§저우 군에서 우리는 Chow group \(\CH^\ast(X)\)를 정의하였다. 우리는 해당 글의 말미에서 여기에 intersection product를 정의하여 ring구조를 줄 수 있다고 주장했었는데, 이번 글에서는 이를 정의하고 성질들을 살펴본다.
다음 정의는 한 점 \(p\) 근방에서 두 variety \(V,W\)의 intersection이 무엇인지 보여준다. 정의에 의해 이는 점 \(p\) 근방에서 일어나는 일이므로, affine chart를 택한 후 ambient space를 \(\mathbb{A}^n\)으로 두고 정의해도 충분하다.
정의 1 아핀공간 \(\mathbb{A}^n\)의 점 \(p\)에서 두 variety \(V, W\)의 intersection multiplicity교차 중복도 \(i_p(V, W)\)를 다음의 식
\[i_p(V, W) = \dim_{\mathbb{K}} \mathcal{O}_{\mathbb{A}^n, p} / (I(V) + I(W))\]으로 정의한다.
정의에 의해 \(V\)와 \(W\)는 점 \(p\) 근방에서 \(I(V), I(W)\)의 원소들 각각의 공통 zero set으로 나타난다. 그럼 점 \(p\)가 이들 두 subvariety에 공통적으로 포함되기 위해서는 \(I(V)\)와 \(I(W)\)의 원소들 모두의 zero set으로 나타나야 하므로, 이를 위해 ideal sum \(I(V)+I(W)\)을 생각하게 된다. 일반적으로 ambient space에 비하여 \(V,W\)가 너무 작으면 이들은 일반적으로 만나지 않으므로 위의 식이 잘 정의되지 않는다. 즉, 우리는 \(\dim V+\dim W=n\)이 성립할 때만 위의 식을 사용한다. 일반적으로, 임의의 두 subvariety가 서로 만날 때 그 intersection의 예상 차원은 \(\dim V + \dim W -n\)이며, 이것이 점으로 나오기 위해서는 반드시 \(\dim V+\dim W=n\)이어야 함을 안다.
일반적으로 이 정의는 local complete intersection의 경우에 적용되고, singular한 상황에서는 다음의 Tor formula
\[i_p(V, W) = \sum_{i \ge 0} (-1)^i \dim_{\mathbb{K}} \Tor_i^{R}\bigl(R/I(V),\ R/I(W)\bigr)\]가 이를 정의해준다. 위의 식은 \(i = 0\) 항에 해당한다. 이 글에서 우리는 단순한 경우만 살펴보므로 위의 정의 1로 충분하다.
예시 2 \(\mathbb{A}^2\)에서 \(V=\{ \y = 0\}\)과 \(W=\{\y = \x^2\}\)가 원점에서 만난다. 각 곡선을 정의하는 ideal은 \(I(V) = (\y)\), \(I(W) = (\y - \x^2)\)이다. 정의를 따라 원점에서의 local ring에 대한 quotient를 계산하면
\[\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2, 0} / (\y, \y - \x^2) = \mathcal{O}_{\mathbb{A}^2, 0} / (\y, \x^2)\]이며, 이 quotient는 basis \(\{1, \x\}\)를 갖는 2차원 \(\mathbb{K}\)-vector space이다. 따라서 \(i_0(V, W) = 2\)이다. 이는 곡선 \(W\)가 \(V\) 위에서 \(\x=0\)에서 order 2로 접한다는 사실과 일치한다. 더 일반적으로 \(V=\{ \y = 0\}\)과 \(W=\{\y = \x^n\}\)에 대하여 \(i_0(V, W) = n\)이다.
위의 경우는 \(2\)차원에서 두 \(1\)차원 subvariety가 만나는 예시로, 우리는 이미 §곡면에서의 리만-로흐 정리, ⁋정의 1에서 이를 간략하게 소개한 바 있다. 해당 글에서 우리는 transversal intersection의 개념을 소개했는데, 이를 공식적으로 정의하자.
정의 3 두 variety \(V, W \subseteq \mathbb{A}^n\)이 점 \(p \in V \cap W\)에서 transversely intersect한다는 것은 tangent space의 합이 전체 공간을 채우는 것이다.
그럼 다음 두 명제는 §곡면에서의 리만-로흐 정리, ⁋명제 2의 자연스러운 일반화이다.
명제 4 Intersection multiplicity는 다음의 조건을 만족한다.
- 임의의 \(p\)와 \(V,W\)에 대하여, \(0\leq i_p(V,W)<\infty\)가 항상 성립하며, \(i_p(V,W)=0\)은 \(p\not\in V\cap W\)일 때 성립한다.
- \(V,W\)가 \(p\)에서 transversally intersect하는 것은 \(i_p(V,W)=1\)인 것과 동치이다.
- \(i_p\)는 §곡면에서의 리만-로흐 정리, ⁋명제 2의 모든 조건을 만족한다.
Intersection Product의 정의
지금까지의 정의는 엄밀히 말하면 Chow group에서의 intersection product의 모든 성질을 사용할 수 있도록 하는 것은 아니다. 가령 \(3\)차원 공간에서 두 평면은 일반적으로 한 직선에서 만나겠지만 우리는 두 부분공간의 교집합이 \(0\)차원인 경우만 다루고 있으므로 이를 설명할 수 없다. 따라서 다음을 우선 정의한다.
정의 5 Variety \(X\)의 두 subvariety \(V,W\)에 대하여, 다음 식
\[\codim(V \cap W) = \codim V + \codim W\]이 성립한다면 \(V,W\)가 properly intersect한다고 말한다.
특히 정의 1은 \(\codim (V\cap W)=n\)인 특수한 경우이다. 이제 우리는 만일 위의 등식이 \(V,W\)의 모든 component에 대해 성립한다면 이를 사용하여 다음의 식
\[V \cdot W = \sum_{T \subseteq V \cap W} i_T(V, W) \, [T]\]으로 정의할 수 있다. 여기서 \(i_T(V, W)\)는 component \(T\)에서의 intersection multiplicity로, 정의 1의 점에서의 multiplicity를 component \(T\)로 자연스럽게 확장한 값이다. \(T\)가 점 \(p\)라면 \(i_T(V, W) = i_p(V, W)\)이고, 일반적으로는 \(T\) 위의 일반적인 점에서 두 variety가 만나는 정도를 측정한 값으로, generic point에서의 intersection multiplicity로 엄밀하게 정의할 수 있다. 그럼 다음은 intersection multiplicity의 성질들을 intersection product로 올려둔 것이다.
명제 6 Smooth irreducible variety \(X\) 위에서 codimension \(k\), \(l\)의 두 cycle \(Z, W\)에 대하여, 위의 식으로부터 intersection product
\[Z \cdot W \in \CH^{k+l}(X)\]가 잘 정의된다. 뿐만 아니라, 이는 다음의 성질들을 만족한다.
를 정의할 수 있다.
- Symmetry. \(Z \cdot W = W \cdot Z\)가 성립한다.
- Bilinearity. \((aZ_1 + bZ_2) \cdot W = a(Z_1 \cdot W) + b(Z_2 \cdot W)\)가 성립한다.
- Associativity. \((Z_1 \cdot Z_2) \cdot Z_3 = Z_1 \cdot (Z_2 \cdot Z_3)\)가 성립한다.
그럼 다음 정의는 앞선 글에서부터 예견되었던 것이다.
정의 7 Intersection product에 의해 \(\CH^\ast(X) = \bigoplus_k \CH^k(X)\)는 graded ring이 된다. 이를 Chow ring이라 부른다.
Moving Lemma
이제 우리의 유일한 문제는 임의의 두 class가 주어졌을 때, 이들이 차원 조건을 만족한다 해도 두 cycle이 실제로 좋게 만나는지는 알 수 없다. 가령 현재 상태에서 우리는 특정한 class의 self-intersection을 정의할 수 없다. 이를 위해서는 더 일반적으로, 임의의 두 cycle이 주어졌을 때 하나를 rational equivalence 안에서 이동시켜 \(W\)와 properly intersect하도록 해 주어야 한다. 이를 보장하는 정리가 다음의 moving lemma이다.
보조정리 8 (Moving Lemma) Smooth quasi-projective variety \(X\)와 cycle \(Z \in \CH^k(X)\), 그리고 임의의 cycle \(W \in \CH^l(X)\)에 대해, \(Z' \sim_{\text{rat}} Z\)이고 \(Z'\)과 \(W\)가 properly intersect하는 \(Z'\)가 존재한다.
핵심 아이디어는 다음과 같다. \(Z\)를 구성하는 irreducible component \(V_i\)마다, \(V_i\)를 포함하는 충분히 “일반적인” hypersurface \(H_i\)로 자르고, \(V_i \cap H_1 \cap \cdots \cap H_s\)와 같은 형태의 cycle을 취한다. 이때 “일반적”이라는 것은 \(H_i\)가 \(W\)와 generic한 위치에서 만나도록 선택한다는 것으로, 이렇게 하면 차원이 적절히 떨어져 proper intersection을 이룬다. (§선형계, ⁋정의 5)에서 보았듯 basepoint-free linear system을 사용하면 이러한 “일반적인” 이동을 regular map으로 실현할 수 있으며, 이 과정이 rational equivalence를 보존함을 보이는 것이 증명의 핵심이다.
그럼 우리는 위의 보조정리를 사용하여 \(Z\)를 \(Z'\)로 옮겨준 후, 다음의 식
\[Z \cdot W := Z' \cdot W = \sum_{T \subset Z' \cap W} i_T(Z', W) [T]\]으로 intersection을 정의한다.
Deformation to Normal Cone
Moving lemma는 두 class가 주어졌을 때, 이를 perturb하여 intersection을 계산한다는 점에서 우리의 직관을 현실화한다. 그러나 이 접근은 quasi-projectivity라는 가정에 의존하며, 이를 일반적인 세팅으로 확장하기 위해서는 deformation to normal cone을 해야 한다.
핵심적인 관찰은 다음과 같다. 우선 §접공간과 매끄러움, ⁋정의 13에서 tangent cone을 정의했던 것을 기억하자. 이는 singular point에서의 국소적 구조를 이해하는 도구였으며, 이를 일반화하여 우리는 closed embedding \(i: Y \hookrightarrow X\)에 대해 \(Y\)의 \(X\) 안에서의 normal cone \(C_{Y/X}\)를 정의할 수 있다. 만일 \(X\)가 \(Y\)를 따라 smooth하다면 normal cone은 normal bundle \(N_{Y/X}\)가 되지만, 일반적으로는 cone 구조를 가진다.
명제 9 (Deformation to Normal Cone) Closed embedding \(i: Y \hookrightarrow X\)에 대해, \(\mathbb{A}^1\)을 매개변수로 하는 family \(M \to \mathbb{A}^1\)을 구성할 수 있다. 구체적으로, \(t \neq 0\)에서의 fiber \(M_t\)는 \(X\) 자신이며, \(t = 0\)에서의 fiber \(M_0\)는 normal cone \(C_{Y/X}\)이다. 이 family의 존재는 intersection product의 well-definedness를 이 family에 대한 pushforward/pullback의 호환성으로 환원시킨다.
증명 (스케치)
구성은 blow-up을 사용한다. 먼저 \(X \times \mathbb{A}^1\) 안에서 \(Y \times \{0\}\)를 따라 blow-up하여 \(\widetilde{M} = \Bl_{Y \times \{0\}}(X \times \mathbb{A}^1)\)을 얻고, 그 후 \(X \times \{0\}\)의 proper transform을 제거하여 \(M = \widetilde{M} \setminus \widetilde{X \times \{0\}}\)로 정의한다. 이 blow-up의 exceptional divisor는 \(\mathbb{P}(C_{Y/X} \oplus \mathcal{O}_Y)\)이며, proper transform을 제거하면 \(t=0\) fiber에서 정확히 normal cone \(C_{Y/X}\)가 남는다. \(t \neq 0\)에서는 blow-up이 isomorphism이므로 fiber가 \(X\) 그대로이다. 따라서 \(M \to \mathbb{A}^1\)은 \(t=1\)에서의 \(X\)를 \(t=0\)에서의 \(C_{Y/X}\)로 연결하는 deformation을 제공한다. Chow group에서 \(M\) 위의 specialization map \(\sigma: \CH^\ast(X) \to \CH^\ast(C_{Y/X})\)을 정의할 수 있고, normal cone이 vector bundle 구조를 가질 때 (즉 regular embedding의 경우) Thom isomorphism에 의해 \(\CH^\ast(C_{Y/X}) \cong \CH^\ast(Y)\)가 되어 intersection product의 well-definedness가 확립된다.
이 방법의 아이디어는 \(X\)를 연속적으로 변형하여 \(Y\)의 normal cone으로 수축시키는 것이다. 기하적으로, \(t=1\)에서는 원래 공간 \(X\)를 보고, \(t\)가 \(0\)으로 갈수록 \(X\)가 \(Y\)를 따라 점점 더 “펴지면서” 결국 \(t=0\)에서는 \(Y\)를 따라 벌어진 normal cone이 된다. (§유리사상, ⁋예시 12)의 blow-up이 한 점을 \(\mathbb{P}^1\)로 펼쳐 놓는 변형이었다면, deformation to normal cone은 이를 더 일반적인 embedding에 대해 수행하는 것이다.
예시들
Intersection product의 성질을 구체적인 예시들을 통해 확인해 보자.
예시 10 (\(\mathbb{P}^n\)) \(\CH^\ast(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}[H] / (H^{n+1})\)이다. 여기서 \(H\)는 hyperplane class로, 우리가 이미 계산한 \(\Pic(\mathbb{P}^n) \cong \CH^1(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}\)에 intersection product를 추가하면, \(H \cdot H = H^2\), \(H \cdot H^2 = H^3\), …의 곱셈이 추가되어 Chow ring이 완성된다.
예시 11 (Surface) 앞선 글에서 우리는 surface \(S\) 위의 두 curve \(C, D\)에 대해:
\[[C] \cdot [D] = \sum_{p \in C \cap D} i_p(C, D) [p] \in \CH^2(S)\]임을 보았다. 일반적인 surface의 경우 \(\CH^2(S)\)의 구조는 매우 복잡하며, 일반적으로 intersection multiplicity \(C \cdot D = \sum_{p \in C \cap D} i_p(C, D)\)는 degree map의 image로서 정수값을 얻지만, 이것의 kernel이 nontrivial이 아닐 수 있어 \(\CH^2(S)\)가 \(\mathbb{Z}\)이 아닐 수 있다.
그러나 \(\mathbb{P}^2\)에서는 상황이 단순하다. \(\CH^\ast(\mathbb{P}^2) = \mathbb{Z}[H]/(H^3)\)이므로 \(\CH^2(\mathbb{P}^2) \cong \mathbb{Z}\)이고, 교차 수가 완전히 결정된다. Chow ring에서 conic의 class는 \([X] = 2H\)이고 직선의 class는 \([L] = H\)이므로, \([X] \cdot [L] = 2H \cdot H = 2H^2 = 2[\text{point}]\)이다.
예시 12 (\(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\)) 약간 더 복잡한 예시로, 우리는 §유리사상, ⁋예시 11에서 \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\)과 quadric surface \(Q = V(\x\y - \z\w)\)가 isomorphic함 을 보았다. \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\)의 Chow ring은
\[\CH^\ast(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1) \cong \mathbb{Z}[H_1, H_2] / (H_1^2, H_2^2)\]이며, 여기서 \(H_1 = [\mathbb{P}^1 \times \{p\}]\), \(H_2 = [\{p\} \times \mathbb{P}^1]\)이다. Bidegree \((a, b)\)의 curve \(C\)에 대해 \([C] = aH_1 + bH_2\)이며, 따라서 두 curve \(C = aH_1 + bH_2\), \(C' = a'H_1 + b'H_2\)의 intersection product는
\[C \cdot C' = (aH_1 + bH_2)(a'H_1 + b'H_2) = ab' H_1 H_2 + a'b H_1 H_2 = (ab' + a'b) H_1 H_2\]으로 계산된다.
예시 13 Segre embedding \(\sigma: \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^3\)를 생각하자. (§사영다양체, ⁋예시 16) 이 embedding의 image는 quadric surface \(Q = V(\x\y - \z\w)\)이다. §선다발과 벡터다발, ⁋명제 20에 의해 pullback \(\sigma^\ast \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(1)\)은 \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\) 위의 line bundle이며, 실제로 \(\sigma^\ast \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(1) \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1}(1,1)\)이다. 이는 Chow ring 수준에서도 확인할 수 있는데, \(\mathbb{P}^3\)에서 hyperplane class \(H_{\mathbb{P}^3}\)를 pullback하면 \(H_1 + H_2\)를 얻고, 이는 bidegree \((1,1)\)에 해당한다.
이를 통해 \(\mathbb{P}^3\)에서의 교차 계산을 \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\)으로 옮겨 수행할 수 있다. 가령 \(\mathbb{P}^3\)에서 두 hyperplane \(H, H'\) 각각과 quadric surface \(Q\)의 교차, 즉 \((H \cap Q)\)와 \((H' \cap Q)\)의 교차는 \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\)에서 \((H_1 + H_2)^2 = 2H_1 H_2\)로 계산된다. 즉, 두 hyperplane과 quadric surface의 교차는 \(2\)개의 점으로, 이는 \(Q \cong \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\)에서 두 개의 bidegree \((1,1)\) curve가 만나는 것과 같다.
사상 공식
마지막으로 유용한 다음의 공식을 소개하며 이 글을 마친다.
명제 14 (Projection Formula) Proper morphism \(f: X \to Y\)와 \(\alpha \in \CH^\ast(X)\), \(\beta \in \CH^\ast(Y)\)에 대해
\[f_\ast(\alpha \cdot f^\ast \beta) = f_\ast(\alpha) \cdot \beta\]가 성립한다.
참고문헌
[Ful] W. Fulton, Intersection Theory, Springer, 1984. [Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
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