스킴
닫힌 부분스킴
Ideal sheaf로부터 정의되는 closed subscheme과 vanishing scheme
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§스킴, ⁋보조정리 2에서 우리는 affine scheme \(\Spec A\)에 대하여, 임의의 원소 \(f\)가 open affine subscheme \(D(f)\cong \Spec A_f\)를 정의하는 것을 살펴보았으며, 특히 이 두 structure sheaf를 비교하기 위해 우리는 \(\epsilon: A \rightarrow A_f\)로부터 얻어지는
\[(\Spec\epsilon)^\sharp: \mathcal{O}_{\Spec A} \rightarrow (\Spec \epsilon)_\ast \mathcal{O}_{\Spec A_f}\]에 [위상수학] §층, ⁋보조정리 11을 적용하여
\[(\Spec\epsilon \vert^{D(f)})^\sharp: \mathcal{O}_{D(f)} \rightarrow (\Spec\epsilon\vert^{D(f)})_\ast \mathcal{O}_{\Spec A_f}\]을 얻고, \(\Spec A_f\)가 \(\Spec A\)의 열린집합 \(D(f)\)와 isomorphic하다는 사실로부터 이것이 isomorphism이라는 사실을 얻을 수 있었다.
한편 §스펙트럼, ⁋명제 9의 둘째 결과에 의해, affine scheme \(\Spec A\)와 \(A\)의 ideal \(\mathfrak{a}\)가 주어지면 \(\Spec\) functor를 통해
\[\Spec\pi: \Spec A/\mathfrak{a}\rightarrow \Spec A\]가 주어지고, 이 때 \(\Spec\pi\)는 injective이며 그 image는 닫힌집합 \(Z(\mathfrak{a})\)가 된다는 것을 안다. 이 경우에도 위에서와 마찬가지로 canonical decomposition
\[\Spec A/\mathfrak{a}\overset{\Spec\pi\vert^{Z(\mathfrak{a})}}{\longrightarrow} Z(\mathfrak{a}) \overset{\iota}{\longrightarrow}\Spec A\]을 생각한 후,
\[(\Spec\pi)^\sharp: \mathcal{O}_{\Spec A} \rightarrow (\Spec\pi)_\ast \mathcal{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}}\]로부터 \(Z(\mathfrak{a})\)에서 정의된 sheaf들의 morphism
\[\iota^{-1} \mathcal{O}_{\Spec A} \rightarrow (\Spec\pi\vert^{Z(\mathfrak{a})})_\ast \mathcal{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}}\]를 만들 수 있지만, 우리는 \(Z(\mathfrak{a})\)에 scheme structure를 정의하지도 않았고, 따라서 \(\iota^{-1}\mathcal{O}_{\Spec A}\)와 \(\mathcal{O}_{Z(\mathfrak{a})}\) 사이의 관계를 모를 뿐더러, 이것이 isomorphism이 된다는 보장도 없다. 실제로 이는 isomorphism이 되지 않을 가능성이 훨씬 큰데, \(\iota^{-1}\mathcal{O}_{\Spec A}\)는 \(\Spec A\)의 structure sheaf에서 닫힌집합 \(Z(\mathfrak{a})\)에 대한 위상적인 데이터만을 사용하여 정의된 것이지만, \((\Spec\pi)_\ast\mathcal{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}}\)는 ring \(A/\mathfrak{a}\)에 대한 대수적인 정보도 가지고 있기 때문이다.
예시 1 예를 들어 field \(\mathbb{K}\)를 고정하고, affine \(1\)-line \(\mathbb{A}_\mathbb{K}^1=\Spec \mathbb{K}[\x]\)을 생각하자. 그럼 다음의 canonical surjection
\[\pi_1:\mathbb{K}[\x] \rightarrow \mathbb{K}[\x]/(\x)\cong \mathbb{K},\qquad \pi_2:\mathbb{K}[\x] \rightarrow \mathbb{K}[\x]/(\x^2)\]들이 존재하며, 구체적으로 \(\pi_1\)과 \(\pi_2\)는 각각 \(\x\mapsto 0+(\x)\)와 \(\x\mapsto \x+(\x^2)\)을 통해 정의된다.
한편 \(\mathbb{K}[\x]/(\x)\cong \mathbb{K}\)이므로 \(\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x)\)는 한 점 \((0)\)만을 가진다. 마찬가지로 \(\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x^2)\) 또한 한 점만을 가진다. 이는 \(\mathbb{K}[\x]/(\x^2)\)의 prime ideal과 \(\x^2\)을 포함하는 \(\mathbb{K}[\x]\)의 prime ideal 사이의 일대일대응이 존재하고, \(\mathbb{K}[\x]\)는 principal ideal domain이므로, \(\mathbb{K}[\x]\)의 prime ideal을 \((p(\x))\)라 쓴다면 이 ideal이 \(\x^2\)을 포함하기 위해서는 \(p(\x)\)가 \(\x^2\)을 나눠야 하기 때문에 반드시 \(p(\x)=\x\)여야 함을 안다.
따라서 이들이 정의하는 scheme morphism
\[\Spec\pi_1:\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x) \rightarrow \Spec \mathbb{K}[\x],\qquad \Spec\pi_2:\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x^2) \rightarrow \Spec \mathbb{K}[\x]\]을 생각하면, 연속함수로서 \(\Spec\pi_1\)은 \(\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x)\)의 유일한 한 점 \((0)\)을 \(\Spec \mathbb{K}[\x]\)의 한 점 \((\x)\)으로, \(\Spec\pi_2\)는 \(\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x^2)\)의 유일한 한 점 \((\x)\)를 \(\Spec \mathbb{K}[\x]\)의 한 점 \((\x)\)으로 보내는 것을 안다. 즉 연속함수로서 이들은 같은 함수를 정의하지만, 물론 \(\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x)\)와 \(\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x^2)\)는 scheme으로서 isomorphic하지 않다.
당연히 우리가 바라는 structure sheaf는 대수적인 정보를 포함하는 \((\Spec\pi)_\ast \mathcal{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}}\)의 형태이며, 이것이 \(\iota^{-1}\mathcal{O}_{\Spec A}\)와 어떠한 관계가 있는지는 이 글의 말미에서 살펴보게 된다.
닫힌 부분스킴
위에서 살펴본 것과 같이, closed subscheme에 대한 우리의 model은 canonical projection \(\pi: A \rightarrow A/\mathfrak{a}\)와, 이로부터 나오는 scheme morphism
\[(\Spec \pi, (\Spec\pi)^\sharp): \Spec A/\mathfrak{a} \rightarrow\Spec A\]이다. 이 때 \(\Spec\pi\)는 \(\Spec A\)의 닫힌집합과 \(\Spec A/\mathfrak{a}\) 사이의 homeomorphism을 주는 injective continuous map이고, \(\Spec\pi^\sharp: \mathcal{O}_{\Spec A} \rightarrow (\Spec\pi)_\ast \mathcal{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}}\)는 §아핀스킴, ⁋명제 9에서 얻어진다.
한편, ring homomorphism \(\pi: A \rightarrow A/\mathfrak{a}\)에서 가장 중요한 성질은 \(\pi\)가 surjective라는 것이며, 실제로 임의의 surjective ring homomorphism \(\phi: A \rightarrow B\)가 주어지면 first isomorphism theorem에 의하여
\[B=\im\phi\cong A/\ker\phi\]이므로 이 성질이 \(\pi\)를 정확하게 characterize한다. 한편 [가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋명제 4를 생각하면, \(\pi\)의 surjectivity는 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에서의 localization \(\pi_\mathfrak{p}: A_\mathfrak{p} \rightarrow (A/\mathfrak{a})_{\mathfrak{p}}\)이 surjective인지를 살펴보아 확인할 수 있으며 이는 기하적으로는 affine scheme \(\Spec A\)에서의 임의의 점 \(\mathfrak{p}\)에서의 stalk을 살펴보는 것과 같고, 따라서 [위상수학] §층, ⁋명제 15에 의해 \((\Spec\pi)^\sharp\)이 surjective인 것과 같다.
정의 2 Scheme morphism \(\iota: Z \rightarrow X\)가 closed embedding닫힌 몰입이라는 것은 \(\iota\)가 연속함수로서 \(Z\)와 \(X\)의 닫힌집합 사이의 homeomorphism이고, sheaf morphism \(\iota^\sharp: \mathcal{O}_X \rightarrow \iota_\ast \mathcal{O}_Z\)가 surjective인 것이다.
\(X\)로의 두 closed embedding \(\iota: Z \rightarrow X\)와 \(\iota': Z' \rightarrow X\)에 대하여 isomorphism \(\theta: Z' \rightarrow Z\)가 존재하여 \(\iota'=\iota\circ \theta\)이도록 할 수 있다면 이 둘을 서로 equivalent하다 하고, 이 equivalence class를 \(X\)의 closed subscheme닫힌 부분스킴이라 부른다.
연속함수 \(\iota\)에 대한 조건은 자명한 것이며, \(\iota^\sharp\)에 대한 직관 또한 기하적인 해석이 가능한데, 그것은 \(Z\)의 함수들, 더 정확하게는 \(\iota(Z)\)의 함수들은 모두 \(X\)의 함수를 \(Z\)로 제한하여 얻어진 것이어야 한다는 것이다. 혹은, 반대로 말하면 \(Z\)의 임의의 함수가 주어졌을 때 이를 각 점의 근방에서 국소적으로 \(X\)의 함수로 확장하는 것이 가능해야 한다는 것이다. 여기서 sheaf의 전사성은 stalk에 대한 조건이므로 대역적인 확장을 뜻하지는 않는다. 가령 \(X=\mathbb{P}^1\)과 그 안의 두 점으로 이루어진 reduced closed subscheme \(Z\)를 생각하면 \(\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=\mathbb{K}\)에서 \(\Gamma(Z,\mathcal{O}_Z)=\mathbb{K}\times \mathbb{K}\)로 가는 사상은 전사가 아니다. 한편 \(\iota\)가 open embedding인 경우와 대조해 볼 만하다. 이 경우 \(\iota^\sharp:\mathcal{O}_X \rightarrow \iota_\ast\mathcal{O}_Z\) 자체는 isomorphism이 아니다. 가령 \(X=\mathbb{A}^1_k=\Spec k[t]\)와 그 열린부분 \(Z=D(t)=\Spec k[t,t^{-1}]\)을 생각하면 \((\iota_\ast\mathcal{O}_Z)(X)=k[t,t^{-1}]\)이라 \(k[t] \rightarrow k[t,t^{-1}]\)은 전사가 아니다. 올바른 진술은 \(\iota\)가 \(Z\)를 열린집합으로 옮기므로 \(\iota^{-1}\mathcal{O}_X\cong\mathcal{O}_Z\), 곧 \(\iota(Z)\)의 각 점에서의 stalk 사이에 isomorphism이 유도된다는 것이다.
이 정의는 자연스러운 것이지만, 우리가 앞선 글에서 정의한 scheme morphism의 성질들과는 약간 결이 다르다. 따라서 우리는 이와 동치인 다음 조건을 살펴본다.
명제 3 Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.
- \(\varphi\)가 closed embedding이다.
- \(\varphi\)가 affine morphism이고, \(Y\)의 임의의 affine open subset \(V\cong \Spec B\)가 주어질 때마다, 그 preimage \(\varphi^{-1}(V)\cong \Spec A\)에 대하여 \(B \rightarrow A\)가 surjective이다.
증명
우선 둘째 조건을 가정하고 \(\varphi\)가 closed embedding임을 보이자. \(Y\)를 affine open subset들 \(\{V_i=\Spec B_i\}\)로 덮으면, 가정에 의하여 \(\varphi^{-1}(V_i)\cong \Spec A_i\)이며 이에 대응하는 \(\beta_i: B_i \rightarrow A_i\)가 surjective이다. 그럼 first isomorphism theorem에 의하여 \(\mathfrak{b}_i=\ker\beta_i\)라 둘 때 \(A_i\cong B_i/\mathfrak{b}_i\)이고, 따라서 \(\varphi\)를 \(\varphi^{-1}(V_i)\)로 제한한 것은 canonical projection \(\pi: B_i \rightarrow B_i/\mathfrak{b}_i\)가 정의하는 \(\Spec\pi\)이다.
이제 §스펙트럼, ⁋명제 9에 의하여 \(\Spec\pi\)는 injective이고 그 image는 닫힌집합 \(Z(\mathfrak{b}_i)\)이며, \(\Spec\pi\)는 이 image 위로의 homeomorphism이다. 우선 이로부터 \(\varphi\)가 injective인 것을 안다. 실제로 \(\varphi(x)=\varphi(x')\)이라면 이 점을 포함하는 \(V_i\)를 택할 때 \(x,x'\in \varphi^{-1}(V_i)\)이고, \(\varphi\)를 \(\varphi^{-1}(V_i)\)로 제한한 것이 injective이기 때문이다. 또 각각의 \(i\)에 대하여 \(\varphi(X)\cap V_i=Z(\mathfrak{b}_i)\)가 \(V_i\)의 닫힌집합이고 \(\{V_i\}\)가 \(Y\)의 open cover이므로 \(\varphi(X)\)는 \(Y\)의 닫힌집합이다. 마지막으로 \(X\)의 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여, \(\varphi\)가 injective인 것으로부터
\[\varphi(U)\cap V_i=\varphi(U\cap \varphi^{-1}(V_i))\]이고 우변은 \(\varphi(X)\cap V_i\)의 열린집합이므로, \(\varphi(U)\)는 \(\varphi(X)\)의 열린집합이다. 즉 \(\varphi\)는 \(X\)와 \(Y\)의 닫힌집합 \(\varphi(X)\) 사이의 homeomorphism이다.
다음으로 \(\varphi^\sharp\)이 surjective인 것을 보이자. [위상수학] §층, ⁋명제 15에 의하여 이는 각각의 \(y\in Y\)에서 stalk을 확인하면 충분하다. 만일 \(y\not\in \varphi(X)\)라면, \(\varphi(X)\)가 닫힌집합이므로 \(\varphi(X)\)와 만나지 않는 \(y\)의 열린근방 \(W\)가 존재하고, 이 때 \((\varphi_\ast \mathcal{O}_X)(W)=\mathcal{O}_X(\emptyset)=0\)이므로 \((\varphi_\ast \mathcal{O}_X)_y=0\)이 되어 볼 것이 없다. 이제 \(y=\varphi(x)\)라 하자. \(\varphi\)가 image 위로의 homeomorphism이므로, \(x\)를 포함하는 \(X\)의 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여 \(\varphi(U)=W\cap \varphi(X)\)이도록 하는 \(Y\)의 열린집합 \(W\ni y\)가 존재하고 이 때 \(\varphi^{-1}(W)=U\)이다. 즉 \(y\)의 열린근방들의 preimage들은 \(x\)의 열린근방들 사이에서 cofinal하며, 따라서
\[(\varphi_\ast \mathcal{O}_X)_y=\varinjlim_{W\ni y}\mathcal{O}_X(\varphi^{-1}(W))\cong \mathcal{O}_{X,x}\]이다. 이제 \(y\in V_i\)인 \(i\)를 택하고 \(y\)에 해당하는 \(B_i\)의 prime ideal을 \(\mathfrak{q}\), \(x\)에 해당하는 \(A_i\)의 prime ideal을 \(\mathfrak{p}=\mathfrak{q}/\mathfrak{b}_i\)라 하면, §아핀스킴, ⁋보조정리 8에 의하여 \(y\)에서의 stalk 사이의 morphism은 \(\beta_i\)의 localization
\[(B_i)_\mathfrak{q} \rightarrow (A_i)_\mathfrak{p}\cong (B_i/\mathfrak{b}_i)_\mathfrak{q}\]이다. 그런데 localization은 exact functor이므로 ([가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋명제 2) 이 morphism은 surjective이고, 따라서 \(\varphi^\sharp\)은 surjective이다. 즉 \(\varphi\)는 closed embedding이다.
반대 방향은 형식적이지 않다. \(\varphi\)가 closed embedding이라 가정하고, \(Y\)의 affine open subset \(V=\Spec B\)를 고정한 후 \(W=\varphi^{-1}(V)\)라 쓰자. 앞선 논증에서와 마찬가지로 \(\varphi\)가 image 위로의 homeomorphism이라는 사실로부터, 임의의 \(\mathfrak{q}=\varphi(x)\in \varphi(X)\cap V\)에 대하여 \((\varphi_\ast \mathcal{O}_X)_\mathfrak{q}\cong \mathcal{O}_{X,x}\)이고 \(\varphi(X)\) 바깥의 점에서는 \((\varphi_\ast \mathcal{O}_X)_\mathfrak{q}=0\)이다. 즉 우리는 \(\varphi_\ast \mathcal{O}_X\)의 stalk들을 알고 있다. 그러나 이것만으로는 \(\varphi_\ast \mathcal{O}_X\)가 \(V\)의 열린집합들 위에서 어떤 section을 갖는지 알 수 없으며, 특히 \(W\)가 affine scheme인지도 알 수 없다. 이를 위해 필요한 것은 closed embedding \(\varphi\)에 대하여 \(\varphi_\ast \mathcal{O}_X\)와 ideal sheaf \(\ker\varphi^\sharp\)이 quasi-coherent하다는 사실, 즉 \(Y\)의 affine open subset \(\Spec B\)와 임의의 \(f\in B\)에 대하여 canonical한 morphism
\[\left((\varphi_\ast \mathcal{O}_X)(\Spec B)\right)_f \rightarrow (\varphi_\ast \mathcal{O}_X)(D(f))\]이 isomorphism이라는 사실이다. 이는 명제 6에서 ideal들에 요구했던 localization 조건과 정확히 같은 형태의 조건이지만, 지금은 \(\varphi\)가 affine morphism인지조차 모르는 상황이므로 이를 우리가 가진 도구만으로 얻을 수는 없다. 따라서 우리는 이 사실을 증명 없이 주장하기만 하고, 나머지 논증은 우리가 이미 가진 도구들로 완결하기로 한다. 이 사실은 §준연접층, ⁋명제 18이 \(\varphi_\ast \mathcal{O}_X\)의 quasi-coherence로 증명한다.
\(C=(\varphi_\ast \mathcal{O}_X)(V)=\Gamma(W, \mathcal{O}_W)\)라 두고 \(\beta=\varphi^\sharp(V): B \rightarrow C\)라 하자. 그럼 \(D(f)\)들이 \(V\)의 base를 이루므로 §아핀스킴, ⁋보조정리 8의 논증을 그대로 반복하여, 위의 사실로부터 임의의 \(\mathfrak{q}\in V\)에 대하여
\[(\varphi_\ast \mathcal{O}_X)_\mathfrak{q}\cong C_\mathfrak{q}\]를 얻는다. 여기에서 \(C_\mathfrak{q}\)는 \(B\)-module \(C\)를 \(\mathfrak{q}\)에서 localization한 것이고, 이 isomorphism은 restriction map들로부터 유도된 것이다.
첫째로 \(\beta\)는 surjective이다. 실제로 \(\varphi^\sharp\)이 surjective이므로 [위상수학] §층, ⁋명제 15에 의하여 각각의 \(\mathfrak{q}\)에서 stalk 사이의 morphism \(B_\mathfrak{q} \rightarrow C_\mathfrak{q}\)가 surjective이고, 이는 \(B\)-module homomorphism \(\beta\)의 localization이므로 [가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋명제 4에 의하여 \(\beta\)가 surjective이다. 따라서 \(\mathfrak{b}=\ker\beta\)라 하면 \(C\cong B/\mathfrak{b}\)이다.
둘째로 \(W\)는 affine scheme이다. 우선 위상적으로, \(\mathfrak{q}\in V\)가 \(\varphi(X)\)에 속하는 것은 위에서 계산한 stalk이 \(0\)이 아닌 것과 동치이다. \(\varphi(X)\) 바깥의 점에서 stalk이 \(0\)인 것은 이미 보았고, \(\mathfrak{q}=\varphi(x)\)인 경우 stalk은 local ring \(\mathcal{O}_{X,x}\)이므로 \(0\)이 아니기 때문이다. 그런데 \((\varphi_\ast \mathcal{O}_X)_\mathfrak{q}\cong (B/\mathfrak{b})_\mathfrak{q}\)이고 이것이 \(0\)이 아닌 것은 \(\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{q}\)인 것과 동치이므로
\[\varphi(X)\cap V=Z(\mathfrak{b})\]이다. 이제 §아핀스킴, ⁋정리 13의 adjunction을 항등사상 \(C \rightarrow \Gamma(W, \mathcal{O}_W)\)에 적용하면 canonical한 morphism \(\sigma: W \rightarrow \Spec C\)를 얻고, adjunction의 naturality에 의하여 \(\Spec\beta\circ \sigma=\varphi\vert_W\)이다. 한편 \(\Spec\beta: \Spec B/\mathfrak{b} \rightarrow \Spec B\)는 \(Z(\mathfrak{b})\) 위로의 homeomorphism이고 (§스펙트럼, ⁋명제 9), \(\varphi\vert_W\) 또한 \(\varphi(X)\cap V=Z(\mathfrak{b})\) 위로의 homeomorphism이므로 \(\sigma\)는 homeomorphism이다. 또 임의의 \(x\in W\)와 \(\mathfrak{q}=\varphi(x)\)에 대하여 \(\sigma\)가 stalk에서 유도하는 morphism은 §아핀스킴, ⁋보조정리 8에 의하여 \(C_\mathfrak{q} \rightarrow \mathcal{O}_{W,x}\)이며, 이는 restriction map들로부터 유도된 morphism, 곧 위에서 얻은 isomorphism \(C_\mathfrak{q}\cong (\varphi_\ast \mathcal{O}_X)_\mathfrak{q}\cong \mathcal{O}_{W,x}\)과 같은 것이다. 따라서 \(\sigma\)는 homeomorphism이면서 모든 stalk에서 isomorphism이므로 locally ringed space들의 isomorphism이다.
이상에서 \(W\cong \Spec C=\Spec B/\mathfrak{b}\)는 affine scheme이고 \(B \rightarrow C\)는 surjective이다. \(V\)는 \(Y\)의 임의의 affine open subset이었으므로 \(\varphi\)는 affine morphism이며 둘째 조건이 성립한다.
그럼 임의의 closed embedding은 국소적으로는 항상 위에서 살펴본 것과 같이 적당한 \(\pi: A \rightarrow A/\mathfrak{a}\)로부터 오는 것으로 생각할 수 있다. 특히 \(Y\)가 affine scheme \(\Spec B\)라 하면 위의 동치에 의해 \(Y\)로의 임의의 closed embedding \(\varphi: X \rightarrow Y\)는 정확하게 \(B \rightarrow B/\mathfrak{b}\)에 대응되는 것을 안다.
닫힌 매장의 성질들
명제 3에 의하여 임의의 closed embedding은 항상 affine-local on target이고, closed embedding은 합성에 대해서도 닫혀있다는 것을 안다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.
명제 4 임의의 closed embedding은 항상 finite morphism이다.
증명
Closed embedding \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 주어졌다 하자. 명제 3에 의하여 \(\varphi\)는 affine morphism이고, \(Y\)의 임의의 affine open subset \(V\cong \Spec B\)에 대하여 \(\varphi^{-1}(V)\cong\Spec A\)이며 이에 대응되는 ring homomorphism \(\beta: B \rightarrow A\)는 surjective이다. 그럼 임의의 \(a\in A\)는 적당한 \(b\in B\)에 대하여 \(a=\beta(b)=b\cdot 1\)이므로 \(A\)는 \(B\)-module로서 \(1\)에 의해 생성되고, 따라서 \(\beta\)는 finite ring homomorphism이다. ([가환대수학] §정수적 확장, ⁋정의 3의 넷째 조건) 이제 §스킴 사상의 성질들, ⁋정의 10에 의하여 \(\varphi\)는 finite morphism이다.
§스킴 사상의 성질들, ⁋예시 16에서 만든 (quasi-)finite morphism의 기하학적 직관에 비추어볼 때, 적어도 closed embedding은 항상 quasi-finite이어야 하는 것이 자명하고, 여기에서 더 나아가 finite이기도 하다는 기하적인 해석이 가능하다.
정의 5 임의의 scheme \(Z\)에 대하여, \(\mathcal{O}_Z\)의 subsheaf \(\mathcal{I}\) 가운데 각각의 열린집합 \(U\)에서 \(\mathcal{I}(U)\)가 \(\mathcal{O}_Z(U)\)의 ideal을 이루는 것을 \(Z\)의 ideal sheaf라 부른다. 특별히 closed embedding \(\iota: Z \rightarrow X\)에 대하여, \(\mathcal{O}_X\)의 subsheaf \(\ker\iota^\sharp\)를 \(\iota\)에 의해 정의되는 ideal sheaf라 부르고, 이를 \(\mathcal{I}_{Z/X}\)로 표기한다.
즉, 다음의 exact seqeunce
\[0 \rightarrow \mathcal{I}_{Z/X} \rightarrow \mathcal{O}_X \rightarrow \iota_\ast \mathcal{O}_Z \rightarrow 0\]이 존재한다. 따라서 \(X\)의 임의의 affine open subset \(U=\Spec A\)에서는
\[0 \rightarrow \mathcal{I}_{Z/X}(U) \rightarrow \mathcal{O}_X(U)\cong A \rightarrow \iota_\ast \mathcal{O}_Z(U) \rightarrow 0\]이 되므로, \(\mathcal{I}_{Z/X}(U)\)는 \(A\)의 ideal이 되어 이 이름이 적절하다 할 수 있다.
우리는 명제 3 직후에 임의의 affine scheme \(Y=\Spec B\)의 closed subscheme은 정확하게 \(B\)의 ideal에 대응되는 것을 살펴보았다. 한편 임의의 scheme은 affine scheme을 붙여서 만들어지므로, 이러한 affine scheme들마다 ideal들이 정의되고, 이들이 적당한 gluing condition을 만족한다면 이를 통해 원래 scheme의 closed subscheme이 정의될 것이다.
명제 6 Scheme \(X\)의 임의의 affine open subset \(\Spec A\)마다, ideal \(\mathcal{I}(A)\subseteq A\)가 주어져있다고 하자. 만일 각각의 \(f\in A\)에 대하여, \(A \rightarrow A_f\)에 의해 isomorphism \(\mathcal{I}(A_f)\cong \mathcal{I}(A)_f\)가 유도된다면, 이들 데이터는 \(X\)의 유일한 closed subscheme \(Z\hookrightarrow X\)를 유도한다.
증명
우선 \(X\)를 affine open subset들 \(\{\Spec A_i\}\)들로 덮자. 그럼 우리가 보여야 할 것은 임의의 \(i,j\)에 대하여, \(\Spec A_i\)에서 ideal \(\mathcal{I}(A_i)\)에 의해 정의되는 closed subscheme과 \(\Spec A_j\)에서 ideal \(\mathcal{I}(A_j)\)에 의해 정의되는 closed subscheme이 \(\Spec A_i\)와 \(\Spec A_j\)의 교집합에서 같은 closed subscheme을 정의한다는 것이다.
우선 §스킴의 위상구조, ⁋보조정리 11 (Nike)로부터 우리는 \(\Spec A_i\)와 \(\Spec A_j\)의 교집합을 principal open subset들
\[\Spec (A_i)_{f_i}\cong\Spec (A_j)_{f_j}\]들로 덮을 수 있다. 이제 \(\Spec A_i\)에서 \(\mathcal{I}(A_i)\)가 정의하는 closed subscheme을 \(D(f_i)\cong\Spec (A_i)_{f_i}\)로 제한하면 이는 ideal \(\mathcal{I}(A_i)_{f_i}\)가 정의하는 closed subscheme이고, 주어진 가정에 의해 \(\mathcal{I}(A_i)_{f_i}\cong \mathcal{I}((A_i)_{f_i})\)이다. 여기에서 \(\Spec (A_i)_{f_i}\)와 \(\Spec (A_j)_{f_j}\)는 \(X\)의
이렇게 얻어진 국소적인 closed subscheme들은 잘 붙여진다. 실제로 서로 겹치는 두 조각은 위의 논증에 의하여 겹침을 덮는 principal open subset들 위에서 일치하고, 그 위에서의 identification은 모두 restriction map으로부터 오는 것이므로 겹침 위에서 하나의 사상으로 붙으며 ([위상수학] §층, ⁋정의 1), 따라서 cocycle condition 또한 자동으로 성립한다. 그럼 §스킴, ⁋보조정리 9에 의하여 이들은 하나의 scheme \(Z\)와 closed embedding \(Z \rightarrow X\)로 붙는다. 유일성은 명제 3에 의하여 affine open subset 위의 closed subscheme이 그 위의 ideal에 의해 완전히 결정되기 때문이다. 즉 주어진 데이터를 실현하는 두 closed subscheme은 \(X\)의 affine open covering의 각 조각 위에서 같으며, 따라서 서로 equivalent하다.
이제 임의의 scheme \(X\)와 global section \(s\in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)가 주어졌다 하자. 그럼 각각의 affine cover \(U\cong\Spec A\)에 대하여, \(s\vert_U\)는 \(A\)의 ideal \(\mathcal{I}(A)=(s\vert_U)\)를 정의하며 이렇게 정의된 \(\mathcal{I}(A)\)들은 \((s\vert_U)A_f=(s\vert_{D(f)})\)이므로 명제 6의 조건을 만족한다.
정의 7 Scheme \(X\)와 \(X\)의 global section \(s\in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)에 대하여, 위와 같이 정의된 scheme \(Z(s)\)를 \(s\)의 vanishing scheme영점 스킴이라 부른다.
더 일반적으로, global section들의 집합 \(S\)에 대하여 \(Z(S)\)를 어떻게 정의해야 하는지도 자명하며, 따라서 특별히 \(X=\Spec A\)이고 \(S=\mathfrak{a}\)가 \(A\)의 ideal인 경우 \(Z(\mathfrak{a})\)를 어떻게 정의해야 하는지도 자명하며, 이는 affine scheme \(\Spec A/\mathfrak{a}\)의 structure sheaf를 \(\Spec\pi\)를 통해 닫힌집합 \(Z(\mathfrak{a})\)에 옮겨준 것이다. 앞으로 \(Z(\mathfrak{a})\)는 항상 이러한 scheme structure가 주어져 있는 것으로 생각한다.
정의 8 Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 locally closed embedding국소 닫힌 매장이라는 것은 \(Y\)의 적당한 open subscheme \(\iota:Z\hookrightarrow Y\)가 존재하여, 다음의 canonical decomposition
\[X\overset{\varphi\vert^Z}{\longrightarrow}Z\overset{\iota}{\longrightarrow} Y\]을 통해 \(\varphi\vert^Z\)가 closed embedding인 것이다.
그럼 임의의 locally closed embedding은 항상 locally of finite type이다. 이를 확인하기 위해 \(Y\)의 affine open subset \(V=\Spec B\)를 고정하자. 우선 \(Z\cap V\)는 \(\Spec B\)의 principal open subset \(D(f)\cong \Spec B_f\)들로 덮이고 (§스펙트럼, ⁋보조정리 11), \(B \rightarrow B_f\)는 \(1/f\) 하나를 추가한 것이므로 finite type이다. 또 \(\varphi\vert^Z\)가 closed embedding이므로 명제 3에 의하여 각각의 \(D(f)\)의 preimage는 affine이고 그 coordinate ring은 \(B_f\)의 quotient이므로, 합성 \(B \rightarrow B_f \rightarrow B_f/\mathfrak{b}\) 또한 finite type이다. 즉 \(\varphi^{-1}(V)\)는 \(B \rightarrow \mathcal{O}_X(-)\)가 finite type인 affine open subset들로 덮이며, 따라서 §스킴 사상의 성질들, ⁋보조정리 13에 의하여 \(\varphi^{-1}(V)\)의 임의의 affine open subset에 대해서도 같은 결론을 얻는다.
스킴 사상의 상
이제 우리는 scheme morphism의 image를 정의한다. 당연히 임의의 scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 주어졌을 때, 우리는 그 image \(\im\varphi\) 또한 scheme 구조가 주어지기를 바랄 것이다. 그러나 위상공간 \(Y\)의 부분집합으로서 \(\im\varphi\)는 열린집합도, 닫힌집합도 아닐 수 있으므로 \(Y\)의 structure sheaf를 이용하여 \(\im\varphi\)에 structure sheaf를 정의하는 것은 요원해보인다.
이에 대한 해결책은 \(\varphi\)의 image를 포함하는 closed subscheme 중 가장 작은 것을 \(\varphi\)의 scheme-theoretic image로 정의하는 것이다. 이를 위해서는 우선 \(X\)의 closed subscheme이 다른 closed subscheme보다 작다는 것이 무엇인지를 살펴보아야 한다.
보조정리 9 두 closed embedding \(\iota_1: Z_1 \rightarrow X\), \(\iota_2: Z_2 \rightarrow X\)가 주어졌다 하자. 그럼 적당한 scheme morphism \(\varphi: Z_1 \rightarrow Z_2\)가 존재하여 \(\iota_1=\iota_2\circ\varphi\)를 만족하는 것은 \(\mathcal{I}_{Z_2/X}\subseteq \mathcal{I}_{Z_1/X}\)인 것과 동치이다. 이 경우 \(\varphi\)는 closed embedding이 된다.
증명
우선 \(\iota_1=\iota_2\circ\varphi\)를 만족하는 \(\varphi\)가 존재한다 하자. 그럼 \(\iota_1^\sharp\)은 다음의 합성
\[\mathcal{O}_X\overset{\iota_2^\sharp}{\longrightarrow}(\iota_2)_\ast \mathcal{O}_{Z_2}\overset{(\iota_2)_\ast \varphi^\sharp}{\longrightarrow}(\iota_2)_\ast \varphi_\ast \mathcal{O}_{Z_1}=(\iota_1)_\ast \mathcal{O}_{Z_1}\]이므로 \(\ker\iota_2^\sharp\subseteq \ker\iota_1^\sharp\)이고, 곧 정의 5에 의하여 \(\mathcal{I}_{Z_2/X}\subseteq \mathcal{I}_{Z_1/X}\)이다.
거꾸로 \(\mathcal{I}_{Z_2/X}\subseteq \mathcal{I}_{Z_1/X}\)이라 가정하자. \(X\)의 임의의 affine open subset \(U=\Spec A\)를 택하면 명제 3에 의하여 \(\iota_k^{-1}(U)\)는 affine open subset이고, 정의 5 직후의 exact sequence로부터
\[\iota_k^{-1}(U)\cong \Spec A/\mathfrak{a}_k,\qquad \mathfrak{a}_k=\mathcal{I}_{Z_k/X}(U)\]이며 이 때 \(\iota_k\)의 \(\iota_k^{-1}(U)\)로의 restriction은 canonical projection \(A \rightarrow A/\mathfrak{a}_k\)에 대응된다. 가정에 의하여 \(\mathfrak{a}_2\subseteq \mathfrak{a}_1\)이므로 \(A \rightarrow A/\mathfrak{a}_1\)은 \(A \rightarrow A/\mathfrak{a}_2\)를 통해 유일하게 인수분해되며, 이렇게 얻어지는 \(\pi_U: A/\mathfrak{a}_2 \rightarrow A/\mathfrak{a}_1\)은 surjective이다. 따라서 정의 2 직전의 논의에 의하여 \(\varphi_U=\Spec\pi_U: \iota_1^{-1}(U) \rightarrow \iota_2^{-1}(U)\)는 closed embedding이고, 구성에 의하여 \(\iota_1\)의 \(\iota_1^{-1}(U)\)로의 restriction은 \(\iota_2\)의 restriction과 \(\varphi_U\)의 합성이다.
이제 \(X\)의 두 affine open subset \(U=\Spec A\), \(U'\)에 대하여 \(\varphi_U\)와 \(\varphi_{U'}\)이 교집합 위에서 일치함을 보이면 된다. §스킴의 위상구조, ⁋보조정리 11 (Nike)에 의하여 \(U\cap U'\)을 \(U\)와 \(U'\) 모두에서 principal open set인 열린집합들로 덮을 수 있고, localization이 exact functor이므로 ([가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋명제 2) 이러한 \(D(f)\cong \Spec A_f\) 위에서 \(\mathcal{I}_{Z_k/X}(D(f))=\mathfrak{a}_kA_f\)이다. 따라서 \(\varphi_U\)와 \(\varphi_{U'}\)은 모두 \(D(f)\) 위에서 \(\mathfrak{a}_2A_f\subseteq \mathfrak{a}_1A_f\)가 유도하는 canonical projection \(A_f/\mathfrak{a}_2A_f \rightarrow A_f/\mathfrak{a}_1A_f\)에 대응되어 서로 같다. 그럼 §스킴 사이의 사상, ⁋명제 1에 의하여 이들은 scheme morphism \(\varphi: Z_1 \rightarrow Z_2\)로 붙고, 구성에 의하여 \(\iota_1=\iota_2\circ\varphi\)이다.
마지막으로 \(\iota_1=\iota_2\circ\varphi\)를 만족하는
Scheme \(X\)의 두 closed subscheme \(Z_1,Z_2\)에 대하여, closed embedding \(\varphi:Z_1 \rightarrow Z_2\)가 존재한다면 \(Z_1\)이 \(Z_2\)보다
정의 10 임의의 scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\varphi\)의 image가 closed subscheme \(\iota: Z \rightarrow Y\)에 포함된다는 것은 다음의 합성
\[\mathcal{I}_{Z/Y} \rightarrow \mathcal{O}_Y \rightarrow \varphi_\ast \mathcal{O}_X\]이 \(0\)이 되는 것이다. 이 때, \(\varphi\)의 image를 포함하는 \(Y\)의 closed subscheme 중 가장 작은 것을 \(\varphi\)의 scheme-theoretic image라 부른다.
만일 위의 식에서 \(Y\)가 affine scheme \(\Spec B\)라면, \(Y\)의 closed subscheme은 \(B\)의 ideal \(\mathfrak{b}\)에 의해 완전하게 결정된다. 따라서 이 경우, \(\varphi\)의 scheme-theoretic image는 \(\mathcal{O}_Y \rightarrow \varphi_\ast \mathcal{O}_X\)의 kernel이 정의하는 \(Y\)의 closed subscheme이 될 것이다. 더 특수한 경우로 만일 \(X\)도 affine scheme이라면, \(\mathcal{O}_Y \rightarrow \varphi_\ast \mathcal{O}_X\)는 ring homomorphism \(\phi\)로부터 나오는 것이므로 명시적인 계산을 해 줄 수 있다.
예시 11 예시 1에서 살펴본 closed embedding의 예시 \(\Spec\pi: \Spec \mathbb{K}[\x]/(\x^2) \rightarrow \Spec \mathbb{K}[\x]\)를 약간 변형한 예시를 살펴보자. 이 예시에서는 구별을 위해 \(\mathbb{K}[\x]/(\x^2)\)를 \(\mathbb{K}[\epsilon]/(\epsilon^2)\)으로 적는다.
우리는 [대수적 구조] §대수, ⁋명제 8에 의하여 \(\mathbb{K}\)-algebra homomorphism \(\phi:\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n] \rightarrow \mathbb{K}[\epsilon]/(\epsilon^2)\)는 \(\x_i\)의 값에 의해 완전히 결정된다는 것을 안다. 따라서 \(\phi(\x_i)=a_i+b_i\epsilon\)이라 하자. 만일 \(0\)이 아닌 \(b_i\)가 존재한다면 \(\phi\)가 surjective임을 보일 수 있고, 따라서 \(\Spec\phi\)는 closed embedding이며 \(\Spec\phi\)의 scheme-theoretic image는 \(\Spec\phi\)가 정의하는 closed subscheme 자기 자신이다. 구체적으로 이를 써 보면 \(\Spec\phi\)는 \(\mathbb{K}[\epsilon]/(\epsilon^2)\)의 유일한 prime ideal \((\epsilon)\)을 \(\Spec \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 maximal ideal
\[(\Spec\phi)((\epsilon))=\phi^{-1}((\epsilon))=(\x_1-a_1,\ldots, \x_n-a_n)\]로 보낸다. 실제로 \(\phi(\x_i-a_i)=b_i\epsilon\in(\epsilon)\)이므로 \((\x_1-a_1,\ldots, \x_n-a_n)\subseteq\phi^{-1}((\epsilon))\)이며, 좌변이 maximal ideal이고 우변이 proper ideal이므로 이 포함관계는 등식이 된다. 즉 연속함수로서 \(\Spec\phi\)는 한점공간 \(\Spec \mathbb{K}[\epsilon]/(\epsilon^2)\)을 \(\mathbb{A}^n\)의 한 점 \((a_1,\ldots, a_n)\)으로 보낸다.
기하적으로 \(\Spec\phi\)는 \(\mathbb{A}^n\)의 한 점 \((a_1,\ldots, a_n)\)에서의 tangent vector \((b_1,\ldots, b_n)\)에 대응된다. 이는 임의의 \(f\in \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)에 대하여
\[\phi(f)=f(a)+\left(\sum_{i=1}^nb_i\frac{\partial f}{\partial \x_i}(a)\right)\epsilon\]이 성립하는 것, 즉 \(\phi(f)\)의 \(\epsilon\)-계수가 정확히 점 \((a_1,\ldots, a_n)\)에서 벡터 \((b_1,\ldots, b_n)\) 방향으로의 방향미분이라는 것으로부터 확인할 수 있다. 더 일반적으로 \(\Spec \mathbb{K}[\epsilon]/(\epsilon^2)\) 대신 \(\Spec \mathbb{K}[\epsilon]/(\epsilon^k)\)를 생각하면 \(\phi(f)\)의 \(\epsilon^j\)-계수들이 \(f\)의 \(j\)차 Taylor 계수를 준다. 표수가 \(0\)인 경우 이는 \(k-1\)차 derivative까지 보는 것과 같지만, 양의 표수에서는 그렇지 않다는 것에 주의해야 한다.
위의 예시에서 \(X\)가 affine scheme이라고 가정하기는 하였지만, \(\varphi^\sharp:\mathcal{O}_Y \rightarrow \varphi_\ast \mathcal{O}_X\)는 어차피 scheme morphism \(\varphi\)가 포함하고 있는 정보이므로 여기에는 새로울 것이 없다. 차이는 \(Y\)를 일반적인 scheme으로 일반화할 때 나오게 되는데, \(Y\)의 임의의 affine open subset \(V=\Spec B\)가 주어질 때마다 ideal
\[\mathcal{I}(V):=\ker(\varphi^\sharp(V))\subseteq B\]가 \(V\)의 closed subscheme을 정의하지만, 이들을 이어붙여 \(Y\) 전체에서 정의된 단일한 closed subscheme을 만들 수 있는지는 다른 문제이기 때문이다. 물론 우리는 이를 위해 명제 6을 사용할 것이며, 이 가정은 특히 \(X\)가 reduced scheme이거나 \(\varphi\)가 quasi-compact일 경우 만족된다.
따름정리 12 Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 주어졌다 하자. 만일 \(X\)가 reduced이거나, \(\varphi\)가 quasi-compact라면 위에서 정의한 ideal sheaf \(\mathcal{I}\)는 명제 6의 조건을 만족하고 따라서 \(\mathcal{I}\)는 \(Y\)의 closed subscheme을 정의하며 이것이 \(\varphi\)의 scheme-theoretic image가 된다.
증명
\(Y\)의 affine open subset \(V=\Spec B\)와 \(f\in B\)를 고정하고 \(U=\varphi^{-1}(V)\), \(U'=\varphi^{-1}(D(f))\)이라 하자. 그럼 명제 6이 요구하는 것은 canonical map \(\mathcal{I}(V)_f \rightarrow \mathcal{I}(D(f))\)이 isomorphism이라는 것이다. 편의상 \(f\)의 \(\varphi^\sharp(V): B \rightarrow \mathcal{O}_X(U)\)에 의한 image를 \(g\)라 하자.
\(\varphi\)가 locally ringed space들 사이의 morphism이므로 각각의 \(x\in U\)에서 \(\varphi^\sharp_x\)는 local homomorphism이고, 따라서 \(U'\)은 정확히 \(g\)의 stalk이 \(\mathcal{O}_{X,x}\)의 maximal ideal에 속하지
을 유도한다. 또 \(\varphi^\sharp\)이 sheaf morphism이라는 것으로부터 \(\varphi^\sharp(D(f)): B_f \rightarrow \mathcal{O}_X(U')\)은 \(\varphi^\sharp(V)\)의 localization \(B_f \rightarrow \mathcal{O}_X(U)_g\)와 \(\alpha\)의 합성이다. 그런데 localization은 exact functor이므로 ([가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋명제 2)
\[\ker\bigl(B_f \rightarrow \mathcal{O}_X(U)_g\bigr)=\ker\bigl(\varphi^\sharp(V)\bigr)_f=\mathcal{I}(V)_f\]이고, 따라서 \(\alpha\)가 injective이기만 하면 \(\mathcal{I}(D(f))=\ker (\varphi^\sharp(D(f)))=\mathcal{I}(V)_f\)가 되어 명제 6의 조건이 성립한다. 이제 두 가정 각각에서 \(\alpha\)가 injective임을 보인다.
우선 \(\varphi\)가 quasi-compact이라 하자. 그럼 \(U\)는 quasi-compact이므로 유한히 많은 affine open subset \(\Spec A_1,\ldots, \Spec A_n\)으로 덮인다. \(s\in \mathcal{O}_X(U)\)가 \(s\vert_{U'}=0\)을 만족한다 하면, 각각의 \(l\)에 대하여 \(s\vert_{\Spec A_l}\in A_l\)의 \(U'\cap \Spec A_l=D(g\vert_{\Spec A_l})\)로의 restriction이 \(0\)이므로 적당한 \(n_l\)에 대하여 \((g^{n_l}s)\vert_{\Spec A_l}=0\)이다. \(l\)이 유한개이므로 공통의 \(N\)을 택하면 \(g^Ns\)는 모든 \(\Spec A_l\) 위에서 \(0\)이고, 따라서 [위상수학] §층, ⁋정의 1의 첫째 조건에 의하여 \(g^Ns=0\)이다. 즉 \(\mathcal{O}_X(U)_g\)에서 \(s/g^m=0\)이므로 \(\alpha\)는 injective이다.
이번에는 \(X\)가 reduced라 하자. (§스킴의 대수구조, ⁋정의 1) \(s\in \mathcal{O}_X(U)\)가 \(s\vert_{U'}=0\)을 만족한다 하고 \(gs\)를 생각하면, \(U'\)의 점에서는 \(s\)의 stalk이 \(0\)이므로 \(gs\)의 stalk이 \(0\)이고, \(U'\)에 속하지 않는 점 \(x\)에서는 \(g\)의 stalk이 \(\mathcal{O}_{X,x}\)의 maximal ideal에 속한다. 따라서 \(U\)의 임의의 affine open subset \(\Spec A\)에 대하여 \((gs)\vert_{\Spec A}\)는 \(A\)의 모든 prime ideal에 속하고, [가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋따름정리 8과 \(A\)가 reduced ring이라는 사실로부터 \((gs)\vert_{\Spec A}=0\)이다. 그럼 다시 sheaf 조건에 의하여 \(gs=0\)이고, 따라서 \(s/g^m=(gs)/g^{m+1}=0\)이므로 \(\alpha\)는 injective이다.
이상에서 명제 6에 의하여 \(\mathcal{I}\)는 \(Y\)의 closed subscheme \(\iota: Z \rightarrow Y\)를 유일하게 유도한다. 이것이 정의 10의 의미에서 \(\varphi\)의 image를 포함한다는 것은, \(Y\)의 임의의 affine open subset \(V\)에 대하여 \(\mathcal{I}_{Z/Y}(V)=\ker (\varphi^\sharp(V))\)이므로 합성 \(\mathcal{I}_{Z/Y}(V) \rightarrow \mathcal{O}_Y(V) \rightarrow (\varphi_\ast \mathcal{O}_X)(V)\)이 \(0\)이 되고, affine open subset들이 \(Y\)의 base를 이루기 때문이다. 거꾸로 \(\varphi\)의 image를 포함하는 \(Y\)의 임의의 closed subscheme \(\iota': Z' \rightarrow Y\)에 대하여 같은 합성이 \(0\)이므로 \(\mathcal{I}_{Z'/Y}(V)\subseteq \ker (\varphi^\sharp(V))=\mathcal{I}_{Z/Y}(V)\)이고, 두 ideal sheaf가 모두 \(\mathcal{O}_Y\)의 subsheaf이므로 이로부터 \(\mathcal{I}_{Z'/Y}\subseteq \mathcal{I}_{Z/Y}\)를 얻는다. 따라서 보조정리 9에 의하여 closed embedding \(Z \rightarrow Z'\)가 존재하고, 곧 \(Z\)는 \(\varphi\)의 image를 포함하는 가장 작은 closed subscheme, 즉 \(\varphi\)의 scheme-theoretic image이다.
위의 조건을 가정하고 \(\varphi\)의 image를 각각의 affine open subset에서 확인해보면 \(\varphi\)의 scheme-theoretic image는 \(\varphi\)의 (연속함수로서의) image의 closure 위에 structure sheaf가 정의된 형태임을 확인할 수 있다.
따름정리 12의 가정이 없을 경우 이러한 일은 일어나지 않는다.
예시 13 Scheme \(X\)를 다음의 식
\[X=\coprod_{k\geq 1} \Spec \mathbb{K}[\epsilon]/(\epsilon^k)\]으로 정의하고 \(Y=\Spec \mathbb{K}[\x]\)이라 하자. 이제 \(X\)의 각각의 component마다 \(\x\mapsto \epsilon\)을 통해 scheme morphism \(X \rightarrow Y\)를 정의할 수 있다. 그럼 예시 11으로부터 우리는 \(X \rightarrow Y\)의 (연속함수로서의) image는 한 점 \(0\in \mathbb{A}^1\)인 것을 안다.
그러나 scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)의 scheme-theoretic image는 \(0\)이 아니다. 이를 위해 structure sheaf들 사이의 morphism \(\varphi^\sharp:\mathcal{O}_Y \rightarrow \varphi_\ast \mathcal{O}_X\)를 관찰하자. 그럼 \(\mathcal{O}_Y\)의 원소 \(f\)가 \(\varphi^\sharp(f)=0\)을 만족하기 위해서는 임의의 \(k\)에 대하여 \(f\)의 \(k\)차 근사식이 \(0\)이 되어야 하므로, 반드시 \(f=0\)이어야 한다. 즉, \(\mathcal{I}_{Z/Y}\)는 \(0\)이 되어야 하고 이로부터 \(\varphi\)의 scheme-theoretic image는 \(Y\) 전체임을 안다.
닫힌집합 위에 정의된 축소스킴구조
이 글의 서두에서 우리는 affine scheme \(\Spec A\)의 임의의 닫힌집합 \(Z(\mathfrak{a})\) 위에 두 개의 structure sheaf \((\Spec\pi)_\ast \mathcal{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}}\) 그리고 \(\iota^{-1} \mathcal{O}_{\Spec A}\)를 정의할 수 있었다. 이 중 \((\Spec\pi)_\ast \mathcal{O}_{\Spec A/ \mathfrak{a}}\)를 우리는 \(Z(\mathfrak{a})\) 위에 정의된 올바른 scheme 구조로 생각하기로 하였다. 이제 우리는 \(\iota^{-1} \mathcal{O}_{\Spec A}\)에 대해 살펴본다.
더 일반적으로 임의의 scheme \(Y\)와 \(Y\)의 닫힌집합 \(X\)를 생각하자. 그럼 \(Y\)의 임의의 affine open subset \(\Spec B\)에 대하여, \(\Spec B\)의 닫힌집합 \(X\cap \Spec B\)는 §스펙트럼, ⁋정리 15에 의하여 \(B\)의 radical ideal \(\mathfrak{b}\)에 대해 \(Z(\mathfrak{b})\)의 꼴로 쓸 수 있다. 뿐만 아니라, \(\mathfrak{b}\)는 정의에 의하여 \(X\cap \Spec B= Z(\mathfrak{b}')\)이도록 하는 \(B\)의 ideal들 중 가장 큰 것이므로 보조정리 9에 의하여 \(X\cap \Spec B\)에 줄 수 있는 closed subscheme 구조 중 가장 작은 것이다. 또 radical은 localization과 교환하므로 (\(\sqrt{\mathfrak{b}}B_f=\sqrt{\mathfrak{b}B_f}\)) 이들 ideal은 명제 6의 조건을 만족하고, 따라서 하나의 closed subscheme으로 붙는다.
정의 14 Scheme \(Y\)의 임의의 닫힌집합 \(X\)에 대하여, \(X\) 위에 앞에서 정의한 scheme 구조를 준 것을 reduced scheme structure라 부르고 \(X^\red\)으로 적는다.
그럼 특히 \(X=Y\)인 경우, 임의의 affine subset \(\Spec B\)에 대하여 \(\Spec B=Z(0)\)이라 적으면 \(\mathfrak{b}=\mathfrak{N}(B)\)이 되어 \(B/\mathfrak{N}(B)\)은 reduced ring이 된다. 한편 위에서 살펴본 sheaf morphism
\[\iota^{-1}\mathcal{O}_{\Spec A} \rightarrow (\Spec\pi\vert^{Z(\mathfrak{a})})_\ast \mathcal{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}}\]은 restriction으로부터, 곧 adjunction \(\iota^{-1}\dashv \iota_\ast\)로부터 유도되는 canonical한 sheaf morphism이다. 단, 이를 보조정리 9가 주는 scheme morphism과 혼동하지 않아야 하는데, \((Z(\mathfrak{a}),\iota^{-1}\mathcal{O}_{\Spec A})\)는 일반적으로 scheme이 아니기 때문이다. 가령 \(A=\mathbb{K}[\x]\)이고 \(\mathfrak{a}=(\x)\)이면 \(Z(\mathfrak{a})\)는 한 점이고 그 위의 stalk은 \(\mathbb{K}[\x]_{(\x)}\)인데, 한 점으로 이루어진 affine scheme의 global section ring은 prime ideal을 하나만 가져야 하므로 이 locally ringed space는 어떤 scheme과도 isomorphic하지 않다. 보조정리 9가 실제로 주는 canonical morphism은 \(\mathfrak{a}\)의 radical이 정의하는 reduced 구조에서 주어진 구조로 가는 것, 곧 \(\Spec (A/\sqrt{\mathfrak{a}}) \rightarrow \Spec (A/\mathfrak{a})\) 쪽이다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.
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