K

Grad. student in mathematics

스킴

Valuative criteria for separated, properness

이번 글에서 우리는 separated morphism과 proper morphism을 정의한다. 이들은 위상수학에서 Hausdorff 조건과 compact 조건을 대수기하로 옮겨온 것이라고 생각하면 편하다.

정의 1 임의의 scheme \(X\)이 주어졌다 하자.

  1. \(X\)의 열린집합 \(U\)에 대하여, scheme \((U, \mathcal{O}_X\vert_U)\)를 \(X\)의 open subscheme이라 부른다. \(f:X \rightarrow Y\)이 \(X\)와 \(Y\)의 open subscheme 사이의 isomorphism을 유도하면 \(f\)를 open immersion이라 부른다.
  2. Scheme morphism \(f:Y \rightarrow X\)가 closed immersion이라는 것은 \(\lvert Y\rvert\)가 \(f\)에 의하여 \(\lvert X\rvert\)의 닫힌집합으로의 homeomorphism을 정의하고, \(f^\sharp: \mathcal{O}_X \rightarrow f_\ast \mathcal{O}_Y\)가 surjective인 것이다.
    만일 두 closed immersion \(f:Y \rightarrow X\)와 \(f': Y' \rightarrow X\)에 대하여, isomorphism \(i:Y' \rightarrow Y\)가 존재하여 \(f'=f\circ i\)이도록 할 수 있다면 \(f\)와 \(f'\)를 equivalent한 closed immersion들이라 생각하고, 이 때 equivalence class를 closed subscheme으로 정의한다. 이와 같은 closed subscheme이 주어졌을 때, \(f^\sharp\)의 kernel \(\mathcal{I}_Y\)를 ideal sheaf라 부른다.
  3. \(f:X \rightarrow Y\)가 projective라는 것은 적당한 \(n\)에 대하여, \(f\)를 closed immersion과 projection의 합성 \(X\hookrightarrow \mathbb{P}^n_Y \rightarrow Y\)의 꼴로 분해할 수 있는 것이다.
  4. \(f:X \rightarrow Y\)가 quasi-projective라는 것은 이를 적당한 open immersion \(X \rightarrow X'\)와 projective morphism \(X' \rightarrow Y\)의 합성으로 분해할 수 있는 것이다.

이산값매김환

본격적인 이야기를 시작하기 전에 다음 예시를 살펴보는 것이 좋다.

예시 2 Ring \(A\)가 discrete valuation ring이라 하자. 즉 \(A\)는 principal ideal domain이곤 두 개의 prime ideal들 \((0)\), \(\mathfrak{m}\)을 가지며 이 중 \(\mathfrak{m}\)은 \(A\)의 유일한 maximal ideal로서 non-unit들의 모임이다.

이로부터 \(\Spec A\)는 두 개의 점 \((0)\), \(\mathfrak{m}\)으로 이루어져 있으며,

\[Z((0))=\{(0),\mathfrak{m}\},\quad Z(\mathfrak{m})=\{\mathfrak{m}\}\]

이므로 \(\Spec A\)의 자명하지 않은 열린집합은

\[D(\mathfrak{m})=\{(0)\}\]

뿐이다. 한편 \(\mathfrak{m}=(\pi)\)라 하면 §스펙트럼, ⁋명제 5에 의하여

\[\mathcal{O}(D(\mathfrak{m}))=\mathcal{O}(D(\pi))\cong A_\pi\cong \Frac(A)\]

이다. 물론 \(\mathcal{O}(\Spec A)\cong A\)이다.

한편 \(\Spec A\)의 두 점은 기하적으로 다음과 같이 살펴볼 수 있다: 각 점은 \(A\)에서 그 residue field로 가는 ring homomorphism에 의해 결정되는데, 즉 \(\kappa((0))\)와 \(\kappa(\mathfrak{m})\)이다. 다시 §스펙트럼, ⁋명제 5를 사용하면

\[\mathcal{O}_{(0)}\cong A_{(0)}\cong \Frac(A),\qquad \mathcal{O}_\mathfrak{m}\cong A_\mathfrak{m}\]

으로부터

\[\kappa((0))=\Frac(A), \qquad \kappa(\mathfrak{m})=A_\mathfrak{m}/\mathfrak{m}A_\mathfrak{m}\cong \Frac(A/\mathfrak{m})\cong A/\mathfrak{m}\]

을 얻는다.

분리사상

정의 3 Scheme morphism \(f:X \rightarrow Y\)에 대하여, diagonal morphism대각사상을 \(\Delta: X \rightarrow X \times_Y X\)으로 정의한다.

diagonal_morphism

만일 \(\Delta\)가 closed immersion이라면 \(f\)를 separated분리사상라 부르고, \(X\)가 \(Y\)에 대해 seperated라 부른다. 만일 \(X\)가 \(\Spec \mathbb{Z}\)에 대해 separated이면, \(X\)를 간단히 separated scheme이라 부른다.

대수기하학에서는 separatedness가 Hausdorff를 대체하는 성질이라 생각하는데, 이는 다음 명제 때문이다.

명제 4 \(f:X \rightarrow Y\)가 separated인 것과, diagonal morphism \(\Delta: X \rightarrow X\times_YX\)에 의한 \(X\)의 image가 닫힌집합인 것이 동치이다.

증명

정의에 의하여 \(f\)가 separated라면 \(\Delta(X)\)가 닫혀있음은 자명하다. 따라서 \(\Delta(X)\)가 closed임을 가정하고, \(\Delta\)가 closed immersion임을 보여야 한다. \(\Delta(X)\)가 \(X\times_YX\)의 닫힌집합이 되는 것은 자명하므로, \(\mathcal{O}_{X\times_YX} \rightarrow \Delta_\ast \mathcal{O}_X\)가 surjective임을 보이면 충분하다. 한편 sheaf morphism의 surjectivity는 stalk 위에서 체크할 수 있다. 임의의 \(p\in X\)를 택하자. 그럼 우선 \(p\)의 open affine subset \(U\)를 택할 수 있으며, 필요하다면 \(U\)를 제한하여 \(f(U)\)가 \(Y\)의 어떠한 open affine subset \(V\)에 속하도록 할 수 있다. 그럼 \(U\times_VU\)는 \(\Delta(p)\)의 open neighborhood이며, 이 위에서 \(\Delta: U \rightarrow U\times_VU\)는 다음의 보조정리 5에 의하여 closed immersion이 되고, 증명이 완료된다.

보조정리 5 Affine scheme 사이의 임의의 morphism \(f:X \rightarrow Y\)는 항상 separated이다.

증명

\(X=\Spec A, Y=\Spec B\)라 하면 \(\Delta\)가 ring homomorphism

\[A\otimes_BA \rightarrow A;\quad a\otimes a'\mapsto aa'\]

으로부터 유도되며, 이것이 surjective이므로 자명하다.

Separated가 아닌 scheme의 예시는 §스킴, ⁋예시 10에서 만든 line with double origin이 있다. 편의상 이 scheme을 \(X\)라 하자. 그럼 \(X\times X\)는 축 바깥에서는 일반적인 좌표평면과 똑같을 것이지만 좌표축, 특히 원점을 보면 네 개의 원점이 들어가게 된다. 직관적으로는 \(\Delta\)가 \(X\times X\)에 어떻게 들어갈지를 생각해보면 좌표축 바깥에서는 일반적인 대각선 모양이 될 것이지만, \(X\)의 두 원점이 \(\Delta\)를 통해 \(X\times X\)로 옮겨졌을 때, 이 네 원점 중 어느 두 개에 들어갈지를 알 수 없다. 실제로 이 네 원점은 모두 \(\Delta(X)\)의 closure에 들어가므로 separated가 아닌 것을 알 수 있다. 역시, 위상수학에서 이 공간은 Hausdorff가 아닌 공간의 예시였다.

정리 6 Noetherian scheme \(X\)와 scheme morphism \(f:X \rightarrow Y\)에 대하여, \(f\)가 separated인 것은 임의의 valuation ring \(A\)과 그 quotient field \(K=\Frac(A)\)에 대하여, 임의의 scheme morphism \(\Spec A \rightarrow Y\), \(\Spec K \rightarrow X\)와 다음 commutative diagram

valuative_criterion_for_separatedness

의 바깥쪽 square가 주어질 때마다, 많아야 하나의 \(\Spec A \rightarrow X\)가 전체 diagram이 commute하도록 하는 것이 동치이다.

이 명제는 별도로 증명하지 않지만, 만일 \(Y\)가 noetherian이고 \(f\)가 finite type morphism이라면 위의 정리를 임의의 valuation ring이 아니라, 임의의 discrete valuation ring으로 대체해도 된다는 것이 알려져 있다. 이렇게 바꿔두고 나면 기하학적 직관을 이용해 정리를 설명하기가 쉬워지는데, \(\Spec A\)를 smooth curve의 germ을 나타내는 것으로 생각하고 \(\Spec K\)는 여기에서 한 점이 빠져있는 것으로 생각하면 위의 정리는 이러한 \(\Spec K\hookrightarrow \Spec A\)를 넣는 방법이 하나 뿐이라는 것을 말해준다.

그럼 이로부터 다음을 얻는다.

따름정리 7 Noetherian scheme들에 대하여,

  1. Open immersion과 closed immersion은 모두 separated이다.
  2. 두 separated morphism의 합성은 separated이다.
  3. Separated morphism은 base change에 의해 보존된다.
  4. Separated morphism은 fiber product에 의해 보존된다.
  5. 만일 \(f:X \rightarrow Y\), \(g:Y \rightarrow Z\)가 scheme morphism들이고 \(g\circ f\)가 separated morphism이라면 \(f\) 또한 separated morphism이다.

고유사상

정의 8 \(f:X \rightarrow Y\)가 universally closed라는 것은 \(f\)가 closed map이고, 임의의 \(Y' \rightarrow Y\)에 대해서도 \(X\times_Y Y' \rightarrow Y'\)가 closed인 것이다. Separated, universally closed인 finite type morphism을 proper morphism고유사상이라 부른다.

정리 6과 마찬가지로 proper morphism에 대해서도 valuative criterion이 존재한다.

정리 9 Noetherian scheme \(X\)와 scheme morphism \(f:X \rightarrow Y\)에 대하여, \(f\)가 proper인 것은 임의의 valuation ring \(A\)과 그 quotient field \(K=\Frac(A)\)에 대하여, 임의의 scheme morphism \(\Spec A \rightarrow Y\), \(\Spec K \rightarrow X\)와 다음 commutative diagram

valuative_criterion_for_separatedness

의 바깥쪽 square가 주어질 때마다, 정확히 하나의 \(\Spec A \rightarrow X\)가 존재하여 전체 diagram이 commute하는 것이 동치이다.

마찬가지로 다음 따름정리가 성립한다.

따름정리 10 Noetherian scheme들에 대하여,

  1. Closed immersion은 proper이다.
  2. Proper morphism들의 합성은 proper이다.
  3. Proper morphism은 base change에 의해 보존된다.
  4. Proper morphism은 fiber product에 의해 보존된다.
  5. 만일 \(f:X \rightarrow Y\), \(g:Y \rightarrow Z\)가 scheme morphism들이고 \(g\circ f\)가 proper morphism이라면 \(f\) 또한 proper morphism이다.

정리 11 Noetherian scheme들 사이의 projective morphism은 proper morphism이고, quasi-projective morphism은 separated, finite type morphism이다.

댓글남기기