차원

기하학에서 차원은 가장 기본적인 불변량 중 하나이다. Algebraic geometry에서도 차원은 마찬가지로 중요하며, 이를 정의하는 여러 가지 동등한 방법이 존재한다. 이 글에서 우리는 variety의 차원을 정의하는 여러 방법을 살펴본다.

위상공간으로서의 차원

Algebraic variety는 이미 위상공간이므로, [위상수학] §차원, ⁋정의 10을 사용하여 \(X\)의 차원을 irreducible closed subset들의 strictly descending chain의 length의 supremum으로 정의할 수 있다.

예시 1 Infinite field \(\mathbb{K}\)에 대하여, \(\mathbb{A}^1\)에서 닫힌집합들은 \(\mathbb{A}^1\) 전체와 유한집합들뿐이다. 따라서 가장 긴 chain은 \(\mathbb{A}^1 \supsetneq \{p\}\)이며, 이는 length \(1\) chain이므로 \(\mathbb{A}^1\)은 이 정의에 따르면 \(1\)차원이 된다.

이 정의는 순수하게 위상적인 관점에서 차원을 정의한다는 장점이 있다. 그러나 실제로 계산을 위해서는 irreducible closed subset들의 chain을 모두 알아야하므로 그렇게 효율적이지는 않다.

Affine variety의 차원

한편 우리는 이미 algebraic variety와 그 위에 정의된 함수들 사이의 관계가 아주 긴밀하다는 것을 알고 있다. 그렇다면, algebraic variety 위의 함수들의 대수구조가 차원에 대한 정보를 담고있다고 하여도 그렇게 놀라운 일은 아닐 것이다. 이러한 관점을 통해 접근하려면 그 coordinate ring \(\mathbb{K}[X]\)가 깔끔하게 주어지는 affine variety의 경우를 보는 것이 좋을 것이다.

명제 2 Algebraically closed field \(\mathbb{K}\) 위에 정의된 affine variety \(X\)의 차원은 coordinate ring \(\mathbb{K}[X]\)의 Krull dimension과 같다. ([가환대수학] §차원, ⁋정의 1)

증명

§아핀다양체, ⁋명제 12로부터 affine variety의 irreducible closed subset과 \(\mathbb{K}[X]\)의 prime ideal 사이의 일대일대응이 존재한다.

따름정리 3 Infinite field \(\mathbb{K}\)에 대하여, \(\dim \mathbb{A}^n = n\)이다.

증명

[가환대수학] §매개계, ⁋따름정리 11

한편, 우리는 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\subseteq \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)에 대하여 다음의 식

\[\dim \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]/\mathfrak{p}+\codim \mathfrak{p}=\dim \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]=n\tag{$\ast$}\]

이 성립하는 것을 안다. ([가환대수학] §뇌터 정규화, ⁋정리 4) 여기서 codimension \(\mathfrak{p}\)는 [가환대수학] §차원, ⁋정의 2에서 정의된 것으로, \(\mathfrak{p}\)에 포함되는 prime ideal들의 chain의 길이의 supremum이며, 기하적으로는 \(X=Z(\mathfrak{p})\)를 포함하는 \(\mathbb{A}^n\)의 closed subvariety들의 chain의 길이의 supremum이다. 기하적으로 우리는 \(\dim \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]/\mathfrak{p}\)이 \(Z(\mathfrak{p})\)의 차원인 것을 알고 있으므로, 이를 통해 (\(\ast\))에 기하적인 의미를 부여할 수 있다.

Projective variety의 차원

문제는 projective variety로 넘어가면서부터 발생한다. \(\mathbb{P}^n\)의 global function은 오직 상수함수들 뿐이었음을 기억하자. Projective variety \(X\subseteq \mathbb{P}^n\)의 차원은 이미 위상공간의 차원으로 정의되어 있으므로 남는 문제는 이를 계산하는 방법이고, 이러한 상황에서 가장 먼저 떠오르는 것은 affine chart를 잡는 것이다. 즉 \(\mathbb{P}^n\)의 affine open chart \(U_i\)를 택한 후, \(X_i=X\cap U_i\)의 affine variety로서의 차원을 생각하면 된다. 그러나 이 방법이 옳음을 보이기 위해서는 임의의 열린집합의 차원이 원래 variety의 차원과 같다는 것을 보여야하므로 아직은 이를 쓸 수 없다. 그 대신 우리는 \(X\)의 affine cone \(C(X)\)를 이용한다.

Projective variety \(X\subseteq \mathbb{P}^n\)에 대하여, affine cone \(C(X)\subseteq \mathbb{A}^{n+1}\)은 \(X\)를 정의하는 homogeneous ideal을 \(\mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]\)의 ideal로 봤을 때 이것이 정의하는 \(\mathbb{A}^{n+1}\)의 affine variety이다. 즉 \(X\)가 정의하는 homogeneous ideal \(I(X)\)에 대하여, ring \(S(X)\)를

\[S(X)=\mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]/I(X)\]

으로 정의하면 이것이 affine cone의 coordinate ring이 되는 것이다. Projective variety의 차원을 계산하기 위해 핵심적인 것은 다음의 결과이다.

명제 4 Projective variety \(X \subseteq \mathbb{P}^n\)에 대하여 \(\dim X = \dim S(X) - 1\)이다.

이는 graded ring에서의 계산을 통해 보일 수 있다. 특히 \(\dim C(X) = \dim X + 1\)이며, 이로부터 다음을 얻는다.

명제 5 \(\dim \mathbb{P}^n = n\)이다.

증명

\(\mathbb{P}^n\)의 cone은 \(\mathbb{A}^{n+1}\)이고 \(\dim \mathbb{A}^{n+1} = n+1\)이므로 \(\dim \mathbb{P}^n = (n+1) - 1 = n\)이다.

초곡면의 차원

Hypersurface는 단일 다항식의 zero set으로 정의되는 variety이다. 직관적으로, 하나의 식을 추가하는 것은 하나의 제약조건을 주는 것과 같으므로 차원을 하나 줄이게 될 것이다.

명제 6 Algebraically closed field \(\mathbb{K}\)와 그 위의 irreducible polynomial \(f \in \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)에 대하여, irreducible hypersurface \(Z(f) \subseteq \mathbb{A}^n\)의 차원은 \(n - 1\)이다.

증명

\(f\)가 irreducible이므로 \((f)\)는 prime ideal이고, 따라서 \(Z(f)\)의 coordinate ring은 \(\mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]/(f)\)이다. 이제 \(\mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)에서 \((f)\)의 codimension이 1임을 보이자. \((0) \subsetneq (f)\)는 길이 1의 chain이므로 \(\codim(f) \ge 1\)이다. 반면 \((0) \subsetneq \mathfrak{q} \subseteq (f)\)인 prime ideal \(\mathfrak{q}\)가 주어지면, \(0 \neq g \in \mathfrak{q}\)를 UFD \(\mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)에서 인수분해하였을 때 어떤 irreducible 인수 \(p\)가 \(\mathfrak{q}\)에 속하고, \((p) \subseteq (f)\)로부터 \(f \mid p\), 즉 \((f) = (p) \subseteq \mathfrak{q}\)이므로 \(\mathfrak{q} = (f)\)이다. 그럼 \((0)\)과 \((f)\) 사이에 다른 prime ideal이 존재할 수 없다. 따라서 \(\codim(f) = 1\)이고,

\[\dim \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]/(f) = \dim \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n] - \codim(f) = n - 1\]

이다. 여기서 첫째 등식은 [가환대수학] §뇌터 정규화, ⁋정리 4에 의한 것이다.

함수체를 통한 차원

차원을 정의하는 또 다른 방법은 function field를 사용하는 것이다. Function field \(\mathbb{K}(X)\)는 variety의 generic point에서의 정보를 담고 있으며, birational invariant이기도 하다. 다음 명제 또한 대수적인 사실로부터 유도된다. ([가환대수학] §뇌터 정규화, ⁋정리 3)

명제 7 Variety \(X\)의 차원은 function field \(\mathbb{K}(X)\)의 \(\mathbb{K}\) 위에서의 transcendence degree와 같다.

예시 8 다음은 function field를 통한 차원 계산의 예시들이다.

1. \(\mathbb{K}(\mathbb{A}^n) = \mathbb{K}(\x_1, \ldots, \x_n)\)이고, \(\x_1, \ldots, \x_n\)은 \(\mathbb{K}\) 위에서 algebraically independent이므로 \(\dim \mathbb{A}^n = n\)이다.
2. \(\mathbb{K}(V(\y - \x^2)) = \mathbb{K}(\x)\)이고, \(\x\)는 \(\mathbb{K}\) 위에서 algebraically independent이므로 \(\dim V(\y - \x^2) = 1\)이다. 이는 parabola가 곡선이라는 직관과 일치한다.
3. \(\mathbb{K}(\mathbb{P}^n) = \mathbb{K}(\x_1/\x_0, \ldots, \x_n/\x_0)\)이고, \(\x_1/\x_0, \ldots, \x_n/\x_0\)는 \(\mathbb{K}\) 위에서 algebraically independent이므로 \(\dim \mathbb{P}^n = n\)이다. 이는 projective space가 affine space와 birationally equivalent함을 반영한다.

차원의 기본 성질

차원의 가장 기본적인 성질은 진부분집합의 차원이 더 작다는 것이다. 이는 기하학적으로 자명한 사실이다.

명제 9 Variety \(X\)의 closed subvariety \(Y \subsetneq X\)에 대하여 \(\dim Y < \dim X\)이 성립한다.

증명

\(Y\)의 closed subvariety들의 maximal chain

\[Y = Y_0 \supsetneq Y_1 \supsetneq \cdots \supsetneq Y_n \neq \emptyset\]

을 생각하면, \(X\)가 irreducible이므로

\[X \supsetneq Y = Y_0 \supsetneq Y_1 \supsetneq \cdots \supsetneq Y_n\]

은 \(X\)의 closed subvariety들의 길이가 \(n+1\)인 chain이다.

이는 명제 6의 약한 형태의 일반화라 생각할 수 있다. Hypersurface \(Z(f)\subsetneq \mathbb{A}^n\)에 적용하면 \(\dim Z(f)\leq n-1\)만이 나오므로, 하나의 방정식이 차원을 정확히 하나 떨어뜨린다는 것까지는 이로부터 얻을 수 없다. 이제 regular map과 차원의 관계에 대해 살펴보자.

명제 10 두 variety \(X, Y\)와 regular map \(\varphi: X \rightarrow Y\)에 대해 다음이 성립한다.

1. \(\dim \varphi(X) \le \dim X\)가 성립한다.
2. 만약 \(\varphi\)가 dominant라면 \(\dim Y \le \dim X\)이 성립한다. (§유리사상, ⁋정의 8)

증명

둘째 결과부터 보이자. \(\varphi\)가 dominant라면, pullback \(\varphi^\ast: \mathbb{K}(Y)\rightarrow \mathbb{K}(X)\)가 injective이고, 따라서 명제 7로부터 원하는 결과를 얻는다.

첫째 결과는 이로부터 따라온다. \(X\)가 irreducible이고 \(\varphi\)가 연속이므로 \(\varphi(X)\) 또한 irreducible이고, 따라서 \(Y\)에서의 closure \(\overline{\varphi(X)}\)는 \(Y\)의 closed subvariety이다. \(\varphi\)의 공역을 \(\overline{\varphi(X)}\)로 제한하여 얻은 regular map은 정의에 의해 dominant이므로, 방금 보인 둘째 결과로부터 \(\dim \overline{\varphi(X)}\leq \dim X\)를 얻는다. 한편 \(\varphi(X)\)의 irreducible closed subset들의 chain

\[Z_0 \supsetneq Z_1 \supsetneq \cdots \supsetneq Z_n\]

이 주어지면, 각 \(Z_i\)는 \(\varphi(X)\)의 닫힌집합이므로 \(Y\)에서의 closure \(\overline{Z_i}\)에 대하여 \(\overline{Z_i}\cap \varphi(X)=Z_i\)이고, 따라서 strict inclusion이 보존되어

\[\overline{Z_0} \supsetneq \overline{Z_1} \supsetneq \cdots \supsetneq \overline{Z_n}\]

은 \(\overline{\varphi(X)}\)의 irreducible closed subset들의 chain이다. 그럼 \(\dim \varphi(X)\leq \dim \overline{\varphi(X)}\)이므로 원하는 결과를 얻는다.

첫째 결과는 일반적으로 기하적인 함수가 차원을 높일 수 없다는 우리의 직관을 뒷받침한다. 둘째 결과는 대략적으로 \(\varphi\)가 (up to birational equivalence) surjective라면 target의 차원이 domain의 차원보다 높을 수 없다는 것을 보여준다.

정의 11 Irreducible variety \(X, Y\) 사이의 regular map \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 finite라는 것은, 모든 affine open \(U \subseteq Y\)에 대하여 \(\varphi^{-1}(U)\)가 affine이고, \(\mathbb{K}[\varphi^{-1}(U)]\)가 \(\mathbb{K}[U]\) 위의 finitely generated module인 것을 의미한다.

Finite morphism은 finite fiber를 갖는다는 것을 보일 수 있다. 차원에 대해서는 다음이 성립한다.

명제 12 두 variety들 \(X, Y\)와 finite surjective map \(\varphi: X \rightarrow Y\)에 대해 \(\dim X = \dim Y\)이다.

증명

\(\varphi\)가 finite이면, coordinate ring level에서 \(\mathbb{K}[X]\)는 \(\mathbb{K}[Y]\)-module로서 finitely generated이다. 따라서 \(\mathbb{K}(X)\)는 \(\mathbb{K}(Y)\)의 finite degree extension이고, transcendence degree가 같다. 즉, \(\dim X = \dim Y\)이다.

예시 13 \(\mathbb{A}^n\)의 \(k\)차원 linear subspace \(L\)은 \(\dim L = k\)이다. 이는 \(L \cong \mathbb{A}^k\)이기 때문이다. 마찬가지로 \(\mathbb{P}^n\)의 \(k\)차원 linear subspace \(L\)은 \(\dim L = k\)이다.

예시 14 두 variety들 \(X, Y \subseteq \mathbb{A}^n\)이 \(X \cap Y \neq \emptyset\)을 만족할 때, 일반적으로

\[\dim(X \cap Y) \ge \dim X + \dim Y - n\]

이다. 이를 dimension inequality라 부른다. 이것이 부등식인 이유는 가령, \(X=Y\)와 같은 극단적인 상황에서는 원하는 식이 성립하지 않을 수 있기 때문이다. 등호가 성립하는 경우를 proper intersection이라 부른다.

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참고문헌

[Har] J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992.
[Hart] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.
[AM] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.