앞서 우리는 §곡면에서의 리만-로흐 정리, ⁋정의 1에서 두 divisor의 intersection number를 정의했다. 이는 당연히 아주 흥미로운 개념으로, 이번 글에서 우리는 임의의 variety 위에서 이 개념을 일반화하기 위해 Chow group을 정의한다.
저우 군
§인자, ⁋정의 1에서 우리는 codimension 1 closed irreducible subvariety들의 formal sum을 (Weil) divisor로 정의하였고, 이들을 up to linear equivalence로 모아 divisor class group \(\Cl(X)\)를 정의했다. 이와 유사하게, Chow group은 \(k\)-dimensional closed irreducible subvariety들의 formal sum을 up to rational equivalence로 모아둔 것이다.
정의 1 Variety \(X\)의 algebraic \(k\)-cycle대수적 $k$-순환은 \(X\)의 \(k\)-dimensional closed irreducible subvariety들의 formal sum
\[Z = \sum_{i} n_i V_i\]이다. 여기서 \(V_i \subset X\)는 \(k\)-dimensional closed irreducible subvariety이고 \(n_i \in \mathbb{Z}\)이다. \(k\)-cycle들이 이루는 free abelian group을 \(Z_k(X)\)로 표기한다.
그 정의에 의해 algebraic \(k\)-cycle은 homology에 가까운 것이다. 만일 이를 (duality를 통해) cohomology의 관점에서 해석해야 할 일이 있을 때에는 codimension \(k\) cycle여차원 $k$ 순환을 \(Z^k(X) = Z_{n-k}(X)\) (단 \(n = \dim X\))로 표기한다. 위에서 언급한 것과 같이 Chow group은 이들 \(Z_k(X)\)에 특정한 equivalence를 취하여 얻어지는 것이다.
정의 2 Variety \(X\)의 \((k+1)\)-dimensional closed irreducible subvariety \(Y \subset X\) 위의 rational function \(f \in \mathbb{K}(Y)^\ast\)에 대해 principal cycle주순환 \(\divisor(f) \in Z_k(X)\)를 다음의 식
\[\divisor(f) = \sum_{V \subset Y, \dim V = k} v_V(f) \cdot V\]으로 정의한다. 여기서 \(v_V(f)\)는 \(f\)의 \(V\)에서의 valuation이다.
직관적으로 이 정의는 §인자, ⁋정의 3을, \(Y\)를 ambient variety 삼아 반복한 것에 불과하며 따라서 해당 정의의 자연스러운 일반화이다. 다소 미묘한 부분은 해당 글의 도입에서 언급한 normality로, \(X\)가 좋은 (가령 normal) variety라 하더라도 \(X\)의 임의의 subvariety는 그러한 성질을 물려받지 않을 수 있으므로 이 경우에는 normalization이 조금 더 필수적으로 들어간다는 것이다. 이를 염두에 두고 다음을 정의한다.
정의 3 두 \(k\)-cycle \(Z_1, Z_2\)가 rationally equivalent유리 동치라는 것은, \(X\)의 \((k+1)\)-dimensional closed irreducible subvariety \(Y_j\)와 그 위의 rational function \(f_j \in \mathbb{K}(Y_j)^\ast\)들이 존재하여
\[Z_1 - Z_2 = \sum_j \divisor(f_j)\]을 만족하는 것이다. 이를 \(Z_1 \sim_{\text{rat}} Z_2\)로 표기한다.
즉, divisor class group을 정의할 때와 마찬가지로 우리는 principal divisor만큼의 차이만 나는 divisor를 같은 것으로 볼 것이다. 이 동치관계는 이전 [대수다양체] §인자, ⁋정의 9 직후에 설명한 직관과 동일하게, homotopy의 개념을 대수기하학으로 옮겨온 것으로 생각할 수 있다.
그럼 다음 명제가 성립한다.
명제 4 Rational equivalence는 \(Z_k(X)\) 위의 동치관계이다.
이에 대한 증명은 거의 §인자, ⁋명제 8을 반복하는 것이므로 여기서는 생략하기로 한다. 이 명제의 결과로 우리는 드디어 다음을 정의할 수 있다.
정의 5 \(k\)번째 Chow group저우 군 \(\CH_k(X)\)를 \(k\)-cycle들을 rational equivalence로 나눈 group
\[\CH_k(X) = Z_k(X) / \sim_{\text{rat}}\]으로 정의한다.
Codimension \(k\) Chow group은 \(\CH^k(X) = \CH_{n-k}(X)\)로 정의하고, 위에서 말한 것과 같이 cohomology convention이 필요한 상황에서 주로 사용한다.
함자성
대수위상에서 homology 및 cohomology는 임의의 연속함수에 대해 functoriality를 갖지만, Chow group은 그렇지 않다. Chow group은 proper morphism에 대해서만 pushforward functoriality를, flat morphism에 대해서만 pullback functoriality를 갖는다.
우선 두 variety 사이의 morphism \(f: X \to Y\)가 proper morphism이라는 것은 대략적으로 compact map의 대수기하적 analogue라 할 수 있다. ([스킴] §값매김환, ⁋정의 8) 다소 주의할 것은, compactness의 경우 대수기하학에서는 잘 작동하지 않으므로 이를 곧바로 옮겨올 수는 없다는 것이다. 직관은 compact map의 fiber와 image가 무한대로 새어나가지 않듯이 proper morphism 또한 그러하다는 것이며, 특히 중요한 것은 이 fiber를 묘사하는 데 유한 개의 좌표만 추가적으로 필요하다는 것이다. ([스킴] §스킴 사상의 성질들, ⁋예시 15) 이 때 필요한 좌표의 개수는 function field의 extension degree \([\mathbb{K}(V):\mathbb{K}(f(V))]\)으로 계산되며, 이는 \(V\)와 \(f(V)\)가 같은 차원일 때 정의된다. 편의상
\[\deg(V/f(V))=\begin{cases}[\mathbb{K}(V):\mathbb{K}(f(V))]&\text{if $\dim f(V)=\dim V$,}\\ 0&\text{if $\dim f(V)<\dim V$}\end{cases}\]으로 적으면, 다음이 성립한다.
명제 6 Proper morphism \(f: X \to Y\)에 대해 pushforward \(f_\ast: \CH_k(X) \to \CH_k(Y)\)가 존재한다. 특히, 임의의 subvariety \(V\subset X\)에 대하여,
\[f_\ast[V]=\deg(V/f(V))[f(V)]\]가 성립한다.
즉 직관적으로 proper morphism \(f\)를 통해 algebraic cycle \([V]\)가 degree \(d\)만큼 겹쳐져 \([f(V)]\)로 옮겨진다면 \(f_\ast[V]\)는 바로 이 degree를 잡아내는 것이다.
이제 우리는 pullback을 살펴본다. 이는 homology convention보다는 cohomology convention에 가까운 것이므로, 우리는 codimension \(k\) Chow group을 생각한다. Pullback \(f^\ast: \CH^k(Y)\rightarrow \CH^k(X)\)는 직관적으로 target \(Y\)의 cycle을 받은 후, 이를 fiber 방향으로 늘려주어 source에서의 cycle을 주는 것으로 생각할 수 있다. 그럼 이것이 잘 정의되기 위해서는 \(Y\)의 각 점에 대한 fiber의 차원이 일정하고, 또 \(Y\)의 각 점을 parameter로 볼 때, 이 parameter에 따라 fiber의 구조가 갑작스레 바뀌지 않아야 한다. Flat morphism이 바로 이러한 성질을 반영하는 morphism으로, 이러한 경우에 우리는 다음의 명제를 얻는다.
명제 7 Flat morphism \(f: X \to Y\)에 대해 pullback \(f^\ast: \CH^k(Y) \to \CH^k(X)\)가 존재한다. Subvariety \(V \subset Y\)에 대해 \(f^\ast[V] = [f^{-1}(V)]\)이다.
저우 군의 계산
우리는 지금까지 두 가지 종류의 functoriality를 살펴 보았는데, 이들을 함께 사용하면 Chow group의 구조를 더 잘 이해할 수 있다. 예를 들어 \(Z \subset X\)를 closed subvariety라 하고 \(U = X \setminus Z\)라 하자. 그럼 \(i: Z \hookrightarrow X\)는 closed embedding이므로 proper morphism이고, 따라서 pushforward \(i_\ast\)가 정의된다. 한편 \(j: U \hookrightarrow X\)는 open embedding이므로 flat morphism이고, 따라서 pullback \(j^\ast\)가 정의된다.
여기서 한 가지 짚고 넘어갈 것은, 원래 pullback \(j^\ast\)는 cohomology convention \(\CH^k\)에 대해 정의되는 contravariant 연산이다. 그러나 open embedding의 경우에는 \(U\)가 \(X\)와 같은 차원을 가지므로, \(k\)-dimensional cycle을 그대로 \(U\)로 제한하는 것이 자연스럽게 정의된다.
명제 8 (Localization Exact Sequence) \(Z \subset X\)가 closed subvariety이고 \(U = X \setminus Z\)이면, 다음의 exact sequence가 성립한다:
\[\operatorname{CH}_k(Z) \xrightarrow{i_\ast} \operatorname{CH}_k(X) \xrightarrow{j^\ast} \operatorname{CH}_k(U) \to 0\]여기서 \(i: Z \hookrightarrow X\)는 closed embedding이고 \(j: U \hookrightarrow X\)는 open embedding이다.
이 exact sequence가 성립하는 이유는 다음과 같다. 먼저 \(j^\ast\)가 surjective인 것은 자명하다. 더 중요한 것은 \(\ker j^\ast = \im i_\ast\)인 것으로, \(U\)에서 사라지는 cycle은 반드시 \(Z\)를 따라 쌓여있는 cycle들 뿐이라는 의미이며 이는 \(U\)가 \(X\setminus Z\)로 정의되었으므로 자명하다.
다음 예시는 여러 Chow group을 계산할 때 기본 출발점이 된다.
예시 9 가장 기본적인 예시로,
\[\CH_k(\mathbb{A}^n)=\begin{cases}\mathbb{Z}&\text{if $k=n$}\\0&\text{otherwise}\end{cases}\]그리고
\[\CH_k(\mathbb{P}^n)=\mathbb{Z}\qquad\text{for all $0\leq k\leq n$}\]이 성립한다. 이는 Euclidean space와 projective space의 homology와 일치하는 결과로, 우리가 정의한 Chow group이 실제로 기하적 직관을 잘 반영함을 보여준다.
일반적으로
예시 10 위의 예시를 더 직관적으로 보기 위해 degree \(d\) morphism \(f: \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1\)을
\[f([x:y]) = [x^d:y^d]\]으로 정의하면 이는 proper이며, \(\mathbb{P}^1\) 위의 coordinate \(t = x/y\)에 대해 \(f^\ast(t) = t^d\)이므로 field extension \(\mathbb{K}(\mathbb{P}^1) \hookrightarrow \mathbb{K}(\mathbb{P}^1)\)는 \(t \mapsto t^d\)에 의해 주어지고, 이 때의 extension degree는 \(d\)이다. 따라서 명제 6에 의해
\[f_\ast[\mathbb{P}^1] = d \cdot [\mathbb{P}^1] \in \CH_1(\mathbb{P}^1) \cong \mathbb{Z}\]가 성립한다. 즉, \(\mathbb{P}^1\)가 \(\mathbb{P}^1\) 위로 \(d\)겹으로 덮혀지며, pushforward는 이를 잡아내는 역할을 한다.
그 정의에 의해 다음 명제는 거의 자명하다.
명제 11 Smooth variety \(X\)에 대해
\[\CH^1(X) \cong \Cl(X) \cong \Pic(X)\]이 성립한다.
또, 우리는 예시 9에서 \(\mathbb{A}^n\)과 \(\mathbb{P}^n\)의 경우 classical한 계산과 맞아떨어짐을 보았는데, 이는 다음과 같이 엄밀하게 formulate할 수 있다.
명제 12 Complex variety \(X\)에 대해 cycle class map
\[\cl: \CH_k(X) \to H^{\text{BM}}_{2k}(X, \mathbb{Z})\]이 존재한다. 이는 algebraic cycle을 위상적으로 해석하는 사상으로, \(X\)가 smooth projective이면 Poincaré duality에 의해 \(\cl: \CH^k(X) \to H^{2k}(X, \mathbb{Z})\)로 볼 수 있다.
여기서 우변의 \(H^{\text{BM}}\)은 Borel-Moore homology로, singular homology와는 다르게 (non-compact 상황에서) closed oriented submanifold를 Borel-Moore homology에서의 class로 볼 수 있으며, 이런 관점에서 우리의 Chow group과는 singular cohomology보다는 Borel-Moore homology가 조금 더 맞는 analogue임을 알 수 있다. 또 \(X\)는 complex variety이므로 우변의 차원은 두 배가 되어 \(2k\)가 되는 것도 주목할 만하다.
저우 환
우리는 이번 글을 intersection product를 도입하기 위한 motivation으로서 다음 명제를 소개하며 마친다.
명제 13 Smooth variety \(X\)에 대해 \(\CH^\ast(X) = \bigoplus_k \CH^k(X)\)는 intersection product에 대해 graded ring을 이룬다. (§Intersection Product)
이 ring 구조는 명제 12와 마찬가지로 기존에 알고있던 cohomology ring 구조와도 맞아떨어진다.
예시 14 ($\mathbb{P}^n$) \(\CH^\ast(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}[H] / (H^{n+1})\)
여기서 \(H\)는 hyperplane class이다. \(H^k\)는 \(k\)-codimensional linear subspace를 나타낸다.
명제 13의 intersection product는 다음 글에서 엄밀히 소개하게 될 것이다.
참고문헌
[Ful] W. Fulton, Intersection Theory, Springer, 1984.
[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
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