스킴의 대수구조

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Scheme은 기하적인 동시에 대수적인 대상이므로, 이를 잘 알기 위해서는 앞선 글에서 살펴본 scheme의 위상구조 뿐만 아니라 대수적인 구조도 동시에 고려할 필요가 있으며, 우리는 이전 글에서 이러한 철학이 어떻게 반영되는지를 간략하게 살펴보았다. 이번 글에서는 이 철학을 더욱 발전시킨다.

축소스킴과 정역스킴

정의 1 Scheme $X$가 reduced scheme_축소스킴인 것은 임의의 열린집합 $U$에 대하여 $\mathcal{O}_X(U)$가 reduced인 것이다. ([대수적 구조] §분수체, ⁋정의 11) 비슷하게, $X$가 integral_정역스킴인 것은 공집합이 아닌 임의의 열린집합 $U$에 대하여 $\mathcal{O}_X(U)$가 integral domain인 것이다. ([대수적 구조] §분수체, ⁋정의 5)

그럼 다음이 성립한다.

보조정리 2 Scheme $X$가 reduced scheme인 것은 임의의 $x\in X$에 대하여 $\mathcal{O}_{X, x}$가 reduced ring인 것과 동치이다.

증명

우선 reduced scheme $X$의 임의의 점 $x\in X$에 대하여, $x$를 포함하는 affine open subscheme $U=\Spec A$를 생각하자. $\Spec A$ 안에서 $x$에 대응되는 prime ideal을 $\mathfrak{p}$라 하면

\[\mathcal{O}_{X,x}=(\mathcal{O}_X\vert_U)_x\cong \mathcal{O}_{\Spec A, \mathfrak{p}}\cong A_\mathfrak{p}\]

이고, 가정에 의해 $\mathcal{O}_X(U)\cong A$가 reduced이므로 $A_\mathfrak{p}$ 또한 reduced이다.

거꾸로 임의의 $x\in X$에 대하여 $\mathcal{O}_{X,x}$가 reduced라 하면, 임의의 열린집합 $U$에 대하여 다음 inclusion

\[\mathcal{O}_X(U)\hookrightarrow\prod_{x\in U} \mathcal{O}_{X,x}\]

을 생각하면 $\mathcal{O}_X(U)$가 reduced인 것을 확인할 수 있다.

이로부터 reducedness는 stalk-local property인 것을 안다. (§스킴의 위상구조, ⁋명제 16) 또, 만일 ring $A$가 reduced라면 그 localization도 reduced임을 쉽게 보일 수 있으므로, reduced ring의 spectrum은 reduced라는 것을 보일 수 있다.

비슷하게 integral domain의 spectrum은 integral scheme이다. 이는 직접 보이는 것도 어렵지 않지만, 명제 4에서 우리는 scheme $X$가 integral인 것과, scheme $X$가 irreducible, reduced scheme인 것이 동치인 것을 증명한다. 그럼 integral domain $A$의 spectrum $\Spec A$는

$A$가 reduced ring이므로 reduced scheme이고,
$A$가 유일한 minimal prime ideal $\{0\}$을 가지므로 irreducible이다.

즉, 이를 받아들인다면 integral domain의 spectrum이 integral scheme이라는 것을 볼 수 있다.

명제 4의 증명을 위해서는 irreducibility를 다음과 같이 대수적인 언어로 풀어쓰는 것이 좋다.

보조정리 3 Affine scheme $\Spec A$가 irreducible인 것은 nilradical $\mathfrak{N}(A)$가 prime ideal인 것과 동치이다.

증명

$\Spec A$가 irreducible인 것은 이 공간의 임의의 두 basis $D(f),D(g)\neq\emptyset$에 대하여 $D(fg)\neq\emptyset$인 것과 동치이다. 그런데 다음 동치관계

\[D(f)\neq\emptyset\iff f\not\in \mathfrak{p}\text{ for some $\mathfrak{p}$}\iff f\not\in \mathfrak{N}(A)\]

로부터, ([대수적 구조] §분수체, ⁋명제 14) 명제 $D(f),D(g)\neq\emptyset\implies D(fg)\neq\emptyset$은 다음 명제

\[f,g\not\in \mathfrak{N}(A)\implies fg\not\in \mathfrak{N}(A)\]

와 동치임을 안다.

이제 다음을 얻는다.

명제 4 $X$가 integral인 것과, $X$가 reduced, irreducible인 것이 동치이다.

증명

우선 $X$가 integral이라 하자. 임의의 integral domain은 항상 reduced이므로 $X$는 reduced scheme이다. 만일 $X$가 irreducible scheme이 아니라 하면, 서로소이고 공집합이 아닌 두 열린집합 $U_1,U_2\neq\emptyset$가 존재한다. 그럼 열린집합 $U_1\cup U_2$에 대하여

\[\mathcal{O}_X(U_1\cup U_2)=\mathcal{O}_X(U_1)\times \mathcal{O}_X(U_2)\]

이고, 우변은 integral domain이 아니므로 이는 $X$가 integral이라는 가정에 모순이다.

거꾸로 irreducible reduced scheme $X$가 주어졌다 하고, $X$가 integral scheme임을 보이자. 즉, $X$의 임의의 열린집합 $U$가 주어졌을 때, $\mathcal{O}_X(U)$가 integral domain임을 보여야 한다. 우선 다음 주장을 보이자.

주장. 임의의 affine open subset $\Spec A\cong V\subseteq X$에 대하여, $\mathcal{O}_X(V)\cong A$는 항상 integral domain이다.
증명. $X$가 reduced라는 가정으로부터 $A$가 reduced ring이어야 하는 것을 안다. 한편, $X$는 $X$의 irreducible closed subset이므로 $V$도 irreducible이고 ([위상수학] §차원, ⁋명제 15) 따라서 보조정리 3으로부터 $\mathfrak{N}(A)=0$는 prime ideal이 되어 $A$가 integral domain이다.

이제 일반적으로 $X$의 임의의 열린집합 $U$에 대하여 $\mathcal{O}_X(U)$가 integral domain임을 보인다. 이를 위해 두 원소 $f,g\in \mathcal{O}_X(U)$가 $fg=0$을 만족한다고 하자. 그럼 $U$의 두 열린집합

\[D_U(f)=\{x\in U\mid f_x\not\in \mathfrak{m}_x\},\qquad D_U(g)=\{x\in U\mid g_x\not\in \mathfrak{m}_x\}\]

와 이들의 여집합 $Z_U(f), Z_U(g)$에 대하여 $U=Z_U(f)\cup Z_U(g)$가 성립한다. 이제 $X$가 irreducible이므로, [위상수학] §차원, ⁋명제 15으로부터 그 열린집합 $U$ 또한 마찬가지라는 것을 알고 따라서 $Z_U(f)=U$이거나 $Z_U(g)=U$여야 한다. 일반성을 잃지 않고 $Z_U(f)=U$라 하자. 그럼 $U$의 임의의 open affine subset $V$에 대하여, $V$에서

\[D_V(f)=\{x\in V\mid f_x\not\in \mathfrak{m}_x\}\]

로 정의하면 $D_V(f)=D_U(f)\cap V$이고, 이것이 공집합이기 위해서는 $f\vert_V$가 $\mathcal{O}_X(V)$의 nilpotent element이다. 그런데 $\mathcal{O}_X(V)$는 위의 주장에 의하여 integral domain이므로, 이로부터 $f\vert_V=0$이어야 함을 알고, 이것이 $U$의 임의의 open affine subset $V$에 대해 성립하므로 $f=0$이어야 한다.

한편 §스킴의 위상구조, ⁋예시 6을 보면, 임의의 scheme $X$의 irreducibility를 stalk만 보아서는 판단할 수 없다는 것을 안다. 가령 $Z(\x(\x-1))$는 두 개의 component로 쪼개지므로 각 component의 점은 다른 component의 점에 대한 정보를 알지 못한다. 따라서 integrality 또한 stalk만 보아서는 판단하지 못한다.

그러나 만일 $X$가 connected scheme이었다면, irreducible component들은 반드시 어떠한 점에서는 만나야 하고, 이 점에서의 stalk을 보면 irreducibility를 판단할 수도 있을 것이다. 다음 명제는 이 아이디어를 엄밀하게 적은 것이다.

명제 5 Noetherian scheme $X$가 integral인 것과, $X$가 nonempty, connected이고 각각의 $\mathcal{O}_{X,x}$가 integral domain인 것이 동치이다.

증명

우선 $X$가 integral이라면 $X$는 irreducible이므로 connected이고, 또 integral domain의 localization은 integral domain이므로 한쪽 방향은 자명하다.

반대쪽 방향의 경우, scheme $X$가 reduced인 것은 임의의 integral domain이 reduced이고, reducedness가 stalk-local property이기 때문에 자명하다. 따라서 주어진 조건을 사용하여 $X$가 irreducible이라는 것을 보이면 나머지는 명제 4로부터 자명하다.

우선 $X$가 Noetherian scheme이므로 적당한 Noetherian ring들 $A_1,\ldots, A_r$이 존재하여 $X=\bigcup \Spec A_i$라 할 수 있다. 또, $X$는 위상공간으로서 Noetherian이고, 따라서 [위상수학] §차원, ⁋명제 13에 의하여 $X$는 유한히 많은 irreducible component를 갖는다. 이제

\[X=\bigcup_{j=1}^s X_j\tag{$\ast$}\]

가 $X$를 irreducible component들로 분해한 것이라 하면, 고정된 $i$에 대하여 다음 집합들

\[X_1\cap \Spec A_i,\quad X_2\cap \Spec A_i,\quad\ldots,\quad X_s\cap \Spec A_i\]

중 공집합이 아닌 것들은 $\Spec A_i$의 irreducible component들이 된다. 이제 §스펙트럼, ⁋따름정리 17에 의하여, 이들 각각은 minimal prime ideal $\mathfrak{q}_j=I(X_j\cap \Spec A_i)$를 정의하며 거꾸로 $A_i$의 임의의 minimal prime ideal은 irreducible component $X_j\cap \Spec A_i$를 유일하게 결정한다.

한편 $s=1$이라면 $X$가 이미 irreducible이므로 보일 것이 없다. 따라서 $s\geq 2$라 하고 irreducible decomposition ($\ast$)에서 두 닫힌집합

\[X_1,\qquad \bigcup_{j=2}^s X_j\]

를 생각하자. Irreducible component는 항상 공집합이 아닌 닫힌집합이고 ([위상수학] §차원, ⁋정의 9), 유한히 많은 닫힌집합의 합집합은 다시 닫힌집합이므로 이들은 모두 공집합이 아닌 닫힌집합이다. 만일 이 두 집합이 서로 만나지 않는다면 $X$는 서로소인 두 닫힌집합의 합집합이 되어 이들 각각이 열린집합이기도 하므로, $X$가 connected라는 가정에 모순이다. 따라서 적당한 $j$와 점 $x$가 존재하여 $x\in X_1\cap X_j$이다. 이제 점 $x$를 포함하는 $X$의 affine cover를 $\Spec A_i$라 하고, 이 때 $x$가 prime ideal $\mathfrak{p}$에 대응된다 하자. 즉

\[x\in \Spec A_i\cap X_1\cap X_j=(\Spec A_i\cap X_1)\cap (\Spec A_i\cap X_j)\]

이다. 이제 앞선 논증으로부터 $\Spec A_i\cap X_1$은 generic point $\mathfrak{q}_1$을, $\Spec A_i\cap X_j$는 generic point $\mathfrak{q}_j$를 가지며, 이들은 $A_i$의 minimal prime ideal이다. 이제 $x$에서의 stalk $\mathcal{O}_{X,x}\cong (A_i)_\mathfrak{p}$를 생각하자. $x$가 $X_1$과 $X_j$ 모두에 속하므로 $\mathfrak{q}_1,\mathfrak{q}_j\subseteq \mathfrak{p}$이고, 따라서 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 8에 의하여 $\mathfrak{q}_1(A_i)_\mathfrak{p}$와 $\mathfrak{q}_j(A_i)_\mathfrak{p}$는 $(A_i)_\mathfrak{p}\cong\mathcal{O}_{X,x}$의 서로 다른 minimal prime ideal이 된다. 그런데 integral domain은 유일한 minimal prime ideal $(0)$을 가지므로 이는 $\mathcal{O}_{X,x}$가 integral domain이라는 가정에 모순이다.

위의 증명에서 핵심적인 논리는

$X$가 connected이므로, $X$를 irreducible component들로 분해하면 각각의 irreducible component는 다른 irreducible component와 반드시 만나야 하고¹
두 irreducible component가 만나는 점을 $x$라 하고 $x$의 임의의 열린집합을 잡으면 이 열린집합은 각각의 irreducible component의 generic point를 포함할 것이며 (§스펙트럼, ⁋명제 16),
따라서 이들 generic point들은 $x$에서의 stalk $\mathcal{O}_{X,x}$에서도 살아있지만, 이것은 $\mathcal{O}_{X,x}$가 integral domain이므로 불가능하다.

는 것으로 요약할 수 있다. 이 generic point에 대한 성질은 이 글의 마지막에서 살펴본다.

정규스킴

Integral scheme과 비슷하게 다음을 정의할 수 있다.

정의 6 Scheme $X$가 normal_정규스킴인 것은 임의의 $x\in X$에 대하여 $\mathcal{O}_{X,x}$가 normal domain인 것이다. ([가환대수학] §정수적 확장, ⁋정의 3)

일반적으로 normal domain의 localization은 항상 normal domain이다. ([가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 12) 이로부터 normal domain $A$의 spectrum $\Spec A$는 normal scheme인 것을 안다.

임의의 integral domain은 항상 reduced이고, 보조정리 2로부터 reducedness는 stalk에서 확인할 수 있으므로 임의의 normal scheme은 reduced이다. 반면 integral scheme이 되는 것은 stalk-local property가 아니므로 일반적으로 normal scheme이 항상 integral scheme이 되는 것은 아니다. 그러나 만일 $X$가 connected, nonempty Noetherian scheme이라면 명제 5에 의해 normality가 integrality를 함의하는 것을 안다.

한편, 우리는 unique factorization domain은 항상 normal domain인 것을 안다. ([가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 9) 이로부터 다음을 정의한다.

정의 7 Scheme $X$가 factorial_{인수분해스킴}인 것은 임의의 $x\in X$에 대하여 $\mathcal{O}_{X,x}$가 unique factorization domain인 것이다.

따라서 임의의 factorial scheme은 normal scheme이다. 또, unique factorization domain의 localization은 unique factorization domain이므로 unique factorization domain $A$의 spectrum $\Spec A$는 factorial이다.

동반소아이디얼

우리는 §스펙트럼, ⁋따름정리 17에 의해, scheme $X=\Spec A$의 irreducible component와 ring $A$의 minimal prime ideal 사이의 일대일대응이 존재하는 것을 안다. 이는 위의 명제 5에서 중요하게 사용되었다.

한편 대수적으로, Noetherian ring $A$의 minimal prime ideal은 항상 associated prime ideal이 된다. 이는 $A$를 자기 자신 위의 module로 보면 $\ann A=\{0\}$이므로 [가환대수학] §동반소아이디얼, ⁋정리 7를 적용하면 확인할 수 있다. Noetherian 가정이 필수적인데, 가령 $A=\mathbb{K}[\x_1,\x_2,\ldots]/(\x_1^2,\x_2^2,\ldots)$은 유일한 prime ideal $\mathfrak{m}=(\x_1,\x_2,\ldots)$를 갖지만, $A$의 임의의 nonzero element는 유한히 많은 변수만 사용하므로 사용되지 않은 $\x_j$에 대하여 $\x_jf\neq 0$이 되어 $\ann(f)=\mathfrak{m}$일 수 없고, 따라서 $\Ass(A)=\emptyset$이다.

그러나 associated prime ideal은 minimal prime보다 더 많은 것을 담고 있다. Noetherian ring $A$에 대하여 [가환대수학] §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 둘째 결과에 의하면 $A$의 associated prime들의 합집합은 정확히 $0$과 $A$의 zero-divisor들의 모임과 같다. 가령 §스킴의 위상구조, ⁋예시 6에서 본 $Z(\x\y)$의 경우, zero-divisor $\x,\y$는 각각 서로 다른 irreducible component에서 $0$이 되는 함수였으며, 그 zero-divisor 관계는 두 component의 generic point인 minimal prime $(\x),(\y)$만으로 이미 완전히 설명된다. 그러나 뒤의 예시 11에서 보듯 이것이 항상 그런 것은 아니며, minimal prime, 다시 말해 irreducible component의 generic point만으로는 놓치는 zero-divisor의 위치까지도 associated point는 전부 포착한다.

정의 8 Locally Noetherian scheme $X$의 한 점 $x$와 $x$의 affine open neighborhood $U\cong \Spec A$에 대하여, $x$가 $X$의 associated point_동반점이라는 것은 $x$에 대응되는 prime ideal $\mathfrak{p}_x\subseteq A$가 $A$의 associated prime ideal인 것이다.

그럼 이 정의는 $U$의 선택에 의존하지 않으며, 뿐만 아니라 stalk-local하게 쓸 수도 있다. 이는 우선 $x$를 포함하는 affine open neighborhood $\Spec A$에 대하여, $X$가 locally Noetherian scheme이라는 조건으로부터 $A$가 Noetherian ring이라 가정하면 [가환대수학] §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 셋째 조건으로부터 $\mathfrak{p}_x$에 포함된 $A$의 associated prime ideal들의 모임과 $A_{\mathfrak{p}_x}$의 associated prime ideal들 사이의 일대일대응이 존재하는 것을 알고, 이 일대일대응으로부터 정의 8을

Locally Noetherian scheme $X$의 한 점 $x$에 대하여, $x$가 $X$의 associated point_동반점이라는 것은 $\mathfrak{m}_x$가 $\mathcal{O}_{X,x}$의 associated prime ideal인 것이다.

으로 바꾸어 쓸 수 있기 때문이다.

이제 [가환대수학] §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 첫째 조건은 만일 $X$가 quasicompact locally Noetherian scheme일 경우, 즉 $X$가 Noetherian scheme일 경우 associated point들의 유한성 또한 보장해준다. 이제 정의 8이 앞서 본 것처럼 $U$의 선택과 무관하게 stalk만으로 재서술되므로, 우리는 우리의 관심사를 Noetherian ring의 spectrum $\Spec A$로 한정할 수 있다.

정의 9 Noetherian ring의 spectrum $\Spec A$의 associated point들 중, $\Spec A$의 irreducible component들의 generic point에 해당하지 않는 것들을 embedded point_매장점라 부른다.

즉, 정의 8을 도입하기 전에 언급한, irreducible component의 generic point만으로는 놓치는 zero-divisor의 위치에 해당하는 점들이 바로 embedded point이며, 이는 예시 11에서 구체적으로 확인할 수 있다. 직관적으로 embedded point는 이미 다른 (더 큰) irreducible component에 속해 있는 점이면서도 그 자리에서 $A$가 국소적으로 추가적인 nilpotent 방향의 정보를 갖는다는 것을 기록하는 점으로, 그 근처에서 scheme은 그 component만으로 결정되는 reduced 구조보다 실제로 더 많은 정보를 담고 있다.

한편, 정의에 의해 다음이 성립한다.

명제 10 Noetherian ring의 spectrum $\Spec A$의 associated point들은 적당한 $f\in A$에 대하여, §스킴, ⁋정의 6의 support $\supp(f)$의 irreducible component의 generic point이며, 그 역 또한 성립한다.

증명

우선 임의의 $g\in A$와 prime ideal $\mathfrak{q}\in \Spec A$에 대하여

\[\mathfrak{q}\in \supp(g)\iff g_\mathfrak{q}\neq 0\text{ in $A_\mathfrak{q}$}\iff \ann(g_\mathfrak{q})\neq A_\mathfrak{q}\]

이 성립한다. 그런데 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 5에 의하여

\[\ann(g_\mathfrak{q})=\ann(g)A_\mathfrak{q}\]

이므로, 마지막 조건은 $\ann(g)\setminus \mathfrak{q}=\emptyset$, 즉 $\mathfrak{q}\in Z(\ann(g))$와 동치이다. 이로부터 임의의 $g\in A$에 대해

\[\supp(g)=Z(\ann(g))\]

이 성립하는 것을 안다. 따라서 $\supp(g)$의 irreducible component와 $\ann(g)$를 포함하는 minimal prime ideal 사이의 일대일 대응이 존재한다.

이제 $\Spec A$의 임의의 associated point $\mathfrak{p}$가 주어졌다 하면, 정의에 의해 적당한 $f\in A$가 존재하여 $\mathfrak{p}=\ann(f)$이다. 이제

\[\supp(f)=Z(\ann(f))=Z(\mathfrak{p})\]

이고, $\mathfrak{p}$가 $\ann(f)=\mathfrak{p}$의 minimal prime인 것은 자명하므로 $\mathfrak{p}$는 $\supp f$의 generic point이다.

거꾸로 $\mathfrak{p}$가 적당한 $g\in A$에 대하여 $\supp(g)$의 generic point라 하자. 즉 $\mathfrak{p}$가 $\ann(g)$를 포함하는 minimal prime ideal이라 하자. Morphism $A \rightarrow Ag$, $a\mapsto ag$의 kernel이 정확히 $\ann(g)$이므로 $Ag\cong A/\ann(g)$이고, 특히 $\ann(A/\ann(g))=\ann(g)$이다. 이제 [가환대수학] §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 첫째 결과를 $A$-module $A/\ann(g)$에 적용하면 $\mathfrak{p}\in \Ass(A/\ann(g))=\Ass(Ag)$를 얻는다. 그런데 $Ag$는 $A$의 submodule이므로 [가환대수학] §동반소아이디얼, ⁋보조정리 5의 첫 번째 포함관계에 의하여 $\Ass(Ag)\subseteq \Ass(A)$이고, 따라서 $\mathfrak{p}\in \Ass(A)$, 즉 $\mathfrak{p}$는 $\Spec A$의 associated point이다.

위의 증명에서 사용한 식

\[\supp(f)=Z(\ann(f))\]

를 살펴보면, associated point $\mathfrak{p}=\ann(f)$는 $f$와 곱해 $0$이 되는 원소들의 모임, 즉 $f$가 관여하는 zero-divisor 관계의 위치를 정확히 기록한다는 것을 알 수 있다. 만일 $A$가 integral domain이었다면 애초에 이러한 zero-divisor 관계가 존재하지 않으므로 $\ann(f)$는 오직 $f=0$일 때만 $A$ 전체이고, 그렇지 않은 경우에는 $0$이 된다. 즉, 이 경우 $\supp(f)$는 $f$가 $0$인 경우만 공집합이고, 나머지 경우에는 $\Spec A$ 전체이며, 우리는 명제 4에서 $\Spec A$가 irreducible임을 알고 있으므로 $\Spec A$의 유일한 associated point는 generic point $(0)$ 뿐임을 안다.

따라서 embedded point의 예시를 보기 위해서는 $A$가 integral domain이 아니고, 따라서 $\ann(f)$가 $0$도, $A$도 아닌 경우를 살펴보아야 한다.

예시 11 Affine scheme $X=\Spec \mathbb{K}[\x_1,\x_2]/(\x_2^2, \x_1\x_2)$를 생각하자. 그럼 §스펙트럼, ⁋명제 9에 의하여 집합으로서 $X=Z(\x_2^2,\x_1\x_2)$이며, $\sqrt{(\x_2^2,\x_1\x_2)}=(\x_2)$이므로 이는 $Z(\x_2)$, 즉 $\x_1$-축 $\Spec\mathbb{K}[\x_1]$이다.

이제 명제 10에 따라 associated point들을 $\ann(f)$의 꼴로 직접 찾아보자. Ring $A=\mathbb{K}[\x_1,\x_2]/(\x_2^2,\x_1\x_2)$의 임의의 원소는

\[p(\x_1)+c\x_2,\qquad p\in \mathbb{K}[\x_1],\quad c\in \mathbb{K}\]

꼴로 유일하게 쓸 수 있으며, 이 때 $\x_1\x_2=0$이므로

\[\x_1\cdot(p(\x_1)+c\x_2)=p(\x_1)\x_1\]

이다. 즉, $\ann(\x_1)=(\x_2)$이며 이는 $X$의 유일한 irreducible component의 generic point이다.

반면 $\x_2^2=0$과 $\x_1\x_2=0$으로부터

\[\x_2\cdot(p(\x_1)+c\x_2)=p(0)\x_2\]

이므로 $\ann(\x_2)=(\x_1,\x_2)$이다. 이는 $\ann(\x_1)=(\x_2)$를 진부분집합으로 포함하는 ideal로, 기하적으로는 원점에 해당한다. 이는 위의 예시와 달리 $X$의 irreducible component의 generic point로 나타나지 않는 점, 즉 embedded point이다.

실제로 이 두 점이 $X$의 associated point 전부이다. $f=p(\x_1)+c\x_2$와 $g=q(\x_1)+d\x_2$에 대하여 $\x_1\x_2=\x_2^2=0$으로부터

\[fg=p(\x_1)q(\x_1)+\bigl(dp(0)+cq(0)\bigr)\x_2\]

이므로, $p=0$이고 $c\neq 0$인 경우 $\ann(f)$는 $q(0)=0$을 만족하는 $g$들의 모임, 즉 $(\x_1,\x_2)$이고, $p\neq 0$이고 $p(0)=0$인 경우에는 $q=0$이 강제되어 $\ann(f)=(\x_2)$이며, $p(0)\neq 0$인 경우에는 $q=0$과 $d=0$이 모두 강제되어 $\ann(f)=0$이다. 즉 nonzero element의 annihilator로 얻어지는 prime ideal은 $(\x_2)$와 $(\x_1,\x_2)$뿐이다.

§스킴의 위상구조, ⁋예시 6의 $Z(\x\y)$와 달리, 이 zero-divisor 관계는 두 irreducible component의 곱에서 나오는 것이 아님을 주목하자. 구체적으로, $\x_2\in \ann(\x_1)$ 쪽은 이미 generic point $(\x_2)$에서 보이는 데이터이지만, $\x_1\in \ann(\x_2)$ 쪽은 $\supp(\x_2)=Z(\ann(\x_2))=\{(\x_1,\x_2)\}$이 보여주듯, $\x_2$가 원점을 제외한 모든 곳에서 사라진다는 사실이므로, 오직 embedded point에서만 associated prime으로 포착된다.

유리함수

이제 우리는 scheme 위에서 정의된 유리함수를 정의한다. 우선 [가환대수학] §동반소아이디얼, ⁋따름정리 4의 둘째 결과에 의하여 다음의 함수

\[A \rightarrow \prod_\text{\scriptsize $\mathfrak{p}$ associated prime} A_\mathfrak{p}\]

는 injective인 것을 안다. 따라서 locally Noetherian scheme $X$의 임의의 열린집합 $U$에 대하여 다음의 함수

\[\Gamma(U, \mathcal{O}_X) \rightarrow \prod_\text{\scriptsize $x$ associated in $U$} \mathcal{O}_{X,x}\tag{$\ast$}\]

가 injective이다. $U$가 affine이 아닌 경우에도 이는 성립하는데, $U$를 Noetherian ring들의 spectrum인 affine open subset $V_k$들로 덮으면 정의 8 직후의 재서술로부터 $V_k$의 associated point들은 정확히 $V_k$에 속하는 $U$의 associated point들이므로, 위의 affine에서의 injectivity를 각각의 $V_k$에 적용하여 $f\vert_{V_k}=0$을 얻기 때문이다.

정의 12 Locally Noetherian scheme $X$와, $X$의 associated point들을 모두 포함하는 열린집합 $U$에 대하여, $\Gamma(U, \mathcal{O}_X)$의 원소의 ($\ast$)에 의한 image를 $X$ 위에 정의된 rational function_유리함수라 부른다.

따라서, 정의에 의해 $X$ 위에 정의된 rational function은 (1) $X$의 모든 associated point들을 포함하는 정의역 $U$와, (2) 그 위의 함수 $f\in \Gamma(U, \mathcal{O}_X)$의 데이터로 이루어지며, 이러한 pair $(U, f)$와 $(U',f')$는 만일 $U\cap U'$에서 $f$와 $f'$가 같은 함수를 정의하면 같은 함수가 된다. 이러한 pair와 동치관계의 구조는 [대수다양체] §유리사상, ⁋정의 1에서의 variety 위의 rational function 정의와 정확히 같은 꼴이다. 유일한 차이는 이제 정의역 $U$가 associated point들을 모두 포함해야 한다는 조건이며, associated point들은 classical algebraic geometry에서는 보이지 않던 점들이므로 이는 그리 놀랄 일은 아니다.

그럼 이 조건이 어디서 왔는지를 살펴보는 것이 정의 12를 이해하기 위해 필수적이다. 우선 명제 10에 의해, $X=\Spec A$의 임의의 associated point $\mathfrak{p}$에 대하여

\[\mathfrak{p}=\ann(f),\qquad \supp(f)=Z(\mathfrak{p})\]

이도록 하는 nonzero function $f\in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$가 존재하고, 이는 정의 12의 조건을 만족하므로 pair $(X, f)$가 ($\ast$)를 따라 어떠한 nonzero rational function을 정의한다.

이제 이 associated point $\mathfrak{p}$를 놓치는 열린집합 $U$를 생각하자. 그럼 $Z(\mathfrak{p})$는 $\mathfrak{p}$를 generic point로 갖는 irreducible closed subset이므로 (§스펙트럼, ⁋명제 16), $Z(\mathfrak{p})$의 공집합이 아닌 열린부분집합은 항상 $\mathfrak{p}$를 포함하고, 따라서 우리는 반드시 $U\cap Z(\mathfrak{p})=\emptyset$이어야 함을 안다. 즉, 이러한 열린집합 $U$에 포함된 모든 점들, 특히 $U$에 포함된 associated point들 위에서 $f$의 germ은 $0$이 되어야 한다. 문제는 이러한 열린집합 $U$를 유리함수의 정의역으로 허용할 경우, 위의 ($\ast$)의 injectivity에 의해 $f$는 $0$과 구별할 수 없게 되어버린다.

가장 단순한 예시로 generic point의 경우를 보면, $\mathfrak{p}$가 어떤 irreducible component $C$의 generic point일 때는 $Z(\mathfrak{p})=C$이므로, 만일 $f$가 $\mathfrak{p}$에서 정의되지 않는다면, 즉 직관적으로 이 점에서 pole을 갖는다면, 위 논증은 $U$가 $C$를 통째로 놓치게 되어 $f\vert_U=0$이 됨을 뜻한다. 마찬가지로 $\mathfrak{p}$가 embedded point일 때는 이 $Z(\mathfrak{p})$가 component 전체가 아니라 작은 닫힌집합으로 바뀔 뿐, 이러한 손실이 여전히 생기게 된다.

가령 §스킴의 위상구조, ⁋예시 6의 $Z(\x\y)=\Spec \mathbb{K}[\x,\y]/(\x\y)$를 보자. 이 scheme은 두 irreducible component, $y$축 $Z(\x)$와 $x$축 $Z(\y)$을 가지며 그 generic point는 각각 $(\x)$와 $(\y)$이다. 또, $\ann(\y)=(\x)$이므로 명제 10의 결과로 얻어지는 함수 $f$가 바로 $\y$가 되며, 실제로 $\supp(\y)=Z(\x)$가 되어 이는 $y$축 전체를 보여준다. 이제 $U=D(\x)$와 같이, 이 generic point $(\x)$를 뺀 열린집합을 생각하면, $\x\y=0$으로부터

\[\y=\x^{-1}(\x\y)=0\qquad\text{in $A_\x$}\]

이므로 $\y\vert_U=0$이다. 즉 $U$를 정의역으로 삼는 순간 $y$축의 정보를 실어나르는 함수 $\y$는 $0$인 rational function과 구별되지 않게 되며, 이는 $U$가 $y$축이라는 component 하나를 통째로 놓치고 있다는 사실을 정확히 반영한다.

예시 13 예시 11의 $X=\Spec \mathbb{K}[\x_1,\x_2]/(\x_2^2,\x_1\x_2)$ 위의 rational function이 구체적으로 어떤 꼴인지 살펴보자. [가환대수학] §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 둘째 결과에 의하여 $A=\mathbb{K}[\x_1,\x_2]/(\x_2^2,\x_1\x_2)$의 zero-divisor 전체는 associated prime들의 합집합

\[(\x_2)\cup(\x_1,\x_2)=(\x_1,\x_2)\]

과 같으므로, non-zerodivisor는 정확히 원점에서 사라지지 않는 원소, 즉 $q(0)\ne0$를 만족하는 $q$에 대하여 $s=q(\x_1)+c'\x_2$의 꼴이다. 이러한 $s$는 두 associated prime $(\x_2),(\x_1,\x_2)$ 어디에도 속하지 않으므로 $D(s)$는 $X$의 두 associated point를 모두 포함하여 정의 12의 조건을 만족하는 유효한 정의역이 되며, §아핀스킴, ⁋보조정리 6에 의하여 그 위의 함수들은 $A_s$로 주어진다.

우리 주장은 이 정의역 $D(s)$에서 정의된 유리함수들만 보아도 이들이 $X$ 전체의 유리함수들이 된다는 것이다. 이를 위해 임의의 정의역 $U$가 주어졌다 하고, $X\setminus U=Z(I)$라 하자. 그럼 $U$가 associated point를 포함해야 하므로, 이를 위해서는 $I$의 원소 중 원점에서 $0$이 되지 않는 함수, 즉 ideal $(\x_1,\x_2)$에 포함되지 않는 원소가 존재해야 한다. 이러한 원소가 정확히 위에서 살펴본 non-zerodivisor $s$이며, $s\in I$로부터 $D(s)\subseteq U$를 얻는다. 즉 임의의 정의역은 언제나 이러한 $D(s)$를 그 안에 포함하며, 이를 통해 $U$ 위에 정의된 함수를 $D(s)$로 제한할 수 있으며, $D(s)$는 모든 associated point를 이미 포함하고 있으므로 ($\ast$)의 injectivity에 의해 이 restriction은 $U$ 위에서 서로 다른 함수를 $D(s)$에서도 다른 것으로 유지한다. 뿐만 아니라 같은 이유에서 $U$에 대한 ($\ast$)는 이 restriction과 $D(s)$에 대한 ($\ast$)의 합성으로 분해되므로, $U$ 위의 함수를 $D(s)$로 제한하여도 그 image, 즉 그것이 정의하는 rational function은 변하지 않는다.

이상에서 $X$의 rational function 전체가 이루는 total quotient ring $K(X)$는, 예시 11에서 본 원소의 표기를 그대로 쓰면

\[K(X)=\left\{\frac{p(\x_1)+c\x_2}{q(\x_1)+c'\x_2} \mid q(0)\neq0\right\}\]

의 꼴이 된다. 이는 고전적인 경우 fraction field가 분모가 $0$이 아닌 유리식들의 모임이었던 것과 나란한 모습이되, 분모가 (generic point뿐 아니라) 원점에서까지 사라지지 않아야 한다는 조건으로 바뀐 것이다.

이것이 고전적인 function field와 다른 점은, 위의 $K(X)$는 nonzero nilpotent을 담는다는 것이며 이것이 정확히 embedded point 때문이다. 구체적으로, $\x_2$는 $\x_2^2=0$을 만족하는 nilpotent element이면서도 $K(X)$에서 nonzero function이 된다. 만일 정의 12가 이 embedded point를 정의역에 담을 것을 요구하지 않았다면 원점을 뺀 $D(\x_1)$ 또한 정의역으로 허용되었을 것이고, 예시 11에서 보았듯 그 위에서 $\x_2$는 이미 $0$이므로 $\x_2$는 $K(X)$에서 사라졌을 것이며 따라서 $X$의 nilpotent 방향의 thickening이 $K(X)$에서 감지되지 않았을 것이다.

더 일반적으로, locally Noetherian scheme $X$ 위에 정의된 rational function들의 모임은 위의 construction과 마찬가지 방식으로 total quotient ring $K(X)$를 정의한다. 만일 $X$가 integral scheme이라면 $X$는 특히 irreducible이므로 유일한 generic point $\xi$를 가지며, 이 점은 임의의 affine open subset $U\cong\Spec A$에 대하여 integral domain $A$의 유일한 minimal prime ideal $(0)$에 대응되어야 한다. 그럼 이 점에서의 localization은 $A$의 nonzero element들을 모두 분모로 추가해 준 것, 즉 $\Frac(A)$와 같으므로 $K(X)\cong \mathcal{O}_{X,\xi}\cong \Frac(A)$이며, 이는 $X$가 하나의 affine open $\Spec A$로 이루어진 경우 이미 알고 있던 $A$의 fraction field가 일반적인 integral scheme에서도 그대로 field of rational functions의 역할을 한다는 것을 보여준다.

참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.

이 과정에서 $X$의 irreducible component들이 유한히 많다는 것을 사용하였다. 이는 나머지 component들의 합집합이 다시 닫힌집합이 되도록 해 주며, 따라서 두 닫힌집합이 서로 만나지 않는다면 이들이 동시에 열린집합이 되어 connectedness에 모순이 되기 때문이다. ↩

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