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이번 글에서 우리는 separated morphism과 proper morphism을 정의한다. 우리는 앞선 글들에서 open subscheme을 정의하였고 (§스킴, ⁋정의 4), closed embedding과 그로부터 얻어지는 closed subscheme, 그리고 ideal sheaf를 살펴보았다. (§닫힌 부분스킴, ⁋정의 2, 닫힌 부분스킴, ⁋정의 5) 여기에 다음의 개념들을 더한다.

정의 1 Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 주어졌다 하자.

1. \(\varphi\)가 \(X\)와 \(Y\)의 open subscheme 사이의 isomorphism을 유도하면 \(\varphi\)를 open immersion_{열린 몰입}이라 부른다.
2. \(\varphi\)가 projective_사영사상라는 것은 적당한 \(n\)에 대하여, \(\varphi\)를 closed embedding과 projection의 합성 \(X\hookrightarrow \mathbb{P}^n_Y \rightarrow Y\)의 꼴로 분해할 수 있는 것이다. (§사영공간과 Proj 구성)
3. \(\varphi\)가 quasi-projective_{준사영사상}라는 것은 이를 적당한 open immersion \(X \rightarrow X'\)와 projective morphism \(X' \rightarrow Y\)의 합성으로 분해할 수 있는 것이다.

첫째 정의는 자명한 것이며, 둘째와 셋째 정의 또한 [대수다양체] §사영다양체, ⁋정의 3과 [대수다양체] §준사영다양체, ⁋정의 1을 relative 버전, 즉 \(\Sch_{/Y}\)에서 다룬 것이다.

본격적인 이야기를 시작하기 전에 다음 예시를 살펴보는 것이 좋다.

예시 2 Ring \(A\)가 field \(K\)의 subring으로서 discrete valuation ring이라 하자. 즉 임의의 \(x\in K^\times\)에 대해 \(x\in A\)이거나 \(x^{-1}\in A\)이며, \(A\)는 Noetherian이고 그 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)은 principal이다. ([가환대수학] §인자, ⁋정의 5) 임의의 \(x\in K^\times\)가 \(x\) 또는 \(x^{-1}\)을 통해 \(A\)의 원소들의 비로 표현되므로 \(K=\Frac(A)\)이다. 또 \(A\)는 \(\mathfrak{m}\)을 유일한 maximal ideal로 갖는 local ring이고 ([가환대수학] §인자, ⁋명제 6), uniformizer \(\pi\)를 하나 잡으면 임의의 \(f\in K^\times\)가 정수 \(n\)과 unit \(u\)에 대해 \(f=\pi^nu\)로 유일하게 표현되므로 ([가환대수학] §인자, ⁋명제 8) \(A\)의 nonzero ideal은 모두 \((\pi^n)\) 꼴이다. 특히 \(A\)는 principal ideal domain이며 그 prime ideal은 \((0)\)과 \(\mathfrak{m}=(\pi)\) 둘 뿐이다.

이로부터 \(\Spec A\)는 두 개의 점 \((0)\), \(\mathfrak{m}\)으로 이루어져 있으며,

\[Z((0))=\{(0),\mathfrak{m}\},\quad Z(\mathfrak{m})=\{\mathfrak{m}\}\]

이므로 \(\Spec A\)의 자명하지 않은 열린집합은

\[D(\pi)=\Spec A\setminus Z(\mathfrak{m})=\{(0)\}\]

뿐이다. 그럼 §아핀스킴, ⁋보조정리 6에 의하여

\[\mathcal{O}(D(\pi))\cong A_\pi\cong K\]

이다. 물론 \(\mathcal{O}(\Spec A)\cong A\)이다.

한편 \(\Spec A\)의 두 점은 각각의 residue field를 통해 기하적으로 살펴볼 수 있다. §아핀스킴, ⁋보조정리 8를 사용하면

\[\mathcal{O}_{(0)}\cong A_{(0)}\cong K,\qquad \mathcal{O}_\mathfrak{m}\cong A_\mathfrak{m}\]

으로부터

\[\kappa((0))=K, \qquad \kappa(\mathfrak{m})=A_\mathfrak{m}/\mathfrak{m}A_\mathfrak{m}\cong A/\mathfrak{m}\]

을 얻는다.

예시를 조금 더 기하적으로 살펴보자. \(Z((0))=\Spec A\)이므로 \((0)\)의 closure는 \(\Spec A\) 전체가 되고, 곧 \((0)\)은 이 공간의 generic point가 된다. 이와 같은 상황은 곡선 \(C\)와 그 위의 점 \(p\)에 대해 \(\mathcal{O}_{C,p}\)가 discrete valuation ring일 때 특히 직관적으로 보여진다. 구체적으로 stalk

\[\mathcal{O}_{C,p}=\varinjlim_{U\ni p} \mathcal{O}(U)\]

은 점 \(p\)에서의 germ으로 볼 수 있으며, \(\Spec \mathcal{O}_{C,p}\)의 generic point \((0)\)은 바로 이 데이터를 담고 있는 것이다. 그럼 남아있는 (유일한) 점 \(\mathfrak{m}\)은 정확하게 점 \(p\)에 해당하는 것으로, 이것이 \((0)\)의 specialization이라는 사실이 바로 germ을 정의할 때 \(p\)에 한없이 가까운 근방을 살펴본다는 것을 반영한다.

이 그림에서 \(\Spec K\)의 역할은 함수 쪽을 살펴보면 드러난다. \(\Spec A\) 위의 함수들은 \(A\) 자신, 곧 \(p\)에서 regular한 germ들이고, 자명하지 않은 유일한 열린집합 \(D(\pi)=\{(0)\}\) 위의 함수들인 \(K\cong A_\pi\)의 원소는 \(f=\pi^nu\)의 꼴을 음의 order \(n\)까지 허용한 것이다. ([가환대수학] §인자, ⁋명제 8의 2번) 즉, 이는 \(p\)에서 pole을 갖되 그 order가 유한한 함수, 곧 \(p\) 하나만 빼면 근방 전체에서 regular한 함수를 뜻하며, 따라서 \(\Spec K\)는 이 germ에서 중심 \(p\)를 빼내어, \(p\)의 정보는 잃어버린 채 \(p\)의 근방에 대한 정보만 가지고 있는 공간이며, canonical morphism \(\Spec K \rightarrow \Spec A\)는 정확히 이 그림이 정의하는 포함사상이다.

그럼 morphism \(\Spec K \rightarrow X\)는 \(X\) 안으로 들어가는, 점이 빠진 곡선의 germ이고, 이를 \(\Spec A \rightarrow X\)로 확장하는 것은 빠져 있던 그 점을 \(X\) 안에서 되찾아 곡선을 이어 붙이는 것, 곧 곡선의 극한을 찾는 것이 된다. 이 extension이 많아야 하나 존재한다는 것이 separatedness이고 정확히 하나 존재한다는 것이 properness이며, 이것이 앞으로 볼 두 판정법의 내용이다. 이는 위상적으로는 Hausdorff 공간에서 극한이 유일하고 ([위상수학] §하우스도르프 공간, ⁋명제 4), compact 공간에서 극한이 항상 존재한다는 사실에 대한 대수기하 analogue이다. ([위상수학] §Compactness와 paracompactness, ⁋보조정리 1)

분리사상

위에서 살펴본 것과 같이, 주어진 곡선의 germ이 주어졌을 때, 그 중심 점 \(p\)를 채우는 방법이 많아야 하나 존재한다는 것이 separated morphism의 아이디어이다. 이를 서술하기 위해서는 다음 정의가 필요하다.

정의 3 Scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)에 대하여, 두 개의 \(\id_X\)가 fiber product의 universal property에 의해 유도하는 유일한 morphism, 곧 다음 diagram

의 점선 arrow \(\Delta: X \rightarrow X \times_Y X\)를 \(\varphi\)의 diagonal morphism_대각사상이라 부른다. (§올곱, ⁋정의 1) 만일 \(\Delta\)가 closed embedding이라면 \(\varphi\)를 separated_분리사상라 부르고, \(X\)가 \(Y\)에 대해 separated라 부른다. 만일 \(X\)가 \(\Spec \mathbb{Z}\)에 대해 separated이면, \(X\)를 간단히 separated scheme이라 부른다.

어느 morphism의 diagonal인지를 밝혀야 할 때에는 \(\Delta\) 대신 \(\Delta_{X/Y}\)로 적는다. 정의로부터 두 projection \(\pi_1,\pi_2: X\times_YX \rightarrow X\)에 대해 \(\pi_1\circ\Delta=\pi_2\circ\Delta=\id_X\)인 것은 자명하다. 또, \(\Delta\)는 단사이고 \(\pi_1\)을 \(\Delta(X)\)로 제한한 것이 \(\Delta\)의 연속인 역함수를 주므로, \(\Delta\)는 언제나 \(\Delta(X)\) 위로의 homeomorphism이다. 따라서 \(\Delta\)가 closed embedding인지를 묻는 것은, \(\Delta(X)\)가 닫혀 있는지와 \(X\)의 함수들이 모두 \(X\times_YX\)의 함수를 제한하여 얻어지는지를 묻는 것이 된다. (§닫힌 부분스킴, ⁋정의 2)

위에서 설명한 것과 같이 algebraic geometry에서는 separatedness가 Hausdorff를 대체하는 성질이라 생각한다. 위상공간 \(T\)가 Hausdorff인 것이 \(T\times T\) 안에서 대각선이 닫혀 있는 것과 동치였음을 떠올리면 ([위상수학] §하우스도르프 공간, ⁋보조정리 5) 다음 명제를 기대하는 것이 자연스럽다.

명제 4 \(\varphi:X \rightarrow Y\)가 separated인 것과, diagonal morphism \(\Delta: X \rightarrow X\times_YX\)에 의한 \(X\)의 image가 닫힌집합인 것이 동치이다.

증명

정의에 의하여 \(\varphi\)가 separated라면 \(\Delta(X)\)가 닫혀있음은 자명하다. 따라서 \(\Delta(X)\)가 closed임을 가정하고, \(\Delta\)가 closed embedding임을 보여야 한다. 앞에서 보았듯 \(\Delta\)는 언제나 \(\Delta(X)\) 위로의 homeomorphism이므로, 가정과 함께 위상적인 조건은 이미 확보되었고 \(\mathcal{O}_{X\times_YX} \rightarrow \Delta_\ast \mathcal{O}_X\)가 surjective임만 보이면 된다. 이는 stalk 위에서 체크할 수 있다.

우선 \(q\notin \Delta(X)\)인 점에서는 볼 것이 없다. \(\Delta(X)\)가 닫혀 있다는 가정으로부터 \(q\)의 열린근방 \(W\)가 존재하여 \(W\cap\Delta(X)=\emptyset\)이고, 그럼 \(\Delta^{-1}(W)=\emptyset\)이므로

\[(\Delta_\ast\mathcal{O}_X)(W)=\mathcal{O}_X(\emptyset)=0\]

이 되어 \((\Delta_\ast\mathcal{O}_X)_q=0\)이기 때문이다. 아래에서 택할 열린근방들은 \(\Delta(X)\) 바깥의 점을 덮지 못하므로, 가정이 실제로 쓰이는 곳은 정확히 여기이다.

이제 \(\Delta(p)\) 꼴의 점을 보자. 임의의 \(p\in X\)에 대하여 \(p\)의 open affine subset \(U\)를 택할 수 있으며, 필요하다면 \(U\)를 제한하여 \(\varphi(U)\)가 \(Y\)의 어떠한 open affine subset \(V\)에 속하도록 할 수 있다. 그럼 \(U\times_VU\)는 \(X\times_YX\)의 열린집합으로서 \(\Delta(p)\)의 open neighborhood이고, \(\pi_1\circ\Delta=\pi_2\circ\Delta=\id_X\)이므로 \(\Delta^{-1}(U\times_VU)=U\)이다. 이 위에서 \(\Delta: U \rightarrow U\times_VU\)는 다음의 보조정리 5에 의하여 closed embedding이므로 \(\mathcal{O}_{U\times_VU} \rightarrow \Delta_\ast\mathcal{O}_U\)가 surjective이고, 특히 \(\Delta(p)\)에서의 stalk 사이의 morphism이 surjective이다.

그럼 이로부터 다음을 얻는다.

보조정리 5 Affine scheme 사이의 임의의 morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)는 항상 separated이다.

증명

\(X=\Spec A\), \(Y=\Spec B\)라 하면 \(X\times_YX=\Spec(A\otimes_BA)\)이고 (§올곱, ⁋보조정리 2), \(\Delta\)는 ring homomorphism

\[A\otimes_BA \rightarrow A;\quad a\otimes a'\mapsto aa'\]

으로부터 유도된다. 이 ring homomorphism은 \(a\otimes 1\)을 \(a\)로 보내므로 surjective이고, 따라서 \(\Delta\)는 closed embedding이다. (§닫힌 부분스킴, ⁋명제 3)

Separated가 아닌 scheme의 예시는 §스킴, ⁋예시 10에서 만든 line with double origin이 있다. 편의상 이 scheme을 \(X\)라 하고 이를 이루는 두 chart를 \(X_1=\Spec\mathbb{K}[\x_1]\), \(X_2=\Spec\mathbb{K}[\x_2]\)라 하자. 이들은 \(\x_1\)과 \(\x_2\)를 동일시하여 \(D(\x_1)\)과 \(D(\x_2)\)를 따라 붙여진 것이므로, 두 chart의 교집합은 원점 두 개를 뺀

\[X_1\cap X_2=X\setminus \{0_1,0_2\}=\Spec\mathbb{K}[t,1/t]\]

이다. 여기에서 \(t\)는 이 gluing 아래에서 \(\x_1\)과 \(\x_2\)가 공통적으로 대응되는 좌표이다. \(X\)는 \(\mathbb{K}\) 위의 scheme이므로 우리가 볼 것은 \(X\times_\mathbb{K}X\)이며, fiber product는 각 인자를 열린집합으로 제한하여 계산할 수 있으므로 (§올곱, ⁋보조정리 4) 이는 네 개의 chart

\[X_a\times_\mathbb{K}X_b=\Spec\bigl(\mathbb{K}[\x_a]\otimes_\mathbb{K}\mathbb{K}[\x_b]\bigr)=\Spec\mathbb{K}[\x_a,\x_b]\cong \mathbb{A}^2_\mathbb{K}\qquad (a,b\in \{1,2\})\]

를 붙여 얻어진다. 이 과정에서 두 좌표가 모두 \(0\)이 아닌 점은 네 chart에서 모두 같은 점이 되어 한 번씩 나오며, 한 좌표만 \(0\)인 점은 두 번, 두 좌표가 모두 \(0\)인 원점은 네 번 나타난다.

이제 \(\pi_1\circ\Delta=\pi_2\circ\Delta=\id_X\)이므로 \(\Delta^{-1}(X_a\times_\mathbb{K}X_b)=X_a\cap X_b\)이다. 곧 \(a=b\)이면 이는 \(X_a\) 전체이고 보조정리 5에 의하여 그 위에서 \(\Delta\)는 closed embedding이며, 특히 \(X\)의 두 원점은 네 개의 원점 가운데 \((0_1,0_1)\)과 \((0_2,0_2)\)로 간다. 반면 \(a\neq b\)이면 \(\Delta\)는 \(X_1\cap X_2=\Spec\mathbb{K}[t,1/t]\) 위에서 ring homomorphism

\[\mathbb{K}[\x_1,\x_2] \longrightarrow \mathbb{K}[t,1/t];\qquad \x_1,\x_2\mapsto t\]

가 유도하는 morphism이므로, chart \(X_1\times_\mathbb{K}X_2\cong \mathbb{A}^2_\mathbb{K}\) 안에서 \(\Delta(X)\)는 대각선에서 원점을 뺀 것 \(Z(\x_1-\x_2)\cap D(\x_1)\)이다. 이 집합의 closure는 대각선 \(Z(\x_1-\x_2)\) 전체이고 그 원점이 정확히 \((0_1,0_2)\)이므로, \((0_1,0_2)\)는 \(\Delta(X)\)에 속하지 않으면서 그 closure에는 속한다. 따라서 \(\Delta(X)\)는 닫혀 있지 않고 명제 4에 의하여 \(X\)는 separated가 아니다. 이 공간은 위상적으로도 Hausdorff가 아닌 공간의 표준적인 예이다.

이제 separatedness의 판정법을 보자. 예시 2에서와 달리 판정법은 discrete일 필요가 없는 valuation ring 전체, 곧 임의의 \(x\in K^\times\)에 대해 \(x\in A\)이거나 \(x^{-1}\in A\)라는 조건만을 만족하는 field \(K\)의 subring \(A\) 전부에 대해 요구된다. ([가환대수학] §인자, ⁋정의 5) 또 아래에서 \(\iota:\Spec K \rightarrow \Spec A\)는 언제나 inclusion \(A\hookrightarrow K\)가 유도하는 morphism을 가리킨다.

정리 6 Noetherian scheme \(X\)와 scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)에 대하여, \(\varphi\)가 separated인 것은 임의의 valuation ring \(A\)와 그 quotient field \(K=\Frac(A)\)에 대하여, 임의의 scheme morphism \(\Spec A \rightarrow Y\), \(\Spec K \rightarrow X\)와 다음 commutative diagram

의 바깥쪽 square가 주어질 때마다, 많아야 하나의 \(\Spec A \rightarrow X\)가 전체 diagram이 commute하도록 하는 것이 동치이다.

증명

바깥쪽 square가 주어졌다는 것은 morphism \(\alpha:\Spec K \rightarrow X\)와 \(\beta: \Spec A \rightarrow Y\)가 주어져 \(\varphi\circ \alpha=\beta\circ \iota\)가 성립하는 것이며, 이 square의 lifting이란 \(\gamma\circ \iota=\alpha\)와 \(\varphi\circ \gamma=\beta\)를 만족하는 \(\gamma:\Spec A \rightarrow X\)를 말한다.

증명 전체에서 두 개의 표준적인 사실을 사용한다. 첫째는 valuation ring의 존재정리로, field \(K\)와 그 안의 local subring \(\mathcal{O}\)가 주어질 때마다 \(\Frac(A)=K\)이고 \(\mathcal{O}\subseteq A\)이며 \(\mathfrak{m}_A\cap \mathcal{O}=\mathfrak{m}_\mathcal{O}\)인 valuation ring \(A\)가 존재한다는 것이다. 이 때 \(A\)가 \(\mathcal{O}\)를 dominate한다고 하며, 이러한 \(A\)의 존재는 \(\mathcal{O}\)를 dominate하는 \(K\)의 local subring들의 모임에 Zorn’s lemma를 적용하여 얻어진다. 둘째는 field \(K\)에 대하여 morphism \(\Spec K \rightarrow X\)가 점 \(x\in X\)와 field homomorphism \(\kappa(x) \rightarrow K\)의 쌍에 일대일로 대응한다는 것이다. 이는 \(X=\Spec B\)인 경우 ring homomorphism \(B \rightarrow K\)가 그 kernel인 prime ideal \(\mathfrak{p}\)와 \(\kappa(\mathfrak{p}) \rightarrow K\)의 쌍을 주는 것에서 따르고, 일반적인 경우는 \(x\)의 affine open neighborhood를 택하면 된다.

먼저 \(\varphi\)가 separated라 가정하고, 위 square의 두 lifting \(\gamma_1, \gamma_2\)가 주어졌다 하자. \(\varphi\circ \gamma_1=\varphi\circ \gamma_2=\beta\)이므로 fiber product의 universal property에 의하여 유일한 \(\theta:\Spec A \rightarrow X\times_YX\)가 존재하여 \(\pi_1\circ \theta=\gamma_1\), \(\pi_2\circ \theta=\gamma_2\)이다. 여기에서 \(\pi_1,\pi_2\)는 두 projection이다. 이제 \(\Delta\)가 closed embedding이므로 base change

\[Z=\Spec A\times_{X\times_YX}X \longrightarrow \Spec A\]

또한 closed embedding이다. Closed embedding이 base change에 대해 안정적인 것은 affine-local하게 \(B \rightarrow B/\mathfrak{b}\)의 base change가 \(C \rightarrow C\otimes_B(B/\mathfrak{b})\cong C/\mathfrak{b}C\)로서 여전히 surjective인 것으로부터 얻어진다. (§닫힌 부분스킴, ⁋명제 3)

한편 \(\pi_1\circ \theta\circ \iota=\gamma_1\circ \iota=\alpha\)이고 \(\pi_2\circ \theta\circ \iota=\gamma_2\circ \iota=\alpha\)이며, \(\pi_1\circ \Delta\circ \alpha=\alpha\)이고 \(\pi_2\circ\Delta\circ \alpha=\alpha\)이므로 universal property의 유일성으로부터 \(\theta\circ \iota=\Delta\circ \alpha\)이다. 따라서 \(\iota\)는 pullback \(Z\)를 경유하고, 특히 \(Z \rightarrow \Spec A\)의 image는 \(\iota\)의 image, 곧 \(A\)의 zero ideal \((0)\)을 포함하는 닫힌집합이다. \(A\)는 domain이므로 \((0)\)은 \(\Spec A\)의 generic point이고 (§스킴의 위상구조, ⁋예시 5), 따라서 \((0)\)을 포함하는 \(\Spec A\)의 닫힌집합은 \(\Spec A\) 자신뿐이다. 그럼 \(Z\)는 \(\Spec A\)의 closed subscheme으로서 적당한 ideal \(\mathfrak{a}\subseteq A\)에 대해 \(\Spec(A/\mathfrak{a})\)의 꼴이며 (§닫힌 부분스킴, ⁋명제 3), 그 image가 \(\Spec A\) 전체라는 것은 \(\mathfrak{a}\)가 \(A\)의 모든 prime ideal에 포함된다는 것, 곧

\[\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{N}(A)=(0)\]

임을 뜻한다. 마지막 등호는 \(A\)가 domain이라는 사실에서 온다. 따라서 \(Z \rightarrow \Spec A\)는 isomorphism이고, 이는 \(\theta\)가 \(\Delta\)를 경유한다는 것, 곧 적당한 \(\gamma:\Spec A \rightarrow X\)에 대하여 \(\theta=\Delta\circ \gamma\)임을 뜻한다. 그럼

\[\gamma_1=\pi_1\circ \theta=\pi_1\circ \Delta\circ \gamma=\gamma,\qquad \gamma_2=\pi_2\circ \theta=\pi_2\circ\Delta\circ \gamma=\gamma\]

이므로 \(\gamma_1=\gamma_2\)이다. 이 방향에서는 \(X\)가 Noetherian이라는 가정이 쓰이지 않는다.

거꾸로 임의의 square에 대하여 lifting이 많아야 하나 존재한다고 가정하자. 명제 4에 의하여 \(\Delta(X)\)가 \(X\times_YX\)의 닫힌집합임을 보이면 충분하다.

우선 \(\cl(\Delta(X))\)의 모든 점이 \(\Delta(X)\)의 어떤 점의 specialization임을 관찰한다. \(X\)가 Noetherian scheme이므로 위상공간으로서도 Noetherian이고 (§스킴의 위상구조, ⁋정의 14), 따라서 유한히 많은 irreducible component \(X_1,\ldots, X_r\)를 갖는다. ([위상수학] §차원, ⁋명제 13) 각 \(X_i\)는 irreducible closed subset이므로, \(X_i\)와 만나는 affine open subset \(U=\Spec C\subseteq X\)를 택하면 \(X_i\cap U\)는 \(U\)의 irreducible closed subset으로서 generic point \(\eta_i\)를 가지며 (§스펙트럼, ⁋명제 16), \(X_i\cap U\)가 \(X_i\)에서 dense이므로 \(\cl(\{\eta_i\})=X_i\), 곧 \(X=\bigcup_{i=1}^r\cl(\{\eta_i\})\)이다. 이제 \(\Delta\)가 연속이므로 \(\Delta(X)\subseteq \bigcup_{i=1}^r \cl(\{\Delta(\eta_i)\})\)이고 우변은 유한합집합이라 닫혀 있으며, 거꾸로 각 \(\Delta(\eta_i)\)가 \(\Delta(X)\)에 속하므로

\[\cl(\Delta(X))=\bigcup_{i=1}^r\cl(\{\Delta(\eta_i)\})\]

를 얻는다. 곧 \(\cl(\Delta(X))\)의 임의의 점은 적당한 \(\Delta(\eta_i)\in \Delta(X)\)의 specialization이다. (§스킴의 위상구조, ⁋정의 2) 그러므로 \(\Delta(X)\)가 specialization에 대해 닫혀 있음을 보이면 \(\Delta(X)=\cl(\Delta(X))\)가 되어 증명이 끝난다.

\(\xi=\Delta(x)\in \Delta(X)\)이고 \(\eta\in\cl(\{\xi\})\)라 하자. 닫힌집합 \(T=\cl(\{\xi\})\)에 reduced scheme structure를 주면 (§닫힌 부분스킴, ⁋정의 14) \(T\)는 generic point \(\xi\)를 갖는 integral scheme이다. \(\eta\)를 포함하는 affine open subset \(\Spec B\subseteq T\)를 택하자. Generic point는 공집합이 아닌 모든 열린집합에 속하므로 \(\Spec B\)는 \(\xi\) 또한 포함하며, \(B\)는 domain이고 \(\xi\)는 \(B\)의 zero ideal에 대응하므로

\[K:=\kappa(\xi)=\mathcal{O}_{T,\xi}=\Frac(B), \qquad \mathcal{O}:=\mathcal{O}_{T,\eta}=B_\mathfrak{q}\subseteq K\]

이며, 여기에서 \(\mathfrak{q}\)는 \(\eta\)에 대응하는 prime ideal이다. 특히 \(\mathcal{O}\)는 \(\Frac(\mathcal{O})=K\)인 local domain이다. 위에서 인용한 존재정리로 \(\mathcal{O}\)를 dominate하는 \(K\)의 valuation ring \(A\)를 택하면, local homomorphism \(\mathcal{O} \rightarrow A\)가 유도하는 morphism

\[\chi:\Spec A \longrightarrow \Spec \mathcal{O} \longrightarrow T \hookrightarrow X\times_YX\]

는 \(\Spec A\)의 generic point \((0)\)을 \(\xi\)로, closed point \(\mathfrak{m}_A\)를 \(\eta\)로 보낸다.

이제 \(\gamma_1=\pi_1\circ \chi\), \(\gamma_2=\pi_2\circ \chi\)라 하고, \(\varphi\circ \pi_1=\varphi\circ \pi_2\)이므로 잘 정의되는 \(\omega=\varphi\circ \gamma_1=\varphi\circ \gamma_2:\Spec A \rightarrow Y\)를 생각하자. 명제 4의 증명에서 보았듯 \(x\)의 affine open neighborhood \(U\)와 \(\varphi(U)\)를 포함하는 \(Y\)의 affine open subset \(V\)를 택하면 \(U\times_VU\)는 \(X\times_YX\)에서 \(\xi\)의 open neighborhood이고 그 위에서 \(\Delta\)는 closed embedding이므로 (보조정리 5), stalk 사이의 morphism \(\mathcal{O}_{X\times_YX,\xi} \rightarrow \mathcal{O}_{X,x}\)는 surjective이고 따라서 \(\kappa(\xi) \rightarrow \kappa(x)\) 또한 surjective이다. 한편 \(\pi_1\circ\Delta=\id_X\)이므로 합성 \(\kappa(x) \rightarrow \kappa(\xi) \rightarrow \kappa(x)\)는 항등사상이고, 그러므로 두 morphism은 서로의 역이 되는 isomorphism이다. 곧 \(K=\kappa(\xi)\cong\kappa(x)\)이다. 이 동일시 아래에서 점 \(x\)와 \(\kappa(x)\cong K\)가 정의하는 canonical morphism을 \(\alpha:\Spec K \rightarrow X\)라 하면, \(\Delta\circ \alpha\)는 점 \(\xi\)와 \(\kappa(\xi)\cong K\)가 정의하는 canonical morphism이고 이는 \(\chi\circ \iota\)와 같다. 실제로 \(\chi\circ \iota\)는 \(\xi\)를 image로 갖고 residue field 위에서 \(\kappa(\xi)=\Frac(\mathcal{O})=K\)의 항등사상을 유도하기 때문이다. 따라서

\[\gamma_1\circ \iota=\pi_1\circ \chi\circ \iota=\pi_1\circ \Delta\circ \alpha=\alpha,\qquad \gamma_2\circ \iota=\pi_2\circ \chi\circ \iota=\pi_2\circ\Delta\circ \alpha=\alpha\]

이고 \(\varphi\circ \gamma_1=\varphi\circ \gamma_2=\omega\)이므로, \(\gamma_1\)과 \(\gamma_2\)는 \(\alpha\)와 \(\omega\)가 주는 square의 두 lifting이다. 가정에 의하여 \(\gamma_1=\gamma_2\)이고, 그럼 \(\Delta\circ \gamma_1\)과 \(\chi\)는 \(\pi_1\), \(\pi_2\)와 합성했을 때 각각 \(\gamma_1\)과 \(\gamma_2=\gamma_1\)을 주므로 fiber product의 universal property에 의해 \(\chi=\Delta\circ \gamma_1\)이다. 그러므로

\[\eta=\chi(\mathfrak{m}_A)=\Delta(\gamma_1(\mathfrak{m}_A))\in \Delta(X)\]

이고, \(\Delta(X)\)는 specialization에 대해 닫혀 있다. 앞의 관찰과 결합하면 \(\Delta(X)=\cl(\Delta(X))\)이므로 \(\Delta(X)\)는 닫힌집합이고, 명제 4에 의하여 \(\varphi\)는 separated이다.

직관적으로 \(\Spec A\)는 generic point \((0)\)과 그것이 specialize되는 closed point \(\mathfrak{m}_A\)로 이루어져 있으며, 그 중 generic point는 조건 \(\gamma\circ \iota=\alpha\)에 의해 \(\alpha\)의 image \(\xi\)로 가야 하므로, lifting \(\gamma:\Spec A \rightarrow X\)를 준다는 것은 \(\eta\in \cl(\{\xi\})\)인 점 \(\eta=\gamma(\mathfrak{m}_A)\)를 하나 지정하는 것, 곧 주어진 germ의 극한을 \(X\) 안에서 고르는 것이다. 그러므로 lifting이 많아야 하나라는 것은 하나의 germ이 서로 다른 두 극한으로 갈라지지 않는다는 뜻이며, 증명이 보여주듯 이것이 정확히 \(\Delta(X)\)가 specialization에 대해 닫혀 있다는 위상적 조건이 된다. 거꾸로 \(X\) 안의 임의의 specialization을 이러한 germ으로 실현해 주는 것이 증명에서 쓴 valuation ring의 존재정리이고, 판정법이 discrete인 것뿐 아니라 임의의 valuation ring에 대하여 요구되는 것도 이 때문이다. 다만 일반적인 valuation ring의 \(\Spec\)은 prime ideal들이 더 긴 사슬을 이루어 예시 2의 두 점짜리 그림에서 벗어나는데, \(Y\)가 Noetherian이고 \(\varphi\)가 finite type morphism이라면 위의 정리를 임의의 discrete valuation ring에 대한 것으로 대체해도 되므로 그 그림이 그대로 살아난다. 이 사실에 대한 증명은 현재 우리 상태에서는 할 수 없으므로 넘기기로 한다.

이 그림을 실제로 확인해 보자.

예시 7 앞에서 우리는 line with double origin \(X\)가 separated가 아님을 명제 4로 확인했지만, 정리 6을 쓰면 같은 사실이 곡선의 극한이라는 말로 그대로 드러난다. \(A=\mathbb{K}[t]_{(t)}\)는 uniformizer \(t\)를 갖는 discrete valuation ring이고 \(K=\Frac(A)=\mathbb{K}(t)\)이며, \(Y=\Spec\mathbb{K}\)로 둔다. 이제 ring homomorphism \(\mathbb{K}[\x_1] \rightarrow K\), \(\x_1\mapsto t\)가 정의하는 morphism \(\alpha:\Spec K \rightarrow X\)를 생각하자. \(t\)는 \(K\)의 unit이므로 \(\alpha\)의 image는 두 chart가 겹치는 열린집합에 들어간다. 모든 것이 \(\mathbb{K}\) 위에 있으므로 \(\alpha\)와 구조사상 \(\Spec A \rightarrow \Spec\mathbb{K}\)는 바깥쪽 square를 이룬다.

이제 앞에서와 같이 두 chart를 \(X_1=\Spec\mathbb{K}[\x_1]\), \(X_2=\Spec\mathbb{K}[\x_2]\)라 하고, 이들로 들어가는 두 morphism

\[\gamma_1:\Spec A \longrightarrow X_1\subseteq X,\qquad \gamma_2:\Spec A \longrightarrow X_2\subseteq X\]

를 각각 \(\x_1\mapsto t\)와 \(\x_2\mapsto t\)로 정의하면 둘 다 \(t\in A\)이므로 잘 정의된다. 두 chart는 원점 바깥에서 \(\x_1\)과 \(\x_2\)를 동일시하여 붙여졌으므로 \(\gamma_1\circ \iota=\gamma_2\circ \iota=\alpha\)이고, 따라서 둘 다 이 square의 lifting이다. 그러나 \(\gamma_1\)은 \(\mathfrak{m}_A=(t)\)를 첫 번째 chart의 원점 \(0_1\)로, \(\gamma_2\)는 두 번째 chart의 원점 \(0_2\)로 보내므로 \(\gamma_1\neq \gamma_2\)이다. 곧 점이 빠진 곡선의 germ이 두 개의 극한을 가지며, 이것이 \(X\)가 separated가 아닌 이유이다.

한편 정리 6으로부터 다음을 얻는다.

따름정리 8 Noetherian scheme들에 대하여,

1. Open immersion과 closed embedding은 모두 separated이다.
2. 두 separated morphism의 합성은 separated이다.
3. Separated morphism은 base change에 의해 보존된다.
4. Separated morphism은 fiber product에 의해 보존된다.
5. 만일 \(\varphi:X \rightarrow Y\), \(\psi:Y \rightarrow Z\)가 scheme morphism들이고 \(\psi\circ \varphi\)가 separated morphism이라면 \(\varphi\) 또한 separated morphism이다.

증명

1번은 정의에서 직접 확인한다. \(\varphi\)가 closed embedding이라면 \(Y\)의 affine open subset \(V=\Spec B\)마다 \(\varphi^{-1}(V)=\Spec A\)이고 \(B \rightarrow A\)가 surjective이며 (§닫힌 부분스킴, ⁋명제 3), 이러한 \(V\)를 모두 모으면 \(\varphi^{-1}(V)\times_V\varphi^{-1}(V)\)들이 \(X\times_YX\)를 덮는다. 각각의 위에서 \(\Delta\)는 보조정리 5의 계산에 의하여 closed embedding이고, closed embedding은 target에 대해 affine-local하므로 \(\Delta\) 자체가 closed embedding이다. \(\varphi\)가 open immersion이라면 \(X\)를 \(Y\)의 open subscheme으로 보고 \(Y\)의 affine open subset \(V=\Spec B\)들과 그 안에 들어가는 \(X\)의 basic open subset \(\Spec B_b\)들을 생각하자. 그럼 \(\Spec B_b\times_V\Spec B_{b'}\)들이 \(X\times_YX\)를 덮으며,

\[B_b\otimes_BB_{b'}\cong B_{bb'}=\mathcal{O}(\Spec B_b\cap \Spec B_{b'})\]

이므로 \(\Delta\)는 각각의 위에서 isomorphism이고 특히 closed embedding이다.

나머지는 정리 6의 판정법으로 얻어진다. 곧 lifting의 유일성이 물려받아진다는 것만 확인하면 된다.

2번의 경우 \(\psi\circ \varphi\)에 대한 바깥쪽 square \(\alpha:\Spec K \rightarrow X\), \(\beta:\Spec A \rightarrow Z\)와 두 lifting \(\gamma_1,\gamma_2:\Spec A \rightarrow X\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\varphi\circ \gamma_1\)과 \(\varphi\circ \gamma_2\)는 \(\alpha' = \varphi\circ \alpha\)와 \(\beta\)가 주는 \(\psi\)에 대한 square의 두 lifting이므로 \(\varphi\circ \gamma_1=\varphi\circ \gamma_2\)이고, 그럼 \(\gamma_1,\gamma_2\)는 \(\alpha\)와 \(\varphi\circ \gamma_1\)이 주는 \(\varphi\)에 대한 square의 두 lifting이므로 \(\gamma_1=\gamma_2\)이다.

3번의 경우 \(Y' \rightarrow Y\)와 \(X'=X\times_YY'\), \(\varphi':X' \rightarrow Y'\)에 대하여 \(\varphi'\)에 대한 square와 그 두 lifting \(\gamma_1',\gamma_2':\Spec A \rightarrow X'\)가 주어졌다 하자. 이들을 \(X' \rightarrow X\)와 합성한 것은 \(\varphi\)에 대한 square의 두 lifting이므로 서로 같고, \(Y'\)로 가는 두 합성 또한 square가 주는 같은 morphism이므로, fiber product의 universal property의 유일성에서 \(\gamma_1'=\gamma_2'\)이다.

5번의 경우 \(\varphi\)에 대한 square와 두 lifting \(\gamma_1,\gamma_2\)가 주어지면, \(\Spec A \rightarrow Y\)를 \(\psi\)와 합성하여 \(\psi\circ \varphi\)에 대한 square를 얻고 \(\gamma_1,\gamma_2\)는 그 두 lifting이므로 \(\gamma_1=\gamma_2\)이다.

끝으로 4번은 \(S\)-scheme들 사이의 separated morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\), \(\varphi':X' \rightarrow Y'\)에 대하여 \(\varphi\times \varphi'\)가 합성

\[X\times_SX' \longrightarrow Y\times_SX' \longrightarrow Y\times_SY'\]

으로 분해되고 두 morphism이 각각 \(\varphi\)와 \(\varphi'\)의 base change이므로, 3번과 2번에서 따라온다.

특히 2번과 5번을 함께 쓰면, \(Y\)가 separated scheme일 때 \(Y\)-scheme \(X\)가 separated scheme인 것과 그 구조사상 \(X \rightarrow Y\)가 separated인 것이 동치임을 안다. Affine scheme은 보조정리 5에 의하여 언제나 separated scheme이므로, 가령 affine scheme 위의 scheme에 대해서는 separatedness를 구조사상만 보고 판정할 수 있다.

Separatedness는 두 morphism이 언제 같은지를 판정하는 데에도 쓰인다. Reduced scheme \(X\)와 separated scheme \(Y\), 그리고 \(X\)의 dense open subset \(W\) 위에서 일치하는 두 morphism \(\varphi,\psi: X \rightarrow Y\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\varphi\)와 \(\psi\)가 유도하는 morphism \(\theta: X \rightarrow Y\times_{\Spec \mathbb{Z}}Y\)에 대하여 \(\varphi\)와 \(\psi\)가 일치하는 부분은 \(\Delta\)를 \(\theta\)를 따라 base change한 것으로 주어지고, closed embedding의 base change는 다시 closed embedding이므로 (정리 6의 증명) 이는 \(X\)의 closed subscheme이다. 이 closed subscheme이 \(W\)를 포함하여 위상적으로 \(X\) 전체이므로, 이를 정의하는 ideal sheaf는 \(X\)의 각 affine open subset \(\Spec A\) 위에서 \(\mathfrak{N}(A)=0\)에 포함되고 (§닫힌 부분스킴, ⁋명제 3), 따라서 \(\varphi=\psi\)이다. 이를 §스킴 사상의 성질들, ⁋정의 22에 적용하면, \(Y\)가 separated이고 \(X\)가 reduced일 때 rational map의 동치관계는 두 representative가 \(U\cap V\) 전체에서 일치한다는 조건과 같아진다. 그 글에서는 \(Y\)가 affine인 경우로 이를 확인하였으며, affine scheme이 언제나 separated인 만큼 이는 위 논증의 특수한 경우이다.

고유사상

이제 compact 조건에 대응하는 성질로 넘어간다. 위상수학에서 우리는 compactness를 universally closed라는 조건으로 바꾸어 쓸 수 있음을 보았고 ([위상수학] §고유함수, ⁋정리 6), 대수기하에서는 곱을 fiber product로 바꾼 이 조건이 그대로 정의가 된다.

정의 9 \(\varphi:X \rightarrow Y\)가 universally closed_{보편닫힌사상}라는 것은 \(\varphi\)가 closed map이고, 임의의 \(Y' \rightarrow Y\)에 대해서도 \(X\times_Y Y' \rightarrow Y'\)가 closed인 것이다. Separated, universally closed인 finite type morphism을 proper morphism_고유사상이라 부른다.

\(Y'=Y\)로 두면 두 번째 조건이 첫 번째 조건을 포함하므로, 실질적인 조건은 모든 base change가 closed map이라는 것 하나이다. 한편 우리는 이 절에서 Noetherian scheme들의 범주 안에서 작업하므로, 앞으로 universally closed를 확인할 때 base change \(Y' \rightarrow Y\)는 Noetherian scheme에 대한 것만 생각한다. 임의의 \(Y'\)에 대한 조건이 이로부터 따라온다는 것은 \(Y'\)를 affine으로 제한한 뒤 그 coordinate ring을 finitely generated subalgebra들의 filtered colimit으로 쓰는 극한 논법에서 얻어지며, 이는 이 글의 범위를 벗어나므로 생략하기로 한다.

Proper morphism은 separated 조건과 universally closed 조건을 함께 요구하므로, 판정법 또한 두 조각으로 나뉜다. 정리 6이 lifting의 유일성으로 separatedness를 판정했으니, 남은 것은 lifting의 존재성이 universal closedness를 판정한다는 것이다.

명제 10 Noetherian scheme들 사이의 finite type scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)에 대하여, \(\varphi\)가 universally closed인 것은 임의의 valuation ring \(A\)와 그 quotient field \(K=\Frac(A)\)에 대하여, 임의의 scheme morphism \(\Spec A \rightarrow Y\), \(\Spec K \rightarrow X\)와 다음 commutative diagram

의 바깥쪽 square가 주어질 때마다, 적어도 하나의 \(\Spec A \rightarrow X\)가 존재하여 전체 diagram이 commute하는 것과 동치이다.

증명

정리 6의 증명에서와 같이 바깥쪽 square를 \(\alpha:\Spec K \rightarrow X\), \(\beta:\Spec A \rightarrow Y\), \(\iota:\Spec K \rightarrow \Spec A\)로 적고, 그 증명에서 인용한 두 표준적인 사실을 계속 사용한다. 곧 field \(K\) 안의 local subring은 항상 \(\Frac(A)=K\)인 valuation ring \(A\)에 의해 dominate되며, morphism \(\Spec K \rightarrow X\)는 점 \(x\in X\)와 field homomorphism \(\kappa(x) \rightarrow K\)의 쌍과 같은 것이다. 여기에 valuation ring의 다음 극대성을 덧붙인다. 만일 \(K\)의 valuation ring \(A\)를 dominate하는 local subring \(\mathcal{O}\subseteq K\)가 주어졌다면 \(\mathcal{O}=A\)이다. 실제로 \(c\in\mathcal{O}\)가 \(0\)이 아니고 \(c\notin A\)라면 valuation ring의 정의에 의해 \(c^{-1}\in A\)이며, \(c\notin A\)이므로 \(c^{-1}\)은 \(A\)의 unit이 아니다. 곧 \(c^{-1}\in\mathfrak{m}_A\subseteq \mathfrak{m}_\mathcal{O}\)인데 \(c\in\mathcal{O}\)이므로 \(c^{-1}\)은 \(\mathcal{O}\)의 unit이 되어 모순이다. 따라서 \(\mathcal{O}\subseteq A\)이고, dominate의 정의에서 \(A\subseteq\mathcal{O}\)이므로 \(\mathcal{O}=A\)이다.

먼저 \(\varphi\)가 universally closed라 하고 lifting을 만들자. \(\beta\)를 따라 base change하여 \(X_A=X\times_Y\Spec A\)와 projection \(\pi:X_A \rightarrow \Spec A\)를 얻으면 \(\pi\)는 closed map이다. (정의 9) 한편 \(\alpha\)와 \(\iota\)는 fiber product의 universal property에 의해 \(\Spec A\) 위의 morphism \(\tilde{\alpha}:\Spec K \rightarrow X_A\)를 유도하며, \(\Spec A \rightarrow X_A\) 꼴의 \(\pi\)의 section으로서 \(\tilde{\alpha}\)를 extend하는 것을 찾으면 이를 \(X\)로 project하여 원하는 lifting을 얻는다.

\(\xi\in X_A\)를 \(\tilde{\alpha}\)의 image가 되는 점이라 하고 \(Z=\cl(\{\xi\})\)에 reduced scheme structure를 주자. (§닫힌 부분스킴, ⁋정의 14) \(\pi\circ\tilde{\alpha}=\iota\)이므로 \(\pi(\xi)\)는 \(\Spec A\)의 generic point \((0)\)이고, \(\pi\)가 closed map이므로 \(\pi(Z)\)는 \((0)\)을 포함하는 닫힌집합, 곧 \(\Spec A\) 전체이다. 따라서 \(\pi(z)=\mathfrak{m}_A\)인 \(z\in Z\)가 존재한다.

Residue field들을 살펴보자. \(\pi\circ \tilde{\alpha}=\iota\)가 \((0)\)에서 유도하는 morphism \(\kappa((0))=K \rightarrow K\)는 항등사상이고, 이것은 \(\pi\)가 유도하는 \(K\rightarrow\kappa(\xi)\)와 \(\tilde{\alpha}\)가 유도하는 \(\kappa(\xi) \rightarrow K\)의 합성이므로 두 morphism은 서로의 역이 되는 isomorphism이다. 곧 \(\kappa(\xi)\cong K\)이다. 그럼 \(Z\)는 generic point \(\xi\)를 갖는 integral scheme이므로, 정리 6의 증명에서와 같이 \(z\)를 포함하는 affine open subset을 택하여

\[\mathcal{O}:=\mathcal{O}_{Z,z}\subseteq \kappa(\xi)=K,\qquad \Frac(\mathcal{O})=K\]

임을 안다. 또 \(\pi\vert_Z\)가 유도하는 morphism \(A=\mathcal{O}_{\Spec A,\mathfrak{m}_A} \rightarrow \mathcal{O}_{Z,z}\)는 local homomorphism이며, generic point에서 이것이 유도하는 \(K \rightarrow \kappa(\xi)=K\)가 항등사상이므로 이 morphism은 \(K\)의 subring 사이의 포함사상이다. 곧 \(\mathcal{O}\)는 \(A\)를 dominate하는 \(K\)의 local subring이고, 위의 극대성에 의하여 \(\mathcal{O}_{Z,z}=A\)이다.

그럼 canonical morphism \(\Spec A=\Spec\mathcal{O}_{Z,z} \rightarrow Z \hookrightarrow X_A\)를 얻고, 이것과 \(\pi\)의 합성은 ring 수준에서 \(A\)의 항등사상에 대응하므로 \(\pi\)의 section이다. 이 section을 \(\Spec K\)로 제한한 것은 \(\xi\)를 image로 갖고 residue field 위에서 \(\kappa(\xi)=K\)의 항등사상을 유도하므로 \(\tilde{\alpha}\)와 같다. 따라서 이 section을 \(X\)로 project하면 \(\gamma\circ \iota=\alpha\)이고 \(\varphi\circ \gamma=\beta\)인 \(\gamma:\Spec A \rightarrow X\)를 얻는다.

거꾸로 존재성 부분이 성립한다고 가정하자. 정의 9 이후에 밝힌 규약대로 base change \(Y' \rightarrow Y\)는 Noetherian scheme에 대한 것만 생각한다.

우선 존재성 부분이 base change에 대해 안정적이다. \(Y' \rightarrow Y\)와 \(X'=X\times_YY'\), \(\varphi':X' \rightarrow Y'\)가 주어졌다 하고, \(\Spec K \rightarrow X'\)와 \(\Spec A \rightarrow Y'\)가 \(\varphi'\)에 대한 바깥쪽 square를 이룬다 하자. 이들을 \(X' \rightarrow X\), \(Y' \rightarrow Y\)와 합성하면 \(\varphi\)에 대한 바깥쪽 square를 얻으므로 lifting \(\gamma:\Spec A \rightarrow X\)가 존재하고, \(\gamma\)와 \(\Spec A \rightarrow Y'\)는 universal property에 의해 유일한 \(\gamma':\Spec A \rightarrow X'\)를 준다. \(\gamma'\circ \iota\)와 주어진 \(\Spec K \rightarrow X'\)는 \(X' \rightarrow X\), \(X' \rightarrow Y'\)와 합성한 결과가 각각 같으므로 서로 같고, 따라서 \(\gamma'\)는 \(\varphi'\)에 대한 lifting이다. 한편 finite type morphism은 base change에 대해 안정적이고 Noetherian scheme 위의 finite type scheme은 다시 Noetherian이므로, \(X'\)는 Noetherian이고 \(\varphi'\)는 finite type이다. 따라서 Noetherian scheme \(X\)와 finite type morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)가 판정법의 존재성 부분을 만족할 때 \(\varphi\)가 closed map임을 보이면, 이를 모든 base change에 적용하여 증명이 끝난다.

이를 보이기 위해 \(X\)의 닫힌집합 \(T\)를 택하고 reduced scheme structure를 주자. Closed embedding \(T\hookrightarrow X\)는 finite morphism이므로 (§닫힌 부분스킴, ⁋명제 4) finite type이고, 따라서 \(T\)는 Noetherian scheme이며 \(\varphi\vert_T:T \rightarrow Y\) 또한 finite type이다. 또 \(\varphi\vert_T\)는 판정법의 존재성 부분을 물려받는다. 실제로 \(\Spec K \rightarrow T\)와 \(\Spec A \rightarrow Y\)가 \(\varphi\vert_T\)에 대한 square를 이루면, \(\Spec K \rightarrow T\hookrightarrow X\)에 판정법을 적용하여 lifting \(\gamma_0:\Spec A \rightarrow X\)를 얻는다. \(\Spec A\)의 모든 점은 generic point \((0)\)의 specialization이고 morphism은 specialization을 보존하므로 \(\gamma_0(\Spec A)\subseteq \cl(\{\gamma_0((0))\})\subseteq T\)이며, \(\Spec A\)는 reduced이므로 \(\gamma_0\)는 \(T\)를 경유한다. 여기에서 마지막 사실은 다음과 같이 얻어진다. Reduced scheme \(S\)에서의 morphism \(\psi:S \rightarrow X\)의 image가 닫힌집합 \(T\)에 들어간다 하고, \(X\)의 affine open subset \(\Spec B\)와 \(\psi^{-1}(\Spec B)\)의 affine open subset \(\Spec R\)을 택하자. \(T\cap \Spec B=Z(\mathfrak{b})\) (\(\mathfrak{b}\)는 radical ideal)라 하면 \(T\)의 reduced structure는 그 위에서 \(\Spec (B/\mathfrak{b})\)이고, 대응하는 ring homomorphism \(\phi:B \rightarrow R\)는 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\subseteq R\)에 대해 \(\mathfrak{b}\subseteq \phi^{-1}(\mathfrak{p})\)를 만족하므로

\[\phi(\mathfrak{b})\subseteq \bigcap_{\mathfrak{p}\in\Spec R}\mathfrak{p}=\mathfrak{N}(R)=(0)\]

이다. 곧 \(\phi\)는 \(B/\mathfrak{b}\)를 유일하게 경유하고, 이렇게 얻어진 local factorization들은 유일성에 의해 붙는다.

따라서 \(\varphi(T)=\varphi\vert_T(T)\)가 닫힌집합임을 보이면 되고, 결국 판정법의 존재성 부분을 만족하는 finite type morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\) (단 \(X\)는 Noetherian)의 image \(\varphi(X)\)가 닫혀 있음을 보이면 충분하다.

\(\varphi(X)\)가 specialization에 대해 닫혀 있음을 먼저 본다. \(y_1=\varphi(x_1)\in \varphi(X)\)이고 \(y_0\in\cl(\{y_1\})\)이라 하자. \(W=\cl(\{y_1\})\)에 reduced scheme structure를 주면 \(W\)는 generic point \(y_1\)을 갖는 integral scheme이고, 앞에서와 같이 \(\mathcal{O}=\mathcal{O}_{W,y_0}\)는 \(\Frac(\mathcal{O})=\kappa(y_1)\)인 local domain이다. 이제 \(K=\kappa(x_1)\)이라 하고 \(\varphi\)가 유도하는 field homomorphism \(\kappa(y_1)\hookrightarrow K\)를 통해 \(\mathcal{O}\)를 \(K\)의 local subring으로 보자. 그럼 \(\mathcal{O}\)를 dominate하는 \(K\)의 valuation ring \(A\)가 존재하고, 이로부터 두 morphism

\[\Spec A \longrightarrow \Spec\mathcal{O} \longrightarrow W\hookrightarrow Y,\qquad \alpha:\Spec K \longrightarrow X\]

를 얻는다. 여기에서 \(\alpha\)는 점 \(x_1\)과 \(\kappa(x_1)=K\)가 정의하는 canonical morphism이다. 이 둘은 바깥쪽 square를 이루는데, \(\Spec K \rightarrow Y\)로 가는 두 합성이 모두 점 \(y_1\)과 field homomorphism \(\kappa(y_1)\hookrightarrow K\)가 정의하는 canonical morphism이기 때문이다. 판정법의 존재성에 의하여 lifting \(\gamma_0:\Spec A \rightarrow X\)가 존재하고, \(\Spec A \rightarrow \Spec\mathcal{O}\)가 local homomorphism에서 오므로 \(\mathfrak{m}_A\)는 \(\mathfrak{m}_\mathcal{O}\), 곧 \(y_0\)으로 간다. 따라서 \(\varphi(\gamma_0(\mathfrak{m}_A))=y_0\)이고 \(y_0\in \varphi(X)\)이다.

끝으로 정리 6의 증명에서의 위상적인 관찰을 그대로 반복한다. \(X\)의 irreducible component들 \(X_1,\ldots,X_r\)의 generic point를 \(\eta_1,\ldots,\eta_r\)이라 하면 \(X=\bigcup_{i=1}^r\cl(\{\eta_i\})\)이므로

\[\cl(\varphi(X))=\bigcup_{i=1}^r\cl(\{\varphi(\eta_i)\})\]

이고, 따라서 \(\cl(\varphi(X))\)의 모든 점은 \(\varphi(X)\)의 점의 specialization이다. 앞에서 \(\varphi(X)\)가 specialization에 대해 닫혀 있음을 보였으므로 \(\varphi(X)=\cl(\varphi(X))\)이다.

그럼 두 조각을 합치면 properness의 판정법을 얻는다.

정리 11 Noetherian scheme들 사이의 finite type scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)에 대하여, \(\varphi\)가 proper인 것은 임의의 valuation ring \(A\)와 그 quotient field \(K=\Frac(A)\)에 대하여, 임의의 scheme morphism \(\Spec A \rightarrow Y\), \(\Spec K \rightarrow X\)와 다음 commutative diagram

의 바깥쪽 square가 주어질 때마다, 정확히 하나의 \(\Spec A \rightarrow X\)가 존재하여 전체 diagram이 commute하는 것이 동치이다.

증명

\(\varphi\)는 finite type이라 가정되어 있으므로, 정의 9에 의하여 \(\varphi\)가 proper인 것은 \(\varphi\)가 separated이고 universally closed인 것이다. 정리 6에 의하여 \(\varphi\)가 separated인 것은 임의의 바깥쪽 square가 많아야 하나의 lifting을 갖는 것이고, 명제 10에 의하여 \(\varphi\)가 universally closed인 것은 임의의 바깥쪽 square가 적어도 하나의 lifting을 갖는 것이다. 두 조건이 함께 성립하는 것이 곧 모든 square가 정확히 하나의 lifting을 갖는 것이다.

판정법이 실패하는 모습을 보아 두는 것이 좋다. 예시 7이 유일성이 깨지는 경우였다면, 다음은 존재성이 깨지는 경우이다.

예시 12 \(\mathbb{A}^1_\mathbb{K}=\Spec\mathbb{K}[\x]\)는 \(\Spec\mathbb{K}\) 위에서 proper가 아니다. \(A=\mathbb{K}[t]_{(t)}\)와 \(K=\Frac(A)=\mathbb{K}(t)\)를 택하고, ring homomorphism

\[\mathbb{K}[\x] \longrightarrow K;\qquad \x\mapsto 1/t\]

가 정의하는 morphism \(\alpha:\Spec K \rightarrow \mathbb{A}^1_\mathbb{K}\)를 생각하자. 모든 것이 \(\mathbb{K}\) 위에 있으므로 \(\alpha\)와 구조사상 \(\Spec A \rightarrow \Spec\mathbb{K}\)는 바깥쪽 square를 이룬다. 만일 lifting \(\gamma:\Spec A \rightarrow \mathbb{A}^1_\mathbb{K}\)가 존재한다면 이는 ring homomorphism \(\mathbb{K}[\x] \rightarrow A\)에 대응하고, \(\gamma\circ \iota=\alpha\)라는 조건은 이 homomorphism과 \(A\hookrightarrow K\)의 합성이 \(\x\)를 \(1/t\)로 보낸다는 것이다. 곧 \(1/t\in A\)여야 하는데 \(t\)는 \(A\)의 uniformizer이므로 이는 불가능하다. 따라서 lifting이 존재하지 않고, 정리 11에 의하여 \(\mathbb{A}^1_\mathbb{K} \rightarrow \Spec\mathbb{K}\)는 proper가 아니다.

기하적으로 이 \(\alpha\)는 원점에서 무한대로 달아나는 곡선의 germ이며, 판정법은 \(\mathbb{A}^1_\mathbb{K}\) 안에 그 극한이 없다는 것을 그대로 읽어낸 것이다. 같은 계산을 \(\mathbb{P}^1_\mathbb{K}\)에서 하면 \(1/t\)는 무한대에 대응하는 chart에서 \(t\)가 되어 lifting이 존재하며, 이것이 정리 15에서 일반화된다.

마찬가지로 다음 따름정리가 성립한다.

따름정리 13 Noetherian scheme들에 대하여,

1. Closed embedding은 proper이다.
2. Proper morphism들의 합성은 proper이다.
3. Proper morphism은 base change에 의해 보존된다.
4. Proper morphism은 fiber product에 의해 보존된다.
5. 만일 \(\varphi:X \rightarrow Y\), \(\psi:Y \rightarrow Z\)가 scheme morphism들이고 \(\psi\)가 separated이며 \(\psi\circ \varphi\)가 proper morphism이라면 \(\varphi\) 또한 proper morphism이다.

증명

1번의 경우 closed embedding은 따름정리 8의 1번에 의하여 separated이고, finite morphism이므로 (§닫힌 부분스킴, ⁋명제 4) finite type이다. 또 closed embedding은 closed map이며 base change에 대해 안정적이므로 (정리 6의 증명) universally closed이다.

2번의 경우 separated는 따름정리 8의 2번이고 finite type morphism의 합성은 finite type이므로, universally closed만 보이면 된다. \(Z' \rightarrow Z\)가 주어졌다 하면 \(X\times_ZZ'=X\times_Y(Y\times_ZZ')\)이므로

\[X\times_ZZ' \longrightarrow Y\times_ZZ' \longrightarrow Z'\]

의 두 morphism은 각각 \(\varphi\)와 \(\psi\)의 base change이고, 따라서 둘 다 closed map이다. Closed map의 합성은 closed map이므로 \(X\times_ZZ' \rightarrow Z'\) 또한 closed이다.

3번의 경우 separated는 따름정리 8의 3번, finite type은 base change에 대한 안정성이고, universally closed는 base change의 base change가 다시 base change라는 것에서 정의상 바로 얻어진다. 이어서 4번은 따름정리 8의 4번에서와 같은 분해를 2번과 3번에 적용하면 된다.

끝으로 5번을 보자. \(\id_X\)와 \(\varphi\)가 유도하는 graph morphism \(\Gamma_\varphi:X \rightarrow X\times_ZY\)를 생각하면 \(\varphi=\pi_2\circ\Gamma_\varphi\)이다. 이 때 \(\Gamma_\varphi\)와 \(\varphi\times\id_Y: X\times_ZY \rightarrow Y\times_ZY\)가 이루는 square는 \(\Delta_{Y/Z}:Y \rightarrow Y\times_ZY\)를 밑변으로 하는 cartesian square이다. 실제로 임의의 \(T\)에 대하여 \(Y\times_ZY\)로 가는 두 morphism을 맞추는 것은 \(\alpha:T \rightarrow X\)와 \(\beta:T \rightarrow Y\)의 쌍 가운데 \(\varphi\circ \alpha=\beta\)인 것을 고르는 일이고, 이러한 쌍은 \(\alpha\) 하나가 결정하기 때문이다. 그럼 \(\psi\)가 separated라는 가정에서 \(\Delta_{Y/Z}\)가 closed embedding이므로 \(\Gamma_\varphi\) 또한 closed embedding이고, 1번에 의하여 proper이다. 한편 \(\pi_2:X\times_ZY \rightarrow Y\)는 \(\psi\circ \varphi\)를 \(\psi\)를 따라 base change한 것이므로 3번에 의하여 proper이다. 따라서 2번에 의하여 \(\varphi=\pi_2\circ\Gamma_\varphi\)는 proper이다.

5번에서 \(\psi\)가 separated라는 가정이 붙는 것은, 증명에서 \(\Gamma_\varphi\)가 closed embedding이 되는 근거가 정확히 \(\Delta_{Y/Z}\)가 closed embedding이라는 것이기 때문이다. 이 가정이 없으면 \(\Gamma_\varphi\)가 closed embedding이라는 보장이 사라지고 논증이 작동하지 않는다. 따름정리 8의 5번에는 이러한 가정이 필요하지 않았으므로, 두 항목의 모양이 서로 다르다는 점에 주의해야 한다.

한편 따름정리 13의 1번은 다음의 특수한 경우이다. 이는 판정법이 실제로 어떻게 쓰이는지를 보여주는 가장 전형적인 예로, valuation ring이 integrally closed라는 사실 하나로 존재성이 나온다.

따름정리 14 Noetherian scheme들 사이의 finite morphism은 proper이다.

증명

Finite morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)는 affine morphism이므로 임의의 affine open subset \(V\subseteq Y\)에 대하여 \(\varphi^{-1}(V)\)가 affine이고, 따라서 보조정리 5와 closed embedding의 affine-local 판정에 의하여 (§닫힌 부분스킴, ⁋명제 3) \(\varphi\)는 separated이다. 또 finite morphism은 finite type이다. (§스킴 사상의 성질들, ⁋명제 15) 그러므로 정리 11에 의하여 lifting의 존재성만 확인하면 된다.

바깥쪽 square \(\alpha:\Spec K \rightarrow X\), \(\beta:\Spec A \rightarrow Y\)가 주어졌다 하자. \(\Spec A\)의 모든 점은 generic point \((0)\)의 specialization이고 morphism은 specialization을 보존하므로, \(\beta(\mathfrak{m}_A)\)를 포함하는 \(Y\)의 affine open subset \(V=\Spec B\)를 택하면 \(V\)는 \(\beta((0))\) 또한 포함하고 따라서 \(\beta\)는 \(V\)를 경유한다. 그럼 \(\alpha\)의 image는 \(\varphi^{-1}(V)=\Spec C\)에 들어가며, \(C\)는 \(B\)-module로서 finitely generated이다. 이제 문제는 다음의 ring homomorphism들

\[B \longrightarrow A,\qquad C \longrightarrow K\]

가 주어졌을 때 이들과 양립하는 \(C \rightarrow A\)를 만드는 것이 된다.

임의의 \(c\in C\)는 \(B\) 위에서 integral이므로 적당한 \(b_i\in B\)에 대하여

\[c^n+b_{n-1}c^{n-1}+\cdots+b_0=0\]

을 만족한다. 이 식을 \(C \rightarrow K\)로 옮기면 \(c\)의 image는 \(B\)의 image 위에서 integral이고, \(B\)의 image는 \(A\) 안에 들어가므로 \(c\)의 image는 \(A\) 위에서 integral이다. 그런데 valuation ring은 언제나 integrally closed이므로 ([가환대수학] §인자, ⁋명제 6의 2번) \(c\)의 image는 \(A\)에 속한다. 곧 \(C \rightarrow K\)는 \(A\)를 경유하고, 이것이 원하는 lifting을 준다.

같은 판정법이 훨씬 큰 결과를 준다. Projective morphism은 정의상 closed embedding과 projection \(\mathbb{P}^n_Y \rightarrow Y\)의 합성이고 (정의 1) closed embedding 쪽은 이미 따름정리 13의 1번으로 처리되었으므로, 결국 확인할 것은 projective space가 base 위에서 proper라는 것 하나이다. 그리고 이는 base change를 따라 \(\mathbb{P}^n_\mathbb{Z} \rightarrow \Spec\mathbb{Z}\) 하나로 환원된다.

정리 15 Noetherian scheme들 사이의 projective morphism은 proper morphism이고, quasi-projective morphism은 separated, finite type morphism이다.

증명

증명의 핵심은 \(\pi:\mathbb{P}^n_\mathbb{Z} \rightarrow \Spec\mathbb{Z}\)가 proper라는 것이며, 이는 정리 11의 판정법을 직접 확인하여 얻어진다. 우선 \(\mathbb{P}^n_\mathbb{Z}\)는 \(n+1\)개의 affine chart

\[U_i=\Spec \mathbb{Z}[\x_0/\x_i,\ldots,\x_n/\x_i]\qquad (i=0,\ldots,n)\]

을 \(U_i\cap U_j=D(\x_j/\x_i)\subseteq U_i\)를 따라 붙여 얻어진다. 여기에서 \(\x_i/\x_i=1\)이므로 각 \(U_i\)는 \(\mathbb{Z}\) 위의 \(n\)변수 polynomial ring의 spectrum이다. 특히 각 \(U_i\)는 Noetherian ring의 spectrum이고 chart의 개수가 유한하므로 \(\mathbb{P}^n_\mathbb{Z}\)는 Noetherian scheme이며, \(\pi\)는 finite type이다. (§스킴 사상의 성질들, ⁋정의 14)

\(\pi\)가 separated인 것은 chart 위에서 직접 확인된다. \(\mathbb{P}^n_\mathbb{Z}\times_\mathbb{Z}\mathbb{P}^n_\mathbb{Z}\)는 affine open subset들 \(U_i\times_\mathbb{Z}U_j\)로 덮이고 \(\pi_1\circ\Delta=\pi_2\circ\Delta=\id\)이므로 \(\Delta^{-1}(U_i\times_\mathbb{Z}U_j)=U_i\cap U_j\)이다. 이제 \(\Delta\)가 이 위에서 유도하는 ring homomorphism

\[\mathbb{Z}[\x_0/\x_i,\ldots,\x_n/\x_i]\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}[\x_0/\x_j,\ldots,\x_n/\x_j] \longrightarrow \mathcal{O}(U_i\cap U_j)=\mathbb{Z}[\x_0/\x_i,\ldots,\x_n/\x_i]_{\x_j/\x_i}\]

를 보면, 우변은 \(\mathbb{Z}\) 위에서 \(\x_l/\x_i\)들과 \((\x_j/\x_i)^{-1}=\x_i/\x_j\)로 생성되는데 앞의 것들은 첫째 인자에서, 뒤의 것은 둘째 인자에서 오므로 이 morphism은 surjective이다. 따라서 \(\Delta\)는 각 \(U_i\times_\mathbb{Z}U_j\) 위에서 closed embedding이고, closed embedding은 target에 대해 affine-local이므로 (§닫힌 부분스킴, ⁋명제 3) \(\Delta\) 자체가 closed embedding이다.

\(\Spec \mathbb{Z}\)는 scheme들의 category에서 terminal object이므로, valuation ring \(A\)와 \(K=\Frac(A)\)에 대한 바깥쪽 square를 주는 것은 morphism \(\Spec K \rightarrow \mathbb{P}^n_\mathbb{Z}\)를 주는 것과 같다. Lifting의 유일성은 \(\pi\)가 separated인 것과 정리 6에서 따르므로 존재성만 보이면 된다. \(\Spec K\)는 한 점이므로 주어진 morphism의 image는 적당한 chart \(U_i\)에 들어가고, 따라서 이 morphism은 ring homomorphism

\[\mathbb{Z}[\x_0/\x_i,\ldots,\x_n/\x_i] \longrightarrow K\]

에 대응한다. \(\x_j/\x_i\)의 image를 \(a_j\in K\)라 하면 \(a_i=1\)이다. 이제 \(K^\times\) 위에서 \(s\preceq t\)를 \(t/s\in A\)로 정의하면, valuation ring의 정의에 의하여 임의의 \(s,t\)에 대해 \(s\preceq t\)이거나 \(t\preceq s\)이고, \(t/s\in A\)이고 \(r/t\in A\)일 때 \(r/s=(r/t)(t/s)\in A\)이므로 \(\preceq\)는 \(K^\times\) 위의 total preorder이다. \(a_i=1\neq 0\)이므로 유한집합 \(\{a_j \mid a_j\neq 0\}\)은 공집합이 아니고, 따라서 이 집합의 최소원 \(a_k\)를 택할 수 있다. 곧 모든 \(j\)에 대하여

\[b_j:=a_j/a_k\in A\]

이다. (\(a_j=0\)인 경우 \(b_j=0\in A\)이다.) 특별히 \(b_k=1\)이므로 ring homomorphism

\[\mathbb{Z}[\x_0/\x_k,\ldots,\x_n/\x_k] \longrightarrow A;\qquad \x_j/\x_k\mapsto b_j\]

가 정의되고, 이는 morphism \(\Spec A \rightarrow U_k\subseteq\mathbb{P}^n_\mathbb{Z}\)를 준다. 이것이 lifting임을 보이려면 \(A\hookrightarrow K\)와의 합성이 처음 주어진 morphism과 같음을 확인하면 된다. \(a_k\neq 0\)이므로 처음의 ring homomorphism은 \(\x_k/\x_i\)를 \(K\)의 unit \(a_k\)로 보내고, 따라서 처음 morphism의 image는 \(D(\x_k/\x_i)=U_i\cap U_k\)에 들어간다. 그럼 \(U_k\) 위에서 이 morphism은 transition 관계

\[\x_j/\x_k=(\x_j/\x_i)\cdot(\x_k/\x_i)^{-1}\]

에 의하여 \(\x_j/\x_k\mapsto a_j/a_k=b_j\)로 주어지므로, 위에서 만든 \(\Spec A \rightarrow U_k\)를 \(\Spec K\)로 제한한 것과 정확히 같다. 곧 판정법의 존재성이 성립하고, 정리 11에 의하여 \(\pi\)는 proper이다.

임의의 Noetherian scheme \(Y\)에 대하여 \(\mathbb{P}^n_Y=\mathbb{P}^n_\mathbb{Z}\times_{\Spec\mathbb{Z}}Y\)이다. \(Y=\Spec B\)인 경우 \(\mathbb{P}^n_B\)의 chart \(\Spec B[\x_0/\x_i,\ldots,\x_n/\x_i]\)가 \(U_i\times_{\Spec\mathbb{Z}}\Spec B\)와 일치하기 때문이며, 일반적인 \(Y\)에 대해서는 이들을 붙이면 된다. 따라서 따름정리 13에 의하여 \(\mathbb{P}^n_Y \rightarrow Y\)는 proper이고, 특히 finite type이므로 \(\mathbb{P}^n_Y\)는 Noetherian scheme이다.

이제 \(\varphi:X \rightarrow Y\)가 projective라 하면 \(\varphi\)는 closed embedding \(X\hookrightarrow \mathbb{P}^n_Y\)와 projection \(\mathbb{P}^n_Y \rightarrow Y\)의 합성이다. (정의 1) Closed embedding은 proper이고 두 proper morphism의 합성은 proper이므로 (따름정리 13), \(\varphi\)는 proper이다.

마지막으로 \(\varphi:X \rightarrow Y\)가 quasi-projective라 하고, 이를 open immersion \(\lambda: X \rightarrow X'\)와 projective morphism \(\psi:X' \rightarrow Y\)의 합성 \(\varphi=\psi\circ\lambda\)로 분해하자. (정의 1) 방금 보인 것에 의해 \(\psi\)는 proper이고, 따라서 separated이며 finite type이다. 한편 open immersion은 separated이고 두 separated morphism의 합성은 separated이므로 (따름정리 8), \(\varphi\)는 separated이다. 또 open immersion은 locally of finite type이며, \(X\)가 Noetherian이므로 \(X'\)의 임의의 affine open subset의 \(\lambda\)에 의한 preimage는 Noetherian space의 열린집합으로서 quasi-compact이다. 곧 \(\lambda\)는 finite type이고 (§스킴 사상의 성질들, ⁋정의 14), 두 finite type morphism의 합성은 finite type이므로 \(\varphi\) 또한 finite type이다.

이로써 우리는 판정법의 고전적인 귀결을 얻는다. Proper morphism은 정의상 closed map이므로, projective scheme에서 나가는 morphism의 image는 언제나 닫혀 있다.

따름정리 16 \(\mathbb{K}\) 위의 projective scheme \(X\)와 separated finite type \(\mathbb{K}\)-scheme \(Z\), 그리고 \(\mathbb{K}\)-morphism \(\varphi:X \rightarrow Z\)에 대하여 \(\varphi(X)\)는 \(Z\)의 닫힌집합이다.

증명

Structure morphism \(X \rightarrow \Spec\mathbb{K}\)가 projective이므로 정리 15에 의하여 proper이고, \(Z \rightarrow \Spec\mathbb{K}\)는 가정에 의하여 separated이다. 그럼 따름정리 13의 5번을 \(\varphi\)와 \(Z \rightarrow \Spec\mathbb{K}\)에 적용하여 \(\varphi\)가 proper임을 얻고, 특히 \(\varphi\)는 closed map이므로 \(X\) 자신이 \(X\)의 닫힌집합이라는 것으로부터 \(\varphi(X)\)가 닫혀 있다.

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참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.