheme \(S\) 위의 group scheme_{군 스킴}은 \(\Sch_{/S}\)의 group object이다. 즉 group scheme \(G\)는 structure morphism \(\vartheta: G \rightarrow S\)를 가진 \(S\)-scheme \(G\)으로서, 이 위에 정의된 세 \(S\)-morphism

\[\mu_G: G\times_SG \rightarrow G,\qquad \iota_G: G \rightarrow G,\qquad \epsilon_G: S \rightarrow G\]

이 함께 주어져서 [범주론] §모노이드 대상, ⁋정의 3의 모든 조건들을 만족하는 것이다. 두 group scheme \(G, H\) 사이의 homomorphism은 이 구조를 보존하는 \(S\)-morphism이다.

정의 1은 group scheme을 \(\Sch_{/S}\) 내부의 구조로 규정한다. 한편, §점함자를 사용하면 이를 실제로 group으로 가져올 수 있는데, 임의의 test scheme \(T\)에 대해 정의된 \(T\)-point들의 집합 \(G(T)\)가 group이 되기 때문이다.

명제 2 \(S\)-scheme \(G\)가 group scheme이 되는 것은 적당한 functor \(\widetilde{h}_G:(\Sch_{/S})^\op\rightarrow\Grp\)가 주어져서 forgetful functor \(U:\Grp\rightarrow\Set\)과의 합성이 \(G\)의 functor of points \(h_G\)와 같아지는 것과 동치이다. 뿐만 아니라, 두 group scheme \(G,H\) 사이의 \(S\)-morphism \(\varphi:G\rightarrow H\)가 group scheme homomorphism인 것과 각각의 \(T\)에 대하여 \(\varphi_T:G(T)\rightarrow H(T)\)가 group homomorphism인 것은 동치이다.

증명

[범주론] §표현가능한 함자, ⁋정리 4 (Yoneda)에 의하여 Yoneda embedding \(h_{(-)}:\Sch_{/S}\rightarrow\Fun((\Sch_{/S})^\op,\Set)\)은 fully faithful하고, §점함자, ⁋명제 7에 의하여 finite product를 보존한다. 한편 functor category에서 group object의 구조는 pointwise하게 주어지므로, \(h_G\) 위의 group object 구조는 \(U\circ\widetilde{h}_G=h_G\)인 functor \(\widetilde{h}_G:(\Sch_{/S})^\op\rightarrow\Grp\)와 같은 데이터이다. 따라서 Yoneda embedding의 fully faithfulness는 \(G\) 위의 group object 구조와 이러한 functor \(\widetilde{h}_G\)를 일대일대응시키며, group object 사이의 morphism에도 같은 논의를 적용하면 마지막 주장도 따라온다.

다음은 자주 등장하는 몇몇 예시들이다.

예시 3 다음은 모두 \(\Spec \mathbb{Z}\) 위의 group scheme이다.

1. Additive group_덧셈군 \(\mathbb{G}_a=\Spec \mathbb{Z}[\x]=\mathbb{A}^1\). §점함자, ⁋명제 1에 의하여 \(\mathbb{G}_a(T)\cong \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)이며, 여기에 ring \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)의 덧셈을 주면 group이 된다. 임의의 morphism이 유도하는 사상은 ring homomorphism이므로 덧셈을 보존하고, 따라서 functoriality가 성립한다.

2. Multiplicative group_곱셈군 \(\mathbb{G}_m=\Spec \mathbb{Z}[\x, \x^{-1}]\). §점함자, ⁋명제 3에 의하여 \(\mathbb{G}_m(T)\cong \Gamma(T, \mathcal{O}_T)^\times\)이며, 여기에 가역원들의 곱셈을 준다.

3. \(n\)-th roots of unity \(\mu_n=\Spec \mathbb{Z}[\x]/(\x^n-1)\). §아핀스킴, ⁋정리 13의 adjunction에 의하여

   \[\mu_n(T)\cong \{a\in \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\mid a^n=1\}\]

   이며, \(a^n=1\)이면 \(a\)가 가역이므로 이는 \(\mathbb{G}_m(T)\)의 subgroup이다.

4. General linear group \(\GL_n=\Spec \mathbb{Z}[\x_{11},\ldots, \x_{nn}, \det{}^{-1}]\). 여기에서 \(\det\)은 행렬 \((\x_{ij})\)의 determinant이며, 이를 가역으로 만든 localization을 취한 것이다. 행렬이 가역인 것과 그 determinant가 가역인 것이 동치이므로

   \[\GL_n(T)=\GL(n;\Gamma(T,\mathcal{O}_T))\]

   이다. ([환론] §가역원과 영인자, ⁋예시 9) 특별히 \(T=\Spec A\)인 경우 \(\GL_n(T)=\GL(n; A)\)이다.

5. Special linear group \(\SL_n=\Spec \mathbb{Z}[\x_{11},\ldots, \x_{nn}]/(\det-1)\). 각각의 \(T\)에 대하여

   \[\SL_n(T)=\SL(n;\Gamma(T,\mathcal{O}_T))\]

   이다. 위와 마찬가지로, 특별히 \(T=\Spec A\)인 경우 \(\SL_n(T)=\SL(n; A)\)이다.

6. Constant group scheme. 임의의 finite group \(\Gamma\)에 대하여, \(\Gamma\)의 원소들로 index된 \(\Spec \mathbb{Z}\)들의 disjoint union

   \[\underline{\Gamma}=\coprod_{\gamma\in\Gamma}\Spec\mathbb{Z}=\Spec\Bigl(\prod_{\gamma\in\Gamma}\mathbb{Z}\Bigr)\]

   을 생각하면, 임의의 scheme \(T\)에 대하여 \(\underline{\Gamma}(T)\)는 위상공간 \(\lvert T\rvert\)에서 discrete topology가 주어진 topological group \(\Gamma\)로 가는 locally constant function들의 군이다. 특히 \(T\)가 connected인 경우 \(\underline{\Gamma}(T)\cong \Gamma\)이다.

위의 예시에서 각 경우의 group scheme의 구조는 명제 2를 사용하여 얻어진 것으로, 해당 명제의 유용성을 증명한다. 뿐만 아니라, 위의 예시는 \(\Spec \mathbb{Z}\) 위에서 정의한 것이지만 본질적으로 이는 모든 base \(S\)에서 정의한 것이다. §스킴 사이의 사상, ⁋예시 4 이후에서 보았듯 \(\Spec \mathbb{Z}\)는 \(\Sch\)의 terminal object로서, 임의의 scheme \(S\)마다 유일한 structure morphism \(p: S\rightarrow \Spec \mathbb{Z}\)가 존재하며, 이것이 유도하는 base change morphism

\[p^\ast: \Sch\rightarrow \Sch_{/S};\qquad X\mapsto X\times_\mathbb{Z}S\]

을 생각할 수 있으며, 이를 통해 \(\mathbb{Z}\) 위에서 정의된 group scheme \(G\)를 \(G_S=p^\ast G\)로 옮겨 \(S\)-scheme으로 볼 수 있기 때문이다. 명제 2의 관점에서 보자면, 이는 \(\widetilde{h}_G: \Sch^\op\rightarrow \Grp\) 이전에 다음의 functor

\[p_\ast: \Sch_{/S}\rightarrow \Sch;\qquad (T\rightarrow S)\mapsto (T\rightarrow S\rightarrow \Spec\mathbb{Z})\]

의 opposite functor \(p_\ast^\op\)를 합성하여 \(\widetilde{h}_{G_S}=\widetilde{h}_G\circ p_\ast^\op\)로 정의한 것과 같으며, 이 둘이 같다는 것이 adjunction

\[\Hom_S(T, p^\ast G)\cong \Hom_\mathbb{Z}(p_\ast T, G)\]

에 의해 보장되는 것이다. 이러한 방식으로 얻어지는 relative group schemes over \(S\)는 아래첨자를 사용하여 \(\mathbb{G}_{a,S}, \mathbb{G}_{m,S},\underline{\Gamma}_S,\mu_{n,S},\GL_{n,S},\SL_{n,S}\) 등으로 적고, 문맥상 base가 명확한 경우에는 첨자를 생략하고 \(\mathbb{G}_a, \mathbb{G}_m, \underline{\Gamma}\) 등으로 적기로 한다.

한편 위의 예시에서 주어진 것들은 모두 affine group scheme들이며, 이들이 정의된 방식 또한 명확하다. 뿐만 아니라, \(\mu_n\)을 제외한 예시들이 affine space 위에서 smooth인 것도 쉽게 보일 수 있다. 우선 \(\mathbb{G}_a\)는 affine line 그 자체이므로 별도의 논증이 필요없으며, \(\GL_n\)은 \(\det\)이 정의하는 \(n^2\)-dimensional affine space의 open subscheme \(D(\det)\)이며 그 특수한 경우 \(n=1\)이 \(\mathbb{G}_m\)이다. 마지막으로 \(\SL_n\)의 경우, [선형대수학] §행렬식의 존재성과 유일성, ⁋정리 12의 Laplace expansion으로부터 \(f=\det-1\)의 \(\x_{ij}\)에 대한 편미분이 \((i,j)\) 방향의 cofactor \(C_{ij}\)임을 확인할 수 있다. 따라서 §매끄러운 사상과 에탈 사상, ⁋정리 4 (Jacobian criterion)에 의해 그 Jacobian은 다음의 \(1\times n^2\) 행렬

\[J_f=(\partial f/\partial\x_{ij})_{i,j}=(C_{ij})_{ij}\]

로 주어진다. 이 때, \(\SL_n\)에 속하는 임의의 행렬에 대하여, 이 행렬의 \(i\)번째 행을 고정하고 Laplace expansion을 생각하면 항등식 \(\sum_j\x_{ij}C_{ij}=1\)이 성립하며 따라서 위 Jacobian의 성분들 중 \(C_{i1},\ldots, C_{in}\)이 생성하는 ideal이 전체 ring이 되므로 이는 모든 점에서 full rank를 가지고, 따라서 \(\SL_n\)은 그 base 위에서 relative dimension \(n^2-1\)의 smooth morphism이 된다.

한편 \(\mu_n\)은 \(n\)이 base에서 가역이면 finite étale이다. 반면 characteristic \(p\)인 field \(\mathbb{K}\) 위에서는 \(\mu_p\)와 \(\alpha_p=\ker(\Frob:\mathbb{G}_a\rightarrow\mathbb{G}_a)\)가 underlying topological space로는 한 점이지만 nonreduced인 infinitesimal group scheme이 된다. 이는 §매끄러운 사상과 에탈 사상, ⁋예시 14에서 inseparable extension의 geometric fiber에 nontrivial thickening이 남아 étale하지 않았던 것과 같은 현상으로, characteristic \(p\) 특유의 성질을 보여주는 또 다른 예시이다.

부분군 스킴

일반적으로 \(S\) 위의 group scheme \(G\)의 subgroup scheme은 group scheme \(H\)와 group scheme homomorphism인 monomorphism \(\iota:H\rightarrow G\)의 데이터이며, 특히 \(\iota\)가 closed embedding이면 이를 closed subgroup scheme이라 부른다. [리 이론] §리 군, ⁋정리 5 (Cartan’s closed subgroup theorem)가 Lie group의 closed subgroup에 canonical Lie group structure를 주듯, group scheme에서도 주로 다루는 algebraic subgroup들은 closed subgroup scheme으로 나타난다. 예를 들어 group scheme homomorphism을 정의하고 나면 가장 먼저 살펴보는 것은 그 kernel이다. Group의 kernel은 항등원의 preimage이므로, scheme의 언어에서 이는 identity morphism을 따른 fiber product가 된다.

정의 4 \(S\) 위의 group scheme homomorphism \(\varphi:G\rightarrow H\)에 대하여 그 kernel을 fiber product

\[\ker \varphi=G\times_{\varphi, H, \epsilon_H}S\]

으로 정의한다. 여기에서 \(\epsilon_H:S\rightarrow H\)는 정의 1의 identity morphism이다.

§점함자, ⁋명제 7로 계산하면 각각의 \(S\)-scheme \(T\)에 대하여

\[(\ker \varphi)(T)=G(T)\times_{H(T)}S(T)=\{g\in G(T)\mid \varphi_T(g)=\epsilon_{H,T}\}\]

이므로, 이 정의는 통상적인 kernel의 정의를 그대로 옮긴 것이다. 우변이 \(G(T)\)의 subgroup이고 그 대응이 \(T\)에 대해 자연스러우므로, 명제 2에 의하여 \(\ker \varphi\)는 group scheme이다. 남는 것은 \(\ker \varphi \rightarrow G\)가 closed embedding인지의 여부인데, 이는 \(\epsilon_H\)가 closed embedding인 것에 달려 있고 그 조건이 곧 separatedness이다. (§값매김환, ⁋정의 3)

명제 5 \(S\) 위의 group scheme homomorphism \(\varphi: G \rightarrow H\)에 대하여, \(H \rightarrow S\)가 separated이면 \(\ker \varphi\)는 \(G\)의 closed subgroup scheme이다.

증명

먼저 closed embedding은 base change에 대해 보존된다. (§닫힌 부분스킴, ⁋명제 3) 이제 \(\vartheta_H:H\rightarrow S\)를 structure morphism이라 하고, 다음의 diagram을 생각하자.

여기서 \(\epsilon_H\)가 \(\vartheta_H\)의 section이므로 \(\vartheta_H\circ\epsilon_H=\id_S\)이고, 따라서

\[(\epsilon_H\circ \vartheta_H,\id_H)\circ\epsilon_H=(\epsilon_H\circ \vartheta_H\circ\epsilon_H,\epsilon_H)=(\epsilon_H,\epsilon_H)=\Delta_{H/S}\circ\epsilon_H\]

이므로 이 사각형은 commute한다. 뿐만 아니라, 임의의 scheme \(T\)와 morphism \(a,b:T\rightarrow H\)에 대하여

\[(\epsilon_H\circ \vartheta_H,\id_H)\circ a=\Delta_{H/S}\circ b \iff(\epsilon_H\circ \vartheta_H\circ a,a)=(b,b) \iff a=b=\epsilon_H\circ \vartheta_H\circ a\]

이므로 \(a=b=\epsilon_H\circ t\)이도록 하는 \(t\)는 \(\vartheta_H\circ a\)로 유일하게 결정된다. 즉, 위 diagram은 Cartesian이며, 왼쪽의 \(\epsilon_H\)는 \(\Delta_{H/S}\)의 base change이다. 이제 \(\vartheta_H\)가 separated이므로 \(\Delta_{H/S}\)는 closed embedding이고, 따라서 \(\epsilon_H\)도 closed embedding이다. 다시 \(\ker\varphi\rightarrow G\)는 \(\epsilon_H\)를 \(\varphi\)를 따라 base change한 것이므로 closed embedding이다. 위에서 이미 \(\ker\varphi\)가 group scheme임을 확인하였으므로 이는 \(G\)의 closed subgroup scheme이다.

Affine scheme 사이의 morphism은 항상 separated이므로 (§값매김환, ⁋보조정리 5), affine base 위의 affine group scheme에 대해서는 명제 5의 가정이 자동으로 성립한다. 가장 중요한 예시 중 하나는 \(n\)제곱 morphism \((-)^n:\mathbb{G}_m \rightarrow \mathbb{G}_m\), 곧 각각의 \(T\)에서 \(a\mapsto a^n\)인 homomorphism이다. 공역의 좌표를 \(\y\)로 적으면 이는 ring 수준에서 \(\y\mapsto \x^n\)에 대응하고, 항등원 morphism은 \(\y\mapsto 1\)인 counit에 대응하므로

\[\ker(-)^n=\Spec\left(\mathbb{Z}[\x,\x^{-1}]\otimes_{\mathbb{Z}[\y,\y^{-1}]}\mathbb{Z}\right)=\Spec \mathbb{Z}[\x,\x^{-1}]/(\x^n-1)=\Spec \mathbb{Z}[\x]/(\x^n-1)=\mu_n\]

이다. (§올곱, ⁋보조정리 2) 여기에서 \(\mathbb{Z}=\mathbb{Z}[\y,\y^{-1}]/(\y-1)\)이므로 tensor product는 \(\x^n-1\)이 생성하는 ideal로 나눈 quotient가 되고, 여기에서는 \(\x\)가 이미 가역이므로 localization을 떼어낼 수 있다. 즉 \(\mu_n\)은 \(\mathbb{G}_m\)의 closed subgroup scheme이다.

호프 대수

이제 base와 group scheme 자신이 모두 affine인 경우를 보자. \(G=\Spec B\), \(S=\Spec A\)라 하면 \(\Spec\)은 contravariant이므로 정의 1의 세 morphism \(\mu_G,\epsilon_G,\iota_G\)는 coordinate ring 위에서 방향이 뒤집힌 \(A\)-algebra homomorphism

\[\Delta:B\rightarrow B\otimes_AB,\qquad \epsilon:B\rightarrow A,\qquad \iota:B\rightarrow B\]

으로 나타난다. Group object의 결합법칙·항등원·역원 조건도 각각 coassociativity·counit·antipode 조건으로 뒤집히는데, 우리는 마침 이러한 대상을 정의한 적이 있다. ([범주론] §모노이드 대상, ⁋정의 7) 그럼 symmetric monoidal category \((\rMod{A},\otimes_A,A)\)의 Hopf monoid object를 Hopf algebra_{호프 대수}라고 부르며, 우리가 다루는 경우에서는 \(B\)가 commutative ring이라 가정하면 충분하다. 그럼 다음을 기대하는 것이 자연스럽다.

정리 6 Ring \(A\)에 대하여, \(\Spec\)은 commutative Hopf \(A\)-algebra들의 category와 \(\Spec A\) 위의 affine group scheme들의 category 사이의 anti-equivalence를 준다. 이 대응 아래에서 \(\Delta,\epsilon,\iota\)는 각각 \(\mu_G,\epsilon_G,\iota_G\)에 대응한다.

증명

§아핀스킴, ⁋정리 13에 의하여 commutative \(A\)-algebra들과 \(\Spec A\) 위의 affine scheme들은 anti-equivalent이고, 이 대응은 tensor product와 \(A\)를 각각 fiber product와 terminal object로 옮긴다. (§올곱, ⁋보조정리 2) 따라서 정의 1의 데이터 \(\mu_G,\epsilon_G,\iota_G\)는 arrow를 뒤집으면 위의 데이터 \(\Delta,\epsilon,\iota\)가 된다. 이 동치가 합성과 항등사상을 보존하므로 group object의 세 공리는 각각 Hopf algebra의 세 공리로 옮겨지고, 같은 논리를 구조를 보존하는 morphism에 적용하면 주장한 anti-equivalence를 얻는다.

특히 affine group scheme \(G=\Spec B\)와 임의의 \(A\)-algebra \(E\)에 대하여, \(G\)의 \(E\)-point들의 group \(G(E)=\Hom_{\cAlg{A}}(B,E)\)의 구조는 \(B\)의 Hopf algebra structure로 완벽하게 설명할 수 있다. 즉, 곱셈은 \(g\ast h=\mu_E\circ(g\otimes h)\circ\Delta\), 항등원은 \(\eta_E\circ\epsilon\), 역원은 \(g\mapsto g\circ\iota\)로 정의하면 되고, 여기서 \(\mu_E:E\otimes_AE\rightarrow E\)는 곱셈이고 \(\eta_E:A\rightarrow E\)는 structure morphism이다.

군 스킴의 표현론

한편 group object를 다룰 때 유용한 도구는 표현론으로, 우리는 [표현론] §유한군의 표현론, ⁋명제 4에서 ordinary group \(G\)의 representation을 group algebra 위의 module, 곧 \(G\)-module로 해석하였고, 이 관점은 Lie group의 representation에서도 유용하게 사용되었다. Group scheme에서도 이를 살펴보는 것이 타당한 일일 것이다.

이를 위해서는 예시 3에서 그러했듯 임의의 \(S\)-scheme \(p:T\rightarrow S\)마다 어떤 \(\mathcal{O}_T\)-module \(\mathcal{E}_T\) 위의 작용을 생각하고, 이것이 \(S\)-morphism \(\varphi: T'\rightarrow T\)를 통한 pullback과 compatible하도록 하면 된다. 이를 묶어주기 위해서는 \(\mathcal{O}_S\)-module \(\mathcal{E}\)를 하나 고정한 후, 모든 \(p:T\rightarrow S\)에 대하여 \(\mathcal{E}_T=p^\ast \mathcal{E}\)로 두면 된다.

그럼 이제 이렇게 정의된 \(\mathcal{E}_T\)가 \(G(T)\)-module이라는 것은 group homomorphism

\[\varrho_T:G(T)\rightarrow \Aut_{\mathcal{O}_T}(\mathcal{E}_T)\]

이 주어진 것이다. 이제 이것이 위와 같은 방식으로 pullback과 compatible하기 위해서는 이러한 homomorphism들이 \(T\)에 대해 natural해야 한다. 이 조건을 제대로 쓰기 위해서는 \(S\)의 group scheme \(G\)와, \(S\) 위에 정의된 \(\mathcal{O}_S\)-module \(\mathcal{E}\)에 대하여 다음의 group-valued functor

\[\rAut(\mathcal{E}): (\Sch_{/S})^\op\rightarrow\Grp,\qquad T\mapsto\Aut_{\mathcal{O}_T}(\mathcal{E}_T)\]

를 생각한 후, 이들 사이의 morphism (즉 natural transformation) \(\widetilde{\rho}: \widetilde{h}_G\Rightarrow\rAut(\mathcal{E})\)을 주면 되며, 그럼 위에서 설명한 것과 마찬가지로 \(\widetilde{\rho}\)의 \(T\)-component가 바로 앞에서 요구한 group homomorphism \(\varrho_T\)이다.

이제 [범주론] §표현가능한 함자의 결과들을 적용하기 위해, 이들 두 functor 각각에 forgetful functor \(U: \Grp\rightarrow\Set\)를 합성하고, 이를 통해 \(\widetilde{\rho}:\widetilde{h}_G\Rightarrow \rAut(\mathcal{E})\)를 두 \(\Set\)-valued functor \(h_G = \Hom_S(-, G)\)와 \(F = U \circ \rAut(\mathcal{E})\) 사이의 natural transformation \(\rho: h_G \Rightarrow F\)로 보자. 즉 각각의 \(S\)-scheme \(T\)에 대하여, \(\rho_T\)는 group homomorphism \(\widetilde{\rho}_T:G(T)\rightarrow \Aut_{\mathcal{O}_T}(\mathcal{E}_T)\)를 underlying set들 사이의 함수로 생각한 것이다. 그럼 [범주론] §표현가능한 함자, ⁋정리 4 (Yoneda)에 의하여 \(\rho\)는 universal element \(\id_G\in h_G(G)\)에서의 값

\[\lambda:=\rho_G(\id_G)\in F(G)=\Aut_{\mathcal{O}_G}(\mathcal{E}_G)\]

하나로 완전히 결정된다. 여기에서 \(\vartheta:G\rightarrow S\)에 대해 \(\mathcal{E}_G=\vartheta^\ast\mathcal{E}\)이다. 실제로 임의의 \(S\)-scheme \(T\)와 \(T\)-point \(g\in G(T)=\Hom_S(T, G)\)에 대하여, 다음의 diagram

을 생각하면

\[\varrho_T(g)=\rho_T(g)=\rho_T(g^\ast\id_G)=g^\ast(\rho_G(\id_G))=g^\ast\lambda\]

이므로 임의의 \(g\in G(T)\)의 작용 \(\varrho_T(g)\)는 이 하나의 automorphism \(\lambda\)의 pullback으로 복원된다.

문제는 [범주론] §표현가능한 함자, ⁋정리 4 (Yoneda)는 \(\Set\)-valued functor들에 대한 결과이므로, 임의의 \(\lambda\in\Aut_{\mathcal{O}_G}(\mathcal{E}_G)\)에 대하여 위의 방식으로 정의된 함수 \(\varrho_T: G(T)\rightarrow \Aut_{\mathcal{O}_T}(\mathcal{E}_T)\)는 집합들 사이의 함수일 뿐, 자동으로 group homomorphism이 되지는 않는다는 것이다. 다행히 \(\varrho_T\)가 group homomorphism이도록 하는 조건은 명시적으로 쓸 수 있으며, 이는 다음과 같이 \(\lambda\)에 대한 두 조건으로 번역된다.

1. 우선 임의의 \(g, h\in G(T)\)에 대하여 \(gh=\mu_G\circ(g, h)\)이므로, 조건 \(\varrho_T(gh)=\varrho_T(g)\circ\varrho_T(h)\)은 다음의 조건

   \[(g, h)^\ast(\mu_G^\ast\lambda)=(g, h)^\ast(\pr_1^\ast\lambda\circ\pr_2^\ast\lambda)\]

   와 같다. 이것이 모든 \(T\)와 \((g, h)\)에 대해 성립해야 하므로, universal pair \((g, h)=\id_{G\times_S G}\)를 대입하면 \(G\times_SG\) 위에서 다음의 식

   \[\mu_G^\ast\lambda=\pr_1^\ast\lambda\circ\pr_2^\ast\lambda\]

   를 만족해야 한다.

2. 다음으로, \(G(T)\)의 항등원은 \(e_T=\epsilon_G\circ \vartheta_T\)이므로 조건 \(\varrho_T(e_T)=\id_{\mathcal{E}_T}\)은 다음의 조건

   \[\vartheta_T^\ast(\epsilon_G^\ast\lambda)=\id_{\mathcal{E}_T}\]

   와 같다. 여기에 \(T=S, \vartheta_T=\id_S\)를 대입하면 \(S\) 위에서

   \[\epsilon_G^\ast\lambda=\id_\mathcal{E}\]

   를 만족해야 한다.

이러한 두 조건을 만족하는 \(\mathcal{O}_G\)-module automorphism

\[\lambda:\vartheta^\ast\mathcal{E}\xrightarrow{\sim}\vartheta^\ast\mathcal{E}\]

을 \(\mathcal{E}\)의 \(G\)-linearization이라 부른다. 이 때, 이 두 조건은 각각 universal pair \(\id_{G\times_S G}\)와 \(\id_S\)에서 얻어진 것이므로, 임의의 \(S\)-scheme \(T\)와 \(g, h\in G(T)\)에 대하여는 \((g, h)^\ast\) 및 \(\vartheta_T^\ast\)를 취해 pullback하면 원래의 group homomorphism의 조건들이 복원된다. 즉, \(G\)-linearization을 주는 것과 \(G\)의 representation을 주는 것은 정확히 같은 데이터이다. 특히 \(\mathcal{E}\)가 finite locally free이면 \(\rAut(\mathcal{E})\)는 general linear group scheme \(\GL(\mathcal{E})\)로 represent되므로, 이 데이터는 group scheme homomorphism \(G\rightarrow\GL(\mathcal{E})\)와 같으며, 이러한 이유에서 이를 linearization이라 부른다.

이제 우리는 특별히 \(S=\Spec A\)인 상황을 본다. 그럼 특히 quasi-coherent \(\mathcal{O}_S\)-module \(\mathcal{E}\)는 어떤 \(A\)-module \(V\)에서 나오는 것이므로 \(\mathcal{E}=\widetilde{V}\)라 할 수 있다. 이 상황에서 위의 정의들을 다시 풀어보면, affine test scheme \(\vartheta_T:T=\Spec E\rightarrow S\)에 대해서는

\[\vartheta_T^\ast\mathcal{E}\cong\widetilde{V\otimes_AE},\qquad \Aut_{\mathcal{O}_T}(\vartheta_T^\ast\mathcal{E})\cong\Aut_E(V\otimes_AE)\]

가 된다. 이를 대수적으로 풀어쓰면 다음과 같다.

정의 7 Ring \(A\)와 \(A\)-module \(V\)가 주어졌다 하고, \(\Spec A\) 위의 group scheme \(G\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(G\)의 \(V\) 위로의 linear representation_선형표현이란 각각의 \(A\)-algebra \(E\)마다 group homomorphism

\[\varrho_E: G(E) \rightarrow \Aut_E(V\otimes_AE)\]

이 주어지고 이것이 \(E\)에 대해 자연스러운 것이다. 두 representation \((V, \varrho)\)와 \((W, \varrho')\) 사이의 morphism은 \(A\)-linear map \(u: V \rightarrow W\)로서, 각각의 \(E\)와 \(g\in G(E)\)에 대하여 \(\varrho'_E(g)\circ(u\otimes\id_E)=(u\otimes\id_E)\circ\varrho_E(g)\)인 것이다.

여기에서 \(\varrho\)의 naturality는 임의의 \(A\)-algebra homomorphism \(\phi: E \rightarrow E'\)에 대하여 다음의 diagram

이 commute한다는 것이다.

이제 \(G=\Spec B\)라 하면, 위의 정의에서 \(G\)-module 구조를 대수적인 언어, 즉 \(B\)의 언어로 표현할 수 있다. 물론 이 과정에서 \(\Spec\)의 contravariance에 의해, 우리는 comodule structure를 고려해야 한다.

정의 8 Hopf \(A\)-algebra \(B\)에 대하여, \(B\)-comodule_쌍대모듈이란 \(A\)-module \(V\)와 \(A\)-linear map \(\rho: V \rightarrow V\otimes_AB\)로서, 다음 두 조건을 만족하는 것이다.

1. \((\rho\otimes\id_B)\circ\rho=(\id_V\otimes\Delta)\circ\rho\).
2. Identification \(V\otimes_AA\cong V\) 아래에서 \((\id_V\otimes\epsilon)\circ\rho=\id_V\).

두 comodule 사이의 morphism은 \(A\)-linear map \(u: V \rightarrow W\)로서 \(\rho_W\circ u=(u\otimes\id_B)\circ\rho_V\)인 것이다.

두 조건은 Hopf algebra의 coassociativity와 counit 조건을 \(V\)가 받아들이는 형태로 옮긴 것이며, \(V=B\)이고 \(\rho=\Delta\)인 경우가 자명한 예이다. 그럼 다음 정리도 기대함직하다.

정리 9 Ring \(A\) 위의 affine group scheme \(G=\Spec B\)와 \(A\)-module \(V\)에 대하여, \(G\)의 \(V\) 위로의 linear representation과 \(V\) 위의 \(B\)-comodule 구조는 서로 일대일대응한다. 더 나아가, 이는 이들 category 사이의 equivalence를 준다.

증명

§아핀스킴, ⁋정리 13에 의하여 임의의 \(A\)-algebra \(E\)에 대해 \(G(E)=\Hom_{\cAlg{A}}(B, E)\)이고, 정리 6 직후에 적은 대로 그 group 구조는 \(g\ast h=\mu_E\circ(g\otimes h)\circ\Delta\), 항등원 \(\eta_E\circ\epsilon\), 역원 \(g\circ\iota\)로 주어진다.

Representation \(\{\varrho_E\}_E\)가 주어졌다 하자. Universal element \(\id_B\in G(B)\)를 택하여 \(\sigma=\varrho_B(\id_B)\)라 하고

\[\rho: V \rightarrow V\otimes_AB;\qquad \rho(v)=\sigma(v\otimes 1)\]

로 정의한다. 임의의 \(g\in G(E)\)는 \(A\)-algebra homomorphism \(g:B\rightarrow E\)이고 \(G(g)(\id_B)=g\)이므로, naturality에 의하여

\[\varrho_E(g)(v\otimes 1)=(\id_V\otimes g)(\rho(v))\tag{$\ast$}\]

를 얻으므로 representation 전체가 \(\rho\) 하나로 복원된다. 이 식을 항등원 \(\epsilon\in G(A)\)과 두 universal element \(b\mapsto b\otimes 1,1\otimes b\)의 곱에 적용하면, group action의 항등원 조건과 결합법칙은 각각 \(\rho\)의 counit 조건과 coassociativity가 된다.

거꾸로 comodule structure \(\rho\)가 주어지면 \((\ast)\)의 우변으로 \(\varrho_E(g)\)를 정의하고 \(E\)-linear map으로 확장할 수 있다. Coassociativity와 counit 조건은 각각 \(\varrho_E(g)\circ\varrho_E(h)=\varrho_E(g\ast h)\)와 \(\varrho_E(\eta_E\circ\epsilon)=\id\)을 주며, antipode 조건에 의하여 \(\varrho_E(g\circ\iota)\)가 \(\varrho_E(g)\)의 inverse가 된다. Naturality도 \((\ast)\)에서 바로 따라오므로 \(\{\varrho_E\}_E\)는 representation이고, 두 구성이 서로 역인 것과 morphism 조건의 대응도 같은 식에서 따라온다.

가장 기본적인 경우는 다음과 같다.

예시 10 우리는 정리 9를 이용해 torus \(\mathbb{G}_m=\Spec A[\x,\x^{-1}]\)의 linear representation을 분류한다. 우리 주장은 \(\mathbb{G}_m\)의 \(V\) 위로의 representation은 \(V\)의 \(\mathbb{Z}\)-grading

\[V=\bigoplus_{n\in \mathbb{Z}}V_n\]

과 일대일대응한다는 것이다.

우선 임의의 \(A\)-linear map \(\rho: V \rightarrow V\otimes_AB\)는 \(B\)의 기저 \(\{\x^n\}_{n\in \mathbb{Z}}\)에 대하여 유일하게

\[\rho(v)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\rho_n(v)\otimes\x^n\]

꼴로 전개된다. 여기서 각 \(\rho_n: V \rightarrow V\)는 \(A\)-linear map이고, 각 \(v\in V\)마다 \(0\)이 아닌 \(\rho_n(v)\)는 유한개뿐이다.

이제 \(\rho\)가 정의 8의 comodule 조건을 만족할 필요충분조건을 구해보자. 우선 counit 조건의 경우, identification \(V\otimes_AA\cong V\) 아래에서 \((\id_V\otimes\epsilon)\circ\rho=\id_V\)이어야 하므로

\[v=(\id_V\otimes\epsilon)(\rho(v))=(\id_V\otimes\epsilon)\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}\rho_n(v)\otimes\x^n\right)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\rho_n(v)\epsilon(\x^n)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\rho_n(v)\]

이어야 한다. 이것이 모든 \(v\in V\)에 대해 성립하므로 \(\sum_{n\in\mathbb{Z}}\rho_n=\id_V\)를 얻는다. Coassociativity 조건 \((\rho\otimes\id_B)\circ\rho=(\id_V\otimes\Delta)\circ\rho\)의 경우, 좌변과 우변을 각각 계산하면

\[\begin{aligned}(\rho\otimes\id_B)(\rho(v))&=(\rho\otimes\id_B)\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}\rho_n(v)\otimes\x^n\right)=\sum_{m, n\in\mathbb{Z}}\rho_m(\rho_n(v))\otimes\x^m\otimes\x^n,\\ (\id_V\otimes\Delta)(\rho(v))&=(\id_V\otimes\Delta)\left(\sum_{k\in\mathbb{Z}}\rho_k(v)\otimes\x^k\right)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\rho_k(v)\otimes\x^k\otimes\x^k\end{aligned}\]

이다. \(B\otimes_AB\)의 basis \(\{\x^m\otimes\x^n\}_{m, n\in\mathbb{Z}}\)는 일차독립이므로, 양변의 계수를 비교하면 \(m=n\)인 곳에서 조건 \(\rho_n\circ\rho_n=\rho_n\)를, 나머지 \(m\neq n\)인 곳에서는 \(\rho_m\circ\rho_n=0\)임을 안다. 즉 \(\{\rho_n\}_{n\in\mathbb{Z}}\)는 합이 \(\id_V\)인 pairwise orthogonal idempotent들의 family이며, 이들을 이용하여 \(n\in\mathbb{Z}\)마다 \(V_n:=\rho_n(V)=\{v\in V\mid \rho(v)=v\otimes\x^n\}\)으로 정의하면, \(V\)는 direct sum decomposition

\[V=\bigoplus_{n\in\mathbb{Z}}V_n\]

을 가진다. 거꾸로 이러한 \(\mathbb{Z}\)-grading이 주어지면, 각 \(v=\sum_n v_n\) (\(v_n\in V_n\))에 대해 \(\rho(v)=\sum_n v_n\otimes\x^n\)으로 정의했을 때 위의 계산을 역으로 거쳐 \(\rho\)가 \(B\)-comodule 구조를 줌을 알 수 있다.

이제 이를 통해 \(B\)-comodule structure가 완전히 분류되었으므로, 남은 것은 이를 기하적인 언어 \(\varrho\)로 옮기는 것이다. 우리는 임의의 \(A\)-algebra \(E\)에 대하여

\[\mathbb{G}_m(E)=\Hom_{\cAlg{A}}(A[\x,\x^{-1}], E)\cong E^\times\]

임을 이미 살펴보았으며, 이 때 unit \(u\in E^\times\)는 \(\x\mapsto u\)로 정의되는 \(A\)-algebra homomorphism \(g_u: A[\x,\x^{-1}]\rightarrow E\)에 대응한다. 이때 \(g_u(\x^n)=u^n\)이므로, \(v\in V_n\)에 대하여 \((\ast)\)의 식은

\[\varrho_E(u)(v\otimes 1)=(\id_V\otimes g_u)(\rho(v))=(\id_V\otimes g_u)(v\otimes\x^n)=v\otimes g_u(\x^n)=u^n(v\otimes 1)\]

이 된다. 즉 \(E\)-linearity에 의하여, \(u\in\mathbb{G}_m(E)=E^\times\)는 \(V_n\otimes_AE\)의 원소 위에 정확히 \(u^n\)배로 작용한다.

예시 10의 \(V_n\)을 weight \(n\)의 부분이라 부르며, 이 분해는 torus의 작용을 다룰 때 표준적인 도구가 된다. Torus \(\mathbb{G}_m^r\)의 경우 같은 계산을 반복하면 grading이 \(\mathbb{Z}^r\)에 의해 매겨지며, 그 각각의 성분이 torus의 한 character에 대응한다.

Torsor

우리가 group scheme을 생각하는 이유는 (당연히) scheme 위에 group action을 정의하기 위해서이다.

정의 11 \(S\) 위에 정의된 group scheme \(G\)와, \(S\)-scheme \(X\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(G\)의 \(X\) 위로의 left action은 \(S\)-scheme morphism \(\varrho: G\times_SX \rightarrow X\)로서, 각각의 \(S\)-scheme \(T\)에 대하여 유도되는 map

\[\varrho_T: G(T)\times X(T) \rightarrow X(T)\]

이 \(G(T)\)의 집합 \(X(T)\) 위로의 action인 것이다.

그럼 다시 명제 2의 정신에 의하여, 위의 조건은 정확히 group action이 가져야 할 다음의 두 조건

\[\varrho\circ(\mu_G\times\id_X)=\varrho\circ(\id_G\times\varrho),\qquad \varrho\circ(\epsilon_G\circ p, \id_X)=\id_X\]

이 성립하는 것과 동치이다. 여기에서 \(p: X \rightarrow S\)는 structure morphism이다.

Scheme 위에 group action이 주어지면, 기하학적으로 자연스러운 다음 관심사는 orbit들의 공간, 곧 quotient \(\overline{X}=X/G\)와 quotient morphism \(\varpi: X \rightarrow \overline{X}\)를 구성하고 그 구조를 이해하는 것이다. 그러나 이는 위상공간에서조차 항상 기대되는 성질이 아니며, 우리는 적어도 이 action이 각 orbit 위에서 free, simply transitive하게 작동하기를 원한다. 이 경우 각 orbit의 점 \(\overline{x}\in \overline{X}\) 위의 fiber \(\varpi^{-1}(\overline{x})\)는 \(G\)와 같은 모양을 가지게 되며, 이 경우 \(X\rightarrow \overline{X}\)를 \(G\) 모양의 fiber들을 모아둔 것으로 해석할 수 있다. 이제 문제는 [대수적 위상수학] §분류공간, ⁋정의 1에서와 비슷하게, 각각의 orbit마다 \(G\)의 항등원에 대응되는 기준점을 골라줄 수가 없다는 것으로, 이 때문에 각 fiber는 \(G\) 자체가 아니라, \(G\)가 작용하는 방식만 기억하는 fiber가 된다.

정의 12 \(S\) 위의 group scheme \(G\)와 left action \(\varrho: G\times_SP \rightarrow P\)를 가진 \(S\)-scheme \(P\)에 대하여, \(P\)가 \(G\)-torsor라는 것은 다음 두 조건이 성립하는 것이다.

1. \(P \rightarrow S\)는 faithfully flat, locally of finite presentation이다. (§평탄사상, ⁋정의 1, §스킴 사상의 성질들, ⁋정의 18)

2. Action과 projection이 유도하는 morphism

   \[(\varrho, \pr_2): G\times_SP \rightarrow P\times_SP\]

   이 isomorphism이다.

\(G\)-torsor \(P\)가 trivial하다는 것은, left translation action을 가진 \(G\) 자신과 \(G\)-equivariant \(S\)-scheme isomorphism이 존재하는 것이다.

둘째 조건은 각각의 test scheme마다

\[G(T)\times P(T) \rightarrow P(T)\times P(T);\qquad (g, q)\mapsto (g\cdot q, q)\]

이 bijection인 것, 즉 simply transitive 조건을 반영하는 것이다. 첫째 조건은 대략적으로는 local triviality를 잘 적기 위해 필요한 것인데, §충실평탄하강에서 보았듯 algebraic geometry에서는 Zariski open cover만으로는 충분한 정보를 담지 못하므로, \(P \rightarrow S\) 자신이 fppf covering의 역할을 하도록 요구하는 것이다. 여기서 fppf는 fidèlement plat de présentation finie의 약자이다.

한편 [대수적 위상수학] §분류공간, ⁋명제 2에서와 마찬가지로, torsor의 (global한) triviality는 global section의 존재와 정확히 동치이다.

명제 13 \(S\) 위의 \(G\)-torsor \(P\)에 대하여, \(P\)가 trivial한 것과 \(P(S)\neq \emptyset\)인 것, 곧 \(P \rightarrow S\)가 section을 가지는 것은 동치이다.

증명

\(P\)가 trivial하면 \(G\)의 항등원 \(\epsilon_G\in G(S)\)에 대응하는 원소가 \(P(S)\)의 원소를 주므로 section이 존재한다.

거꾸로 section \(s\in P(S)\)가 주어졌다 하자. [대수적 위상수학] §분류공간, ⁋명제 2에서와 마찬가지로 합성

\[\varphi: G\cong G\times_SS\xrightarrow{\ \id_G\times s\ }G\times_SP\xrightarrow{\ \varrho\ }P\]

를 생각하면, 각각의 \(S\)-scheme \(T\)에서 \(\varphi_T(g)=g\cdot s_T\)이다. 정의 12의 둘째 조건에 의하여 \(g\mapsto g\cdot s_T\)는 \(G(T)\)에서 \(P(T)\)로의 bijection이므로, [범주론] §표현가능한 함자, ⁋정리 4 (Yoneda)에 의하여 \(\varphi\)는 isomorphism이다. 또 \(\varphi_T(g'g)=(g'g)\cdot s_T=g'\cdot\varphi_T(g)\)이므로 \(\varphi\)는 \(G\)-equivariant이며, 따라서 \(P\)는 trivial하다.

명제 13은 torsor가 원래의 base \(S\) 위에서 trivial한지의 여부가 오로지 global section \(S \rightarrow P\)의 존재에 달려 있음을 말한다. 따라서 global section이 없는 torsor는 \(S\) 위에서 결코 trivial하지 않다. 반면 torsor \(P\)를 사상 \(P \rightarrow S\)를 통해 자기 자신 위로 base change하면, diagonal morphism \(\Delta: P \rightarrow P\times_SP\)가 항상 section 역할을 해주므로 \(P\) 위에서는 \(P\times_SP \cong G\times_SP\)로 언제나 trivial해진다. 이는 위상수학에서 principal bundle을 total space 위로 끌어올리면 항상 trivial해지는 것과 마찬가지 현상이다.

명제 14 \(S\) 위의 \(G\)-torsor \(P\)에 대하여 다음이 성립한다.

1. 둘째 projection \(P\times_SP \rightarrow P\)는 \(P\) 위의 group scheme \(G_P=G\times_SP\)에 대한 torsor이며 trivial하다. 곧 \(P\)는 fppf covering \(\{P \rightarrow S\}\) 위에서 자명해진다.
2. \(G \rightarrow S\)가 affine이고 \(P \rightarrow S\)가 quasi-compact이면 (§스킴 사상의 성질들, ⁋정의 2) \(P \rightarrow S\) 또한 affine이다.

증명

1번을 보자. Flat, locally of finite presentation, surjective 성질과 fiber product의 isomorphism은 모두 base change에 대해 보존되므로 (§평탄사상, ⁋명제 3, §올곱, ⁋명제 16), 둘째 projection \(P\times_SP \rightarrow P\)는 \(P\) 위의 \(G_P\)-torsor이다. 그런데 diagonal morphism \(\Delta: P \rightarrow P\times_SP\)가 이 projection의 section이므로, 명제 13에 의하여 이 torsor는 trivial하다. 곧 \(P\) 위에서 \(P\times_SP\cong G\times_SP\)이다. 한편 \(P \rightarrow S\)는 정의에 의하여 fppf covering이다.

2번을 보자. \(S\)의 affine open subset \(V\)를 택하면 \(V\)는 quasi-compact이고 (§스펙트럼, ⁋보조정리 12), \(P \rightarrow S\)가 quasi-compact이므로 그 preimage 또한 quasi-compact이다. 따라서 \(\{P \rightarrow S\}\)는 §충실평탄하강, ⁋정의 9의 fpqc covering이 된다. 이제 affine은 base change에 대해 보존되므로 \(G\times_SP \rightarrow P\)는 affine이고, 1번에 의해 \(P\times_SP \rightarrow P\) 역시 affine이다. Affine이라는 성질은 fpqc covering에 대해 base에서 국소적이므로 (§충실평탄하강, ⁋명제 13), \(P \rightarrow S\) 자신이 affine이다.

위의 증명에서 볼 수 있듯, 명제 14의 둘째 항에 붙은 quasi-compact 가정은 fppf covering \(\{P \rightarrow S\}\)를 fpqc covering으로 올리기 위한 것으로, 일반적으로 quasi-compact fppf covering은 항상 fpqc covering이다. 만일 \(P\)가 Noetherian scheme인 경우에는 §스킴 사상의 성질들, ⁋명제 4에 의하여 fppf 사상이 자동으로 quasi-compact가 되어 이 가정이 언제나 성립한다.

더 일반적으로, scheme \(X\) 위의 covering family \(\{f_i: U_i \rightarrow X\}\)에 대하여, \(f_i\)가 open immersion인 것을 Zariski covering, flat이고 unramified인 것을 étale covering, flat이고 locally of finite presentation인 것을 fppf covering, flat이고 quasi-compact인 것을 fpqc covering이라 부른다. 그럼 그 정의에 의해 주어진 covering의 성질들 사이의 함의관계

\[\text{Zariski}\implies\text{étale}\implies\text{fppf}\]

가 성립한다. 위의 명제 14는 이 함의관계를 사용하는 방식을 부분적으로 보여준다. 위의 증명에서 살펴보았듯 quasi-compact fppf covering은 fpqc covering이 되며, 이 사실을 이용하여 §충실평탄하강, ⁋명제 13에서 살펴본 fpqc covering의 affineness 관련 주장을 fppf로 옮겨왔다.

직관적으로 명제 14는 torsor \(P\)가 base \(S\) 위에서는 \(G\)와 다를 수 있어도, fppf covering \(\{P \rightarrow S\}\) 위로 올라가면 자명한 torsor \(G\times_SP\)가 된다는 것을 보여준다. 바꿔말하면, torsor는 §충실평탄하강, ⁋정의 4의 descent datum을 통해 \(G\)를 fppf covering을 따라 붙여서 얻는 대상으로 이해할 수 있으며, \(G\)가 affine인 경우 §충실평탄하강, ⁋정리 12에 의하여 이러한 데이터가 실제로 \(S\) 위의 scheme을 준다.

예시 15

1. \(S=\Spec\mathbb{R}\)-scheme \(p:P=\Spec \mathbb{C}\rightarrow S\)를 생각하고, \(\vartheta:G\rightarrow S\)를 finite group \(\mathbb{Z}/2\)이 정의하는 constant group \(S\)-scheme

   \[G=\underline{(\mathbb{Z}/2)}_S=S\amalg S=\Spec(\mathbb{R}\times\mathbb{R})\]

   을 생각하자. (예시 3) 이는 두 점 집합이며 각각의 점들이 \(\mathbb{R}\)의 정보를 갖고 있는 group scheme이다. 이제 이것이 또 다른 한점집합인 \(\Spec \mathbb{C}\) 위에 작용하는 상황을 본다. 이를 위해 complex conjugation을 \(c\)라 표기하면, 이 위의 group scheme action \(\varrho: G\times_SP\rightarrow P\)를 다음의 diagram

   으로 정의할 수 있다. 직관적으로 \(\varrho\)는 한 성분 \(P\)는 \(\id_P\)로 그대로 옮겨지되, 다른 성분 \(P\)는 \(c\)가 유도하는 사상으로 옮겨지는 것이다.

   그럼 이는 \(G\)-torsor이다. 이를 위해 정의 12의 조건들을 확인해보면 우선 \(\mathbb{C}\)가 \(\mathbb{R}\) 위의 rank \(2\) free module이므로 \(P \rightarrow S\)는 faithfully flat이고 locally of finite presentation이다. 둘째 조건의 경우, \(G\times_SP=\Spec(\mathbb{C}\times\mathbb{C})\)이고 \(P\times_SP=\Spec(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C})\)인데, \(\varrho\)에 대응하는 algebra homomorphism을 대수적으로 써 보면 이는

   \[\rho:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\times\mathbb{C};\qquad z\mapsto(z,\bar z)\]

   로 주어지는 것이다. 그럼 \((\varrho, \pr_2)\)은 대수적으로

   \[\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\times\mathbb{C};\qquad z\otimes w\mapsto (zw, \bar zw)\]

   이고, 이것이 \(\mathbb{R}\)-algebra isomorphism이므로 정의 12의 둘째 조건이 성립한다.

   반면 \(\mathbb{R}\)-algebra homomorphism \(\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}\)은 존재하지 않으므로 \(P(S)=\emptyset\)이고, 명제 13에 의하여 이 torsor는 trivial하지 않다.

2. Base scheme \(S\) 위의 multiplicative group scheme \(G=\mathbb{G}_{m, S}=\Spec_S \mathcal{O}_S[\x, \x^{-1}]\)와 invertible sheaf \(\mathcal{L}\)을 생각하자. [대수적 위상수학] §분류공간, ⁋명제 4에서 vector bundle의 각 fiber에서 기저(frame)를 모아 principal bundle을 구성했듯, 대수기하에서도 \(\mathcal{L}\)로부터 일종의 frame bundle인 \(\mathbb{G}_m\)-torsor \(P_\mathcal{L}\)을 구성할 수 있다. 우선 \(\mathcal{L}\)은 정의상 Zariski-locally free of rank \(1\)이므로, local trivialization \(\varphi_i: \mathcal{L}\vert_{U_i} \xrightarrow{\sim} \mathcal{O}_{U_i}\)를 갖는 affine Zariski open cover \(\{U_i\}\)가 존재한다. 이 때의 transition function들을

   \[g_{ij} = \varphi_i\circ \varphi_j^{-1}\in \Gamma(U_i\cap U_j, \mathcal{O}_S^\times)=\mathbb{G}_m(U_i\cap U_j)\]

   라 하자. 각 \(U_i\) 위의 scheme \(P_i = \mathbb{G}_{m, U_i} = \Spec \mathcal{O}_S(U_i)[\x, \x^{-1}]\)들을 overlap \(U_i\cap U_j\) 위에서 transition \(g_{ij}\)의 곱셈

   \[(t, u)\sim (g_{ij}(u)t, u)\]

   로 붙이면, §스킴, ⁋보조정리 9에 의하여 \(S\)-scheme \(p:P_\mathcal{L}\rightarrow S\)가 잘 정의된다. 이제 이 위의 group scheme action \(\varrho: \mathbb{G}_m\times_S P_\mathcal{L} \rightarrow P_\mathcal{L}\)은 각 \(U_i\) 위에서 \(\mathbb{G}_m\)의 곱셈

   \[\mathbb{G}_{m, U_i}\times_{U_i} \mathbb{G}_{m, U_i} \longrightarrow \mathbb{G}_{m, U_i};\qquad (a, t)\mapsto at\]

   로 정의된다. 우리 주장은 이것이 \(G\)-torsor라는 것이다.

   우선 국소적으로 \(P_\mathcal{L}\vert_{U_i}\cong \mathbb{G}_{m, U_i} \rightarrow U_i\)는 faithfully flat이고 of finite presentation이므로, 이 성질들이 base의 국소적 성질임에 따라 \(p:P_\mathcal{L}\rightarrow S\)는 faithfully flat이고 locally of finite presentation이다. 정의 12의 둘째 조건의 사상 \((\varrho, \pr_2): \mathbb{G}_m\times_S P_\mathcal{L} \rightarrow P_\mathcal{L}\times_S P_\mathcal{L}\)의 경우, 이는 각 \(U_i\) 위에서 다음의 morphism

   \[\mathbb{G}_{m, U_i}\times_{U_i}\mathbb{G}_{m, U_i} \longrightarrow \mathbb{G}_{m, U_i}\times_{U_i}\mathbb{G}_{m, U_i};\qquad (a, t)\mapsto (at, t)\]

   에 해당하며, 대수적으로 coordinate ring 사이의 함수

   \[\mathcal{O}(U_i)[\x^{\pm 1}, \y^{\pm 1}]\rightarrow \mathcal{O}(U_i)[\x^{\pm 1}, \y^{\pm 1}];\qquad \x\mapsto \x\y, \y\mapsto \y\]

   로 주어지는 것이다. 이는 \(\x\mapsto \x\y^{-1}\), \(\y\mapsto \y\)를 그 inverse로 갖는 isomorphism이므로, \((\varrho, \pr_2)\)는 isomorphism이다.

   따라서 \(P_\mathcal{L}\)은 \(S\) 위의 \(\mathbb{G}_m\)-torsor이며, 명제 13에 의하여 \(P_\mathcal{L}\)이 trivial한 것과 \(\mathcal{L}\cong \mathcal{O}_S\)인 것이 동치임을 확인할 수 있다.

   이 gluing이 작동하는 방식을 cohomology 관점에서 들여다보면 \(P_\mathcal{L}\)을 붙이는 transition data \(g_{ij}\in \Gamma(U_i\cap U_j, \mathcal{O}_S^\times)\)들은 \(U_i\cap U_j\cap U_k\) 위에서 정확히 Čech 1-cocycle condition \(g_{ij}g_{jk}=g_{ik}\)를 만족한다. 또한 각 \(U_i\) 위에서 local trivialization \(\varphi_i\)의 base를 \(0\)이 되지 않는 함수 \(c_i\in \Gamma(U_i, \mathcal{O}_S^\times)\)만큼 바꾸면 새 transition data는 \(c_i g_{ij} c_j^{-1}\)이 되므로, trivialization의 선택에 따른 차이는 정확히 Čech 1-coboundary에 해당한다. 따라서 이 transition data는 Čech cohomology의 class \([g_{ij}]\in \check{H}^1(\{U_i\}, \mathcal{O}_S^\times)\)를 정하며, 이 class의 sheaf cohomology로의 image는 \(\mathcal{L}\)의 isomorphism class \([\mathcal{L}]\in H^1_\Zar(S, \mathcal{O}_S^\times)\cong \Pic(S)\)에 대응한다.

   특기할만한 사실은 이 gluing이 Zariski open set의 단계에서 이루어졌다는 것이다. 구별을 위해 Zariski open set들에 대한 (일상적인) sheaf cohomology를 \(H^1_\Zar(S, \mathcal{O}_S^\times)\)로 적으면, 임의의 Zariski covering은 fppf covering이며, 자연스러운 inclusion

   \[H^1_\Zar(S, \mathcal{O}_S^\times)\hookrightarrow H^1_\fppf(S, \mathbb{G}_m)\]

   이 존재함이 알려져 있다. 특히 만일 \(H^1_\fppf(S, \mathbb{G}_m)=0\)이라면 \(H^1_\Zar(S, \mathcal{O}_S^\times)=0\)이 강제된다. 흥미로운 것은 일반적인 group scheme \(G\)에 대해서는 위와 같은 포함관계 \(H^1_\Zar(S, G)\hookrightarrow H^1_\fppf(S, G)\)가 strict일 수 있다는 것으로, 이는 fppf covering 위에서는 locally trivial이지만 Zariski open cover 위에서는 trivial하지 않은 더 비틀린 \(G\)-torsor들이 존재할 수 있음을 뜻하며, 첫째 예시의 \(\mathbb{Z}/2\)-torsor \(P=\Spec \mathbb{C}\rightarrow \Spec \mathbb{R}\)가 정확히 이러한 경우이다. 이 상황에서 \(H^1_\Zar(\Spec \mathbb{R}, \mathbb{Z}/2)=0\)이지만 \(H^1_\fppf(\Spec \mathbb{R}, \mathbb{Z}/2)\cong \mathbb{Z}/2\)가 되어 진포함관계 \(H^1_\Zar \subsetneq H^1_\fppf\)를 이룬다.

   반면 특별히 \(G=\mathbb{G}_m\)인 경우에는 임의의 scheme \(X\)에 대하여 \(H^1_\fppf(X, \mathbb{G}_m)\cong \Pic(X)\)인 Grothendieck의 Hilbert theorem 90이 성립한다. 특히 local ring 위의 모든 invertible module은 rank \(1\) free module이므로, 스킴의 각 점 \(s\in S\)에 대하여 \(H^1_\fppf(\Spec \mathcal{O}_{S,s}, \mathbb{G}_m)=0\)이다. 각 점에서의 trivialization은 어떤 Zariski open neighborhood로 확장되므로, 임의의 fppf \(\mathbb{G}_m\)-torsor는 어떤 Zariski open cover 위에서 이미 trivialize되고 따라서 invertible sheaf의 frame bundle \(P_\mathcal{L}\)과 isomorphism이 된다. 즉, \(\mathbb{G}_m\)에 대해서는 위의 포함관계가 strict하지 않고 isomorphism이 되어

   \[H^1_\fppf(S, \mathbb{G}_m)\cong H^1_\Zar(S, \mathcal{O}_S^\times)\cong \Pic(S)\]

   이 성립한다.

예시 15에서 보듯, affine group scheme \(G\)에 대하여 covering 위에서 \(G\)-torsor를 붙이는 transition data의 equivalence class들은 \(1\)차 cohomology set \(H^1(S, G)\) (fppf topology에서는 \(H^1_\fppf(S, G)\))를 이룬다. \(G\)가 abelian이 아닌 경우 \(H^1(S, G)\)는 군 구조를 갖지 않는 pointed set이지만, 여전히 \(S\) 위의 \(G\)-torsor들의 isomorphism class 전체를 분류한다. 한편 torsor들을 단순한 집합으로 세는 대신 이들이 이루는 groupoid를 하나의 기하학적 대상으로 다룰 수도 있는데, field \(\mathbb{K}\) 위에서 \(\mathbb{G}_m\)-torsor를 분류하는 \([\Spec \mathbb{K}/\mathbb{G}_m]\)과 같은 quotient stack이 바로 그렇게 얻어지는 대상으로서 stack 이론의 출발점이 된다.

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참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.