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우리가 scheme을 도입하며 약속한 것들 중 하나는 fiber product였으며, 이는 \(\Sch_{/S}\) 위에서의 곱이므로 이를 위해서는 \(S\)-scheme들 (그리고 scheme morphism들)을 정의했어야 했다. 이제 우리는 준비를 마치고 fiber product를 정의한다.
올곱의 정의와 존재성
우리는 §스킴 사이의 사상, ⁋정의 3에서 scheme morphism \(X \rightarrow S\)를 \(S\)-scheme이라 부르기로 하였다. 이번 글에서 우리는 category \(\Sch_{/S}\)에서의 product를 정의할 것이다.
이 commute한다. 뿐만 아니라, 식 \(\varphi_Y\circ\psi_Y=\varphi_X\circ\psi_X\)를 만족하는 임의의 \(\psi_X:Z \rightarrow X\), \(\psi_Y:Z \rightarrow Y\)가 주어질 때마다 유일한 \(\psi:Z \rightarrow X\times_SY\)가 존재하여 \(\psi_X=\rho_X\circ\psi\)이고 \(\psi_Y=\rho_Y\circ\psi\)이다.
따라서, \(X\times_SY\)에서 \(S\)로의 canonical morphism이 존재하며, 이로부터 우리는 \(X\times_SY\)를 \(S\)-scheme으로 볼 수 있다. 뿐만 아니라, 이 관점에서 \(X\times_SY\)는 \(\Sch_{/S}\)에서의 product이기도 하다는 것이 정의로부터 자명하다.
§스킴 사이의 사상, ⁋예시 4 이후에 우리는 임의의 scheme \(X\)는 항상 유일한 방식으로 \(\mathbb{Z}\)-scheme으로 생각할 수 있다는 것을 보았다. 따라서 정의 1을 만족하는 fiber product \(X\times_SY\)가 항상 존재한다고 가정하면, 우리는 임의의 두 scheme \(X, Y\)에 대하여 \(X\times_{\Spec \mathbb{Z}}Y\)가 \(X\)와 \(Y\)의 product를 주는 것을 안다.
정의 1은 fiber product \(X\times_SY\)의 존재성에 대해서는 어떠한 것도 보장해주지 않으므로, 이것이 진짜 정의가 되기 위해서는 \(X\times_SY\)의 존재성을 별도로 증명해주어야 한다. (정리 8) 그러나 특별히 \(\AffSch\)에서 fiber product의 존재성은 거의 자명하며, 이것이 우리의 증명의 시작이 될 것이다.
보조정리 2 Affine scheme들 사이의 morphism \(\Spec A \rightarrow \Spec C\), \(\Spec B \rightarrow\Spec C\)가 주어졌다 하자. 그럼
\(\AffSch\cong\cRing^\op\)를 통해 \(\Spec A \rightarrow \Spec C\), \(\Spec B \rightarrow \Spec C\)를 \(C \rightarrow A\), \(C \rightarrow B\)로 바꿔놓고 [대수적 구조] §대수의 직접곱, 직합, 텐서곱, ⁋정리 8의 universal property와 fiber product의 universal property를 비교하면 된다. 이 비교가 affine scheme뿐 아니라 임의의 scheme \(T\)를 test object로 삼아도 성립하는 것은, §아핀스킴, ⁋정리 13에 의하여 임의의 ring \(R\)에 대하여 \(\Hom_\Sch(T, \Spec R)\cong \Hom_\cRing(R, \Gamma(T))\)이기 때문이다.
이제 일반적인 scheme에 대해 fiber product가 존재한다는 사실은 보조정리 2에서 살펴본 affine scheme에서의 결과를 바탕으로, 이들을 잘 붙일 수 있다는 것을 보이면 된다.
우선, \(Z\)의 open subscheme \(U\)가 주어졌을 때, 이를 inclusion morphism을 이용하여 \(\iota:U \rightarrow Z\)와 같은 꼴로 쓰면 다음 보조정리는 거의 말장난이다.
보조정리 3 Scheme morphism \(\varphi: Y \rightarrow Z\)와 \(Z\)의 open subscheme \(\iota: U \rightarrow Z\)가 주어졌다 하자. 그럼 다음의 diagram
보조정리 4 Affine scheme들 \(X, Y, Z\)가 주어졌다 하고, \(Y\)의 open subscheme \(Y'\hookrightarrow Y\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(X\rightarrow Z\)와 \(Y'\hookrightarrow Y \rightarrow Z\)의 fiber product \(X\times_ZY'\)가 존재한다.
를 생각하면, 우리는 보조정리 3으로부터 \(X\times_ZY\)의 open subscheme \(\rho_Y^{-1}(Y')\)가 fiber product가 되는 것을 확인할 수 있다. 이제 일반적으로 다음의 diagram
에서 작은 두 사각형이 fiber diagram이라면 외곽의 큰 사각형도 fiber diagram이므로 원하는 결과를 얻는다.
이제 이를 이용하면 affine scheme과 임의의 scheme의 fiber product가 존재한다는 것을 보일 수 있다.
보조정리 5 Affine scheme들 \(X, Z\) 그리고 임의의 scheme \(Y\)에 대하여, \(X\rightarrow Z\)와 \(Y \rightarrow Z\)의 fiber product \(X\times_ZY\)가 존재한다.
증명
이를 위해 \(Y\)를 affine open subset들 \(Y_i\)들로 덮자. 그럼 우리는 보조정리 2으로부터 \(X\times_ZY_i\)들이 존재함을 안다. 또, \(Y_{ij}=Y_i\cap Y_j\)는 affine scheme \(Y_i\)의 open subscheme이므로 역시 \(X\times_Z Y_{ij}\)가 보조정리 4에 의하여 존재한다.
한편, 보조정리 4의 증명을 보면 \(X\times_ZY_{ij}\)는 각각 \(X\times_ZY_i\)와 \(X\times_ZY_j\)의 open subscheme인 것을 알 수 있다. 이들 데이터가 §스킴, ⁋보조정리 9의 조건들을 만족하는 것을 쉽게 확인할 수 있으므로, 이들을 붙여 scheme \(X\times_ZY\)를 만들 수 있다. 이것이 fiber product의 universal property를 만족하는 것은 다음과 같이 확인한다. Scheme \(W\)와 morphism \(\alpha: W \rightarrow X\), \(\beta: W \rightarrow Y\)가 \(Z\) 위에서 일치한다 하고 \(W_i=\beta^{-1}(Y_i)\)라 두자. 그럼 \(\beta\)를 \(W_i\)로 제한한 것은 \(W_i \rightarrow Y_i\)를 정의하므로, \(X\times_ZY_i\)의 universal property로부터 유일한 morphism \(\sigma_i: W_i \rightarrow X\times_ZY_i\)를 얻는다. 이제 \(W_i\cap W_j=\beta^{-1}(Y_{ij})\) 위에서 \(\sigma_i\)와 \(\sigma_j\)는 모두 \(X\times_ZY_{ij}\)의 universal property가 주는 유일한 morphism과 같으므로 서로 일치하며, 따라서 §스킴 사이의 사상, ⁋명제 1에 의하여 이들은 유일한 morphism \(\sigma: W \rightarrow X\times_ZY\)로 붙는다. 여기에서 공역을 \(Y_i\)로 제한하는 것이 아니라 정의역을 \(W_i\)로 제한한다는 것에 주의해야 하는데, \(\beta\)의 image가 \(Y_i\)에 들어갈 이유가 없기 때문이다.
이 보조정리에서 \(X\)가 affine scheme이라는 가정은 오직 \(X\times_ZY_i\)가 존재한다는 것을 보이기 위해서만 사용되었다. 따라서, 임의의 두 scheme \(X,Y\)와 affine scheme \(Z\), 그리고 scheme morphism \(X \rightarrow Z\)와 \(Y \rightarrow Z\)가 주어졌다 하면 우리는 \(Y\)의 affine open cover \(\{Y_i\}\)를 택한 후 보조정리 5에서 두 인자의 역할을 바꾸어 적용할 수 있다. 즉 \(Y_i\)와 \(Z\)가 affine이므로 \(Y_i\times_ZX\)가 존재하고, fiber product는 두 인자의 순서에 대해 대칭이므로 \(X\times_ZY_i\)가 존재한다. 또 \(Y_{ij}\)는 \(Y_i\)의 open subscheme이므로 보조정리 4의 증명과 같은 방식으로 \(X\times_ZY_{ij}\)가 존재하며 이는 \(X\times_ZY_i\)와 \(X\times_ZY_j\)의 open subscheme이다. 따라서 보조정리 5의 증명에서의 접합 논증을 그대로 반복하면 다음을 얻는다.
보조정리 6 Affine scheme \(Z\), 임의의 scheme \(X,Y\)와 scheme morphism \(X \rightarrow Z\), \(Y \rightarrow Z\)에 대하여, fiber product \(X\times_ZY\)가 존재한다.
이제 마지막으로 \(Z\)를 임의의 scheme으로 확장해야 한다. 우선 다음이 성립한다.
보조정리 7 임의의 scheme \(X,Y,Z\)가 주어졌다 하고, scheme morphism \(\varphi_X:X \rightarrow Z\), \(\varphi_Y:Y \rightarrow Z\) 그리고 affine scheme \(Z'\)로의 monomorphism \(\iota: Z \rightarrow Z'\)가 주어졌다 하자. 가령 \(\iota\)가 open immersion이거나 closed embedding인 경우가 이에 해당한다. 후자의 경우, \(\iota\circ \alpha=\iota\circ \beta\)인 두 morphism \(\alpha,\beta: T \rightarrow Z\)가 주어졌다 하면 \(\iota\)가 단사이므로 연속함수로서 \(\alpha=\beta\)이고, 각각의 \(t\in T\)에서 \(\iota^\sharp\)이 stalk 사이의 surjection \(\mathcal{O}_{Z',\iota(\alpha(t))} \rightarrow \mathcal{O}_{Z,\alpha(t)}\)을 유도하므로 (§닫힌 부분스킴, ⁋정의 2) \(\alpha^\sharp\)와 \(\beta^\sharp\)는 그 합성에 의해 결정되어 서로 같다. 그럼 \(\iota\circ\varphi_X\)와 \(\iota\circ\varphi_Y\)의 fiber product \(X\times_{Z'}Y\)는 \(X\times_ZY\)의 universal property를 만족하고, 따라서 \(X\times_ZY\)가 존재한다.
증명
\(Z'\)이 affine이므로 \(X\times_{Z'}Y\)는 존재한다. 이제 임의의 scheme \(T\)와 morphism \(\alpha:T \rightarrow X\), \(\beta:T \rightarrow Y\)가 주어졌다 하자. \(X\times_ZY\)의 universal property에서 요구하는 조건은 \(\varphi_X\circ \alpha=\varphi_Y\circ \beta\)이고, \(X\times_{Z'}Y\)의 것은 \(\iota\circ\varphi_X\circ \alpha=\iota\circ\varphi_Y\circ \beta\)인데, \(\iota\)가 monomorphism이므로 이 두 조건은 서로 동치이다. 따라서 두 fiber product는 같은 universal property를 만족하고, 유일성에 의하여 \(X\times_{Z'}Y\)가 \(X\times_ZY\)의 역할을 한다.
한편 \(\iota\)에 대한 가정이 없으면 이는 성립하지 않는다. 가령 \(k\)-scheme의 structure morphism \(\iota:Z \rightarrow \Spec k\)를 택하고 \(X=Y=Z=\mathbb{A}^1_k\)에 identity morphism을 주면, \(X\times_ZY=\mathbb{A}^1_k\)이지만 \(X\times_{\Spec k}Y=\mathbb{A}^2_k\)이다.
이제 위의 보조정리를 이용하여 우리는 임의의 \(X,Y,Z\)와 scheme morphism \(\varphi_X:X \rightarrow Z\), \(\varphi_Y: Y \rightarrow Z\)에 대하여 \(Z\)를 affine open cover \(\{Z_i\}\)들로 덮으면 \(\varphi_X\vert^{Z_i}:\varphi_X^{-1}(Z_i) \rightarrow Z_i\)와 \(\varphi_Y\vert^{Z_i}:\varphi_Y^{-1}(Z_i) \rightarrow Z_i\)에 대해서는, \(X_i=\varphi_X^{-1}(Z_i)\)와 \(Y_i=\varphi_Y^{-1}(Z_i)\)로 쓰면 fiber product \(X_i\times_{Z_i}Y_i\)가 존재하는 것을 안다. 이제 교집합 \(Z_{ij}=Z_i\cap Z_j\)은 \(Z_i\)의 열린집합이므로 보조정리 7에 의하여 \(\varphi_X\vert^{Z_{ij}}\)와 \(\varphi_Y\vert^{Z_{ij}}\)의 fiber product들도 존재하며 이는 \(X_i\times_{Z_i}Y_i\)와 \(X_j\times_{Z_j}Y_j\)의 open subscheme이다. 따라서 보조정리 5의 증명과 마찬가지로, 이들 데이터가 §스킴, ⁋보조정리 9의 조건을 만족한다는 것을 보이면 다음 정리를 얻는다.
정리 8 임의의 scheme \(X,Y,Z\)와 scheme morphism \(X \rightarrow Z\), \(Y \rightarrow Z\)에 대하여, fiber product \(X\times_ZY\)가 존재한다.
증명
Gluing에 필요한 것은 두 조각 \(X_i\times_{Z_i}Y_i\)와 \(X_j\times_{Z_j}Y_j\) 안에서 \(Z_{ij}\) 위의 fiber product에 해당하는 열린집합들이 canonical하게 identify되고, 이 identification들이 triple intersection 위에서 cocycle condition을 만족한다는 것이다. 그런데 두 열린집합은 모두 \(\varphi_X\vert^{Z_{ij}}\)와 \(\varphi_Y\vert^{Z_{ij}}\)의 fiber product의 universal property를 만족하므로 그 사이의 identification은 유일하게 결정되며, triple intersection 위에서 얻어지는 세 identification 또한 \(Z_{ijk}=Z_i\cap Z_j\cap Z_k\) 위의 fiber product의 universal property가 주는 유일한 사상이므로, 그 가운데 두 개의 합성은 나머지 하나와 같아 cocycle condition이 성립한다. 따라서 §스킴, ⁋보조정리 9에 의하여 이들은 하나의 scheme으로 붙는다.
이렇게 얻어진 scheme이 universal property를 만족하는 것은 보조정리 5의 증명에서와 같다. 즉 morphism \(\alpha: W \rightarrow X\), \(\beta: W \rightarrow Y\)가 \(Z\) 위에서 일치한다 하면 \(W_i=(\varphi_X\circ \alpha)^{-1}(Z_i)\)로 두고 각 \(W_i\)에서 \(X_i\times_{Z_i}Y_i\)로의 유일한 morphism을 얻은 후, 겹침에서의 일치를 위와 같이 universal property의 유일성으로 확인하여 붙이면 된다.
Fiber product의 해석
Scheme morphism을 해석하는 방법이 여러가지가 존재하듯, fiber product도 이해하는 방법이 여러가지가 있다.
앞서 우리는 scheme morphism \(X \rightarrow S\)를 \(S\)로 parametrize된 family로 생각하기로 하였으며 (§스킴 사이의 사상, ⁋예시 10) 이 관점에서 \(S\)는 family \(X\)의 base로 생각할 수 있다. 이제 임의의 \(S\)-family \(X \rightarrow S\)가 주어졌다 하고, scheme morphism \(S' \rightarrow S\)가 주어졌다 하면 fiber product를 통해 우리는 새로운 \(S'\)-family \(X\times_SS' \rightarrow S'\)를 얻는다. 이러한 관점에서 우리는 종종 fiber product를 base change라 부르기도 한다.
예시 9 Affine scheme으로 우리의 관심범위를 좁혀보면, \(\Spec B\)가 \(C\)-scheme이라는 것은 scheme morphism \(\Spec B \rightarrow \Spec C\)가 주어졌다는 것이고 이는 다시 ring homomorphism \(C \rightarrow B\)가 주어진 것과 같고 이는 다시 \(B\)가 \(C\)-algebra라는 것과 같은 말이다.
이제 여기에 더해 scheme morphism \(\Spec A \rightarrow \Spec C\)가 주어졌다 하고 위의 base change가 어떠한 것을 주는지를 살펴보면, 보조정리 2에 의해 우리는 이렇게 얻어지는 것이
이 관점은 중요한 것이지만, 지금 당장은 여기에 있는 기하학적인 직관이 잘 보이지 않는다. 이를 위해 특별히 \(S' \rightarrow S\)가 embedding인 경우를 생각하자.
우선 임의로 주어진 \(S\)-family \(X \rightarrow S\)와 open embedding \(S' \rightarrow S\)에 대하여, 보조정리 3은 \(S'\)-family \(X\times_SS' \rightarrow S'\)가 단순히 \(X \rightarrow S\)의 base를 \(S'\)로 제한하여 얻어진 것임을 보여준다. 여기에 더하여 \(X \rightarrow S\) 또한 open embedding이라 가정하면, 우리는 \(X\times_SS'\)가 (\(S\) 안에서의) \(X\)와 \(S'\)의 교집합임을 안다.
위의 논증은 closed embedding인 경우에도 성립한다. 이를 위해서는 보조정리 3에 해당하는 다음 보조정리를 보여야 한다.
보조정리 10 Ring homomorphism \(\phi: B \rightarrow A\)와 \(B\)의 임의의 ideal \(\mathfrak{b}\)에 대하여, isomorphism
\[A/\phi(\mathfrak{b})A\cong A \otimes_B(B/\mathfrak{b})\]
이 존재한다.
증명
Ideal \(\mathfrak{b}\)로부터 얻어지는 다음의 exact sequence
\[\mathfrak{b} \rightarrow B \rightarrow B/\mathfrak{b} \rightarrow 0\]
을 얻고, 이 때 \(A\otimes_B \mathfrak{b}\)의 \(A\otimes_BB\cong A\)에서의 image가 \(\phi(\mathfrak{b})A\)이므로 원하는 결과를 얻는다.
이제 임의의 closed embedding은 국소적으로는 항상 \(B \rightarrow B/\mathfrak{b}\)로부터 오는 것이므로 위의 논의를 closed embedding에 대해서도 동일하게 적용할 수 있다. 특히 두 closed embedding의 교집합이 잘 정의된다.
예시 11 \(Z=\Spec\mathbb{K}[\x,\y]\)의 두 closed subscheme
이 관점에서 우리는 scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)의 \(y_0\in Y\)에서의 fiber \(\varphi^{-1}(y_0)\)을 어떻게 정의해야 하는지도 알 수 있다. \(y_0\) 하나만을 담는 scheme에서 \(Y\)로 가는 morphism을 만든 후, 이 morphism과 \(\varphi\)의 fiber product를 취하면 된다. 여기에서 한점집합 \(\{y_0\}\)을 \(Y\)의 부분공간으로 보아 embedding을 취할 수는 없다는 것에 주의해야 한다. \(y_0\)가 closed point가 아니면 \(\{y_0\}\)은 일반적으로 \(Y\)의 locally closed subset조차 아니기 때문이다. 가령 \(\mathbb{A}^2\)의 generic point가 그러하다.
이제 \(\Spec\kappa(y) \rightarrow Y\)를 만들기 위해 \(y\)에서의 residue field \(\kappa(y)\)를 생각하자. 그럼 \(\Spec\kappa(y)\)는 항상 한점집합이다. 뿐만 아니라, \(y\)를 포함하는 \(Y\)의 affine open subset \(V=\Spec B\)를 생각하고, \(y\)가 prime ideal \(\mathfrak{q}_y\)에 대응된다 하면 canonical morphism
보조정리 4의 증명과 같은 방식으로 fiber product를 만드는 것은 \(X\)와 \(Y\)를 열린집합으로 제한하는 것과 호환되므로, \(y\in V=\Spec B\)인 affine open subset \(V\)를 택하고 \(\varphi^{-1}(V)\)를 affine open subset \(\Spec A\)들로 덮어 \(X=\Spec A\), \(Y=\Spec B\)인 경우만 보이면 충분하다. 이 때 \(y\)에 대응되는 prime ideal을 \(\mathfrak{q}\), \(\phi: B \rightarrow A\)를 \(\varphi\)에 대응되는 ring homomorphism이라 하자.
보조정리 2에 의하여 \(X\times_Y\Spec \kappa(\mathfrak{q})=\Spec (A\otimes_B\kappa(\mathfrak{q}))\)이다. 한편 \(\kappa(\mathfrak{q})=B_\mathfrak{q}/\mathfrak{q}B_\mathfrak{q}\)이므로, \(S=\phi(B\setminus \mathfrak{q})\)라 두면
이다. 그럼 §스펙트럼, ⁋명제 9를 두 번 적용하여, \(\Spec (A\otimes_B\kappa(\mathfrak{q})) \rightarrow \Spec A\)는 그 image 위로의 homeomorphism이며 그 image는 \(S\)와 만나지 않으면서 \(\mathfrak{q}(S^{-1}A)\)를 포함하는 prime ideal들, 곧 \(\phi^{-1}(\mathfrak{p})\subseteq \mathfrak{q}\)와 \(\mathfrak{q}\subseteq \phi^{-1}(\mathfrak{p})\)를 동시에 만족하는 \(\mathfrak{p}\in \Spec A\)들의 모임임을 안다. 이는 정확히 \((\Spec\phi)(\mathfrak{p})=\mathfrak{q}\)인 점들의 모임이다.
예시 14 \(\operatorname{char}\mathbb{K}\neq 2\)인 algebraically closed field \(\mathbb{K}\)에 대하여, ring homomorphism \(\mathbb{K}[\x] \rightarrow \mathbb{K}[\y]\)을 식 \(\x \mapsto \y^2\)으로 정의하고, 이로부터 얻어지는 scheme morphism \(\varphi: \Spec \mathbb{K}[\y] \rightarrow \Spec \mathbb{K}[\x]\)를 생각하자. 그럼 \(\Spec\mathbb{K}[\x]\)의 임의의 점 \((\x-a)\)에서의 residue field는
이며, 따라서 만일 \(a=0\)이라면 \(\varphi^{-1}((\x))\cong\Spec \mathbb{K}[\y]/(\y^2)\)이고, \(a\neq 0\)이라면 \(\mathbb{K}\)가 algebraically closed이고 \(\operatorname{char}\mathbb{K}\neq 2\)라는 가정으로부터
위의 예시는 이미 §스킴 사상의 성질들, ⁋예시 16에서 살펴보았던 것이다. 해당 예시에서 우리는 finite morphism이 항상 quasi-finite라는 사실을 주장했는데, 이제 이를 증명할 수 있다.
명제 15 Finite morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)는 quasi-finite morphism이다.
증명
우선 §스킴 사상의 성질들, ⁋명제 15에 의하여 finite morphism은 integral이면서 locally of finite type이고, integral morphism은 affine이므로 quasi-compact이어서 \(\varphi\)는 morphism of finite type이다. 따라서 fiber들이 유한집합임만 보이면 되는데, 보조정리 13에 의하여 집합 \(\varphi^{-1}(y)\)의 점들은 scheme \(X\times_Y\Spec\kappa(y)\)의 점들과 일대일로 대응하므로, 후자의 점의 개수를 세면 된다. 그럼 affine인 경우만 보이면 충분하다. 즉, 임의의 finite ring homomorphism \(\phi: B \rightarrow A\)와 \(B\)의 prime ideal \(\mathfrak{q}\)에 대하여 \(A\otimes_B\kappa(\mathfrak{q})\)가 유한히 많은 prime ideal을 갖는다는 것을 보이면 충분하다. 그런데 \(\phi\)가 finite이므로 \(A\otimes_B\kappa(\mathfrak{q})\)는 finite \(\kappa(\mathfrak{q})\)-algebra이고 따라서 Artinian이며, [가환대수학] §조르단-횔더 정리, ⁋따름정리 6에 의하여 \(0\)이 유한히 많은 maximal ideal들의 곱이므로 임의의 prime ideal은 그 가운데 하나와 같아 원하는 결과를 얻는다.
위의 예시와 명제들에서 우리는 중요한 관찰을 할 수 있는데, \(X \rightarrow S\)가 만족하는 성질이 임의의 \(S' \rightarrow S\)로의 base change \(X\times_SS' \rightarrow S'\)에도 이어지는 경우가 많다는 것이다. 물론 모든 성질이 그런 것은 아니다. 가령 dominant는 보존되지 않는데, \(\Spec \mathbb{K}(\t) \rightarrow \Spec \mathbb{K}[\t]\)는 generic point로의 dominant morphism이지만 \(\t=0\)을 따라 base change하면 공집합에서 한 점으로 가는 morphism이 된다. 그러나 우리가 관심을 가지는 대부분의 성질은 base change에 대해 닫혀있다.
명제 16 만일 scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Z\)가 quasicompact (resp. quasiseparated, affine, finite, integral, locally of finite type, finite type, locally of finite presentation, finite presentation, quasi-finite, surjective) 라면, 임의의 scheme morphism \(Y \rightarrow Z\)를 통해 \(\varphi\)를 base change한 \(X\times_ZY \rightarrow Y\) 또한 그러하다.
증명
모든 성질에 공통되는 환원을 먼저 해 두자. \(Z\)의 affine open covering을 이루는 \(\Spec A\)들을 택하고, 각각의 \(\Spec A\)에 대하여 \(Y \rightarrow Z\)에 의한 그 preimage를 affine open subset \(\Spec C\)들로 덮으면, 이렇게 얻어진 \(\Spec C\)들은 \(Y\)의 affine open covering을 이룬다. 이제 projection을 \(\rho_Y: X\times_ZY \rightarrow Y\)라 하면, 보조정리 3과 보조정리 4의 증명에서 사용한 “작은 두 사각형이 fiber diagram이면 외곽의 큰 사각형도 fiber diagram”이라는 사실로부터
를 얻는다. 따라서 \(X_A=\varphi^{-1}(\Spec A)\), \(W=X_A\times_{\Spec A}\Spec C\)라 쓰면, base change \(\rho_Y\)를 \(\Spec C\) 위에서 살펴보는 것은 \(X_A \rightarrow \Spec A\)의 \(\Spec C \rightarrow \Spec A\)를 따른 base change \(W \rightarrow \Spec C\)를 살펴보는 것과 같다. 뿐만 아니라 같은 이유로, \(X_A\)의 임의의 affine open subset \(\Spec B\)에 대하여 projection \(\rho: W \rightarrow X_A\)에 의한 그 preimage는 보조정리 2에 의하여
이므로, \(X_A\)의 affine open covering \(\{\Spec B_i\}\)가 주어질 때마다 \(\{\Spec (B_i\otimes_AC)\}\)는 \(W\)의 affine open covering이 된다. 즉 모든 문제는 ring homomorphism \(C \rightarrow B\otimes_AC\)에 대한 문제로 환원된다. 이제 각각의 성질을 살펴본다.
우선 \(\varphi\)가 affine이라 하자. 그럼 \(X_A\)는 affine scheme \(\Spec B\)이고 따라서 \(\rho_Y^{-1}(\Spec C)=W\cong\Spec (B\otimes_AC)\)는 affine이므로, \(Y\)의 affine open covering \(\{\Spec C\}\)와 §스킴 사상의 성질들, ⁋명제 9에 의하여 \(\rho_Y\)는 affine이다.
\(\varphi\)가 quasi-compact이라 하자. 그럼 \(X_A\)는 quasi-compact이므로 유한히 많은 affine open subset \(\Spec B_1,\ldots, \Spec B_n\)으로 덮이고, 따라서 \(W\)는 유한히 많은 affine open subset \(\Spec (B_i\otimes_AC)\)들로 덮여 quasi-compact이다. 이제 §스킴 사상의 성질들, ⁋명제 7의 첫째 결과에 의하여 \(\rho_Y\)는 quasi-compact이다.
\(\varphi\)가 quasi-separated라 하자. 그럼 \(X_A\)는 quasi-separated scheme이다. \(X_A\)의 affine open covering \(\{\Spec B_i\}\)를 택하면 \(\{W_i=\Spec (B_i\otimes_AC)\}\)는 \(W\)의 affine open covering이고, \(\Spec B_i\cap \Spec B_j\)가 quasi-compact이므로 이를 \(\Spec B_i\)의 유한히 많은 principal open set \(D(h_1),\ldots, D(h_s)\)의 합집합으로 쓸 수 있어 (§스펙트럼, ⁋보조정리 11)
는 유한히 많은 affine open subset의 합집합, 곧 quasi-compact이다. 이제 일반적으로 scheme \(W\)가 \(W_i\cap W_j\)들이 모두 quasi-compact인 affine open covering \(\{W_i\}\)를 갖는다면 \(W\)가 quasi-separated임을 보이자. \(W\)의 임의의 quasi-compact open subset은 유한히 많은 affine open subset의 합집합이므로, \(W\)의 임의의 두 affine open subset \(P,Q\)에 대하여 \(P\cap Q\)가 quasi-compact임을 보이면 충분하다. §스킴의 위상구조, ⁋보조정리 11 (Nike)과 \(P,Q\)의 quasi-compactness에 의하여 \(P\)와 \(Q\)는 각각 유한히 많은, 자기 자신과 어떤 \(W_i\) 모두에서 principal open set인 열린집합들로 덮이므로, 결국 \(W_i\)의 principal open set \(D(f)\)와 \(W_j\)의 principal open set \(D(g)\)에 대하여 \(D(f)\cap D(g)\)가 quasi-compact임을 보이면 된다. 그런데 \(D(f)\cap D(g)\subseteq W_i\cap W_j\)이고 \(W_i\cap W_j\)는 quasi-compact이므로 이를 \(W_i\)의 유한히 많은 principal open set \(D(h_1),\ldots, D(h_s)\)의 합집합으로 쓸 수 있고, 따라서
이다. 이 때 각각의 \(D(fh_t)\)는 \(W_i\cap W_j\)에 포함되는 affine open subset이므로 이를 \(W_j\)의 affine open subset으로 보면 \(D(fh_t)\cap D(g)\)는 \(g\)의 restriction이 affine scheme \(D(fh_t)\) 위에서 정의하는 principal open set이고 (§스펙트럼, ⁋명제 8) 따라서 affine이다. 즉 \(D(f)\cap D(g)\)는 유한히 많은 affine open subset의 합집합이므로 quasi-compact이다. 이상에서 \(W\)는 quasi-separated이고, §스킴 사상의 성질들, ⁋명제 7의 둘째 결과에 의하여 \(\rho_Y\)는 quasi-separated이다.
\(\varphi\)가 integral (resp. finite)이라 하자. 그럼 \(\varphi\)는 affine이므로 \(X_A=\Spec B\)이고 \(A \rightarrow B\)가 integral (resp. finite)이다. 따라서 \(\rho_Y^{-1}(\Spec C)=\Spec (B\otimes_AC)\)이고 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 14에 의하여 \(C \rightarrow B\otimes_AC\) 또한 integral (resp. finite)이다. 이 두 성질이 affine-local on target이라는 것은 §스킴 사상의 성질들, ⁋정의 11 직후에 살펴보았으므로, \(Y\)의 affine open covering \(\{\Spec C\}\) 위에서 확인한 것으로 충분하다.
\(\varphi\)가 locally of finite type이라 하자. \(X_A\)의 affine open covering \(\{\Spec B_i\}\)를 택하면 각각의 \(A \rightarrow B_i\)는 finite type이고, \(B_i\)를 \(A\)-algebra로서 생성하는 원소들을 \(x_1,\ldots, x_n\)이라 하면 \(B_i\otimes_AC\)는 \(C\)-algebra로서 \(x_1\otimes 1,\ldots, x_n\otimes 1\)에 의해 생성되므로 \(C \rightarrow B_i\otimes_AC\) 또한 finite type이다. 이제 \(W\)의 모든 affine open subset에 대하여 같은 결론을 얻어야 하는데, 이는 방금 만든 affine open covering \(\{\Spec (B_i\otimes_AC)\}\)에 §스킴 사상의 성질들, ⁋보조정리 13을 적용하면 얻어진다. 즉 \(\rho_Y\)는 locally of finite type이다. 또 morphism of finite type은 quasi-compact이면서 locally of finite type인 morphism이므로, 위의 quasi-compact인 경우와 종합하면 finite type 또한 base change에 대해 보존된다.
\(\varphi\)가 locally of finite presentation이라 하자. §스킴 사상의 성질들, ⁋정의 18의 조건은 preimage의 어떤 affine open covering에 대한 조건이므로 이 경우는 오히려 간단하다. 가정에 의하여 \(X_A\)의 affine open covering \(\{\Spec B_i\}\)가 존재하여 각각의 \(B_i\)가
이므로 (\(\bar{f}_k\)는 \(f_k\)의 계수를 \(C\)로 보낸 것) \(C \rightarrow B_i\otimes_AC\) 또한 finitely presented이다. 즉 \(W\)의 affine open covering \(\{\Spec (B_i\otimes_AC)\}\)가 \(\Spec C\) 위에서 요구되는 조건을 증언한다. 이 성질이 affine-local on target이라는 것은 §스킴의 위상구조, ⁋보조정리 12를 성질 “\(\varphi^{-1}(\Spec B)\)가, \(B \rightarrow R_i\)가 모두 finitely presented인 affine open covering \(\{\Spec R_i\}\)를 갖는다”에 적용하여 얻어진다. 실제로 §스킴의 위상구조, ⁋정의 9의 첫째 조건은 \(\varphi^{-1}(D(f))\)가 \(\Spec (R_i)_f\)들로 덮이고 \((R_i)_f\cong R_i\otimes_BB_f\)가 finitely presented homomorphism의 base change라는 것으로부터, 둘째 조건은 \(B \rightarrow B_f\cong B[\y]/(f\y-1)\)가 finitely presented이고 finitely presented homomorphism들의 합성이 다시 finitely presented라는 것으로부터 얻어진다. 마지막으로 morphism of finite presentation은 quasi-compact, quasi-separated이면서 locally of finite presentation인 morphism이므로, 앞의 결과들과 종합하면 이 성질 또한 base change에 대해 보존된다.
이제 남은 두 성질을 위해 fiber를 계산하자. \(y\in Y\)와 그 image \(z\in Z\)에 대하여, \(\mathcal{O}_{Z,z} \rightarrow \mathcal{O}_{Y,y}\)가 local homomorphism이므로 \(\Spec \kappa(y) \rightarrow Y \rightarrow Z\)는 \(\Spec\kappa(z) \rightarrow Z\)를 통해 인수분해되고, 따라서 위에서와 같이 fiber diagram들을 합성하면 정의 12에 의하여
를 얻는다. 또 보조정리 3에 의하여, \(\varphi^{-1}(z)\)의 affine open subset \(\Spec R\)에 대하여 \(\Spec (R\otimes_{\kappa(z)}\kappa(y))\)는 \(\rho_Y^{-1}(y)\)의 열린집합이며 이러한 것들이 \(\rho_Y^{-1}(y)\)를 덮는다.
\(\varphi\)가 surjective라 하자. 우선 \(\varphi^{-1}(z)\)가 공집합이 아님을 확인한다. \(\varphi(x)=z\)인 \(x\in X\)를 택하고, \(x\)를 포함하며 \(\varphi\)에 의해 \(\Spec A\) 안으로 들어가는 affine open subset \(\Spec B\subseteq X\)와 이에 대응되는 ring homomorphism \(\phi:A \rightarrow B\)를 택하자. \(x\)와 \(z\)에 대응되는 prime ideal을 각각 \(\mathfrak{q}\subseteq B\), \(\mathfrak{p}\subseteq A\)라 하면 \(\phi^{-1}(\mathfrak{q})=\mathfrak{p}\)이고, 보조정리 10과 localization의 성질로부터
이므로 \(\mathfrak{q}\)는 이 ring의 prime ideal을 정의한다. 즉 \(\varphi^{-1}(z)\neq\emptyset\)이다. 이제 \(\varphi^{-1}(z)\)의 공집합이 아닌 affine open subset \(\Spec R\)을 택하면 \(R\)은 \(0\)이 아닌 \(\kappa(z)\)-algebra이고, \(\kappa(y)\)가 \(0\)이 아닌 \(\kappa(z)\)-벡터 space이므로 \(R\otimes_{\kappa(z)}\kappa(y)\neq 0\)이다. \(0\)이 아닌 ring은 항상 prime ideal을 가지므로 \(\Spec (R\otimes_{\kappa(z)}\kappa(y))\neq\emptyset\)이고, 따라서 \(\rho_Y^{-1}(y)\neq\emptyset\)이다. \(y\)는 임의였으므로 \(\rho_Y\)는 surjective이다.
마지막으로 \(\varphi\)가 quasi-finite라 하자. \(\varphi\)는 finite type이므로 위에서 본 대로 \(\rho_Y\) 또한 finite type이고, 따라서 \(\rho_Y\)의 fiber들이 모두 유한집합임만 보이면 된다. \(\varphi\)가 quasi-compact이므로 base change에 대한 quasi-compactness의 보존을 \(\Spec \kappa(z) \rightarrow Z\)에 적용하면 \(\varphi^{-1}(z)\)가 quasi-compact임을 알고, 따라서 이를 유한히 많은 affine open subset \(\Spec R_1,\ldots, \Spec R_n\)으로 덮을 수 있다. 마찬가지로 \(\varphi\)가 locally of finite type이므로 각각의 \(R_l\)은 finite type \(\kappa(z)\)-algebra이며, 가정에 의하여 각각의 \(\Spec R_l\)은 유한집합이다.
이제 유한히 많은 prime ideal만을 갖는 finite type \(\mathbb{K}\)-algebra \(R\)은 항상 유한차원 \(\mathbb{K}\)-벡터 space임을 보이자. 우선 \(R\)의 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)가 maximal임을 보인다. 만일 \(\mathfrak{p}\)를 진부분집합으로 포함하는 prime ideal이 존재한다면 \(d=\dim R/\mathfrak{p}\geq 1\)이고, [가환대수학] §뇌터 정규화, ⁋정리 1 (Noether normalization lemma)에 의하여 \(R/\mathfrak{p}\)는 polynomial ring \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_d]\)를 subring으로 가지며 그 위에서 finitely generated module, 특히 integral extension이다. 그런데 \(d\geq 1\)이므로 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_d]\)는 \(\mathbb{K}[\x_1]\)의 서로 다른 irreducible polynomial들이 생성하는 무한히 많은 prime ideal을 갖고, [가환대수학] §정수적 확장과 아이디얼, ⁋명제 1에 의하여 이들 각각 위에 \(R/\mathfrak{p}\)의 prime ideal이 놓이므로, \(R\)이 유한히 많은 prime ideal만을 갖는다는 가정에 모순이다. 따라서 \(R\)의 모든 prime ideal은 maximal이고, [가환대수학] §기본 개념들, ⁋정리 12 (Hilbert basis theorem)에 의하여 \(R\)이 Noetherian이므로 [가환대수학] §조르단-횔더 정리, ⁋정리 4에 의하여 \(R\)은 \(R\)-module로서 유한한 length를 갖는다. 이 때 composition factor들은 모두 \(R/\mathfrak{m}\)의 꼴인데, field는 Jacobson ring이므로 [가환대수학] §영점정리, ⁋정리 4에 의하여 \(R/\mathfrak{m}\)은 \(\mathbb{K}\)의 finite extension이다. 따라서 \(R\)은 유한차원 \(\mathbb{K}\)-벡터 space이다.
그럼 각각의 \(R_l\)은 유한차원 \(\kappa(z)\)-벡터 space이므로 \(R_l\otimes_{\kappa(z)}\kappa(y)\) 또한 유한차원 \(\kappa(y)\)-벡터 space이고, 따라서 Artinian ring이 되어 위에서와 같은 이유로 유한히 많은 prime ideal만을 갖는다. ([가환대수학] §조르단-횔더 정리, ⁋따름정리 6) 이제 \(\rho_Y^{-1}(y)\)는 유한히 많은 \(\Spec (R_l\otimes_{\kappa(z)}\kappa(y))\)들로 덮이므로 유한집합이고, 이로써 \(\rho_Y\)가 quasi-finite임을 안다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977. [Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.
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