뇌터 정규화

이 글은 현재 수정 중입니다. 아래 본문은 2026-07-19 시점의 판본이라 틀린 서술이 남아 있을 수 있고, 이 글을 가리키는 다른 글의 참조가 어긋나 있을 수 있습니다.

뇌터 정규화

이번 글의 목표는 다음의 정리를 보이고, 이에 따른 결과들을 살펴보는 것이다.

정리 1 (Noether normalization lemma) Finitely generated $d$-dimensional $\mathbb{K}$-algebra $A$에 대하여, 다음의 부등식

\[d_1>d_2>\cdots>d_m>0\]

을 만족하는 자연수들과, $\dim \mathfrak{a}_i=d_i$를 만족하는 $A$의 ideal들의 descending chain

\[\mathfrak{a}_1\subset \mathfrak{a}_2\subset\cdots\subset \mathfrak{a}_m\]

이 주어졌다 하자. 그럼 $A$의 적당한 subring $B\cong \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_d]$가 존재하여, $A$가 $B$-module로서 finitely generated이고 다음 식

\[\mathfrak{a}_i\cap B=(\x_{d_i+1},\ldots, \x_d)\qquad\text{for $i=1,\ldots, m$}\]

이 성립하도록 할 수 있다.

이는 다음의 보조정리를 사용하여 보일 수 있으며, 이에 대한 증명은 생략하기로 한다.

보조정리 2 Field $\mathbb{K}$와, non-constant polynomial $f\in B=\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_r]$이 주어졌다 하자. 그럼 적당한 원소들 $\x_1',\ldots, \x_{r-1}'\in B$가 존재하여, 원소들 $\x_1',\ldots, \x_{r-1}', f$로 생성된 $B$의 $\mathbb{K}$-subalgebra를 $B'$라 했을 때 $B$가 finitely generated $B'$-module이도록 할 수 있다. 뿐만 아니라, 이들 원소들은 다음과 같이 택할 수 있다.

충분히 큰 정수 $e$에 대하여, $\x_i'=\x_i-\x_r^{e}$으로 택할 수 있다.
만일 $\mathbb{K}$가 infinite field라면, 적당한 $a_i\in \mathbb{K}$들에 대해 $\x_i'=\x_i-a_i\x_r$로 택할 수 있다.

그럼 정리 1 (Noether normalization lemma)의 증명은 다음과 같다.

정리 1의 증명

우선 $A$가 finitely generated $\mathbb{K}$-algebra이므로 $A=\mathbb{K}[\y_1,\ldots, \y_r]/\mathfrak{a}$라 적을 수 있다. 그럼 주어진 조건을 만족하는 ideal들의 chain이 주어졌다 하면, 이들의 $\mathbb{K}[\y_1,\ldots, \y_r]$에서의 preimage들로 이루어진 chain

\[\tilde{\mathfrak{a}}_1\subset \tilde{\mathfrak{a}}_2\subset\cdots\subset \tilde{\mathfrak{a}}_m\]

를 생각한 후 $\mathfrak{a}_0=\mathfrak{a}$를 끼워넣어 이를 $\mathbb{K}[\y_1,\ldots, \y_r]$에서의 ideal들의 descending chain

\[\mathfrak{a}\subset \tilde{\mathfrak{a}}_1\subset \tilde{\mathfrak{a}}_2\subset\cdots\subset \tilde{\mathfrak{a}}_m\]

으로 볼 수 있으므로 주어진 주장을 polynomial ring $A=\mathbb{K}[\y_1,\ldots, \y_r]$에 대해서만 보이면 충분하다. 이 경우, §매개계, ⁋따름정리 11에 의하여 $r=d$여야 한다.

이제 정리의 원소들 $\x_i$들을 만들기 위해 우리는 우선 $\x_i'=\y_i$로 두고, 이들을 바꿔가며 주어진 조건을 만족하는 $\x_d$들을 찾을 것이다. 이를 위해 다음의 두 조건

$A$는 finitely generated $B_e=\mathbb{K}[\x_1',\ldots, \x_e',\x_{e+1},\ldots, \x_d]$-module이다.
각각의 $i$에 대하여 $\mathfrak{a}_i\cap B_e\supset(\x_m,\ldots, \x_d)$이 성립한다. 여기서 $m=\max(d_i+1, e+1)$이다.

을 만족하는 원소들 $\x_1',\ldots, \x_e', \x_{e+1},\ldots, \x_d$들이 주어졌다 하고, 이로부터 새로운 원소들 $\x_1',\ldots, \x_{e-1}'$ 그리고 $\x_e$를 찾아 위의 조건이 그대로 유지되도록 할 수 있다는 것을 보인다. 그럼 이 과정을 반복하여 마지막으로 얻어진 $B=B_{d_m}$이 원하는 조건을 만족한다는 것은 둘째 조건의 포함관계가 사실 등식이라는 것을 보이면 자명하며, 이는 양 변에 있는 $B$의 두 ideal들의 차원을 생각하면 당연하다.

이제 이 귀납법을 완성하기 위해, $d\geq e>d_m$을 만족하는 $e$에 대하여, 위의 두 조건을 만족하는 $\x_1',\ldots, \x_e', \x_{e+1},\ldots, \x_d$들이 주어졌다 하고, $i$가 $e>d_i$를 만족하는 것들 중 가장 작은 index라 가정하자. 그럼

\[\mathfrak{a}_i\cap \mathbb{K}[\x_1',\ldots, \x_e']\neq 0\]

이다. 만일 이 교집합이 $0$이라 가정하면, 둘째 조건에 의해

\[\mathfrak{a}_i\cap B_e\supseteq (\x_{e+1},\ldots, \x_d)\]

이 성립하는데, 좌변의 ideal은 $d_i$-차원이고, 우변의 ideal의 차원은 $e$가 되어 모순이기 때문이다. 이제 $\x_e$를 위의 교집합에 속하는 아무 nonzero polynomial로 잡은 후, 보조정리 2를 사용하여 새로운 원소들 $\x_1',\ldots, \x_{e-1}'$들도 새로운 원소로 교체해주면 된다.

결과들

정리 1 (Noether normalization lemma)은 다음의 결과를 준다.

정리 3 Ring $A$가 integral domain이고, finitely generated $\mathbb{K}$-algebra라 하자. 그럼 $\dim A=\trdeg_\mathbb{K}\Frac(A)$이다.

정리 3은 quotient를 취한 상황으로 자연스럽게 일반화되어, 다음의 차원 공식_{dimension formula}을 준다.

정리 4 Finitely generated $\mathbb{K}$-algebra domain $A$와 그 prime ideal $\mathfrak{p}$에 대하여 다음이 성립한다.

\[\dim A/\mathfrak{p}+\operatorname{ht}\mathfrak{p}=\dim A\]

증명

부등식 $\dim A/\mathfrak{p}+\operatorname{ht}\mathfrak{p}\leq\dim A$는 임의의 ring에 대하여 성립하므로 (§차원, ⁋정의 2), 반대 부등식만 보이면 된다. $n=\dim A$, $d=\dim A/\mathfrak{p}=\dim\mathfrak{p}$라 두자. 정리 1 (Noether normalization lemma)을 $A$의 ideal $\mathfrak{a}_1=\mathfrak{p}$ 하나로 이루어진 chain에 적용하면, $A$의 subring $B\cong\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]$이 존재하여 $A$가 finitely generated $B$-module이고 $\mathfrak{p}\cap B=(\x_{d+1},\ldots, \x_n)$을 만족한다. 그럼 $B\hookrightarrow A$가 integral extension이므로 §정수적 확장과 아이디얼, ⁋명제 1과 정수적 확장과 아이디얼에 의하여 $\operatorname{ht}_A\mathfrak{p}=\operatorname{ht}_B(\mathfrak{p}\cap B)$이다.

이제 polynomial ring $B=\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]$에서 ideal $(\x_{d+1},\ldots, \x_n)$의 height를 계산하자. chain

\[(0)\subset(\x_n)\subset(\x_{n-1},\x_n)\subset\cdots\subset(\x_{d+1},\ldots, \x_n)\]

은 이 ideal의 height가 적어도 $n-d$임을 보여주며, 몫환 $B/(\x_{d+1},\ldots, \x_n)\cong\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_d]$가 $d$차원이므로 (§매개계, ⁋따름정리 11) 부등식 $\dim+\operatorname{ht}\leq n$으로 height는 기껏해야 $n-d$이다. 따라서 $\operatorname{ht}_B(\x_{d+1},\ldots, \x_n)=n-d$이며, 결국 $\operatorname{ht}\mathfrak{p}=n-d=\dim A-\dim A/\mathfrak{p}$이다.

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